Интерполяция онлайн линейная: Линейная интерполяция. Онлайн калькулятор

соединяем точки так, чтобы было красиво / Хабр

Как построить график по n точкам? Самое простое — отметить их маркерами на координатной сетке. Однако для наглядности их хочется соединить, чтобы получить легко читаемую линию. Соединять точки проще всего отрезками прямых. Но график-ломаная читается довольно тяжело: взгляд цепляется за углы, а не скользит вдоль линии. Да и выглядят изломы не очень красиво. Получается, что кроме ломаных нужно уметь строить и кривые. Однако тут нужно быть осторожным, чтобы не получилось вот такого:

Немного матчасти

Восстановление промежуточных значений функции, которая в данном случае задана таблично в виде точек P₁&nbsp…&nbspP_n, называется интерполяцией. Есть множество способов интерполяции, но все они могут быть сведены к тому, что надо найти n&nbsp–&nbsp1 функцию для расчёта промежуточных точек на соответствующих сегментах. При этом заданные точки обязательно должны быть вычислимы через соответствующие функции. На основе этого и может быть построен график:

Функции f_i могут быть самыми разными, но чаще всего используют полиномы некоторой степени. В этом случае итоговая интерполирующая функция (кусочно заданная на промежутках, ограниченных точками P_i) называется сплайном.

В разных инструментах для построения графиков — редакторах и библиотеках — задача «красивой интерполяции» решена по-разному. В конце статьи будет небольшой обзор существующих вариантов. Почему в конце? Чтобы после ряда приведённых выкладок и размышлений можно было поугадывать, кто из «серьёзных ребят» какие методы использует.

Ставим опыты

Самый простой пример — линейная интерполяция, в которой используются полиномы первой степени, а в итоге получается ломаная, соединяющая заданные точки.
Давайте добавим немного конкретики. Вот набор точек (взяты почти с потолка):

0 0
20 0
45 -47
53 335
57 26
62 387
74 104
89 0
95 100
100 0

Результат линейной интерполяции этих точек выглядит так:

Однако, как отмечалось выше, иногда хочется получить в итоге гладкую кривую.

Что есть гладкость? Бытовой ответ: отсутствие острых углов. Математический: непрерывность производных. При этом в математике гладкость имеет порядок, равный номеру последней непрерывной производной, и область, на которой эта непрерывность сохраняется. То есть, если функция имеет гладкость порядка 1 на отрезке [

a;&nbspb], это означает, что на [a;&nbspb] она имеет непрерывную первую производную, а вот вторая производная уже терпит разрыв в каких-то точках.
У сплайна в контексте гладкости есть понятие дефекта. Дефект сплайна — это разность между его степенью и его гладкостью. Степень сплайна — это максимальная степень использованных в нём полиномов.
Важно отметить, что «опасными» точками у сплайна (в которых может нарушиться гладкость) являются как раз P_i, то есть точки сочленения сегментов, в которых происходит переход от одного полинома к другому. Все остальные точки «безопасны», ведь у полинома на области его определения нет проблем с непрерывностью производных.
Чтобы добиться гладкой интерполяции, нужно повысить степень полиномов и подобрать их коэффициенты так, чтобы в граничных точках сохранялась непрерывность производных.

Традиционно для решения такой задачи используют полиномы третьей степени и добиваются непрерывности первой и второй производной. То, что получается, называют кубическим сплайном дефекта 1. Вот как он выглядит для наших данных:

Кривая, действительно, гладкая. Но если предположить, что это график некоторого процесса или явления, который нужно показать заинтересованному лицу, то такой метод, скорее всего, не подходит. Проблема в ложных экстремумах. Появились они из-за слишком сильного искривления, которое было призвано обеспечить гладкость интерполяционной функции. Но зрителю такое поведение совсем не кстати, ведь он оказывается обманут относительно пиковых значений функции. А ради наглядной визуализации этих значений, собственно, всё и затевалось.

Так что надо искать другие решения.

Другое традиционное решение, кроме кубических сплайнов дефекта 1 — полиномы Лагранжа. Это полиномы степени n&nbsp–&nbsp1, принимающие заданные значения в заданных точках. То есть членения на сегменты здесь не происходит, вся последовательность описывается одним полиномом.
Но вот что получается:

Гладкость, конечно, присутствует, но наглядность пострадала так сильно, что… пожалуй, стоит поискать другие методы. На некоторых наборах данных результат выходит нормальный, но в общем случае ошибка относительно линейной интерполяции (и, соответственно, ложные экстремумы) может получаться слишком большой — из-за того, что тут всего один полином на все сегменты.

В компьютерной графике очень широко применяются кривые Безье, представленные полиномами k-й степени.
Они не являются интерполирующими, так как из

k&nbsp+&nbsp1 точек, участвующих в построении, итоговая кривая проходит лишь через первую и последнюю. Остальные k&nbsp–&nbsp1 точек играют роль своего рода «гравитационных центров», притягивающих к себе кривую.
Вот пример кубической кривой Безье:

Как это можно использовать для интерполяции? На основе этих кривых тоже можно построить сплайн. То есть на каждом сегменте сплайна будет своя кривая Безье k-й степени (кстати, k&nbsp=&nbsp1 даёт линейную интерполяцию). И вопрос только в том, какое k взять и как найти k&nbsp–&nbsp1 промежуточную точку.
Здесь бесконечно много вариантов (поскольку k ничем не ограничено), однако мы рассмотрим классический: k&nbsp=&nbsp3.
Чтобы итоговая кривая была гладкой, нужно добиться дефекта 1 для составляемого сплайна, то есть сохранения непрерывности первой и второй производных в точках сочленения сегментов (

P_i), как это делается в классическом варианте кубического сплайна.
Решение этой задачи подробно (с исходным кодом) рассмотрено здесь.
Вот что получится на нашем тестовом наборе:

Стало лучше: ложные экстремумы всё ещё есть, но хотя бы не так сильно отличаются от реальных.

Думаем и экспериментируем

Можно попробовать ослабить условие гладкости: потребовать дефект 2, а не 1, то есть сохранить непрерывность одной только первой производной.
Достаточное условие достижения дефекта 2 в том, что промежуточные контрольные точки кубической кривой Безье, смежные с заданной точкой интерполируемой последовательности, лежат с этой точкой на одной прямой и на одинаковом расстоянии:

В качестве прямых, на которых лежат точки C_{i&nbsp–&nbsp1}⁽²⁾, P_i и C_i⁽¹⁾, целесообразно взять касательные к графику интерполируемой функции в точках P_i. Это гарантирует отсутствие ложных экстремумов, так как кривая Безье оказывается ограниченной ломаной, построенной на её контрольных точках (если эта ломаная не имеет самопересечений).

Методом проб и ошибок эвристика для расчёта расстояния от точки интерполируемой последовательности до промежуточной контрольной получилась такой:

Эвристика 1

Первая и последняя промежуточные контрольные точки равны первой и последней точке графика соответственно (точки C₁⁽¹⁾ и C_{n&nbsp–&nbsp1}⁽²⁾ совпадают с точками P

₁ и P_n соответственно).
В этом случае получается вот такая кривая:

Как видно, ложных экстремумов уже нет. Однако если сравнивать с линейной интерполяцией, местами ошибка очень большая. Можно сделать её ещё меньше, но тут в ход пойдут ещё более хитрые эвристики.

К текущему варианту мы пришли, уменьшив гладкость на один порядок. Можно сделать это ещё раз: пусть сплайн будет иметь дефект 3. По факту, тем самым формально функция не будет гладкой вообще: даже первая производная может терпеть разрывы. Но если рвать её аккуратно, визуально ничего страшного не произойдёт.
Отказываемся от требования равенства расстояний от точки P_i до точек C_{i&nbsp–&nbsp1}⁽²⁾ и C_i⁽¹⁾, но при этом сохраняем их все лежащими на одной прямой:

Эвристика для вычисления расстояний будет такой:

Эвристика 2

Расчёт l₁ и l₂ такой же, как в «эвристике 1».
При этом, однако, стоит ещё проверять, не совпали ли точки P_i и P_{i&nbsp+&nbsp1} по ординате, и, если совпали, полагать l₁&nbsp=&nbspl₂&nbsp=&nbsp0. Это защитит от «вспухания» графика на плоских отрезках (что тоже немаловажно с точки зрения правдивого отображения данных).

Результат получается такой:

В результате на шестом сегменте ошибка уменьшилась, а на седьмом — увеличилась: кривизна у Безье на нём оказалась больше, чем хотелось бы. Исправить ситуацию можно, принудительно уменьшив кривизну и тем самым «прижав» Безье ближе к отрезку прямой, которая соединяет граничные точки сегмента. Для этого используется следующая эвристика:

Эвристика 3

Если абсцисса точки пересечения касательных в точках P_i(x_i,&nbspy_i) и P_{i&nbsp+&nbsp1}(x_{i&nbsp+&nbsp1},&nbspy_{i&nbsp+&nbsp1}) лежит в отрезке [x_i;&nbspx_{i&nbsp+&nbsp1}], то l₁ либо l₂ полагаем равным нулю. В том случае, если касательная в точке P_i направлена вверх, нулю полагаем максимальное из l₁ и l₂, если вниз — минимальное.

Результат следующий:

На этом было принято решение признать цель достигнутой.

Может быть, кому-то пригодится код.

А как люди-то делают?

Обещанный обзор. Конечно, перед решением задачи мы посмотрели, кто чем может похвастаться, а уже потом начали разбираться, как сделать самим и по возможности лучше. Но вот как только сделали, не без удовольствия ещё раз прошлись по доступным инструментам и сравнили их результаты с плодами наших экспериментов. Итак, поехали.

MS Excel

Это очень похоже на рассмотренный выше сплайн дефекта 1, основанный на кривых Безье. Правда, в отличие от него в чистом виде, тут всего два ложных экстремума — первый и второй сегменты (у нас было четыре). Видимо, к классическому поиску промежуточных контрольных точек тут добавляются ещё какие-то эвристики. Но ото всех ложных экстремумов они не спасли.

LibreOffice Calc

В настройках это названо кубическим сплайном. Очевидно, он тоже основан на Безье, и вот тут уже точная копия нашего результата: все четыре ложных экстремума на месте.

Есть там ещё один тип интерполяции, который мы тут не рассматривали: B-сплайн. Но для нашей задачи он явно не подходит, так как даёт вот такой результат 🙂

Highcharts, одна из самых популярных JS-библиотек для построения диаграмм

Тут налицо «метод касательных» в варианте равенства расстояний от точки интерполируемой последовательности до промежуточных контрольных. Ложных экстремумов нет, зато есть сравнительно большая ошибка относительно линейной интерполяции (седьмой сегмент).

amCharts, ещё одна популярная JS-библиотека

Картина очень похожа на экселевскую, те же два ложных экстремума в тех же местах.

Coreplot, самая популярная библиотека построения графиков для iOS и OS X

Есть ложные экстремумы и видно, что используется сплайн дефекта 1 на основе Безье.
Библиотека открытая, так что можно посмотреть в код и убедиться в этом.

aChartEngine, вроде как самая популярная библиотека построения графиков для Android

Больше всего похоже на кривую Безье степени n&nbsp–&nbsp1, хотя в самой библиотеке график называется «cubic line». Странно! Как бы то ни было, тут не только присутствуют ложные экстремумы, но и в принципе не выполняются условия интерполяции.

Вместо заключения

В конечном счёте получается, что из «больших ребят» лучше всех проблему решили Highcharts. Но метод, описанный в этой статье, обеспечивает ещё меньшую ошибку относительно линейной интерполяции.
Вообще, заняться этим пришлось по просьбе покупателей, которые зарепортили нам «острые углы» в качестве бага в нашем движке диаграмм. Будем рады, если описанный опыт кому-то пригодится.

Интерполяция ключевого кадра в After Effects

Руководство пользователя Отмена

Поиск

1. Руководство пользователя After Effects
   
2. Выпуски бета-версии
   1. Обзор программы бета-тестирования
   2. Домашняя страница бета-версии After Effects
   3. Функции бета-версии
      1. Панель «Свойства» (Бета-версия)
      2. Импорт 3D-моделей (бета-версия)
3. Начало работы
   1. Начало работы с After Effects
   2. Новые возможности After Effects 
   3. Сведения о выпуске | After Effects
   4. Системные требования для After Effects
   5. Сочетания клавиш в After Effects
   6. Поддерживаемые форматы файлов | After Effects
   7. Рекомендации по аппаратному обеспечению
   8. After Effects для компьютеров с процессорами Apple
   9. Планирование и настройка
4. Рабочие среды
   1. Общие элементы пользовательского интерфейса
   2. Знакомство с интерфейсом After Effects
   3. Рабочие процессы
   4. Рабочие среды, панели управления, программы просмотра
5. Проекты и композиции
   1. Проекты
   2. Основы создания композиции
   3. Предварительная композиция, вложение и предварительный рендеринг
   4. Просмотр подробных сведений о производительности с помощью инструмента «Профайлер композиций»
   5. Модуль рендеринга композиций CINEMA 4D
6. Импорт видеоряда
   1. Подготовка и импорт неподвижных изображений
   2. Импорт из After Effects и Adobe Premiere Pro
   3. Импорт и интерпретация видео и аудио
   4. Подготовка и импорт файлов 3D-изображений
   5. Импорт и интерпретация элементов видеоряда
   6. Работа с элементами видеоряда
   7. Определение точек редактирования с помощью функции «Определение изменения сцен»
   8. Метаданные XMP
7. Текст и графические элементы
   1. Текст
      1. Форматирование символов и панель символов
      2. Эффекты текста
      3. Создание и редактирование текстовых слоев
      4. Форматирование абзацев и панель «Абзац»
      5. Экструзия слоев текста и слоев-фигур
      6. Анимация текста
      7. Примеры и ресурсы для текстовой анимации
      8. Шаблоны динамического текста
   2. Анимационный дизайн
      1. Работа с шаблонами анимационного дизайна в After Effects
      2. Использование выражений для создания раскрывающихся списков в шаблонах анимационного дизайна
      3. Работа с основными свойствами для создания шаблонов анимационного дизайна
      4. Замена изображений и видео в шаблонах анимационного дизайна и основных свойствах
8. Рисование, заливка цветом и контуры
   1. Обзор слоев-фигур, контуров и векторных изображений
   2. Инструменты рисования: «Кисть», «Штамп» и «Ластик»
   3. Сглаживание обводки фигуры
   4. Атрибуты фигур, операции заливки цветом и операции с контурами для слоев-фигур
   5. Использование эффекта фигуры «Cмещение контура» для изменения фигур
   6. Создание фигур
   7. Создание масок
   8. Удаление объектов из видеоматериалов с помощью панели «Заливка с учетом содержимого»
   9. Инструменты «Кисть для ротоскопии» и «Уточнить подложку»
9. Слои, маркеры и камера
   1. Выделение и упорядочивание слоев
   2. Режимы наложения и стили слоев
   3. 3D-слои
   4. Свойства слоя
   5. Создание слоев
   6. Управление слоями
   7. Маркеры слоя и маркеры композиции
   8. Камеры, освещение и точки обзора
10. Анимация, ключевые кадры, отслеживание движения и прозрачное наложение
    1. Анимация
       1. Основы анимации
       2. Анимация с помощью инструментов «Марионетка»
       3. Управление и анимация контуров фигур и масок
       4. Анимация фигур Sketch и Capture с помощью After Effects
       5. Инструменты анимации
       6. Работа с анимацией на основе данных
    2. Ключевой кадр
       1. Интерполяция ключевого кадра
       2. Установка, выбор и удаление ключевых кадров
       3. Редактирование, перемещение и копирование ключевых кадров
    3. Отслеживание движения
       1. Отслеживание и стабилизация движения
       2. Отслеживание лиц
       3. Отслеживание маски
       4. Ссылка на маску
       5. Скорость
       6. Растягивание по времени и перераспределение времени
       7. Тайм-код и единицы отображения времени
    4. Прозрачное наложение
       1. Прозрачное наложение
       2. Эффекты прозрачного наложения
11. Прозрачность и композиция
    1. Обзор композиции и прозрачности и соответствующие ресурсы
    2. Альфа-каналы и маски
    3. Подложки дорожек и перемещающиеся подложки
       
12. Корректирование цвета
    1. Основы работы с цветом
    2. Управление цветом
    3. Эффекты цветокоррекции
    4. Управление цветом OpenColorIO и ACES
13. Эффекты и стили анимации
    1. Обзор эффектов и стилей анимации
    2. Список эффектов
    3. Эффекты имитации
    4. Эффекты стилизации
    5. Аудиоэффекты
    6. Эффекты искажения
    7. Эффекты перспективы
    8. Эффекты канала
    9. Эффекты создания
    10. Эффекты перехода
    11. Эффект «Устранение эффекта плавающего затвора»
    12. Эффекты «Размытие» и «Резкость»
    13. Эффекты 3D-канала
    14. Программные эффекты
    15. Эффекты подложки
    16. Эффекты «Шум» и «Зернистость»
        
    17. Эффект «Увеличение с сохранением уровня детализации»
    18. Устаревшие эффекты
14. Выражения и автоматизация
    1. Выражение
       1. Основы работы с выражениями
       2. Понимание языка выражений
       3. Использование элементов управления выражениями
       4. Различия в синтаксисе между движками выражений JavaScript и Legacy ExtendScript
       5. Управление выражениями
       6. Ошибки выражения
       7. Использование редактора выражений
       8. Использование выражений для изменения свойств текста и доступа к ним
       9. Справочник языка выражений
       10. Примеры выражений
    2. Автоматизация
       1. Автоматизация
       2. Сценарии
15. Видео с погружением, VR и 3D
    1. Создание сред VR в After Effects
    2. Применение видеоэффектов с эффектом погружения
    3. Инструменты составления композиций для видеоизображений VR/360
    4. Отслеживание движений камеры в трехмерном пространстве
    5. Пространство для работы с трехмерными объектами
    6. Инструменты 3D-преобразования
    7. Дополнительные возможности 3D-анимации
    8. Предварительный просмотр изменений в 3D-дизайнах в режиме реального времени с помощью модуля Mercury 3D
    9. Добавление гибкого дизайна в графику 
16. Виды и предварительный просмотр
    1. Предпросмотр
    2. Предпросмотр видео с помощью Mercury Transmit
    3. Изменение и использование представлений
17. Рендеринг и экспорт
    1. Основы рендеринга и экспорта
    2. Кодирование H. 264 в After Effects
    3. Экспорт проекта After Effects как проекта Adobe Premiere Pro
    4. Преобразование фильмов
    5. Многокадровый рендеринг
    6. Автоматический рендеринг и рендеринг по сети
    7. Рендеринг и экспорт неподвижных изображений и наборов неподвижных изображений
    8. Использование кодека GoPro CineForm в After Effects
18. Работа с другими приложениями
    1. Dynamic Link и After Effects
    2. Работа с After Effects и другими приложениями
    3. Синхронизация настроек в After Effects
    4. Библиотеки Creative Cloud Libraries в After Effects
    5. Подключаемые модули
    6. Cinema 4D и Cineware
19. Совместная работа: Frame.io и Team Projects
    1. Совместная работа в Premiere Pro и After Effects
    2. Frame.io
       1. Установка и активация Frame.io
       2. Использование Frame.io с Premiere Pro и After Effects
       3. Часто задаваемые вопросы
    3. Team Projects
       1. Начало работы с Team Projects
       2. Создание Team Project
       3. Совместная работа с помощью Team Projects
20. Память, хранилище, производительность
    1. Память и хранилище
    2. Как After Effects справляется с проблемами нехватки памяти при предварительном просмотре    
    3. Повышение производительности
    4. Установки
    5. Требования к графическому процессору и драйверу графического процессора для After Effects
21. База знаний
    1. Выявленные неполадки
    2. Исправленные ошибки
    3. After Effects и macOS Ventura
    4. Как After Effects справляется с проблемами нехватки памяти при предварительном просмотре

Сведения о пространственной и временной интерполяции ключевого кадра

Интерполяция — процесс заполнения неизвестных данных между двумя известными значениями. Ключевые кадры устанавливаются, чтобы определить значения свойства в определенные ключевые моменты. After Effects интерполирует значения свойства для всех моментов времени между ключевыми кадрами.

Поскольку при интерполяции генерируются значения свойств между ключевыми кадрами, ее иногда называют построением промежуточных кадров. С помощью интерполяции между ключевыми кадрами можно анимировать движение, эффекты, громкость звука, коррекцию изображений, прозрачность, изменение цвета и многие другие визуальные и звуковые элементы.

После создания ключевых кадров и пути движения для изменения значений со временем может потребоваться более точно откорректировать способ изменения значений. В After Effects доступно несколько методов интерполяции, которые влияют на способ расчета промежуточных значений.

Временная интерполяция — это интерполяция значений во времени, а пространственная интерполяция — это интерполяция значений в пространстве. Некоторые свойства, такие как «Непрозрачность», имеют только временные компоненты. Другие свойства, такие как «Положение», имеют также пространственные компоненты.

Временная интерполяция и диаграмма значений

Используя диаграммы значений в редакторе диаграмм, можно точно откорректировать ключевые кадры временного свойства, созданные для анимации. На диаграмме значений значения по оси X отображаются красным цветом, по оси Y — зеленым цветом, а по оси Z (только 3D) — синим цветом. Диаграмма значений содержит полные сведения о значениях ключевых кадров в любой момент времени в композиции, позволяя управлять ими. Кроме того, на панели «Информация» отображается метод временной интерполяции для выбранного ключевого кадра.

Пространственная интерполяция и путь движения

Если пространственная интерполяция применяется или изменяется для такого свойства, как «Положение», путь движения настраивается на панели «Композиция». Другие ключевые кадры на пути движения содержат сведения о типе интерполяции в любой момент времени. На панели «Информация» отображается метод пространственной интерполяции для выбранного ключевого кадра.

При внесении пространственных изменений в слое After Effects использует в качестве пространственной интерполяции по умолчанию вариант «Автоматическая по Безье».

Чтобы изменить вариант по умолчанию на линейную интерполяцию, выберите команду «Правка» > «Установки» > «Общие» (Windows) или «After Effects» > «Установки» > «Общие» (в ОС Mac OS), а затем — пункт «Использовать пространственную линейную интерполяцию». Изменение параметра не влияет на уже существующие ключевые кадры или на новые ключевые кадры в свойствах, для которых уже существуют ключевые кадры.

Интерполяция пути движения 

A. Линейный B. Автоматическая по Безье C. Непрерывная кривая Безье D. Кривая Безье E. Нулевого порядка 

В некоторых случаях пространственная интерполяция «Автоматическая по Безье» для ключевых кадров положения может привести к нежелательному возвратно-поступательному движению (бумеранг) между ключевыми кадрами с равными значениями. В таком случае можно изменить более ранний кадр, чтобы использовать интерполяцию нулевого порядка или задать для ключевых кадров линейную интерполяцию.

Ресурсы в Интернете, посвященные интерполяции ключевого кадра

Аарон Рабинович (Aharon Rabinowitz) опубликовал на веб-сайте Creative COW два видеоурока с описанием и решением проблемы бумеранга, которая возникает из-за случайного назначения пространственной интерполяции «Автоматическая по Безье» для ключевых кадров с равными значениями:

• Часть 1

• Часть 2

Энтони Боланте (Antony Bolante) представил информацию и иллюстрации, касающиеся интерполяции ключевого кадра, в статье на веб-сайте Peachpit Press.

Методы интерполяции ключевого кадра

В режиме панели слоев внешний вид ключевого кадра зависит от выбранного метода интерполяции. Если половина значка имеет темно-серый цвет, темная половина означает, что на этой стороне отсутствует ключевой кадр, а его интерполяция переопределяется интерполяцией нулевого порядка, примененной к предыдущему ключевому кадру.

По умолчанию для ключевого кадра используется один метод интерполяции, но применить можно и два метода: входящий метод применяется к значению свойства, когда индикатор текущего времени доходит до ключевого кадра, а исходящий метод применяется к значению свойства, когда индикатор текущего времени покидает ключевой кадр. Если указать разные входящие и исходящие методы интерполяции, значок ключевого кадра в режиме панели слоев примет соответствующий вид. Левая его половина будет представлять входящую интерполяцию, а правая половина — исходящую интерполяцию.

Чтобы переключиться между значками и номерами ключевых кадров, выберите в меню панели «Таймлайн» команду «Использовать значки ключевого кадра» или «Использовать индексы ключевого кадра».

Примеры значков ключевых кадров на панели «Таймлайн» в режиме панели слоев 

A. Линейный B. Линейная (входящая), нулевого порядка (исходящая) C. Автоматическая по Безье D. Непрерывная кривая Безье или кривая Безье E. Линейная (входящая), кривая Безье (исходящая) 

Все используемые After Effects методы интерполяции основаны на методе интерполяции по кривой Безье, в котором доступны дескрипторы направления, чтобы можно было управлять переходами между ключевыми кадрами. Методы интерполяции, в которых не используются дескрипторы направления, представляют собой ограниченные версии интерполяции по кривой Безье, которые подходят для определенных задач.

Чтобы больше узнать о том, как разные методы интерполяции влияют на временные свойства, попробуйте установить хотя бы три ключевых кадра с различными значениями для свойства временного слоя, например «Непрозрачность», и измените методы интерполяции при просмотре диаграммы значений в режиме редактора диаграмм на панели «Таймлайн».

Чтобы больше узнать о том, как разные методы интерполяции влияют на путь движения, попробуйте установить до трех ключевых кадров для пространственного свойства, например «Положение», с различными значениями на пути движения и изменяйте методы интерполяции в ходе предпросмотра движения на панели «Композиция».

Чтобы изменить методы интерполяции, щелкните правой кнопкой мыши ключевой кадр, выберите в появившемся меню пункт «Интерполяция ключевого кадра», затем выберите нужный вариант в меню «Временная интерполяция».

Чтобы пояснить примеры в описанных ниже методах интерполяции, результат каждого метода описывается так, если бы он был применен ко всем ключевым кадрам свойства слоя. На практике можно применить любой из доступных методов интерполяции к любому ключевому кадру.

Отсутствие интерполяции

Отсутствие интерполяции — это состояние, в котором у свойства слоя нет ключевых кадров. При этом секундомер выключен, а на панели «Таймлайн» под индикатором текущего времени отображается I-образный курсор . В этом состоянии, если для свойства слоя установить значение, оно будет сохраняться на протяжении всего слоя, если только не будет переопределено выражением. По умолчанию состояние без интерполяции применяется к свойству слоя. Если для свойства слоя есть ключевые кадры, используется один из типов интерполяции.

Линейная интерполяция

Линейная интерполяция обеспечивает равномерное изменение между ключевыми кадрами, которые могут придать анимации «механический» вид. В After Effects значения интерполируются между двумя соседними ключевыми кадрами максимально прямо, то есть без учета значений других ключевых кадров.

Если применить линейную интерполяцию ко всем ключевым кадрам свойства временного слоя, изменения начинаются сразу для первого ключевого кадра и развиваются до следующего ключевого кадра с постоянной скоростью. Во втором ключевом кадре скорость изменения резко меняется на скорость вторым и третьим ключевым кадром. Если в слое достигается конечное значение ключевого кадра, изменение резко прекращается. На диаграмме значений сегмент, соединяющий два ключевых кадра с использованием линейной интерполяции, отображается как прямая линия.

Интерполяция по кривой Безье

Интерполяция по кривой Безье обеспечивает наиболее точное управление, потому что можно изменить форму диаграммы значений или пути движения вручную с любой стороны ключевого кадра. В отличие от автоматической интерполяции по Безье или интерполяции по непрерывной кривой Безье, два дескриптора направления ключевого кадра «Кривая Безье» действуют независимо на диаграмме значений и на пути движения.

При применении интерполяции по кривой Безье ко всем ключевым кадрам свойства слоя After Effects создает плавный переход между ключевыми кадрами. Исходное положение дескрипторов направления вычисляется на основании того же метода, который используется в автоматической интерполяции Безье. При изменении значений ключевых кадров Безье в After Effects существующие положения дескрипторов направлений сохраняются.

В отличие от других методов интерполяции интерполяция по кривой Безье позволяет создавать любые комбинации кривых и прямых линии вдоль пути движения. Так как два дескриптора направления «Кривая Безье» работают независимо друг от друга, изгибающийся путь движения может резко превратиться в острый угол в ключевом кадре кривой Безье. Пространственная интерполяция по кривой Безье идеально подходит для рисования пути движения, повторяющего сложную форму, например маршрута на карте или контура логотипа.

Существующие положения дескрипторов направлений сохраняются при перемещении ключевого кадра по пути движения. Временная интерполяция, примененная к каждому ключевому кадру, определяет скорость движения вдоль пути.

Автоматическая интерполяция по кривой Безье

Автоматическая интерполяция по кривой Безье обеспечивает плавную скорость изменения ключевого кадра. С помощью этого типа пространственной интерполяции можно создать путь автомобиля, едущего по извилистой дороге.

Если изменить значение ключевого кадра «Автоматическая по Безье» , положения дескрипторов этой кривой автоматически изменятся для создания плавного перехода между ключевыми кадрами. При автоматической коррекции изменяется форма диаграммы значений или сегменты пути движения по обе стороны ключевого кадра. Если в предыдущем и следующем ключевом кадре также используется автоматическая интерполяция по кривой Безье, форма отрезков на дальней стороне предыдущих или следующих ключевых кадров также изменяется. Чтобы вручную изменить дескриптор направления автоматической интерполяции по Безье, необходимо преобразовать его в ключевой кадр «Непрерывная кривая Безье» .

Автоматическая интерполяция по Безье является пространственной по умолчанию.

Интерполяция по непрерывной кривой Безье

Как и автоматическая интерполяция по кривой Безье, интерполяция по непрерывной кривой Безье обеспечивает плавную скорость изменения ключевого кадра. Однако положения дескрипторов направления «Непрерывная кривая Безье» задаются вручную. При коррекции изменяется форма диаграммы значений или сегменты пути движения по обе стороны ключевого кадра.

Если интерполяция по непрерывной кривой Безье применяется ко всем ключевым кадрам свойства, After Effects корректирует значения всех ключевых кадров для создания плавных переходов. After Effects сохраняет эти плавные переходы при перемещении ключевого кадра «Непрерывная кривая Безье» на путь движения или на диаграмму значений.

Интерполяция нулевого порядка

Интерполяция нулевого порядка доступна только в качестве метода временной интерполяции. Используйте ее для изменения значения свойства слоя с течением времени, но без постепенного перехода. Этот метод временной интерполяции подходит для борьбы с эффектом стробоскопа или при внезапном появлении и исчезновении слоев.

Если применить интерполяцию нулевого порядка ко всем ключевым кадрам свойства слоя, значение первого ключевого кадра останется неизменным до следующего ключевого кадра, когда значения резко изменяются. На диаграмме значений сегмент, следующий за ключевым кадром «Нулевой порядок» , отображается как горизонтальная прямая линия.

Несмотря на то, что интерполяция нулевого порядка доступна только как метод временной интерполяции, ключевые кадры все равно отображаются на пути движения, но не связаны точками положения в слое. Например, при анимации свойства слоя «Положение» с использованием интерполяции нулевого порядка, значение положения предыдущего ключевого кадра сохраняется в слое до тех пор, пока индикатор текущего времени не достигнет следующего ключевого кадра, в котором точка слоя пропадает в предыдущем местоположения и появляется в новом положении.

Текущий кадр можно легко зафиксировать на время продолжительности слоя с помощью команды «Зафиксировать кадр». Чтобы зафиксировать кадр, поместите в него индикатор текущего времени. Убедитесь, что слой выделен, а затем выберите команду «Слой» > «Время» > «Зафиксировать кадр». Будет включено переопределение времени, а ключевой кадр «Нулевой порядок» будет помещен в положение индикатора текущего времени, чтобы зафиксировать кадр.

Если функция переопределения времени для слоя включалась ранее, в случае применения команды «Зафиксировать кадр» все созданные ключевые кадры будут удалены.

Интерполяцию нулевого порядка можно использовать только для исходящей временной интерполяции (для кадров, следующих за ключевым кадром). Если создать ключевой кадр за кадром «Нулевой порядок», будет создан новый ключевой кадр с входящей интерполяцией нулевого порядка.  

Чтобы применить или удалить интерполяцию нулевого порядка в качестве исходящей интерполяции для ключевого кадра, выделите ключевой кадр на панели «Таймлайн», а затем выберите «Анимация» > «Переключить ключевой кадр нулевого порядка».

Применение и изменение методов интерполяции ключевого кадра

Метод интерполяции можно применить и изменить для любого ключевого кадра. Изменения можно вносить в диалоговом окне «Интерполяция ключевого кадра» или применять их непосредственно к ключевому кадру в режиме панели слоев, на пути движения или в редакторе диаграмм. Можно также изменить интерполяцию, используемую по умолчанию в After Effects для пространственных свойств.

Сведения об использовании элементов управления «Плавное замедление» для автоматического изменения скорости между ключевыми кадрами см. в разделе Управление скоростью между ключевыми кадрами.

Изменение метода интерполяции в диалоговом окне «Интерполяция ключевого кадра»

Диалоговое окно «Интерполяция ключевого кадра» содержит параметры для настройки временной и пространственной интерполяции и (только для пространственных свойств) параметры привязки.

1. В режиме панели диаграмм или в редакторе диаграмм выделите ключевые кадры, которые нужно изменить.

2. Выберите команду «Анимация» > «Интерполяция ключевого кадра».

3. Для параметра «Временная интерполяция» выберите один из следующих вариантов.

   Текущие настройки

   Сохраняет значения интерполяции, уже примененные к выбранным ключевым кадрам. Выберите этот вариант, если было выбрано несколько ключевых кадров или кадры были изменены вручную, и вы не хотите изменять существующие параметры.

   «Линейная», «Кривая Безье», «Непрерывная кривая Безье», «Автоматическая по Безье» и «Нулевого порядка»

   Примените метод временной интерполяции со значениями по умолчанию.

4. Если были выбраны ключевые кадры пространственного свойства слоя, выберите один из следующих вариантов для пространственной интерполяции.

   Текущие настройки

   Сохраняет параметры интерполяции, уже примененные к выбранным ключевым кадрам.

   «Линейная», «Кривая Безье», «Непрерывная кривая Безье» и «Автоматическая по Безье»

   Примените метод пространственной интерполяции со значениями по умолчанию.

5. Если были выбраны ключевые кадры пространственного свойства слоя, выберите в меню «Отсутствие привязки» способ определения положения ключевого кадра во времени, а затем нажмите кнопку «ОК».

   Текущие настройки

   Сохраняет используемый в данный момент способ определения положения выделенных ключевых кадров во времени.

   Пропускать по времени

   Сглаживает скорость изменения в выделенных ключевых кадрах, автоматически меняя их положение во времени на основании положений ключевых кадров непосредственно перед выделенными кадрами и после них.

   Заблокировать по времени

   Сохраняет выделенные ключевые кадры в их текущем положении во времени. Кадры остаются на месте, если только не переместить их вручную.

   Дополнительные сведения о сглаживании скорости изменения в выделенных ключевых кадрах см. в разделе Плавное движение с использованием ключевых кадров без привязки.

Изменение метода интерполяции с помощью инструмента «Выделение» в режиме панели слоев

1. С помощью инструмента «Выделение» выполните одно из предложенных ниже действий.

   • Если для ключевого кадра используется линейная интерполяция, щелкните его, удерживая нажатой клавишу Ctrl (Windows) или Command (Mac OS), чтобы изменить интерполяцию на «Автоматическая по Безье» .

   • Если для ключевого кадра используется интерполяция «Кривая Безье», «Непрерывная кривая Безье» или «Автоматическая по Безье», для ее изменения на линейную интерполяцию щелкните ключевой кадр, удерживая нажатой клавишу CTRL (Windows) или COMMAND (Mac OS).

Изменение метода интерполяции в редакторе диаграмм

• Щелкните ключевой кадр с помощью инструмента «Преобразование вершины» для переключения между линейной и автоматической интерполяцией по кривой Безье.
• Выделите один или несколько ключевых кадров, а затем нажмите в нижней части экрана кнопку «Нулевого порядка», «Линейная» или «Автоматическая по Безье», чтобы изменить метод интерполяции.

Кнопки интерполяции в редакторе диаграмм

A. Преобразовать выбранные ключевые кадры в тип «Остановка» B. Преобразовать выделенные ключевые кадры в тип «Линейный» C. Преобразование выбранных ключевых кадров с интерполяцией «Автоматическая по Безье» 

Изменение дескрипторов направления кривой Безье в редакторе диаграмм

В редакторе диаграмм к ключевым кадрам, в которых используется интерполяция по кривой Безье, привязаны дескрипторы направления. Дескрипторы направления можно вытянуть, втянуть обратно или повернуть для тонкой настройки интерполяции по кривой Безье на диаграмме значений. Дескрипторы направления можно вытянуть или втянуть обратно для тонкой настройки кривой на диаграмме скорости.

При втягивании или вытягивании дескриптора направления вместе с ним по умолчанию перемещается маркер на противоположной стороне ключевого кадра. При разделении дескриптора направления создаются два независимо работающих маркера, привязанные к ключевому кадру.

• Чтобы втянуть или вытянуть дескриптор направления, потащите его к центру или от центра ключевого кадра с помощью инструмента «Выделение».
• Чтобы разделить дескриптор направления, потащите ключевой кадр, удерживая нажатой клавишу ALT (Windows) или OPTION (Mac OS) с помощью инструмента «Выделение». Можно также потащить указатель мыши, удерживая нажатой клавишу ALT (Windows) или OPTION (Mac OS), за пределами ключевого кадра, чтобы нарисовать новые маркеры независимо от того, существуют ли уже маркеры или нет.
• Чтобы одновременно изменить дескрипторы направления двух соседних ключевых кадров, потащите сегмент диаграммы значений между этими кадрами.

Вытягивание дескриптора направления кривой Безье на диаграмме скорости

Справки по другим продуктам

• Управление скоростью между ключевыми кадрами
• Редактор диаграмм
• Ключевые кадры и редактор диаграмм (комбинации клавиш)
• Отображение свойств и групп на панели «Таймлайн» (комбинации клавиш)
• Сведения об анимации, ключевые кадры и выражения
• Выделение ключевых кадров

Вход в учетную запись

Войти

Управление учетной записью

Linear Interpolation Calculator

• login
• register
• Home
• Math
• Finance
• Engineering

y ₂   =  4. 8

GENERATE WORK

report this ad

GENERATE WORK

Линейная интерполяция — работа с шагами

Калькулятор линейной интерполяции использует координаты двух точек $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$ и $x$-координату интерполируемой точки $C $ в двумерной декартовой координатной плоскости и найти $y$-координату интерполируемой точки $C$. Это онлайн-инструмент геометрии, требующий координаты 2 точек и $x$-координату интерполируемой точки в двумерной декартовой плоскости координат.

Необходимо выполнить следующие шаги:

1. Ввести координаты $(x_A, y_A), (x_B, y_B)$ двух точек $A$ и $B$ и $x$-координату интерполируемой точки $ C$ в коробке. Эти значения должны быть действительными числами или параметрами;
2. Нажмите кнопку » GENERATE WORK «, чтобы произвести вычисления;
3. Калькулятор линейной интерполяции выдаст координату $y$ интерполируемой точки $C$. Эта точка принадлежит прямой, проходящей через точки $A$ и $B$.

Ввод: Две упорядоченные пары действительных чисел или переменных и одно действительное число или переменная. Обратите внимание, что первые координаты в упорядоченных парах должны быть разными.
Вывод: Вещественное число или переменная.

Linear Interpolant Formula:

Прямая, проходящая через две точки $A$ и $B$ в двумерной декартовой координатной плоскости, задается уравнением $$y=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}(x-x_A)+y_A ,$$ где $(x_A,y_A)$ и $(x_B,y_B)$ — координаты точек $A$ и $B$ соответственно.

$y$-координата интерполируемой точки: $y$-координата точки $C$ на линейной интерполянте $AB$ определяется следующим уравнением $$\begin{align} y_C&=\frac{y_B(x_C-x_A)+y_A(x_B-x_C)}{x_B-x_A}\end{align}$$ где $x_C$ — координата точки $C$, $(x_A,y_A)$ и $(x_B,y_B)$ — координаты точки $A$ и $B$ соответственно.

Что такое линейная интерполяция?

Информация, особенно числовая, появляется во всех сферах жизни и науки. Мы можем найти уравнение линии наилучшего соответствия, известного как линия регрессии, и использовать его для минимизации расстояния точек, представляющих набор данных, до линии регрессии. Линия регрессии является хорошим методом, если связь между зависимой и независимой переменными является линейной.
Существуют и другие методы, такие как линейная интерполяция и линейная экстраполяция. Интерполяция — это метод нахождения точки между двумя точками на линии или кривой. Точнее,

• Если мы хотим найти координаты точки между двумя заданными точками, то используем линейную интерполяцию
• Если мы хотим найти координаты точки, не лежащей между двумя заданными точками, то используем линейную интерполяцию экстраполяция.

Другими словами, линейная интерполяция используется для заполнения пробелов в наборе точек. Процедура линейной интерполяции состоит в том, чтобы найти прямую, проходящую через заданных точек, затем найти координаты точки между данными точками. Например, даны две точки $A(x_A,y_A)$ и $B(x_B,y_B)$, как показано на рисунке ниже. Сначала найдем прямую, содержащую точки $A$ и $B$. Для значения $x$ в интервале $(x_1,x_2)$ значение $y$ вдоль невертикальной прямой, проходящей через $A$ и $B$, определяется по наклонам $$\frac{y-y_A}{x-x_A}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$ Решая предыдущее уравнение относительно $y$, получаем $$\begin{align} y&=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}(x-x_A)+y_A\\ &=\frac{y_B(x-x_A)+y_A(x_B-x)}{x_B-x_A} \end{align}$$ Эта линия называется линейной интерполянтой между этими точками. Поскольку точка $C$ принадлежит этой прямой, ее координаты $(x,y)$ могут быть найдены с помощью линейной интерполяции.

При нелинейном сборе данных линейная интерполяция часто бывает неточной. Если точки в наборе данных изменяются на большую величину в интервале, то мы используем кривую вместо линии для оценки значений между точками. Этот метод известен как полиномиальная интерполяция.

Как найти линейную интерполяцию линии?

Если мы подставим координаты точек $A$ и $B$, $(x_A,y_A)$ и $(x_B,y_B)$ в уравнение $$y=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}(x-x_A)+y_A $$ получаем уравнение линейного интерполянта. Подставив координату $x_C$ точки $C$ в уравнение линейного интерполянта, получим недостающую координату точки $C$. Поэтому недостающая $y$-координата точки $C$ определяется следующим уравнением $$\begin{align} y_C&=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}(x_C-x_A)+y_A\\ &=\frac{y_B(x_C-x_A)+y_A(x_B-x_C)}{x_B-x_A}\end{align}$$ Линейная интерполяция с шагами показывает полный пошаговый расчет для нахождения значения $y$-координаты интерполируемой точки со значением x-координаты $3$ на прямой через точки с координатами $(2, 4)$ и $(7, 8)$. Для любой другой комбинации координат просто укажите координаты 2-х точек и первую координату требуемой интерполируемой точки и нажмите кнопку «Создать работу». Учащиеся начальной школы могут использовать этот калькулятор линейной интерполяции для создания работы, проверки результатов или эффективного решения домашних заданий.

Применение или использование линейной интерполяции

Интерполяция оценивает значение функции между двумя известными значениями. Уравнение линейной интерполяции может быть реализовано в каком-либо математическом пакете, например в Microsoft Excel или MATLAB, при условии, что табличные значения монотонны по $x$ и нет равных значений $x$. Итак, если нам нужно предсказать значения между двумя существующими точками данных, мы используем метод линейной интерполяции.
Линейная интерполяция широко используется в компьютерной графике. Например, алгоритм Брезенхема постепенно интерполирует точки между двумя конечными точками линии (Брезенхэм, Дж. Э., 9).0034 Алгоритм компьютерного управления цифровым плоттером, IBM Systems Journal, том 4, № 1, (1965), стр. 2530.) Билинейная интерполяция является обобщением линейной интерполяции для интерполирующих функций двух переменных $f(x,y)$. Сначала выполняем линейную интерполяцию в одном направлении, а затем в другом.

Практические задачи линейной интерполяции

Практическая задача 1 : Согласно статистике за 2011$ и 2015$, 20$ процентов и 35$ процентов населения мира курят, соответственно. С помощью линейной интерполяции оцените процент курильщиков в $2012$.

Практическая задача 2 : Найдите значение $y$ при $x=6$, если заданы две точки $(1, 4)$ и $(5, 8).$

Калькулятор линейной интерполяции , формула, пример расчета (работа с шагами), реальные задачи и практические задачи были бы очень полезны для учащихся начальной школы (образование K-12), чтобы научиться находить интерполированные координаты точки на отрезке прямой. Этот метод очень полезен в математике и реальных задачах для прогнозирования значений между двумя заданными точками данных.

• Midpoint of a Line Segment Calculator
• Distance between Two Points Calculator
• Slope Calculator
• Point Slope Form of a Line Calculator
• Slope Intercept Form Calculator
• Perpendicular Distance Calculator

• Perpendicular Bisector Calculator
• Centroid Калькулятор треугольника
• Калькулятор площади треугольника в плоскости XY
• Калькулятор площади и периметра квадрата
• Калькулятор площади и периметра прямоугольника
• Калькулятор площади и периметра круга

Калькулятор и формула линейной интерполяции — [100% бесплатно]

Используйте этот калькулятор линейной интерполяции для поиска точек на заданной линии. Вы можете определить значение либо с помощью формы пересечения уклона, либо с помощью двух координат. В этой статье вы узнаете, как использовать калькулятор и другую информацию о линейной интерполяции. Читайте дальше, чтобы узнать больше.

Загрузка калькулятора…

Содержание

Как пользоваться калькулятором линейной интерполяции?

Этот очень простой калькулятор интерполяции служит удобным инструментом, когда вам нужно найти нужные значения. Вместо того, чтобы решать вручную, используя формулу линейной интерполяции, этот калькулятор намного проще и мгновенно предоставляет вам результаты. Вот шаги, которые нужно выполнить для этого онлайн-инструмента:

• Сначала введите значения x1 и y1 .
• Затем введите значения x2 и y2 .
• Наконец, введите значения x3 и y3 .
• После ввода всех необходимых значений калькулятор линейной интерполяции автоматически генерирует для вас значения m и b с учетом формы пересечения наклона формулы:

y = mx + b.

• Под этими значениями вы также можете увидеть всю формулу с уже подставленными в нее значениями. Это дает вам хорошую ссылку на то, как вы можете записать формулу вместе с требуемыми значениями.

Что такое метод интерполяции?

Метод интерполяции относится к статистическому методу, с помощью которого вы используете связанные известные значения для получения оценки неизвестной потенциальной доходности или цены данной ценной бумаги. Вы можете достичь этого метода, используя другие известные значения, связанные с ним и которые идут последовательно с неизвестными значениями.

По сути, интерполяция — это простое понятие в математике. Если вы заметили тенденцию в наборе точек данных, которая в целом согласуется, вы можете дать разумную оценку значения набора данных даже в точках, которые вы еще не рассчитали. Конечно, это только оценка в лучшем случае. Проблема с интерполяторами заключается в том, что вы никогда не можете быть полностью уверены в их оценках.

Существуют различные виды интерполяции, с которыми вы можете работать. К ним относятся полиномиальная интерполяция, кусочно-постоянная интерполяция и линейная интерполяция. Среди всех этих методов наиболее распространенным и простым является линейная интерполяция. Для этого метода вы можете использовать уравнение линейной интерполяции или калькулятор линейной интерполяции, что намного удобнее.

Это очень полезно, когда вы пытаетесь оценить стоимость процентной ставки или ценной бумаги для определенного момента, когда нет доступных данных. Не следует путать интерполяцию с экстраполяцией. Последнее относится к методу, с помощью которого вы можете получить оценку для точки данных за пределами известного диапазона данных.

Часто графики, отображающие историю акций, широко интерполируются. Они используют линейную регрессию для создания кривых, которые представляют приблизительное изменение цены ценной бумаги. Даже если диаграмма, которая измеряет акции в течение года, включает точки данных за каждый день, невозможно с полной уверенностью сказать, где акции были бы оценены в данный момент времени.

Хотя это определение на первый взгляд кажется запутанным, фактическая концепция интерполяции относительно проста. Человеческие цивилизации использовали интерполяцию на протяжении веков, особенно ранние месопотамские астрономы, а также астрономы из Малой Азии, когда они пытались заполнить пробелы.

Хотя на движение планетарных тел влияет несколько факторов, они все же лучше подходят для интерполяции с недостаточной точностью по сравнению с колебаниями запасов, которые крайне непредсказуемы. Тем не менее, при огромном количестве данных, задействованных в анализе ценных бумаг, довольно сложно избежать интерполяций с точки зрения движения цен.

Что такое формула линейной интерполяции?

Хотя использование этого калькулятора линейной интерполяции проще, вы все же можете выполнить расчет вручную, используя уравнение линейной интерполяции. Для этого попробуйте представить, что вам нужно измерить зависимость между тем, сколько вам нужно муки, и тем, сколько печенья вы хотите испечь.

В первый раз, когда вы испекли партию печенья, вы использовали 200 граммов муки и в итоге у вас получилось 15 печений. Во второй раз, когда вы испекли партию печенья, вы использовали 300 граммов муки и в итоге у вас получилось 20 печений. Теперь вы хотели бы узнать, сколько печенья получится, если вы используете 250 граммов муки.

Предположим, что эта ситуация имеет линейную зависимость, поэтому вы можете найти решение для линейной интерполяции. Если вам нужно найти значение, выходящее за пределы диапазона, который вы уже протестировали, это относится к экстраполяции. Но если вы хотите решить для линейной интерполяции, используйте формулу линейной интерполяции:

y = (x – x₁) * (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁) + y₁

0 3 где:
(x₁, y₁) относятся к координатам 1-й известной точки данных
(x₂, y₂) относятся к координатам 2-й первой известной точки данных
(x, y) относятся к координатам 2-й первой известной точки данных координаты точки, которую вы решаете для

Эта формула точно такая же, как и формула экстраполяции. Имейте в виду, что экстраполяция часто дает вам результат, не подтвержденный никакими экспериментальными данными. Поэтому рекомендуется использовать интерполяцию.

Что такое квадратичная интерполяция?

Квадратичную интерполяцию лучше всего определить с помощью формулы. Если бы у вас была таблица значений

yi=f(xi),0≤i≤2n

На каждом из интервалов [x2j,x2j+2],0≤j≤n−1 , вы бы использовали квадратичный интерполирующий полином на интервале для интерполяции данных.

Как выполнить линейную интерполяцию в Excel?

Интерполяция — это метод, который можно использовать для определения фактора будущей или текущей стоимости, когда точное значение не отображается в таблице значений. Интерполяция предполагает, что любое изменение между двумя заданными значениями является линейным с незначительной погрешностью.

Помимо использования калькулятора интерполяции, вы также можете выполнять линейную интерполяцию в Excel.

No related posts.