Иррациональное число | Определение, примеры и факты
- Развлечения и поп-культура
- География и путешествия
- Здоровье и медицина
- Образ жизни и социальные вопросы
- Литература
- Философия и религия
- Политика, право и правительство
- Наука
- Спорт и отдых
- Технология
- Изобразительное искусство
- Всемирная история
- Этот день в истории
- Викторины
- Подкасты
- Словарь
- Биографии
- Резюме
- Популярные вопросы
- Обзор недели
- Инфографика
- Демистификация
- Списки
- Товарищи
- Галереи изображений
- Прожектор
- Форум
- Один хороший факт
- Развлечения и поп-культура
- География и путешествия
- Здоровье и медицина
- Образ жизни и социальные вопросы
- Литература
- Философия и религия
- Политика, право и правительство
- Наука
- Спорт и отдых
- Технология
- Изобразительное искусство
- Всемирная история
- Britannica объясняет
В этих видеороликах Britannica объясняет различные темы и отвечает на часто задаваемые вопросы.
- Britannica Classics
Посмотрите эти ретро-видео из архивов Encyclopedia Britannica. - #WTFact Видео
В #WTFact Britannica делится некоторыми из самых странных фактов, которые мы можем найти. - На этот раз в истории
В этих видеороликах узнайте, что произошло в этом месяце (или любом другом месяце!) в истории. - Demystified Videos
В Demystified у Britannica есть все ответы на ваши животрепещущие вопросы.
- Студенческий портал
Britannica — это главный ресурс для учащихся по ключевым школьным предметам, таким как история, государственное управление, литература и т. д. - Портал COVID-19
Хотя этот глобальный кризис в области здравоохранения продолжает развиваться, может быть полезно обратиться к прошлым пандемиям, чтобы лучше понять, как реагировать сегодня. - 100 женщин
Britannica празднует столетие Девятнадцатой поправки, выделяя суфражисток и политиков, творящих историю. - Britannica Beyond
Мы создали новое место, где вопросы находятся в центре обучения. Вперед, продолжать. Просить. Мы не будем возражать. - Спасение Земли
Британника представляет список дел Земли на 21 век. Узнайте об основных экологических проблемах, стоящих перед нашей планетой, и о том, что с ними можно сделать! - SpaceNext50
Britannica представляет SpaceNext50. От полёта на Луну до управления космосом — мы исследуем широкий спектр тем, которые подпитывают наше любопытство к космосу!
Содержание
- Введение
Краткие факты
- Связанный контент
Викторины
- Интересные факты об измерениях и математике
Золотое сечение — самое иррациональное число.
Гетти Изображений ПлюсЭта статья адаптирована из Форма: скрытая геометрия информации, биологии, стратегии, демократии и всего остального Джордана Элленберга. © Penguin Press 2021.
Одна из величайших прелестей теории чисел — существование иррациональные числа — числа, подобные квадратному корню из 2 или π, которые не могут быть выражены как отношение любых двух целых чисел, какими бы большими они ни были. Легенда гласит — возможно, ложная, но, эй, она доказывает, — что открытие иррациональности √2 настолько смутило пифагорейцев, которые хотели, чтобы все числа были рациональными, что они бросили первооткрывателя в океан.
Среди загадок иррационального числа особое место занимает так называемое золотое сечение .
Значение золотого сечения составляет около 1,618 (но не
Люди веками поднимали шум вокруг этого числа. У Евклида эта пропорция носит более приземленное название «деление на крайнее и среднее». Он понадобился ему для построения правильного пятиугольника, так как золотое сечение — это пропорция между диагональю такого пятиугольника и его стороной. Золотой прямоугольник — это прямоугольник, длина которого в φ умножается на ширину; у него приятное качество: если разрезать его поперек, так что один из двух кусков будет квадратом, а другой будет меньшим золотым прямоугольником.
Вы можете сделать то же самое с этим меньшим прямоугольником, чтобы сделать новый меньший золотой прямоугольник, затем отрезать квадрат от этого маленького золотого мальчика, чтобы сделать золотой прямоугольник еще меньше, и так далее и тому подобное; в результате получается что-то вроде прямоугольной спирали:
ВикипедияЗолотое сечение возникает не только в геометрии; в последовательности Фибоначчи, где каждое число является суммой двух предыдущих (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …), отношения между последовательными членами приближаются к φ все больше и больше по мере термины становятся все больше и больше. (Но, конечно, эти соотношения никогда не0150 прибывают
com/_components/slate-paragraph/instances/ckpo8csmo001p3g6cal645iv2@published»> Вокруг золотого сечения уже давно витают миазмы мистицизма. Теоретик чисел Джордж Баллард Мэтьюз жаловался на это еще в 1904 году, написав, что «божественная пропорция» или «золотое сечение» поражала невежественных и даже ученых людей, таких как Кеплер, чувством тайны и повергала их в мечтательность. видов фантастического символизма». Иногда говорят, что фигуры, длина которых находится в золотой пропорции друг к другу, по своей природе являются самыми красивыми, хотя утверждения о том, что Великая пирамида в Гизе, Парфенон и Mona Lisa были спроектированы по этому принципу, недостаточно обоснованы. В влиятельной статье 1978 года в Журнале ортопедической стоматологии говорится, что набор искусственных зубов для максимальной привлекательности улыбки должен иметь центральный резец в 1,618 раза шире бокового резца, который, в свою очередь, должен быть в 1,618 раза шире клыка. Существует небольшая, но настойчивая школа финансового анализа, которая считает, что колебания на фондовом рынке управляются золотым сечением; Ваш терминал Bloomberg, если у вас достаточно флеша, чтобы иметь его, нарисует для вас маленькие «линии Фибоначчи» на биржевых графиках.
Однажды в 90-х я ужинал с другом моего друга в Galaxy Diner в Нью-Йорке. Он сказал, что снимает фильм о математике и хочет поговорить с практикующим о том, на что на самом деле похожа математическая жизнь. Мы ели лепешки, я рассказывал ему истории, я забыл об этом, прошли годы. Друга друга звали Даррен Аронофски, а его фильм 
«Я никогда раньше такого не видел», — говорит впечатленный хасид. Макс лихорадочно программирует свой компьютер, который называется Евклид, и рисует спирали золотых прямоугольников, и довольно долго смотрит на такие же спирали молока в своем кофе. Он вычисляет 216-значное число, которое, кажется, является ключом к прогнозированию цен на акции, а также, возможно, тайным именем Бога. Он много играет в го со своим научным руководителем. («Перестань думать, Макс. Всего чувствовать . Используй свою интуицию».) У него сильно болит голова, и он еще сильнее накручивает волосы. Красивая женщина в соседней квартире заинтригована. Я забыл упомянуть, но этот фильм черно-белый. Кто-то пытается его похитить. Наконец, он просверливает дыру в собственном черепе, чтобы выпустить часть математического давления, и фильм приходит к тому, что кажется счастливым концом.
Не помню, что я говорил Аронофски о математике, но это было не то.
Золотая нумерация действительно стала популярной в 2003 году, когда Дэн Браун опубликовал свой мегахитовый роман 9.0150 Код да Винчи , история «религиозного символиста» и профессора Гарварда, который использует последовательность Фибоначчи и золотое сечение, чтобы раскрыть заговор с участием рыцарей-тамплиеров и современных потомков Иисуса. После этого «поставить φ» было просто хорошим маркетингом. Вы могли купить джинсы, золотые пропорции которых льстили вашей задней части (они идут к вашим вставным зубам!). Существовал «Кодекс диеты», в котором утверждалось, что Леонардо хотел, чтобы вы похудели, употребляя белки и углеводы в пропорции золотого сечения. И был, пожалуй, величайший из когда-либо созданных мистических геометрических чудаков: маркетинговая фирма Arnell Group на 27 страницах объяснила новый логотип Pepsi в виде земного шара, который она разработала в 2008 году.
Документ назывался «ЗАХВАТЫВАЮЩИЙ». В презентации объясняется, что Pepsi и золотое сечение являются естественными партнерами, потому что, как вы, несомненно, знаете, «словарь истины и простоты — повторяющееся явление в истории бренда». Хронология показывает, что открытие нового логотипа Pepsi является кульминацией 5000 лет науки и дизайна, включая Пифагора, Евклида, да Винчи и каким-то образом ленту Мёбиуса. Новый логотип Pepsi будет построен из дуг кругов, радиусы которых находятся в золотом сечении друг к другу, соотношение, которое, как заявляет поле, теперь, в действительно впечатляющем предложении по ребрендингу, будет известно как «Коэффициент Pepsi».
Но моя любимая вещь о золотом сечении не имеет ничего общего с пятиугольниками или Пепси. Дело в том, что золотое сечение среди всех иррациональных чисел — это 90 150, самое 90 151 иррациональное.
com/_components/slate-paragraph/instances/ckpo8csnp001u3g6cdqovvd3k@published»> Что это может означать? Либо число является отношением двух целых чисел, либо нет*.Оказывается, есть способы говорить о том, насколько иррационально иррациональное число. В конце концов, тот факт, что такое число, как φ, иррационально, не означает, что рядом с ним нет рациональных дробей. Конечно есть! В конце концов, десятичное расширение — это способ записи дробей, близких к числу:
16/10 = 1,6 (довольно близко)
161/100 = 1,61 (близко)
1,618/1,000 = 1,618 (еще ближе)
Десятичное разложение дает дробь со знаменателем 1000, которая находится в пределах 1/1000 от золотое сечение; если мы допустим, что знаменатель равен 10 000, мы можем получить в пределах 1/10 000 и так далее.
Мы можем сделать лучше, чем десятичные дроби! Помните, что соотношения между числами Фибоначчи также являются дробями, которые все ближе и ближе приближаются к золотому сечению:
8/5 = 1,6
13/8 = 1,625
21/13 = около 1,615
Пройдите дальше по последовательности, и вы получите:
233/144 = 1,6180555555…
… что всего лишь примерно 2 из 100 000 от золотого сечения, что значительно лучше приближения, чем 1,618/ 1000, со значительно меньшим знаменателем.
- Невероятная истерика венчурных капиталистов бросила банк Кремниевой долины
- Почему частное страхование часто отказывается покрывать жизненно важное лечение психических заболеваний
- Считаете ли вы, что «слишком много детей переходят»? Вот Реальность.
- Вот стадионы, которые отслеживают ваше лицо
Некоторые иррациональные образы знаменитостей можно аппроксимировать еще точнее. Цзу Чунчжи, астроном пятого века из Нанкина, заметил, что простая дробь 355/113 невероятно близка к π, всего лишь 2 из 10 миллионов. Он назвал это milü («очень близкое соотношение»).
Книга Зу по математическим методам утеряна, поэтому мы не знаем, как он придумал милю. Но это была не простая находка; прошло 1000 лет, прежде чем это приближение было заново открыто в Индии, еще 100 лет, прежде чем оно стало известно в Европе, и еще столетие после этого, прежде чем было окончательно доказано, что число π на самом деле иррационально.
Один из способов получить представление о том, насколько хорошо число может быть аппроксимировано рациональными числами, — нарисовать рисунок, который я называю «штрих-код». Вот как его сделать: если х — число, посмотрите на первые, скажем, 300 кратных х — х, 2х, 3х, 4х и т. д. — и для каждого из этих кратных сделайте небольшую вертикальную отметку. в его «дробной части», которая является частью числа после запятой. То есть это число от 0 до 1; дробная часть φ, например, составляет около 0,618.
com/_components/slate-paragraph/instances/ckpo8csns00293g6cxbqeshbu@published»> Понял? Возможно нет. Вот пример. Предположим, вы начинаете с рационального числа, например 1/7. Я получаю картинку, которая выглядит как семь тактов; потому что на что бы я ни умножал 1/7, я получаю некоторое количество седьмых, дробная часть которого равна 0, 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7 или 6/7.То же самое для любого рационального числа; мы можем рассматривать все больше и больше множителей, но столбцы будут ограничены конечным набором, равномерно распределенным от 0 до 1.
А как насчет π? Вот его первые 300 множителей:
Много баров.
Но не 300. На самом деле, если бы вы посчитали видимые здесь полосы, вы бы увидели, что их ровно 113. То, что вы видите здесь, является подписью milü. Поскольку число π очень близко к 355/113, его первые триста кратных также очень близки к некоторому числу 113-х, а это означает, что эти столбцы будут оставаться очень близко к числам 0, 1/113, 2/113, ( сделай вид, что я записал все 113 вариантов), и 112/113. Поскольку π не совсем равно милу, его кратные числа не бьют по носу эти дроби; полосы на картинке, которые выглядят немного толще и темнее, на самом деле представляют собой несколько полос, сгруппированных так близко друг к другу, что на странице они выглядят как одна.
Что возвращает нас к золотому сечению. Штрих-код, образованный первыми 300 кратными φ, хорошо распределен, а не сгруппирован, как штрихи π:
com/_components/slate-paragraph/instances/ckpo8enhm003z3g6ceycahgir@published»> Нарисуйте тысячу кратных, и это та же история, только с большим количеством полос:И неважно, сколько кратных золотому сечению я возьму — тысячу, миллиард или больше — эти полосы никогда не выстроятся вдоль небольшого набора равномерно расположенных позиций, как штрих-код рационального числа. , или даже сгруппироваться рядом с этими позициями, как это делает штрих-код для π. Милю для φ не существует.
Вот прекрасный факт, который слишком сложно доказать здесь: вы не найдете каких-либо лучших рациональных приближений к φ, чем те, которые дает последовательность Фибоначчи. На самом деле, таким образом, который можно сделать достаточно точным (но не здесь), φ из всех чисел наименее хорошо аппроксимируется дробями; в этом смысле это самое иррациональное число .