Испытания бернулли: Электронная библиотека БГУ: Invalid Identifier

Содержание

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ИСПЫТАНИЯ. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ (§ 2)

§ 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ИСПЫТАНИЯ. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ.

Предположим, что производится n независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить некоторое событие A. Пусть при каждом испытании вероятность наступления события А равна P(A)=p и, следовательно, вероятность противоположного события (ненаступления А) равна . Определим вероятность Pn(m) того, что событие А произойдет m раз при n испытаниях.

При этом заметим, что наступления или ненаступления события А могут чередоваться различным образом. Условимся записывать возможные результаты испытаний в виде комбинаций букв А и . Например, запись означает, что в четырех испытаниях событие осуществилось в 1-м и 4-м случаях и не осуществилось во 2-м и 3-м случаях.

Всякую комбинацию, в которую А входит m раз и входит n-m

раз, назовем благоприятной.

Количество благоприятных комбинаций равно количеству k способов, которыми можно выбрать m чисел из данных n; таким образом, оно равно числу сочетаний из n элементов по m, т.е.

Подсчитаем вероятности благоприятных комбинаций. Рассмотрим сначала случай, когда событие A происходит в первых m испытаниях и, следовательно, не происходит в остальных n-m испытаниях. Такая благоприятная комбинация имеет следующий вид:

Вероятность этой комбинации в силу независимости испытаний (на основании теоремы умножения вероятностей) составляет

Так как в любой другой благоприятной комбинации Вi событие A встречается также m раз, а событие происходит n-m раз, то вероятность каждой из таких комбинаций также равна . Итак

Все благоприятные комбинации являются, очевидно, несовместными. Поэтому (на основании аксиомы сложения вероятностей)

Следовательно,

(13)

или, так как

, то

(13′)

Формула (13) называется формулой Бернулли *.

Пример 1. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Какова вероятность того, что 8 выстрелов дадут 5 попаданий? (Решение)

Часто необходимо знать, при каком значении m вероятность принимает наибольшее значение, т. е. требуется найти наивероятнейшее число наступления события A в данной серии опытов. Можно доказать, что число должно удовлетворять двойному неравенству

(14)

Заметим, что сегмент [np-q;np+p], в котором лежит , имеет длину (np+p)-(np-q)=p+q=1. Поэтому, если какой-либо из его концов не является целым числом, то между этими концами лежит единственное целое число, и определено однозначно. В том случае, если оба конца — целые числа, имеются два наивероятнейших значения: np-q и np+p.

Пример 2. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель в примере 1. (Решение)

При больших значениях n подсчет вероятностей Pn(m) по формуле (13) связан с громоздкими вычислениями. В этом случае удобнее пользоваться следующей формулой:

(15)

, где (

p не равно нулю и единице), a

Формула (15) выражает так называемую локальную теорему Лапласа **. Точность этой формулы повышается с возрастанием n.

Функция , как мы увидим в дальнейшем, играет очень большую роль в теории вероятностей. Ее значения при различных значениях аргумента приведены в Приложении (см. табл. I).

Пример 3. Игральную кость бросают 80 раз. Определить вероятность того, что цифра 3 появится 20 раз. (Решение)

Дальше…

* Я. Бернулли (1654-1705) — швейцарский математик.
** П. Лаплас (1749—1827) — французский математик и астроном.

Повторение испытаний. Формула Бернулли, Интегральная теорма Лапласа, Локальная теорема Лапласа

Основные понятия теории вероятностей | Основные теоремы | Повторение испытаний.

3. Повторение испытаний

3.1. Формула Бернулли

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события одинакова и равна p () , событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), равна

— Формула Бернулли

, где

Также возможны случаи когда нас будет интересовать появление события А не ровно к раз, а :

· Событие А появится менее k раз

· Событие А появится более k раз

· Событие А появится не менее k раз

· Событие А появится не более k раз

Где каждое из слагаемых находится по формуле Бернулли

3. 2. Локальная и интегральная теоремы Лапласа

При достаточно большом числе испытаний n (в литературе нет четкого значения этого достаточно большого значения, чаще всего встречается при n>30) вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события одинакова и равна p, событие А появится ровно k раз.

, где

Где — функция Лапласа

Данная функция является четной, т.е.

Данная функция табулирована, т.е. ее значения занесены в таблицу.

Вероятность того, что события А появится в диапазоне от до раз необходимо находить сложением каждой вероятности, то при большой разнице между и данная операция представляется достаточно ресурсоёмкой. В таком случае необходимо использовать интегральную теорему Лапласа:

Если вероятность p наступления события а в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что события А появится в n испытаниях от до раз, приближенно равна

, где ;

— функция Лапласа.

Интеграл не выражается через элементарные функции, т.е. является «не берущимся».

Функция является нечётной

Данная функция также табулирована.

3.3. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Вероятность того, что в n испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (), абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от вероятности появления события не превысит положительного числа , приближенно равна

Где:

— функция Лапласа.

Интеграл не выражается через элементарные функции, т.е. является «не берущимся».

Функция является нечётной

Данная функция табулирована.

3. 4. Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях

Число , наступления события А в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна p, называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие А наступит в этих испытаниях ровно раз, не меньше вероятности остальных возможных исходов испытания. Наивероятнейшее число определяют по формуле

При вычислениях следует помнить, что — натуральное число или нуль.

Испытаний Бернулли: Определение, Примеры — Статистика Как

Распределение Бернулли >

Что такое Испытания Бернулли?

Подбрасывание монеты — это испытание Бернулли с вероятностью выпадения орла = 0,5.
Испытание Бернулли — это эксперимент с двумя возможными исходами: успех или неудача. «Успех» в одном из этих испытаний означает, что вы получаете результат, который измеряете.

Например:

Если вы подбросите монету 100 раз, чтобы узнать, сколько выпало орла, то Успех равен 9.0015 получает решку , а Неудача — это получает решку .
Возможно, вы захотите узнать, сколько девочек рождается каждый день, поэтому рождение девочки — это Успех, а рождение мальчика — Неудача.
Вы хотите найти вероятность того, что при игре в кости выпадет двойная шестерка. Двойной бросок шести кубиков = Успех, все остальное = Неудача.

Обратите внимание, что «Успех» не имеет традиционного значения триумфа или процветания. В контексте испытаний Бернулли это просто способ считая интересующий вас результат . Например, вам может понадобиться узнать, сколько студентов неправильно ответили на последний вопрос теста. Поскольку вы измеряете количество неправильных ответов, «Успех» — это

неверных ответов , а «Неудача» — правильных ответов . Конечно, это может сбивать с толку, поэтому ничто не мешает вам изменить свою гипотезу, чтобы вы измеряли количество правильных ответов, а не неправильных.

Распределение вероятностей для испытаний Бернулли

Испытания Бернулли являются частным случаем i.i.d. испытания; Испытания i.i.d. если все случайные величины в испытаниях имеют одинаковое распределение вероятностей.

Распределение вероятностей для испытания Бернулли задается биномиальным распределением вероятностей:

Где:

! факториал,
х — количество успехов,
n — количество испытаний.

Вероятность распределения Бернулли и PDF

Посмотрите это видео на YouTube.

Предположения для испытаний Бернулли

Три предположения для испытаний Бернулли:

Каждое испытание имеет два возможных исхода: Успех или Неудача. Нас интересует количество успехов X (X = 0, 1, 2, 3,…).
Вероятность успеха (и неудачи) постоянна для каждого испытания; a «Успех» обозначается буквой p , а «Неудача» — q = 1 − p .
Каждое испытание является независимым; Исход предыдущих испытаний не влияет на последующие испытания.

Выборка в статистике > Выборка Бернулли

Выборка Бернулли представляет собой равновероятностную без замены плана выборки . В этом методе независимые испытания Бернулли на членах популяции определяют, какие члены становятся частью выборки. Все участники имеют равные шансы попасть в выборку. Размеры выборки в выборке Бернулли не фиксированы, поскольку каждый член выборки рассматривается отдельно. Метод был впервые предложен статистиком Лео Гудманом в 1919 г.49, как «биномиальная выборка».

Размер выборки соответствует биномиальному распределению и может принимать любое значение от 0 до N (где N — размер выборки). Если π — это вероятность того, что член будет выбран, то ожидаемое значение (EV) для размера выборки равно πN. например, допустим, у вас размер выборки 100 и вероятность выбора любого одного элемента равна 0,1, тогда EV будет 0,1 * 100 = 10. Однако теоретически выборка может быть где угодно от 0 до 100.

Пример выборки Бернулли : У исследователя есть список из 1000 кандидатов на клинические испытания. Он хочет получить обзор кандидатов и поэтому решает взять образец Бернулли, чтобы сузить поле. Для каждого кандидата он бросает кубик: если выпадает 1, кандидат попадает в стопку для дальнейшего анализа. Если это любое другое число, оно попадает в другую стопку, на которую не смотрят. EV для размера выборки составляет 1/6 * 1000 = 167.

Преимущество перед выборкой Бернулли состоит в том, что это один из самых простых методов выборки. Один 9Недостаток 0010 заключается в том, что вначале неизвестно, насколько велика выборка.

В SAS: Выборка Бернулли задается с помощью METHOD=BERNOULLI. Частота дискретизации задается опцией SAMPRATE=.

В R : S.BE(N, prob) выберет выборку из совокупности размером N с вероятностью prob . Например (UPenn):

# Вектор U содержит метку совокупности размером N=5
U Распределение Бернулли

A Распределение Бернулли — это вероятность того, что эксперимент даст определенный результат. Это биномиальное распределение с одним событием (n = 1).
Бросок кубика может иметь распределение Бернулли.
Есть две переменные в распределении Бернулли: n и p.

«n» означает, сколько раз повторяется эксперимент. В Бернулли n = 1,
«p» — это вероятность наступления определенного исхода. Например, при бросании кубика выпадает шестерка с вероятностью 1/6. Распределение Бернулли для кубика, приземлившегося на нечетное число, будет p = 1/2.

Бернулли и биномиальное распределение часто путают друг с другом. Однако разница между ними достаточно мала, чтобы их можно было использовать взаимозаменяемо. Технически распределение Бернулли является биномиальным распределением с n = 1.

Распределение Бернулли представляет собой испытание Бернулли, в котором есть либо (S)успех, либо (F)неудача.

Испытание Бернулли

Распределение Бернулли — это испытание Бернулли . Каждое испытание Бернулли имеет единственный исход, выбранный из S, что означает успех, или F, что означает неудачу. Например, вы можете попытаться найти место для парковки. Вы либо добьетесь успеха, либо потерпите неудачу. Многие реальные жизненные ситуации могут быть упрощены либо до успеха, либо до неудачи, которые могут быть представлены распределениями Бернулли.

Ссылки

Evans, M.; Гастингс, Н.; и Пикок, Б. «Распределение Бернулли». Ч. 4 в Статистических распределениях, 3-е изд. Нью-Йорк: Wiley, стр. 31-33, 2000.
UPenn. Получено 1 апреля 2020 г. с: http://finzi.psych.upenn.edu/library/TeachingSampling/html/S.BE.html
Государственный университет Говернорса. Общий ППТ.

УКАЗЫВАЙТЕ ЭТО КАК:
Стефани Глен . «Испытания Бернулли: определение, примеры» от StatisticsHowTo.com : Элементарная статистика для всех нас! https://www. statisticshowto.com/bernoulli-trials/

————————————————— ————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, Свяжитесь с нами .

испытаний Бернулли — формулы, распределение, вероятность, примеры

Испытания Бернулли — это случайные эксперименты с вероятностью, возможные исходы которых бывают только двух типов, такие как успех и неудача, да и нет, Истина и Ложь и т. д. Кроме того, для испытаний Бернулли вероятность каждого исхода остается неизменной при каждом испытания, т. е. каждый исход независим от другого. Процесс выполнения испытаний Бернулли называется процессом Бернулли. Он был назван в честь швейцарского математика по имени Джеймс Бернулли из-за его значительного вклада в области теории вероятностей.

Давайте разберемся с концепцией испытаний Бернулли, их условием и распределением Бернулли вместе с его формулой вероятности. Мы также решим несколько примеров для лучшего понимания концепции.

1.	Что такое испытания Бернулли?
2.	Условия испытаний Бернулли
3.	Распределение Бернулли
4.	Формулы испытаний Бернулли
5.	Часто задаваемые вопросы об испытаниях Бернулли

Что такое испытания Бернулли?

Вероятностные испытания Бернулли — это случайные эксперименты с ровно двумя исходами. Реальный пример испытания Бернулли — будет ли сегодня дождь или нет. Теперь единственными возможными исходами являются «Да» и «Нет», и они не зависят друг от друга. Как правило, результаты испытания Бернулли бывают успешными и неудачными. Вероятность успеха обозначается «p», тогда как вероятность неудачи обозначается как 1 — p = q. Несколько других примеров испытаний Бетернулли:

Если новорожденный ребенок девочка или мальчик?
Десятая карта хорошо перетасованной колоды – туз. Возможные результаты: Да и Нет.
Событие подбрасывания монеты. Возможны только два исхода: орел и решка.
Бросание игральной кости, где «1» означает «успех», все остальные числа считаются «неудачей»

Условия испытаний Бернулли

Теперь, когда мы знаем смысл испытания Бернулли, давайте разберемся в необходимых для него условиях. Ниже приводится список условий для испытаний Бернулли:

Количество попыток должно быть ограничено.
Каждое испытание должно быть независимым.
Каждое испытание должно иметь только два возможных исхода — успех и провал.
Вероятность каждого исхода должна быть одинаковой во всех испытаниях.

Распределение Бернулли

Распределение Бернулли — это дискретное распределение вероятностей случайной величины Бернулли, которая принимает значение 1 с вероятностью p и значение 0, когда вероятность равна 1-p = q. Случайная величина — это функция с действительным знаком, областью определения которой является выборочное пространство случайного эксперимента. Это распределение имеет только два исхода — успех/неудача, истина/ложь, да/нет и т. д. Вероятность успеха равна p, а вероятность неудачи равна 1 — p = q. Примером распределения Бернулли является подбрасывание монеты, где есть ровно два возможных исхода — орел и решка.

Формулы испытаний Бернулли

Ниже приведены некоторые важные формулы, относящиеся к испытаниям Бернулли:

Р(х = 1) = р, Р(х = 0) = 1 — р = q
Если X — количество успехов в биномиальном эксперименте с n независимыми испытаниями, то
P(X = k) = ⁿ C _k p ^k q ^n-k , где p — вероятность успеха, а q — вероятность отказа.
Функция массы вероятности PMF для распределения Бернулли (когда n = 1 в биномиальном распределении), где z — случайная величина, а p — вероятность успеха
f(z, p) = {p, если z = 1 и q = 1 — p, если z = 0}
ИЛИ
f(z, p) = p ^z (1 — p) ^1-z , для z = 0, 1
ИЛИ
f(z, p) = pz + (1 — p)(1 — z), при z = 0, 1
среднее (ожидаемое значение) случайной величины Бернулли X равно
Е(Х) = р
Дисперсия случайной величины Бернулли X равна
Var[X] = p(1 — p) = pq

Важные замечания по испытаниям Бернулли

Испытания Бернулли имеют только два возможных исхода.
Два возможных результата не зависят друг от друга.
Вероятность успеха равна p, а вероятность неудачи равна 1 — p = q.
Вероятность каждого исхода в каждом испытании Бернулли остается неизменной.

Темы, связанные с испытаниями Бернулли

Вероятность
Нормальное распределение
Биномиальное распределение

Примеры испытаний Бернулли

Пример 1: Джеймс вытягивает шары 5 раз из мешка с 10 шарами, в котором есть 5 красных и 5 зеленых шаров с возвратом. Проверьте, не является ли это примером испытаний Бернулли.
Решение: Нам нужно проверить, выполняются ли все условия испытаний Бернулли.
Джеймс вытаскивает мяч 5 раз, то есть количество попыток равно 5, что конечно.
Поскольку мяч заменен, каждое испытание независимо.
Возможны только два исхода — красный и зеленый
Вероятность вытащить красный шар = вероятность вытащить зеленый шар = 5/10 = 1/2
Отсюда следует, что все условия испытаний Бернулли выполнены.
Ответ: Данный пример является экспериментом Бернулли.
Пример 2: Футболист 7 независимых штрафных бросков с вероятностью 0,6 забить гол при каждом броске. Определить количество попыток и вероятность не забить гол в каждом броске.
Решение: Данный случай является примером испытаний Бернулли, так как число испытаний равно 7, что конечно.
Возможны только два исхода — забить гол и не забить.
Каждое испытание не зависит от другого и вероятность достижения цели = 0,6 = Вероятность успеха
⇒ Вероятность недостижения цели = Вероятность неудачи = 1 — 0,6 = 0,4
Ответ: Количество 7 попыток, а вероятность не забить гол в каждом броске 0,4.

перейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

Вопросы по испытаниям Бернулли

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы об испытаниях Бернулли

Что такое испытания Бернулли в теории вероятностей?

Сколько испытаний в испытаниях Бернулли?

Количество испытаний в испытаниях Бернулли конечно.

Какая связь между распределением Бернулли и биномиальным распределением?

Несколько испытаний Бернулли составляют биномиальный эксперимент. Итак, когда значение n (количество испытаний) равно 1 в биномиальном распределении, оно называется распределением Бернулли.

Как определить испытания Бернулли?

Если испытания удовлетворяют следующим условиям, то они называются испытаниями Бернулли:

Количество попыток должно быть ограничено.
Каждое испытание должно быть независимым.
Каждое испытание должно иметь только два возможных исхода — успех и провал.
Вероятность каждого исхода должна быть одинаковой во всех испытаниях.

Является ли бросание игральной кости испытанием Бернулли?

Бросание игральной кости является испытанием Бернулли, только если одно число из шести исходов разбито на два возможных исхода только как успех и неудача.