Исследование функции и построение графика 10 класс примеры: Математическое Бюро. Страница 404

Содержание

Урок 20. построение графиков функций - Алгебра и начала математического анализа - 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №20. Построение графиков функций.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

  1. Исследование функций;
  2. Построение графиков функций;
  3. Применение производной для решения графических задач.

Глоссарий по теме

Асимптота графика функции y = f(x) – прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Возрастание функции. Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых х1и х2, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Выпуклость вверх. Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.

Выпуклость вниз. Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

Максимум функции. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции.

Минимум функции. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции.

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).

Производная второго порядка (вторая производная). Производная второго порядка есть первая производная от производной первого порядка.

Производную определяют, как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к 0, если такой предел существует.

Точка максимума функции. Точку х0называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  .

Точка минимума функции. Точку  х0 называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  .

Точка перегиба. Точки, в которых выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз или наоборот, называются точками перегиба.

Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.

Убывание функции. Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых х1 и х2 , из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит

вышепроведенного отрезка.

Полная схема построения графика функции:

  1. Найти область определения функции D(f).
  2. Исследовать функцию на четность (найти f(-x)).
  3. Найти асимптоты.
  4. Найти стационарные и критические точки.
  5. Найти промежутки монотонности.
  6. Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз.
  7. Найти точки перегиба
  8. Составить таблицу значений функции для некоторых точек.
  9. По полученным данным построить график функции.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Постройте график функции у = х3 – 3х + 3, используя краткую схему построения. схему построения.

Решение:

1) D(y) = (-∞; +∞)

2) Функция не является ни четной, ни нечетной, т. к.

3) Асимптот нет

4) f’(x) = 3x2 – 3, f’(x) = 0 при х = 1, х = -1.

х = 1, х = -1 – стационарные точки.

5) f’(x)>0 при . Так как в точках х = 1, х = -1 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки возрастания.

f’(x)<0 при . Так как в точках х = 1, х = -1 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки убывания.

6) Так как в точке х = -1 производная меняет знак с «+» на «-», то х = -1 – точка максимума.

Так как в точке х = 1 производная меняет знак с «-» на «+», то х = 1 – точка минимума.

7) Результаты исследования представим в виде таблицы.

x

(-∞; -1)

-1

(-1; 1)

1

(1; +∞)

f’(x)

+

0

-

0

+

f(x)

5

1

max

min

8) Координаты некоторых точек:

9) По полученным данным строим график (рис. 1)

Рисунок 1 – график функции у = х3 – 3х + 3

Пример 2. Постройте график функции, используя подробную схему построения. схему построения.

Решение:

1)

2) Функция не является ни четной, ни нечетной, т. к.

3) х = 1 – вертикальная асимптота

4) , f’(x) = 0 при х = 2, х = 0.

х = 2, х = 0 – стационарные точки.

5) f’(x)>0 при . Так как в точках х = 0, х = 2 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки возрастания.

f’(x)<0 при . Так как в точках х = 0, х = 2 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки убывания.

Так как в точке х = 0 производная меняет знак с «+» на «-», то х = 0 – точка максимума.

Так как в точке х = 2 производная меняет знак с «-» на «+», то х = 2 – точка минимума.

х = 1 – не является точкой экстремума

6) Найдем интервалы выпуклости функции.

; при функция выпукла вверх.

; при функция выпукла вниз.

7) Результаты исследования представим в виде таблицы.

x

(-∞; 0)

0

(0; 1)

1

(1; 2)

2

(2; +∞)

f’(x)

+

0

-

Не сущ.

-

0

+

f’’(x)

-

-

Не сущ.

+

+

f(x)

-4

Не сущ.

0

max

min

8) Координаты некоторых точек:

x

-1

0,5

1,5

3

f(x)

-4,5

-4,5

0,5

0,5

9) По полученным данным строим график (рис. 2)

Рисунок 2 – график функции

Построение графиков функций — урок. Алгебра, 10 класс.

построить график функции y=x2&plus;4x2−4.

Решение 1. Обозначим: f(x)=x2&plus;4x2−4. Область определения этой функции: D(f)=(−∞;−2)∪(−2;2)∪(2;&plus;∞), так как x≠2,x≠−2.

2. Проведём исследование функции на чётность/нечётность:

f(−x)=−x2&plus;4−x2−4=x2&plus;4x2−4=f(x).

Функция чётная. Следовательно, можно построить ветви графика функции для x≥0 и отобразить их симметрично относительно оси ординат.

3. Определим асимптоты. Вертикальная асимптота: прямая \(x=1\), т. к. при \(x=1\) знаменатель дроби равен нулю, а числитель при этом не равен нулю. Для определения горизонтальной асимптоты вычисляем limx→∞f(x):

limx→∞x2&plus;4x2−4=limx→∞x2x2&plus;4x2x2x2−4x2=limx→∞1&plus;4x21−4x2=1.

 Следовательно, \(y=1\) — горизонтальная асимптота.

4. Определим стационарные и критические точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции:

y′=x2&plus;4x2−4′=(x2&plus;4)′⋅(x2−4)−(x2&plus;4)⋅(x2−4)′x2−42=2x⋅(x2−4)−(x2&plus;4)⋅2xx2−42=2x3−8x−2x3−8xx2−42==−16xx2−42.

Производная существует на всей области определения функции, следовательно, критических точек у функции нет.

Стационарные точки определим из уравнения y′=0. Получаем: \(-16x=0\) — откуда получаем, что \(x=0\). При \(x<0\) имеем: y′>0; при \(x>0\) имеем: y′<0. Таким образом, в точке \(x=0\) функция имеет максимум, причём ymax=f(0)=02&plus;402−4=−1.

При \(x>0\) имеем: y′<0. Учитывая точку разрыва \(x=2\), делаем вывод: функция убывает на промежутках 0;2) и (2;&plus;∞).

5. Найдём несколько точек, принадлежащих графику функции f(x)=x2&plus;4x2−4 при x≥0:

\(x\)

\(0\)

\(0.5\)

\(1\)

\(3\)

\(4\)

\(y\)

\(-1\)

−1715

−53

135

53

 

6. Сначала нарисуем часть графика при x≥0, потом — часть, симметричную ей относительно оси \(y\). Полученный график имеет точку максимума \((0;-2)\), горизонтальную асимптоту \(y=1\) и вертикальную асимптоту \(x=2\).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Общая схема исследования и построения графика функции: алгоритм, примеры

п.1. Алгоритм исследования и построения графика функции

1. Найти область определения функции, классифицировать точки разрыва
2. Исследовать функцию на четность и периодичность
3. Провести анализ асимптотического поведения функции (наличие вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот) (см. §41 данного справочника)
4. Взять первую производную. Определить критические точки, интервалы монотонности, точки экстремума

5.2-18x+7=0 $$ У кубической параболы точка максимума (-1;17), точка минимума (3;-47).
Т.к. \(y_{max}\gt 0,\ y_{min}\lt 0\) кубическая парабола пересекает ось OX в трех точках: $$ x_1\lt -1,\ \ -1\lt x_2\lt 3,\ \ x_3\gt 3 $$
7) График

Пример 2. Постройте график функции \(y=\frac3x+\frac x3\)
1) Область определения
ОДЗ: \(x\ne 0\)
\(x=0\) - точка разрыва. Исследуем односторонние пределы: \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow -0}\left(\frac 3x+\frac x3\right)=\frac{3}{-0}+0=-\infty,\ \ \lim_{x\rightarrow +0}\left(\frac 3x+\frac x3\right)=\frac{3}{+0}+0=+\infty \end{gather*} Пределы не равны и бесконечны. \(x=0\) - точка разрыва 2-го рода.

2) Четность $$ f(-x)=\frac{3}{-x}+\frac{-x}{3}=-\left(\frac 3x+\frac x3\right)=-f(x) $$ Функция нечётная.
Периодов нет. Функция не периодическая.

3) Асимптоты
1. Вертикальная асимптота \(x=0\) – точка разрыва 2-го рода
2. Горизонтальные асимптоты \begin{gather*} b_1=\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\frac 3x+\frac x3\right)=0+(-\infty)=-\infty\\ b_2=\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\frac 3x+\frac x3\right)=0+(+\infty)=+\infty \end{gather*} Пределы бесконечны, горизонтальных асимптот нет.2-4\cdot (-8)=33,\ \ x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{33}}{2}= \left[ \begin{array}{l} \approx -3,37\\ \approx 2,37 \end{array} \right.\\ f''(x)=0,\ \text{при}\ x=x_{1,2} \end{gather*} Критические точки 2-го порядка: \(x=\left\{1;\frac{-1\pm \sqrt{33}}{2}\right\}\)

\(x\) \((-\infty;x_1)\) \(x_1\) \((x_1;1)\) 1 \((1;x_2)\) \(x_2\) \((x_2;+\infty)\)
\(f''(x)\) <0 0 >0 \(\varnothing\) <0 0 >0
\(f(x)\) \(\cap\) перегиб \(\cup\) \(\varnothing\) \(\cap\) перегиб \(\cup\)

Функция выпуклая вверх при \(x\in(-\infty;x_1)\cup(1;x_2)\)
Функция выпуклая вниз при \(x\in(x_1;1)\cup (x_2;++\infty)\)
Точки перегиба: $$ \begin{cases} x=\frac{-1-\sqrt{33}}{2}\approx -3,37\\ y\approx 0,51 \end{cases},\ \ \begin{cases} x=\frac{-1+\sqrt{33}}{2}\approx 2,37\\ y\approx 3,62 \end{cases} $$
6) Точки пересечения с осями

Пересечение с OY: \(x=0,\ y=\frac{0^3-4}{(0-1)^3}=4\)
Пересечение с осью OX:
\(\frac{x^3-4}{(x-1)^3}=0\Rightarrow x=\sqrt[3]{4},\ y=0\)

7) График

Чтобы узнать количество корней уравнения \(\frac{x^3-4}{(x-1)^3}=a\), нужно снизу вверх двигать горизонталь \(y=a\) и считать количество точек её пересечения с графиком функции.2 2x}{2}=\\ =\frac12\left(1+\frac{1+cos4x}{2}\right)=\frac{3+cos4x}{4} \end{gather*} Функция периодическая с периодом \(T=\frac{2\pi}{4}=\frac \pi 2\)
Исходя из полученного выражения и применяя правила преобразования графиков тригонометрических функций (см. §8 данного справочника), можно сразу получить результат. $$ y=\frac{3+cos4x}{4}=\frac34+\frac14 cos4x $$ Цепочка преобразований: $$ x \xrightarrow1 4x\xrightarrow2 cos4x \xrightarrow3 \frac14\xrightarrow4 \frac34+\frac14 cos4x $$ Пошагово получаем:
1. Умножение аргумента на 4 приводит к уменьшению периода в 4 раза \(T=\frac\pi 2\)
2. Косинус – функция четная, при \(x=0,\ cos⁡4x=1\), остальные единицы будут через период: \(x=\frac{\pi k}{2},\ cos⁡4x=1\). Соответственно: \(x=\frac\pi 4+\frac{\pi k}{2}0\ ,cos⁡4x=-1\).
Нули функции: \(x=\frac\pi 8+\frac{\pi k}{4},\ cos⁡4x=0\).
3. Умножение на \(\frac14\) уменьшает амплитуду косинусоиды в 4 раза: \(-\frac14\leq\frac14 cos4x\leq \frac14\)
4. Прибавление \(\frac34\) перемещает график на \(\frac34\) вверх: \(\frac12\leq\frac34+\frac14 cos4x\leq 1\)

Получаем график:

Продолжим стандартное исследование функции.4 x)'=\left(\frac{3+cos4x}{4}\right)'=0-\frac14\cdot 4\cdot sin4x=-sin4x\\ sin4x=0\Rightarrow 4x=\pi k\Rightarrow x=\frac{\pi k}{4} \end{gather*} Критические точки: \(x=\frac{\pi k}{4}\). На периоде \(T=\frac\pi 2\) получаем три точки \(x=\left\{0;\frac\pi 4;\frac\pi 2\right\}\)

\(x\) 0 \(\left(0;\frac\pi 4\right)\) \(\frac\pi 4\) \(\left(\frac\pi 4;\frac\pi 2\right)\) \(\frac\pi 2\)
\(f'(x)\) 0 <0 0 >0 0
\(f(x)\) 1
max
\(\searrow\) \(\frac12\)
min
\(\nearrow\) 1
max

Функция убывает при \(x\in\left(\frac{\pi k}{2};\frac\pi 4+\frac{\pi k}{2}\right)\)
Функция возрастает при \(x\in\left(\frac\pi 4+\frac{\pi k}{2};\frac\pi 2+\frac{\pi k}{2}\right)\)
Точки минимума \(x=\frac\pi 4+\frac{\pi k}{2};\ y_{min}=\frac12\)
Точки максимума \(x=\frac{\pi k}{2};\ y_{max}=1\)

5) Вторая производная: \begin{gather*} f''(x)=(-sin4x)'=-4cos4x\\ cos4x=0\Rightarrow 4x=\frac\pi 2+\pi k\Rightarrow x=\frac\pi 8+\frac{\pi k}{4} \end{gather*} Критические точки 2-го порядка: \(x=\frac\pi 8+\frac{\pi k}{4}\).
На периоде \(T=\frac\pi 2\) получаем две точки \(x=\left\{\frac\pi 8;\frac{3\pi}{8}\right\}\)

\(x\) \(\left(0;\frac\pi 8\right)\) \(\frac\pi 8\) \(\left(\frac\pi 8;\frac{3\pi}{8}\right)\) \(\frac{3\pi}{8}\) \(\left(\frac{3\pi}{8};\frac\pi 2\right)\)
\(f''(x)\) <0 0 >0 0 <0
\(f(x)\) \(\cap\) перегиб \(\cup\) перегиб \(\cap\)

Функция выпуклая вниз при \(x\in\left(\frac\pi 8+\frac{\pi k}{2};\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}\right)\)
Функция выпуклая вверх при \(x\in\left(-\frac\pi 8+\frac{\pi k}{2};\frac\pi 8+\frac{\pi k}{2}\right)\)
Точки перегиба: \( x=\frac\pi 8+\frac{\pi k}{4},\ y=\frac{3+cos4\cdot \left(\frac\pi 8+\frac{\pi k}{4}\right)}{4}=\frac{3+0}{4}=\frac34 \)

6) Точки пересечения с осями
Пересечение с OY: \(x=0,\ y_{max}=1\)
Пересечение с осью OX: т.к. функция ограничена \(\frac12\leq y\leq 1\), пересечений с OX нет.

7) График

График тот же, что и полученный с помощью правил преобразований графиков тригонометрических функций. Добавились только точки перегиба.

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике - Элементы математического анализа

Схема исследования поведения функций, применяемая для построения графиков функций

      Для построения графика функции   y = f (x)   желательно сначала провести исследование поведения функции   y = f (x)   по следующей схеме.

  1. Найти область определения   D ( f ).

  2. Выяснить, является ли функция   y = f (x)   четной или нечетной.

  3. Выяснить, является ли функция   y = f (x)  периодической.

  4. Найти асимптоты графика функции.

  5. Вычислить производную функции   f ' (x) .

  6. Найти критические точки функции   y = f (x) .

  7. Найти интервалы возрастания и убывания функции   y = f (x) .

  8. Найти экстремумы функции   y = f (x) .

  9. Найти точки пересечения графика функции   y = f (x)   с осями координат.

    Если не удается точно найти нули функции, то есть точки, в которых график функции пересекает ось абсцисс   Ox,   то нужно попытаться найти интервалы, на которых нули функции располагаются. Часто эти интервалы удается найти, зная точки максимума и минимума функции.

  10. Вычислить вторую производную функции   f "  (x) .

  11. Найти интервалы, на которых функция   y = f (x)   выпукла вверх, а также интервалы, на которых функция   y = f (x)  выпукла вниз.

  12. Найти точки перегиба графика функции  y = f (x) .

      Замечание. Желательно рисовать схему поведения функции параллельно с проведением исследования свойств функции по описанному выше плану.

Примеры построения графиков функций

      Пример 1. Построить график функции

y = x3 + 8x2 + 16x + 128(1)

      Решение. Областью определения функции (1) является вся числовая прямая.

      Функция (1) не является ни четной, ни нечетной.

      Функция (1) не является периодической.

      Вертикальных асимптот у графика функции (1) нет, так как для любого числа   x0

     Проверим, есть ли у графика функции (1) наклонные асимптоты. Поскольку

то делаем вывод, что наклонных асимптот у графика функции (1) нет.

      Теперь вычислим производную функции (1):

y' (x) = 3x2 + 16x + 16 .

      Поскольку   y' (x)   существует для всех , то все критические точки функции являются ее стационарными точками, то есть точками, в которых

y' (x) = 0 .

      Найдем стационарные точки функции (1), интервалы, на которых   y' (x)   сохраняет знак, а также экстремумы функции. Для этого решим квадратное уравнение

3x2 + 16x + 16 = 0.

      Изобразим на рисунке 1 диаграмму знаков производной   y' (x)

Рис.1

      На интервалах и производная   y' (x)   положительна, значит, функция (1) возрастает. На интервале производная   y' (x)   отрицательна, значит, функция (1) убывает. Схематически поведение функции (1) изображено на рисунке 2.

Рис.2

      При переходе через точку   x = – 4   производная функции   y' (x)   меняет знак с   «+»   на   «–» . Следовательно, точка   x = – 4   является точкой максимума функции (1). При переходе через точку производная функции   y' (x)   меняет знак с   «–»   на   «+» . Следовательно, точка является точкой минимума функции (1).

      Найдем значения функции (1) в стационарных точках:

y (–4) = 256 ,

     Теперь вычислим вторую производную функции (1):

y" (x) = (y' (x))' = (3x2 + 16x + 16)' = 6x + 16 .

y" (x) = (y' (x))' =
= (3x2 + 16x + 16)' =
= 6x + 16 .

     Вторая производная   y" (x)   обращается в нуль при . Изобразим на рисунке 3 диаграмму знаков второй производной   y" (x)

Рис.3

      При переходе через точку вторая производная функции   y" (x)   меняет знак с   «–»   на   «+» . Следовательно, – точка перегиба графика функции (1). При функция (1) выпукла вверх, при функция (1) выпукла вниз.

      Дополним схему поведения функции, представленную на рисунке 2, новыми данными о направлении выпуклости функции (рис. 4).

Рис.4

      Для того, чтобы найти точки пересечения функции (1) с осью   Ox ,   решим уравнение

x3 + 8x2 + 16x + 128 = 0 ,

x2 (x + 8) + 16 (x + 8) = 0 ,

(x + 8) (x2 + 16) = 0 .

      Таким образом, точка   (– 8; 0)   является единственной точкой пересечения графика функции (1) с осью   Ox .   Точкой пересечения графика функции (1) с осью   Oy   будет точка   (0; 128) .

      На схеме поведения функции, представленной на рисунке 4, добавим информацию о знаках функции (1) (рис. 5).

Рис.5

     Принимая во внимание результаты исследования поведения функции (1) (большая часть данных компактно представлена на рисунке 5), мы можем построить график функции (1) (рис.6):

Рис.6

      Пример 2. Построить график функции

(2)

      Решение. Областью определения функции (2) является вся числовая прямая, за исключением точки   x = 0 ,   то есть .

      Функция (2) не является ни четной, ни нечетной.

      Функция (2) не является периодической.

      Прямая   x = 0   является вертикальной асимптотой графика функции (2), так как

      Для того, чтобы выяснить, имеются ли у графика функции (2) наклонные асимптоты, представим правую часть формулы (2) в другом виде:

(3)

      Из формулы (3) получаем равенство

откуда вытекает, что прямая

y = x + 3

является наклонной асимптотой графика функции (2), как при , так и при .

      Теперь вычислим производную функции (2). Проще всего это сделать, воспользовавшись формулой (3):

(4)

      Для того, чтобы найти стационарные точки функции (2), преобразуем правую часть формулы (4):

      Следовательно,

(5)

и стационарными точками функции (2) являются точки   x = – 1   и   x = 2 .   Поскольку   y' (x)   не существует при   x = 0 ,   то критическими точками функции (2) являются точки

x = – 1 ,   x = 0,   x = 2 .

      Изобразим на рисунке 7 диаграмму знаков производной   y' (x)

Рис.7

      На интервалах , и производная   y' (x)   положительна, значит, функция (2) возрастает на этих интервалах. На интервале   (0, 2)   производная   y' (x)   отрицательна, значит, функция (2) убывает на этом интервале. Схематически поведение функции (2) изображено на рисунке 8.

Рис.8

      При переходе через точку   x = – 1   производная функции   y' (x)   знак не меняет, значит, в этой точке экстремума нет. При переходе через точку   x = 2   производная функции   y' (x)   меняет знак с   «–»   на   «+» .   Следовательно, точка   x = 2   является точкой минимума функции (2).

      Найдем значения функции (1) в стационарных точках:

y (–1) = 0 ,

     Теперь перейдем к вычислению второй производной функции (2). Проще всего это сделать, воспользовавшись формулой (4):

      Вторая производная   y" (x)   обращается в нуль при   x = – 1 .   Изобразим на рисунке 9 диаграмму знаков второй производной   y" (x)

Рис.9

      При переходе через точку   x = – 1   вторая производная функции   y" (x)   меняет знак с   «–»   на   «+» . Следовательно,   x = – 1   – точка перегиба графика функции (2). При   x < – 1   функция (2) выпукла вверх, при   x > – 1   функция (2) выпукла вниз.

      Дополним схему поведения функции, представленную на рисунке 8, данными о направлении выпуклости функции (рис. 10).

Рис.10

      Найдем точки пересечения функции (2) с осями координат: точка   (– 1; 0)   является единственной точкой пересечения графика функции (2) с осью   Ox ,   а точек пересечения графика функции (2) с осью   Oy   нет, поскольку   x = 0   не входит в область определения функции (2).

      На схеме поведения функции, представленной на рисунке 10, добавим информацию о знаках функции (2) (рис. 11).

Рис.11

     Принимая во внимание результаты исследования поведения функции (2) (большая часть данных компактно представлена на схеме рисунка 11), мы можем построить график функции (2) (рис.12):

Рис.12

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Примеры исследования функций - rajak.rs

Алгоритм исследования функции состоит из следующих шагов.

  1. Нахождения области определения функции.
  2. Нахождения области значений функции.
  3. Исследования функции на четность или нечетность и периодичность.
  4. Нахождения асимптот.
  5. Нахождения нулей функции.
  6. Знака,
  7. Нахождения промежутков возрастания и убывания функции, точек экстремума.
  8. Нахождения промежутков выпуклости и вогнутости функции и точек перегиба.2} - 1 = 0$. 
    Тогда

    ${x_1} =  - 1$ , ${x_2} =  - \frac{1}{2}$, ${x_3} =  - \frac{1}{2}$, ${x_4} = 1$

    $x$ $\left( { - \infty , - 1} \right)$ $ - 1$ $\left( { - 1, - \frac{1}{2}} \right)$ $ - \frac{1}{2}$ $\left( { - \frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right)$
    $y`$ - $0$ + $0$ -
    $y$ $ \searrow $ 2 $ \nearrow $ $\frac{{19}}{4}$ $ \searrow $
    вывод   $min$   $max$  

    $x$ $\frac{1}{2}$ $\left( {\frac{1}{2},1} \right)$ $1$ $\left( {1, + \infty } \right)$
    $y`$ $0$ $+$ $0$ $-$
    $y$ $ - \frac{{19}}{4}$ $ \nearrow $ $-2$ $ \searrow $
    вывод $min$   $max$  
  9. $y`` =  - 240{x^3} + 150x$.2} + 5} \right) = 0$ , тј. ${x_1} =  - \frac{{\sqrt {10} }}{4}$, ${x_2} = 0$, ${x_3} = \frac{{\sqrt {10} }}{4}$.
    $x$ $\left( { - \infty ,\frac{{\sqrt {10} }}{4}} \right)$ $ - \frac{{\sqrt {10} }}{4}$ $\left( { - \frac{{\sqrt {10} }}{4},0} \right)$ $0$
    $y`$ $+$ $0$ $-$ $0$
    $y$ $ \cup $ $\frac{{65\sqrt {10} }}{{64}}$ $ \cap $ $0$
    вывод   т. перегиба     
     
    $x$ $\left( {0,\frac{{\sqrt {10} }}{4}} \right)$ $\frac{{\sqrt {10} }}{4}$ $\left( {\frac{{\sqrt {10} }}{4}, + \infty } \right)$
    $y``$  $+$ $0$  $-$ 
    $y$ $ \cup $ $ - \frac{{65\sqrt {10} }}{{64}}$  $ \cap $
    вывод   т.2} - 2x - 5 = 0$, тј. за ${x_1} =  - 1 - \sqrt 6 ,{x_2} =  - 1 + \sqrt 6 $

    $x$ $x \in \left( { - \infty , - 1 - \sqrt 6 } \right)$ $x =  - 1 - \sqrt 6 $ $x \in \left( { - 1 - \sqrt 6 , - 1} \right)$
    $y`$ $+$ $0$ $-$
    $y$ $ \nearrow $ $y \approx  - 10$ $ \searrow $
    вывод   $\max $  

    $x$ $x \in \left( { - 1, - 1 + \sqrt 6 } \right)$ $x =  - 1 + \sqrt 6 $ $x \in \left( { - 1 + \sqrt 6 , + \infty } \right)$
    $y`$ $-$ $0$ $+$
    $y$ $ \searrow $ $y \approx  - 0,1$ $ \nearrow $
    вывод   $\min $  

  10. $y`` = \frac{{\left( {2x + 2} \right){{\left( {x + 1} \right)}^2} - \left( {{x^2} + 2x - 5} \right) \cdot 2\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}}$

    $ = \frac{{2{{\left( {x + 1} \right)}^2} - 2\left( {{x^2} + 2x - 5} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}$ $ = \frac{{2\left( {{x^2} + 2x + 1 - {x^2} - 2x + 5} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}$ $ = \frac{{12}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}$.

    Точек перегиба нет.

    $x$ $x \in \left( { - \infty , - 1} \right)$ $x \in \left( { - 1, - \infty } \right)$
    $y``$ $-$ $+$
    $y$ $ \cap $ $ \cup $
  11.  

     

    Пример 3

    $y = \ln \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}$

    1. $D = \left\{ {x|\frac{{2x - 1}}{{x + 2}} > 0} \right\}$ $ = \left( { - \infty , - 2} \right) \cup \left( {\frac{1}{2}, + \infty } \right)$
    2. Функция ни чётная, ни нечётная, ни периодеская.
    3. $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \ln \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = \ln 2$, прямая $y = \ln 2$ - горизонтальная асимтота.

      $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2 - 0} \ln \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = \infty$, прямая  $x =  - 2$ - вертикальная асимптота.

      $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2} + 0} \ln \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} =  - \infty$, прямая $x = \frac{1}{2}$ - тоже вертикальная асимптота.{\frac{{x + 2}}{{x - 1}}}},y`` = 0$ за  $x = \frac{1}{2}$. 

      $x$ $x \in \left( { - \infty , - \frac{1}{2}} \right)$ $x =  - \frac{1}{2}$ $x \in \left( { - \frac{1}{2},1} \right)$ $x \in \left( {1, + \infty ,} \right)$
      $y``$ $-$ $0$ $+$ $+$
      $y$ $ \cap $ $\frac{{65\sqrt {10} }}{{64}}$ $ \cup $ $ \cup $
      вывод   т. перегиба    
       

    Применение производной к построению графиков функций

    Сегодня на уроке мы приведём общую схему исследования свойств функции с помощью её производной. Будем строить график функции, используя результаты исследования.

    Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте вспомним, что на предыдущих занятиях мы рассмотрели применение производной к нахождению промежутков возрастания и убывания функций. Выяснили, какие точки называют точками максимума функции и точками минимума функции. Научились находить эти точки и значения функции в них. Сегодня на уроке мы применим эти знания к построению графиков функций.

    Давайте начнём с примера. Итак, постройте график функции .

    Полученные результаты исследования функции удобно записать в виде следующей таблице.

    В первой строке этой таблицы указаны в порядке возрастания критические точки функции и ограниченные ими промежутки. Во второй строке отмечены знаки производной на этих промежутках. В третьей строке записаны выводы о ходе изменения данной функции, в четвёртой строке – о виде критических точек.

    При построении графика обычно находят точки пересечения графика с осями координат.

    Построим график функции.

    Получается, что для построения графика функции сначала исследуют свойства этой функции с помощью её производной.

    Давайте приведём схему исследования свойств функции с помощью её производной.

    Итак, при исследовании свойств функции надо найти:

    1) область определения; производную; стационарные точки;

    2) промежутки возрастания и убывания;

    3) точки экстремума и значения функции в этих точках.

    Результаты исследования удобно записать в виде таблицы, используя которую, строят график функции. Для более точного построения графика обычно находят точки пересечения с осями координат. Также можно найти координаты ещё нескольких точек графика.

    Отметим, что для построения графика чётной (нечётной) функции достаточно исследовать свойства и построить её график при , а затем отразить его симметрично относительно оси ординат (начала координат).

    Давайте построим график функции .

    Полученные результаты исследования запишем в виде таблицы.

    Найдём значение функции в точке  – крайней точке рассматриваемого интервала. .

    Построим график функции.

    Так как рассматриваемая функция является нечётной, то её график при  строим с помощью симметрии относительно начала координат.

    Часто встречаются задачи, в которых требуется исследовать функцию не на всей области определения, а на некотором промежутке.

    Давайте построим график функции  на отрезке .

    Запишем полученные результаты исследования функции в виде таблицы.

    Получается, что график функции не пересекает ось абсцисс.

    Построим график функции.

    Применение производной к исследованию функций. Схема исследования функции

    1. «Применение производной к исследованию функций. Схема исследования функции».

    практическое применение
    знаний и умений

    2. Цели работы на занятии

    обобщить знания связанные с производной;
    учиться применять производную для исследования
    функции и построения графика
    оценить свои знания по теме;
    познакомиться с биографиями людей, которые стояли у
    истоков дифференциального исчисления;
    развивать умение работать в группе;
    развивать логическое мышление;
    формировать навыки
    контроля и самоконтроля.

    3. «Кто смолоду делает и думает сам, тот становиться потом, надежнее, крепче, умнее» В. Шукшин.

    4. Верно ли?

    1. Функция возрастает на [-7; 2) и (2; 8], значит
    она возрастает на [-7; 8]. Верно ли?
    2. Производная функции в точке х0 равна 0,
    значит х0 - критическая точка. Верно ли?
    3. Производная функции не существует в точке
    х0, значит х0 - критическая точка. Верно ли?
    4. Критическая точка является точкой
    экстремума. Верно ли?
    5. Точка экстремума является критической
    точкой. Верно ли?
    -да,
    -нет

    5. Проверка.

    6. Задан график y=f '(x) укажите: (по группам)

    у
    y=f '(x)
    -2
    -3
    0
    2
    3
    Укажите число точек максимума
    Найти число точек экстремума.
    Укажите число точек минимума функции..
    Укажите число промежутков возрастания функции.
    Укажите количество промежутков убывания функции.
    х
    ЕГЭ

    7. Задан график y=f '(x) проверьте!

    у
    y=f '(x)
    +
    +
    -2
    0
    -3
    2
    Укажите число точек максимума ________2
    Найти число точек экстремума. ________ 3
    Укажите число точек минимума функции___1
    Укажите число промежутков возрастания
    функции_2
    Укажите количество промежутков убывания
    3
    х
    -
    Великий немецкий ученый. Философ,
    математик, физик, юрист, языковед.
    Создатель наряду с Ньютоном
    математического анализа. Именно они
    открыли дифференциальное и
    интегральное исчисление. Этот ученый
    является основоположником большой
    математической школы. Его идеи оказали
    значительное влияние на развитие
    математической логики.
    «Весь мир его узнал по изданным трудам,
    Был даже край родной с ним вынужден считаться;
    Уроки мудрости давал он мудрецам,
    Он был мудрее их: умел он сомневаться…»
    Вольтер

    10. Исаак Ньютон

    Дата рождения:
    25 декабря 1642 (4 января 1643)
    Место рождения:
    Вулсторп, Линкольншир, Королевство
    Англия
    Дата смерти:
    20 марта 1727 (31 марта 1727) (84 года)
    Место смерти:
    Кенсингтон, Мидлсекс, Англия,
    Королевство Великобритания
    Страна:
    Королевство Англия
    Королевство Великобритания
    Научная сфера:
    физика, математика, астрономия
    Альма-матер:
    Кембриджский
    университет (Тринити-колледж)
    подпис
    ь:

    11. Исторические сведения

    Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейбницем в
    конце 17 столетия. Понятие производной встречалось в работах
    итальянского математика Тартальи ( около 1500 - 1557 гг. ) - здесь
    появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона
    орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность
    полета снаряда.
    В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно
    развивалась кинематическая концепция производной. Различные
    изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского
    математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори, а также в
    работах Ньютона. Учащиеся могут рассказать несколько фактов из
    биографии Ньютона.
    Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли
    Лейбниц, Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.
    Однако у создателей дифференциального исчисления возникли
    проблемы, связанные с тем, что точные определения таких
    основных понятий как предел, непрерывность, действительное
    число, отсутствовали, рассуждения содержали логические
    пробелы, а иногда были ошибочны.
    Таким образом, "новая" математика не отвечала
    стандартам строгости, привычным для ученых, воспитанных на
    классических образцах греческих математиков. Гениальная
    интуиция таких гигантов, как Ньютон, Лейбниц, Эйлер помогала им
    избегать ошибок.
    Характерны 2 высказывания, относящиеся к 18-му столетию.
    Известный математик М. Ролль писал, что новая наука есть коллекция
    гениальных ошибок. А великий французский мыслитель - Вольтер
    заметил, что это исчисление представляет собой искусство вычислять и
    точно измерять вещи, существование которых не может быть доказано.
    Начальный период развития новых ветвей математики, связанных с
    понятиями функции, бесконечно малых величин, пределов и производных,
    был охарактеризован Марксом как "мистический".
    Лозунгом многих математиков 17 века был:
    "Двигайтесь вперед, и вера в правильность
    результатов к вам придет".

    13. Схема исследования функции

    1.
    2.
    3.
    4.
    5.
    6.
    7.
    8.
    9.
    Алгоритм
    исследования функции с помощью производной и
    построение графика функции
    Область определения функции,
    Множество значений функции,
    Четность,
    Периодичность,
    Критические и стационарные точки,
    Монотонность функции,
    Экстремумы функции,
    Таблица исследования функции,
    Таблица дополнительных точек для построения
    графика

    15. «Примеры учат больше, чем теория». М.В. Ломоносов

    1. y 5x 3x
    2
    3
    2. y 3x x
    3
    5
    4. y 2 5 x 3 3x 5
    3. y 3x 5x 2
    5
    3
    5. y 4 x 5 5x 4
    6. y x 4 x
    4
    2

    16. Рейтинг карта группы 1

    Постановка задач урока
    Выполнение графического диктанта
    Ответы на дополнительные вопросы
    сообщения
    Написание опорного конспекта
    Исследование функции
    Внесение дополнений и исправлений
    Атмосфера в группе
    Сумма рейтинговых баллов каждого
    члена группы
    Итог

    17. Рейтинг карта группы 2

    Постановка задач урока
    Выполнение графического диктанта
    Ответы на дополнительные вопросы
    сообщения
    Написание опорного конспекта
    Исследование функции
    Внесение дополнений и исправлений
    Атмосфера в группе
    Сумма рейтинговых баллов каждого
    члена группы
    Итог
    М.В. Ломоносов сказал: «Математику уже
    затем учить надо, что она ум в порядок
    приводит…»
    Мы постарались привести в порядок все
    знания о производной функции…
    Мы оценили свои умения, выработанные
    при её изучении,
    Мы ещё раз убедились в важности
    изученной темы…
    И доказали, что терпенье и труд….

    19. Задание на дом

    № 296 (а),
    Подготовить сообщения о возникновении
    дифференциального исчисления;
    Вспомнить что называется областью
    определения и областью значения функции;
    Вспомнить как определить является ли
    функция чётной или нечётной

    20. «Счастливая случайность выпадает лишь на долю подготовленных умов» Луи Пастер. .

    «Счастливая
    случайность
    выпадает лишь на
    долю
    подготовленных
    умов»
    Луи Пастер.

    Линейные функции | Функции | Сиявула

    На графике ниже представлена ​​функция с уравнением \ (y = mx + c \). Определите значения \ (m \) (градиент линии) и \ (c \) (\ (y \) - точка пересечения линии).

    Чтобы определить \ (m \), мы используем координаты любой другой точки на прямой, кроме той, которая использовалась для точки пересечения \ (y \). В этом решении мы выбрали координаты точки \ (B \), которые равны \ ((1; 2) \).

    Из \ (y \) - перехватить \ (c = -1 \).

    \ begin {align *} у & = мх + с \\ 2 & = т (1) - 1 \\ 2 & = m - 1 \\ 3 & = м \ end {выровнять *}

    \ (m = 3 \) и \ (c = -1 \).

    На графике ниже показана функция с уравнением \ (y = mx + c \). Определите значения \ (m \) (градиент линии) и \ (c \) (\ (y \) - точка пересечения линии).

    Чтобы определить \ (m \), мы используем координаты любой другой точки на прямой, кроме той, которая использовалась для точки пересечения \ (y \).В этом решении мы выбрали координаты точки \ (B \), которые равны \ ((1; 2) \).

    Из \ (y \) - перехватить \ (c = -1 \).

    \ begin {align *} у & = мх + с \\ 0 & = m (1) - 1 \\ 0 & = m - 1 \\ 1 & = м \ end {выровнять *}

    \ (m = 1 \) и \ (c = -1 \).

    Нарисуйте следующие функции на том же наборе осей, используя метод двойного пересечения. Четко укажите координаты пересечений с осями и точки пересечения двух графиков: \ (x + 2y-5 = 0 \) и \ (3x-y-1 = 0 \).

    Для \ (x + 2y-5 = 0 \):

    Сначала запишем уравнение в стандартной форме: \ (y = - \ frac {1} {2} x + \ frac {5} {2} \). Отсюда мы видим, что \ (y \) - точка пересечения равна \ (\ frac {5} {2} \). Перехватчик \ (x \) - это \ (\ text {5} \).

    Для \ (3x-y-1 = 0 \):

    Сначала запишем уравнение в стандартной форме: \ (y = 3x - 1 \). Отсюда мы видим, что \ (y \) - точка пересечения равна \ (- \ text {1} \). Перехватчик \ (x \) равен \ (\ frac {1} {3} \).

    Чтобы найти точку пересечения, нам нужно решить два уравнения одновременно.Мы можем использовать стандартную форму первого уравнения и подставить это значение \ (y \) во второе уравнение:

    \ begin {align *} 3x + \ frac {1} {2} x - \ frac {5} {2} - 1 & = 0 \\ \ frac {7} {2} x & = \ frac {7} {2} \\ х & = 1 \ end {выровнять *}

    Подставьте значение \ (x \) обратно в первое уравнение:

    \ begin {align *} х + 2у - 5 & = 0 \\ 1 + 2у - 5 & = 0 \\ 2у & = 4 \\ y & = 2 \ end {выровнять *}

    Следовательно, графики пересекаются в точке \ ((1; 2) \).

    Теперь мы можем набросать графики:

    На том же наборе осей нарисуйте графики \ (f (x) = 3 - 3x \) и \ (g (x) = \ frac {1} {3} x + 1 \), используя градиент-пересечение метод.

    Для \ (f (x) = 3 - 3x \) пересечение \ (y \) - равно 3. Градиент равен \ (- \ text {3} \).

    Чтобы получить вторую точку, мы начинаем с \ ((0; 3) \) и перемещаемся на 3 единицы вверх и на 1 влево. Это дает вторую точку \ ((- 1; 6) \). Или мы можем переместить 3 единицы вниз и 1 единицу вправо, чтобы получить \ ((1; 0) \).

    Для \ (g (x) = \ frac {1} {3} x + 1 \) пересечение \ (y \) - равно 1. Градиент равен \ (\ frac {1} {3} \).

    Чтобы получить вторую точку, мы начинаем с \ ((0; 1) \) и перемещаемся на 1 единицу вверх и на 3 единицы вправо. Это дает вторую точку \ ((3; 2) \). Или мы можем переместить 1 единицу вниз и 3 единицы влево, чтобы получить \ ((- 3; 0) \).

    Теперь мы можем рисовать графики.

    графиков: типы, примеры и функции - видео и стенограмма урока

    Линейные графики

    Линейные графики создаются линейными функциями этой формы:

    Линейная функция

    Линейные функции имеют переменные первой степени и две константы, определяющие положение графика.Эти функции всегда отображаются в виде линии. Константа м определяет наклон линии вниз или вверх. Если он положительный, линия будет наклоняться вверх, а если отрицательная, то линия будет наклоняться вниз.

    Линейный график

    Графики мощности

    Графики мощности создаются функциями с одним членом и степенью. Мощность может быть положительной, отрицательной или даже дробной.

    Функция мощности

    Графики, создаваемые этими функциями, зависят от мощности.Если степень положительная, график меняет направление в зависимости от числа степеней. Если степень четная, у графа оба ребра будут идти в одном направлении. Если степень нечетная, у графа одно ребро поднимается вверх, а другое опускается. Если мощность отрицательная, она будет состоять из двух частей. Каждая часть будет избегать строки x = 0, потому что это приведет к делению на ноль. Когда степень является дробной, график идет вверх при x = 0, а затем, когда значение y положительное, он начинает изгибаться в направлении оси x.

    График мощности

    Квадратичные графики

    Квадратичные - это функции, в которых максимальная степень равна двум.

    Квадратичная функция

    Они построены на параболах. Константы a , b, и c определяют положение параболы на графике. a сообщает вам, будет ли парабола открываться вверх или вниз.Если положительный, он откроется и улыбнется. Если он отрицательный, он откроется и нахмурится.

    Квадратичный граф

    Полиномиальные графы

    Полиномы - это более общая функция, чем квадратичная, и учитывают более высокие степени, которые по-прежнему являются целыми числами.

    Полиномиальная функция

    Эти функции создают более интересные графики с большим количеством кривых.Наивысшая степень функции показывает, сколько кривых или подъемов и падений может иметь график.

    Полиномиальный граф

    Rational Graphs

    Графики Rational взяты из функций, которые являются делением двух многочленов. Когда они будут построены, вы увидите, что график разделен на части. Области, которые избегает график, - это места, где происходит деление на ноль.

    Рациональный график

    Экспоненциальные графики

    Показатели - это степень, в которой переменная x является степенью.

    Экспоненциальная функция

    Когда b больше единицы, вы увидите экспоненциальный рост. Если он меньше единицы, но больше нуля, вы увидите экспоненциальный спад. Рост - это когда график поднимается вправо. Распад - это когда он падает вправо.

    Экспоненциальный график

    Логарифмические графики

    Логарифмические функции включают построение логарифмов.

    Логарифмическая функция

    Эти графики похожи на экспоненты, за исключением того, что они растут раньше и растут медленнее.

    Логарифмический график

    Синусоидальный

    Синусоидальный график использует функции, внутри которых есть синусоидальная функция.

    Синусоидальная функция

    На графике отображается волновая картина.

    Синусоидальный график

    Краткое содержание урока

    Различные типы графиков зависят от типа отображаемой функции. Восемь наиболее часто используемых графиков: линейные, степенные, квадратичные, полиномиальные, рациональные, экспоненциальные, логарифмические и синусоидальные. У каждого есть уникальный график, который легко визуально отличить от остальных.

    Вы можете увидеть другие типы графиков, которых здесь нет. Это потому, что существует множество различных типов функций, и чем больше вы продолжаете изучать математику, тем больше вы будете подвергаться воздействию.То, что вы узнали в этом уроке, является хорошей начальной основой для типов графиков, которые вы увидите.

    Результат обучения

    После того, как вы закончите этот урок, вы сможете назвать и определить восемь наиболее часто используемых графиков.

    Постоянная функция

    - определение, графики, примеры

    Постоянная функция используется для представления величины, которая остается постоянной с течением времени, и считается самой простой из всех типов функций с действительным знаком.Постоянные функции - это линейные функции, графики которых представляют собой линии на плоскости. Максимальные оценки, которые можно получить на экзамене, можно рассматривать как один из реальных примеров постоянных функций.

    Постоянная функция имеет одинаковый выход даже с разными входными значениями. В этой статье давайте узнаем о постоянных функциях, их определении и графиках с решенными примерами.

    Что вы подразумеваете под постоянной функцией?

    Постоянная функция - это функция, имеющая один и тот же диапазон для разных значений домена.Графически постоянная функция представляет собой прямую линию, параллельную оси x. Область функции - это значение x, представленное на оси x, а диапазон функции - y или f (x), который отмечен относительно оси y.

    Любая функция может считаться постоянной функцией, если она имеет вид y = k, где k - константа, а k - любое действительное число. Он также записывается как f (x) = k. Здесь необходимо отметить, что значение f (x) всегда будет «k» и не зависит от значения x.В общем, мы можем определить постоянную функцию как функцию, которая всегда имеет одно и то же постоянное значение, независимо от входного значения.

    Вот несколько примеров постоянных функций:

    • f (x) = 0
    • f (x) = 1
    • f (х) = π
    • f (x) = 3
    • f (х) = -0,3412454
    • f (x) равно любому другому действительному числу, о котором вы только можете подумать.

    Одна из интересных особенностей константной функции заключается в том, что мы можем ввести любое действительное число, которое мы хотим для x, и мы можем мгновенно узнать значение функции в этом x без каких-либо вычислений.

    Как найти постоянную функцию

    В этом разделе давайте научимся различать постоянную функцию и функцию, которая не является постоянной функцией. Чтобы узнать, является ли функция постоянной функцией, выполните следующие действия:

    • Проверить, можно ли получить разные выходы для разных входов. Если это возможно, то это не постоянная функция
    • Но если можно получить один и тот же вывод независимо от входных значений, тогда это постоянная функция.

    Рассмотрим функцию y = x + 2. Можем ли мы в этом примере получить разные выходные данные, варьируя входные значения? Ответ положительный, потому что:

    • Если я введу x = 1, мы получим y = 1 + 2 или y = 3
    • Если мы введем x = 2, то получим y = 2 + 2 или y = 4.

    Поскольку мы получаем разные выходные данные, варьируя входные значения, это не постоянная функция.

    Рассмотрим функцию y = 3. Здесь мы можем заметить, что независимо от нашего значения x или ввода, y всегда будет 3.

    • Если x = 3, y = 3 или если x = 5, y = 3
    • y всегда равно 3, независимо от того, что мы вводим.

    Поскольку мы не можем получить разные выходные данные, варьируя входные значения, это постоянная функция.

    Графики постоянных функций

    Вам может быть интересно, как постоянная функция будет выглядеть на графике. Если вы когда-нибудь видели горизонтальную линию на графике, значит, вы видели график постоянной функции.Постоянная функция относится к функции с действительным знаком, в определении которой нет переменной. Рассмотрим постоянную функцию f (x) = 3, где \ (f: R \ rightarrow R \).

    • Это означает, что он всегда будет генерировать результат, равный 3, независимо от того, какие входные значения мы предоставляем
    • Таким образом, некоторые точки на его графике могут быть (-1, 3), (2, 3), (4, 3) и т. Д.

    Давайте просто нарисуем все такие точки, соединим их и посмотрим, что мы получим.

    Итак, график f (x) = 3 представляет собой горизонтальную линию, поскольку координаты y всех точек такие же (как 3).Следовательно, графики всех постоянных функций представляют собой горизонтальные линии.

    Характеристики постоянной функции

    Все постоянные функции пересекают вертикальную ось согласно значению их константы, и они не пересекают горизонтальную ось, поскольку они параллельны ей. Кроме того, постоянные функции являются непрерывными, поскольку они представляют собой горизонтальные линии, которые непрерывно проходят с обеих сторон без каких-либо разрывов. Вот некоторые из важных характеристик постоянной функции:

    Наклон постоянной функции

    Постоянная функция - это линейная функция с общим форматом y = mx + k, где m и k - константы.Таким образом, постоянная функция f (x) = k (или) y = k может быть записана как y = 0x + k. Сравнивая это уравнение с формой углового пересечения y = mx + b, мы получаем, что его наклон равен m = 0. Таким образом, наклон постоянной функции равен 0.

    Область и диапазон постоянной функции

    Постоянная функция - это линейная функция, диапазон которой содержит только один элемент независимо от количества элементов домена. Поскольку постоянная функция определена для всех реальных значений x:

    • Его доменом является набор всех действительных чисел R.Итак, домен = R
    • Поскольку постоянная функция f (x) = k приводит только к одному выходу, то есть k, ее диапазон - это набор с одним элементом k. Диапазон = {k}

    Производные постоянной функции

    Постоянная функция - самая простая из всех функций, поэтому ее производную легче вычислить. Мы можем использовать прямую подстановку, чтобы найти производную постоянной функции. Правило дифференцирования постоянной функции f (x) равно

    .

    \ (\ frac {d} {d x} (c) = 0 \)

    Из приведенного выше дифференцирования видно, что производная постоянной функции равна нулю.Кроме того, даже если производная постоянной функции равна нулю, каждая функция с производной, равной нулю, не может рассматриваться как постоянная функция. Кроме того, производная считается наклоном функции в любой заданной точке, и мы уже знаем, что наклон постоянной функции всегда равен 0. Давайте рассмотрим пример, чтобы понять постоянные функции и их соответствующую производную.

    На следующем графике показана функция y = -1 и ее производная y '= 0.

    Предел постоянной функции

    По свойствам пределов предел постоянной функции равен той же постоянной.Например, если функция y = 7, то предел этой функции равен 7. Это можно представить как:

    \ (\ lim _ {x \ rightarrow a} C = C \ text {.} \)

    Постоянные функции в реальном мире

    Есть так много мест, где постоянные функции находят свое применение в реальной жизни. Здесь постоянные функции используются для моделирования ситуаций, когда один параметр является постоянным и не зависит от других независимых параметров. Вот несколько примеров постоянных функций в реальном мире:

    • Цена любого товара в универмаге - 3 доллара.
    • На книжной распродаже цена любой книги составляет 10 долларов.
    • Экзамен, на котором каждому студенту была присуждена звезда, независимо от того, насколько усердно они все работали.
    • Сумка стоимостью 30 долларов бесплатна для всех покупок, превышающих 300 долларов.
    • Школьная столовая, где каждому ребенку был подан бутерброд, независимо от его класса и возраста

    Статьи по теме константы

    Ознакомьтесь со следующими страницами, посвященными постоянным функциям

    Важные примечания к постоянной функции

    Вот список из нескольких моментов, которые следует помнить при изучении постоянной функции

    • График постоянной функции никогда не может быть кривой.
    • График постоянной функции всегда представляет собой горизонтальную линию.
    • Алгебраическая функция является постоянной функцией, если в ее определении нет переменной.

    Часто задаваемые вопросы о постоянных функциях

    Что такое уравнение постоянной функции?

    Уравнение постоянной функции имеет вид f (x) = k, где k - постоянное и любое действительное число. Пример постоянной функции: f (x) = 4.

    Как узнать, постоянна ли функция?

    Чтобы определить, является ли функция постоянной функцией, выполните следующие действия:

    • Проверьте, можно ли получить разные выходы для разных входов.Если это возможно, то это не постоянная функция
    • Но если можно получить один и тот же вывод независимо от входных значений, тогда это постоянная функция.

    Например, f (x) = 5 является постоянной функцией, поскольку выход 5 остается неизменным независимо от входа, подаваемого в функцию.

    Является ли постоянная функция линейной?

    Да, постоянная функция - это линейная функция, поскольку графики как постоянной, так и линейной функции представляют собой прямые линии на плоскости.Таким образом, постоянная функция всегда линейна, в частности, это всегда горизонтальная линия.

    Может ли постоянная функция быть включенной?

    Да, постоянная функция f (x) = k может быть функцией on, только если ее область значений совпадает с ее диапазоном (который равен {k}).

    Какова степень постоянной функции?

    Степень постоянной функции равна нулю, поскольку константа k может быть записана как kx 0 .

    Является ли постоянная функция сюръективной?

    Нет, постоянная функция не сюръективна, так как не взаимно однозначна.Постоянная функция - это функция, выходное значение которой остается неизменным для всех предоставленных ей входных значений. Следовательно, постоянная функция не сюръективна.

    Является ли постоянная функция инъективной?

    Нет, постоянная функция не является инъективной. Постоянная функция - это функция, в которой выходное значение одинаково для каждого входного значения, переданного ей. Поскольку инъективная функция никогда не отображает два разных входных значения в одно и то же выходное значение. Следовательно, постоянная функция не может считаться инъективной.

    Что такое производная постоянной функции?

    Производная любой постоянной функции считается нулевой. Таким образом, можно сделать вывод, что любую функцию с производной, равной нулю, можно рассматривать как постоянную функцию (d / dx .K = 0)

    Графические полиномиальные функции

    Графические полиномиальные функции

    Полиномиальные функции вида f ( x ) = x n (где n - положительное целое число) образуют один из двух основных графиков, показанных на рисунке 1.

    Рисунок 1. Графики многочленов

    Графы многочленов.

    Каждый график имеет начало координат только в качестве точки пересечения x и точки пересечения y . Каждый граф содержит упорядоченную пару (1,1). Если полиномиальную функцию можно разложить на множители, можно сразу найти ее перехваты x . Затем изучается, что происходит между этими перехватами слева от крайнего левого перехвата и справа от крайнего правого перехвата.

    Пример 1

    График f ( x ) = x 4 -10 x 2 + 9.

    Нули этой функции - –1, 1, –3 и 3. То есть –1, 1, –3 и 3 являются интерцепциями x этой функции.

    Если x <–3, скажем, x = –4, тогда

    Итак, для x <–3, f ( x )> 0.

    Если –1 < x <1, скажем, x = 0, тогда

    Итак, для –1 < x <1, f ( x )> 0.

    Аналогичным образом видно, что

    • при x > 3, f ( x )> 0

    • при –3 < x <–1, f ( x ) <0

    • при 1 < x <3, f ( x ) <0

    Затем на графике есть точки в заштрихованных областях, как показано на рисунке 2.

    Перехват y этой функции находится путем нахождения f (0).

    f (0) = 9

    , поэтому (0, 9) - это точка на графике. Чтобы завершить график, найдите и нанесите на карту несколько точек. Оцените f ( x ) для нескольких замен целых чисел; затем соедините эти точки, чтобы сформировать плавную кривую (см. рисунок 3).

    Обратите внимание, что f ( x ) = x 4 -10 x 2 + 9 имеет ведущий член с четной степенью. Крайняя правая и крайняя левая части графика будут идти в одном направлении.Поскольку ведущий коэффициент положителен, обе стороны поднимутся вверх. Если бы ведущий коэффициент был отрицательным, обе стороны пошли бы вниз.

    Рис. 2. График f (x).

    Рисунок 3. Нули функции.

    Пример 2

    График f ( x ) = x 3 -19 x + 30.

    f ( x ) = x 3 -19 x + 30 можно разложить на множители с помощью теоремы о рациональном нуле:

    п / кв

    1

    0

    –19

    30

    1

    1

    1

    –18

    12

    –1

    1

    –1

    –18

    48

    2

    1

    2

    –15

    0

    f ( x ) теперь можно записать в факторизованной форме и дополнительно разложить на множители.

    = ( x - 2) ( x - 3) ( x + 5)

    Нули этой функции - 2, 3 и –5 (см. Рисунок 4).

    Обратите внимание, что f ( x ) = x 3 -19 x + 30 имеет ведущий член с положительным коэффициентом и нечетным показателем. Эта функция всегда будет идти вверх в крайнее правое положение и вниз в крайнее левое положение. Если бы ведущий коэффициент был отрицательным с нечетной экспонентой, график шел бы вверх в крайнее левое положение и вниз в крайнее правое положение.

    Рисунок 4. Кубическое уравнение.

    Функции и взаимосвязи - стало проще

    Введение

    Упорядоченная пара - это набор входов и выходов, представляющий взаимосвязь между двумя значениями. Отношение - это набор входов и выходов, а функция - это отношение с одним выходом для каждого входа.

    Что такое функция?

    Некоторые отношения имеют смысл, а другие - нет. Функции - это отношения, которые имеют смысл. Все функции являются отношениями , но не все отношения являются функциями.

    Функция - это отношение, в котором для каждого входа существует только один выход.

    Вот отображение функций. Домен - это вход или x-значение , а диапазон - это выход или y-значение .

    Каждое значение x связано только с одним значением y.

    Хотя входы, равные -1 и 1, имеют одинаковый выход, это отношение по-прежнему является функцией, потому что каждый вход имеет только один выход.

    Это отображение не является функцией. Вход для -2 имеет более одного выхода.

    Графические функции

    Использование входов и выходов, перечисленных в таблицах, картах и ​​списках, позволяет легко нанести точек на координатную сетку . Используя график точек данных, вы можете определить, является ли отношение функцией, с помощью теста вертикальной линии . Если вы можете провести вертикальную линию через график и коснуться только одной точки, отношение является функцией.

    Взгляните на график этой карты отношений. Если бы вы провели вертикальную линию через каждую точку на графике, каждая линия касалась бы только одной точки, так что это отношение является функцией.

    Специальные функции

    Специальные функции и их уравнения имеют узнаваемые характеристики.

    Постоянная функция

    $ f (x) = c $

    Значение c может быть любым числом, поэтому график постоянной функции представляет собой горизонтальную линию.Вот график $ f (x) = 4 $

    .

    Функция идентификации

    долл. США f (x) = x

    долл. США

    Для функции идентичности значение x совпадает с значением y. График представляет собой диагональную линию, проходящую через начало координат.

    Линейная функция

    долл. США f (x) = mx + b

    долл. США

    Уравнение, записанное в форме углового пересечения , является уравнением линейной функции , а график функции представляет собой прямую линию.

    Вот график $ f (x) = 3x + 4 $

    Функция абсолютного значения

    долл. США f (x) = | x |

    долл. США

    Функцию абсолютного значения легко узнать по V-образному графику. График состоит из двух частей и представляет собой одну из кусочных функций.

    Это лишь некоторые из наиболее часто используемых специальных функций.

    Обратные функции

    Инверсная функция меняет местами входы и выходы.{-1} (x) = \ frac {x + 4} {3} $.

    Не каждая инверсия функции является функцией, поэтому для проверки используйте тест вертикальной линии.

    Функциональные операции

    Вы можете функций сложения, вычитания, умножения и деления .

    • $ f (x) + g (x) = (f + g) (x) $
    • $ f (x) - g (x) = (f - g) (x) $
    • $ f (x) \ times g (x) = (f \ times g) (x) $
    • $ \ frac {f (x)} {g (x)} = \ frac {f} {g} (x) $

    Посмотрите на два примера операций функции:

    Какова сумма этих двух функций? Просто добавьте выражения.{2} + 11x + 28 \ end {align}

    долл. США Домен

    и диапазон

    В домен из функция ж ( Икс ) - это набор всех значений, для которых определена функция, а диапазон функции - это набор всех значений, которые ж берет.

    (В гимназии вы, вероятно, называли домен набором замены, а диапазон - набором решений. Их также можно было назвать входом и выходом функции.)

    Пример 1:

    Рассмотрим функцию, показанную на диаграмме.

    Здесь домен - это множество { А , B , C , E } . D не входит в домен, так как функция не определена для D .

    Диапазон - это набор { 1 , 3 , 4 } .2 не входит в диапазон, так как в домене нет буквы, которая сопоставляется с 2 .

    Вы также можете поговорить о домене связь , где один элемент в домене может быть сопоставлен более чем с одним элементом в диапазоне.

    Пример 2:

    Рассмотрим соотношение { ( 0 , 7 ) , ( 0 , 8 ) , ( 1 , 7 ) , ( 1 , 8 ) , ( 1 , 9 ) , ( 2 , 10 ) } .

    Здесь отношение задано как набор упорядоченных пар. Домен - это набор Икс -координаты, { 0 , 1 , 2 } , а диапазон - это набор у -координаты, { 7 , 8 , 9 , 10 } . Обратите внимание, что элементы домена 1 и 2 связаны с более чем одним элементом диапазона, поэтому это нет функция.

    Но чаще, особенно при работе с графиками на координатной плоскости, мы имеем дело с функциями, в которых каждый элемент области связан с одним элементом диапазона. (См. Тест вертикальной линии .)

    Пример 3:

    Область определения функции

    ж ( Икс ) знак равно 1 Икс

    все действительные числа, кроме нуля (так как at Икс знак равно 0 , функция не определена: деление на ноль недопустимо!).

    Диапазон также состоит из действительных чисел, кроме нуля. Вы можете видеть, что на кривой есть точка для каждого у -значение кроме у знак равно 0 .

    Домены также могут быть указаны явно, если есть значения, для которых функция может быть определена, но которые мы не хотим рассматривать по какой-то причине.

    Пример 4:

    Следующие обозначения показывают, что область определения функции ограничена интервалом ( - 1 , 1 ) .

    ж ( Икс ) знак равно Икс 2 , - 1 < Икс < 1

    График этой функции показан на рисунке. Обратите внимание на белые кружки, которые показывают, что функция не определена в Икс знак равно - 1 и Икс знак равно 1 . В у -значения варьируются от 0 вплоть до 1 (в том числе 0 , но не включая 1 ).Таким образом, диапазон функции

    0 ≤ у < 1 .

    10 лучших математических приложений для студентов

    У вас дрожит домашнее задание по математике? Это сделало меня. К сожалению, у нас не было такой широкой доступности приложений, как у сегодняшних студентов. Математические приложения добавляют совершенно новое измерение в учебу и дают вам возможность иметь эти вспомогательные средства у вас под рукой.

    Вот 10 математических приложений, которые вы можете загрузить, чтобы помочь с этими вездесущими математическими вопросами:

    1. Бесплатный графический калькулятор (iOS) / Графический калькулятор от MathLab (Android)

    Графические калькуляторы были дорогими, сложными и довольно забавными, если на них можно было программировать игры. Однако те, кто изучает высшую математику, могут загрузить эти приложения. Эти бесплатные приложения предоставляют пользователям расширенные операции, функции, интуитивно понятный пользовательский интерфейс и красиво оформленные графики с уклонами, корнями и пересечениями - и это лишь некоторые из них.

    2. Бесплатное преобразование единиц (iOS) / Конвертер единиц (Android)

    Эти приложения позволяют конвертировать практически все, будь то валюта, данные, энергия, мощность или температура. Путешественники по всему миру также могут конвертировать валюту в режиме реального времени, используя актуальные обменные курсы. Эти бесплатные приложения позволяют вам быстро и легко преобразовывать единицы измерения для чего угодно.

    3. MathRef (iOS)

    MathRef - надежное приложение для быстрого поиска формул в различных областях.Это приложение не охватывает столько дисциплин, как Wolfram Alpha, но это, возможно, его сильная сторона, поскольку оно больше ориентировано на традиционные математические области, такие как алгебра, геометрия и исчисление. MathRef также имеет отличный пользовательский интерфейс, позволяющий пользователям добавлять примечания к уравнениям, сохранять любимые уравнения и копировать текст из приложения в электронную почту или текстовый редактор.

    4. Wolfram Alpha (Android, iOS)

    Wolfram Alpha предлагает подробные ответы на любые вопросы, связанные с математикой или числами, которые могут у вас возникнуть.Эта вычислительная машина знаний может вычислять практически все по 29 дисциплинам. Вы можете получить подробные сведения о формулах, графические представления и краткие объяснения, которые помогут вам понять, как приложение пришло к тому или иному решению.

    5. Цифры (iOS)

    После выполнения стандартных расчетов Digits сохраняет вашу работу на экранной ленте, как старые бухгалтерские калькуляторы с бумажной лентой. Если вы допустили ошибку в любом месте ленты, «проверьте ленту», чтобы найти ошибку и исправить расчет на месте.После того, как вы выполнили все необходимые вычисления, вы можете сохранить и поделиться своей лентой для печати или дальнейших манипуляций в Apple Numbers или Microsoft Excel.

    6. Мой калькулятор сценариев (iOS, Android)

    Это приложение считывает ваш почерк, когда вы пишете на экране, что делает функциональность MyScript Calculator впечатляющей. Записав уравнение, которое вы хотите решить, на экране телефона или планшета, приложение расшифрует ваш текст, преобразует его в цифровой текст, а затем решит проблему за вас.Так что, если вы тот, кто не хочет искать определенного оператора с клавиатуры своего телефона, это приложение для вас.

    7. Математическое решение (Android)

    Math Solver помогает решать математические уравнения. Он показывает вам ответ на проблему, а также шаги, использованные в решении. Приложение решает линейные и квадратные уравнения. Math Solver также упрощает выражения, решает буквальные и радикальные уравнения, множители и уравнения графиков.

    8.MathPage (iOS)

    Прекратите бороться со сложными, запутанными математическими понятиями. Если вы не можете решить проблему, TheMathPage покажет вам, как это сделать, с четкими объяснениями, простыми примерами и интерактивными вопросами (просто нажмите, чтобы увидеть ответы). Это как иметь своего личного репетитора.

    9. Универсальное устройство Equations (iOS)

    Equations All-In-One решает более 130 наиболее распространенных формул математики, химии и физики, используемых в университетах и ​​средних школах по всему миру.Каждая формула позволяет вам найти любую переменную в данном уравнении. Это приложение необходимо любому студенту, но идеально подходит для занятий по математике, физике или химии. Он включает конвертер единиц с возможностью конвертировать все основные единицы для физики и химии.

    10. iMat Mathematics Pro (iOS, Android)

    Более 120 тем, более 1000 формул, привлекательный интерфейс, 7 решателей и калькуляторов - это полный пакет для изучения математики.

    Это всего лишь десять приложений, которые помогут вам с математическими приложениями.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    © 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

    Карта сайта