Модуль числа это: Что такое модуль числа? Ответ на webmath.ru

Модуль числа. Абсолютная величина | Математика

Модуль числа обозначается двумя вертикальными чертами, между которыми заключается число:

|-7|  —  модуль числа  -7.

Модуль числа — это абсолютная величина числа. Абсолютная величина — это неотрицательное число, удовлетворяющее условиям:

|x| = x,   если   x ⩾ 0;

|x| = —x,   если   x < 0.

Следовательно, модуль числа – это положительное число или нуль.

Модуль на координатной прямой

Модуль числа — это расстояние от начальной точки до соответствующей точки на координатной прямой. Рассмотрим координатную прямую с точками  A  и  B:

Точка  A  соответствует числу  -5,  которое находится в пяти единичных отрезках от начальной точки, то есть длина отрезка  AO  равна  5. Так как модуль равен расстоянию от начала координат до точки, то модуль числа  -5  равен  5,  это можно записать так:

|-5| = 5.

Точка  B  соответствует числу  4,5,  значит длина отрезка  OB  равна  4,5. Следовательно, модуль числа  4,5  равен  4,5:

|4,5| = 4,5.

Точка  O  соответствует числу  0  и является начальной точкой, следовательно, модулем нуля будет нуль:

|0| = 0.

Следует иметь ввиду, что чем дальше от нуля точка, изображающая данное число, тем больше модуль этого числа.

Свойства абсолютной величины

Абсолютной величиной нуля является число нуль.

Пример:

|+0| = |-0| = 0.

Модулем положительного числа называется само это число.

Пример:

|+2| = 2;   |+35| = 35   и т. д.

Модулем отрицательного числа называется противоположное ему числу.

Пример:

|-10| = 10,

потому что  -(-10) = 10.

Модули противоположных чисел равны.

Пример:

|+7| = |-7| = 7,   |-5| = |+5| = 5.

Модуль числа. Модуль разности чисел. Модуль действительного числа.

В этой статье мы обсудим наиболее непонятную для многих тему модуль числа, научимся решать неравенства, связанные с абсолютными значениями.

Что такое модуль числа?

Модуль числа — это его абсолютное значение (отрицательное или положительное значение)  обозначается как  \(|a |\) :

 Пример 1. \(|x-3 |=4\)
Решение :
  \(x-3= 4 \)      \(-(х-3)= 4\)
        \( х= 7 \)        \( x-3= -4 \)
                          \( x= -1\)

Ответ: \( х= 7 \) ; \( x= -1\)
         
 Пример 2. Решить \( |3x-2 | = |5x+4| \)

                                                                                        \( |3x-2 | = |5x+4| \)                \(3x-2 = — (5x+4)\)

                                                                                         \(3x-5x = 4+2\)                     \(x=-\frac{1}{4}\)

                                                                                         \( — 2x = 6\)

                                                                                          \( x = -3 \)

                                                                                           Ответ: \( x = -3 \) ; \(x=-\frac{1}{4}\)

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Репетитор по математике

Армавирский государственный университет, Днепропетровский государственный университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-11 классов. Имею большой опыт работы со школьниками. Профессионально устраню любые пробелы в знаниях, доходчиво объясню учебный материал, подготовлю к ОГЭ, ГВЭ, ЕГЭ, поступлению в лицей, колледж, ВУЗ. В работе использую ИК — технологии. Смогу помочь понять математику как не сложную науку, а как интересную и нужную.

Витебский государственный педагогический институт им. Кирова

Проведенных занятий:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-11 классов. Я люблю математику, потому что она первой научила меня думать. Не бояться присмотреться к сложной задаче, разложить ее на простые и понятные части и решить. Дала веру в свои силы и право на ошибку. Сегодня я могу поделиться своими знаниями с вами. Работать будем по методике поэтапного усвоения материала, т.е. учим один раз и навсегда. Я готова к диалогу с каждым учеником, ваши проблемы — это вызов моему профессионализму. Жду вас. До встречи !

Репетитор по математике

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 3-8 классов с опытом работы учителем математики в гимназии. С детства я испытывала огромное уважение к профессии учителя и уже в школе точно знала, что буду учителем математики. Я очень люблю свою работу и с радостью поделюсь своим опытом и знаниями со своими учениками, помогу им освоиться в этой невероятно увлекательной науке. Уверена, что в изучении математики важен не только результат, но и сам процесс. С каждым ребенком мы уверенно дойдем к поставленной цели в дружелюбной обстановке и отличном настроении. До встречи на занятиях!

Векторы

• — Индивидуальные занятия
• — В любое удобное для вас время
• — Бесплатное вводное занятие

Похожие статьи

Модуль числа – что это такое: что значит абсолютная величина — объяснение и решение для 6 класса

В школе на уроке математики каждый год ученики разбирают новые темы. 6 класс обычно изучает модуль числа – это важное понятие в математике, работа с которым встречается далее в алгебре и высшей математики. Очень важно изначально правильно понять объяснение термина и разобраться в этой теме, чтобы успешно проходить прочие темы.

Величины в математике

Для начала следует понимать, что абсолютная величина – это параметр в статистике (измеряется количественно), который характеризует изучаемое явление по его объему. При этом явление должно осуществляться в определенных временных рамках и с определенным месторасположением. Различают значения:

• суммарные – подходят для группы единиц или полностью всей совокупности,
• индивидуальные – подходят только для работы с единицей некой совокупности.

Это интересно! Основы геометрии: что это такое биссектриса треугольника

Понятия широко используются в статистических измерениях, результатом которых являются показатели, характеризующие абсолютные размеры у каждой единицы некоего явления. Измеряются они в двух показателях: натуральном, т.е. физические единицы (шт., люди) и условно-натуральном. Модуль в математике является отображением данных показателей.

Модуль числа

Что такое модуль числа?

Важно! Данное определение «module» с латыни переводиться как «мера» и означает абсолютную величину любого натурального числа.

Но у данного понятия есть и геометрическое объяснение, поскольку модулю в геометрии равняется расстояние от начала системы координат до точки X, которое измеряется в привычных единицах измерения.

Для того, чтобы определить данный показатель у числа, следует не учитывать его знак (минус, плюс), но при этом следует помнить то, что он никогда не может быть отрицательным. Данное значение на бумаге выделяется графически в виде квадратных скобок |a|. При этом, математическое определение такое:

|х| = х, если х больше или равен нулю и -х, если меньше нуля.

Английский ученый Р. Котес был тем человеком, кто впервые применил данное понятие в математических расчетах. А вот К. Вейерштрасс, математик из Германии, придумал и ввел в использование графический символ.

Это интересно! Как разложить на множители квадратный трехчлен: формула

В геометрии module можно рассмотреть на примере координатной прямой, на которое нанесены 2 произвольные точки. Предположим, одна А имеет значение 5, а вторая В — 6. При подробном изучении чертежа станет ясно, что расстояние от А до В – 5 единиц от нуля, т.е. начала координат, а точка В размещена от начала координат на 6 единиц. Можно сделать вывод, что module точки, А = 5, а точки В = 6. Графически это можно обозначить так: | 5 | = 5. Т. е. расстояние от точки до начала координат является модулем данной точки.

Полезное видео: что такое модуль действительного числа?

Свойства

Как у любого математического понятия, у module есть свои математические свойства:

1. Он всегда положительный, поэтому модулем положительного значения будет оно само, например, модуль числа 6 и -6 равен 6. Математически это свойство можно записать как |a| = a, при a&gt, 0,
2. Показатели противоположных чисел равны между собой. Это свойство понятнее в геометрическом изложении, поскольку на прямой данные числа располагаются в разных местах, но при этом от начала отсчета их отделяет равное количество единиц. Математически это записывается так: |а| = |-а|,
3. Модуль нуля равен нулю, при условии, что действительное число – это ноль. Это свойство подтверждается тем фактом, что ноль является началом координат. Графически это записывают так: |0| = 0,
4. Если требуется найти модуль двух умножающихся цифр, стоит понимать, что он будет равен полученному произведению. Другими словами, произведение величин А и В = АВ, при условии, что они положительные или же отрицательные, и тогда произведение равняется -АВ. Графически это можно записать как |А*В| = |А| * |В|.

Это интересно! Считаем правильно: как находить процент от суммы и числа

Успешное решение уравнений с модулем зависит от знания данных свойств, которое поможет любому правильно вычислять и работать с данным показателем.

Свойства модуля

Важно! Показатель не может быть отрицательным, поскольку он определяет расстояние, которое всегда положительное.

В уравнениях

В случае работы и решения математических неравенств, в которых присутствует module, всегда необходимо помнить, что для получения итогового правильного результата следует раскрыть скобки, т.е. открыть знак module. Зачастую, в этом и есть смысл уравнения.

При этом стоит помнить, что:

• если в квадратных скобках записано выражение, его необходимо решить: |А + 5| = А + 5, при А больше или равным нулю и 5-А, в случае А меньше нуля,
• квадратные скобки чаще всего должны раскрываться независимо от значений переменной, например, если в скобках заключено выражение в квадрате, поскольку при раскрытии в любом случае будет положительное число.

Это интересно! Уроки математики: умножение на ноль главное правило

Очень легко решаются уравнения с module путем занесения значений в систему координат, поскольку тогда легко увидеть визуально значения и их показатели.

Полезное видео: модуль действительного числа и его свойства

Вывод

Принцип понимания такого математического понятия, как module, крайне важен, поскольку оно используется в высшей математике и прочих науках, поэтому необходимо уметь работать с ним.

Урок 17. противоположные числа. модуль числа — Математика — 6 класс

Математика

6 класс

Урок № 17

Противоположные числа. Модуль числа

Перечень рассматриваемых вопросов:

1. Понятие противоположного числа.
2. Понятие модуля числа.
3. Решение различных заданий по теме «Противоположные числа. Модуль числа».

Тезаурус

Числа, которые отличаются только знаком, называются противоположными.

Модулем положительного числа называют само это число.

Модулем отрицательного числа называют противоположное ему (положительное) число.

Модулем числа 0 является число 0.

Основная литература

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н.Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 кл. // П. В. Чулков, Е.Ф. Шершнёв, О.Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
2. Шарыгин И.Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И.Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Считается, что если перед целым числом поставить знак «+», то это не изменяет самого числа.

Например,

число 7 можно записать как + 7

число – 7 можно записать как + (– 7)

7 = + 7

– 7 = + (– 7)

Поэтому ряд целых чисел можно записывать в виде:

…, – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, + 1, + 2, + 3, + 4, + 5, + 6, …

Числа, которые отличаются только знаком, называются противоположными.

Например, противоположные числа:

– 7 и + 7

– 53 и 53

Модуль или абсолютная величина числа.

Разбор заданий тренировочного модуля

№ 1. Единичный выбор.

Ответ: + 107.

№2. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в текст.

Модуль числа, сравнение чисел

Модуль числа

Модуль числа а обозначают $|a|$. Вертикальные черточки справа и слева от числа образуют знак модуля.

Например, модуль любого числа (натурального, целого, рационального или иррационального) записывается так: $|5|$, $|-11|$, $|2,345|$, $|\sqrt[4]{45}|$.

Определение 1

Модуль числа a равен самому числу $a$, если $a$ является положительным, числу $−a$, если $a$ является отрицательным, или $0$, если $a=0$.

Данное определение модуля числа можно записать следующим образом:

$|a|= \begin{cases} a, & a > 0, \\ 0, & a=0,\\ -a, &a

Можно использовать более краткую запись:

$|a|=\begin{cases} a, & a \geq 0 \\ -a, & a

Пример 1

Вычислить модуль чисел $23$ и $-3,45$.

Решение.

Найдем модуль числа $23$.

Число $23$ – положительное, следовательно, по определению модуль положительного числа равен этому числу:

$|23|=23$.

Найдем модуль числа $–3,45$.

Число $–3,45$ – отрицательное число, следовательно согласно определению модуль отрицательного числа равен числу, противоположному данному:

$|-3,45|=3,45$.

Ответ: $|23|=23$, $|-3,45|=3,45$.

Готовые работы на аналогичную тему

Определение 2

Модуль числа является абсолютной величиной числа.

Таким образом, модуль числа – число под знаком модуля без учета его знака.

Модуль числа как расстояние

Геометрическое значение модуля числа: модуль числа – это расстояние.

Определение 3

Модуль числа a – это расстояние от точки отсчета (нуля) на числовой прямой до точки, которая соответствует числу $a$.

Пример 2

Например, модуль числа $12$ равен $12$, т.2}=14$.

Ответ: $|-14|=14$.

Сравнение отрицательных чисел

Сравнение отрицательных чисел основывается на сравнении модулей этих чисел.

Замечание 1

Правило сравнения отрицательных чисел:

• Если модуль одного из отрицательных чисел больше, то такое число является меньшим;
• если модуль одного из отрицательных чисел меньше, то такое число является большим;
• если модули чисел равны, то отрицательные числа равны.

Замечание 2

На числовой прямой меньшее отрицательное число располагается левее большего отрицательного числа.

Пример 4

Сравнить отрицательные числа $−27$ и $−4$.

Решение.

Согласно правилу сравнения отрицательных чисел найдем сначала модули чисел $–27$ и $–4$, а затем сравним полученные положительные числа.

$|-27|=27$

$|-4|=4$

Сравним полученные натуральные числа:

$27 > 4$.

Таким образом, получаем, что $–27 |-4|$.

Ответ: $–27

При сравнении отрицательных рациональных чисел необходимо преобразовать оба числа к виду обыкновенных дробей или десятичных дробей.

Сравнение чисел с противоположными знаками

Замечание 3

Правило сравнения чисел с противоположными знаками:

Положительное число всегда больше отрицательного, а отрицательное число всегда меньше положительного.

Пример 5

Сравнить целые числа $−53$ и $8$.

Решение.

Числа имеют противоположные знаки. Согласно правилу сравнения чисел с противоположными знаками получаем, что отрицательное число $−53$ меньше положительного числа $8$.

Ответ: $−53

Пример 6

Сравнить числа $3 \frac{11}{13}$ и $–5,(123)$.

Решение.

Согласно правилу сравнения чисел с противоположными знаками отрицательное число всегда меньше положительного. Следовательно, $–5,(123)

Ответ: $–5,(123)

По данному правилу можно сравнивать также и действительные числа с противоположными знаками.

Если числа заданы как числовые выражения, то сразу невозможно определить какие они имеют знаки. В таком случае нужно вычислить значение этих выражений и затем определить, какое из правил сравнения можно применить.

Что такое модуль числа в математике

…

Вконтакте

Facebook

Twitter

Google+

Мой мир

Впервые данное понятие изучается в математике по программе 6 класса средней школы. Согласно одному из определений, модуль — это абсолютное значение действительного числа. Другими словами, чтобы узнать модуль действительного числа, необходимо отбросить его знак.

Графически абсолютное значение а обозначается как |a|.

Основная отличительная черта этого понятия заключается в том, что он всегда является неотрицательной величиной.

Числа, которые отличаются друг от друга только знаком, называются противоположными. Если значение положительное, то противоположное ему будет отрицательным, а ноль является противоположным самому себе.

Это интересно: умножение на 0 — правило для любого числа.

Геометрическое значение

Если рассматривать понятие модуля с позиций геометрии, то он будет обозначать расстояние, которое измеряется в единичных отрезках от начала координат до заданной точки. Это определение полностью раскрывает геометрический смысл изучаемого термина.

1. Для примера можно взять координатную прямую и на ней нанести 2 произвольные точки. Допустим, одна из точек (А) будет иметь числовое значение 5, а вторая (В) — 6.
2. Если рассмотреть полученный чертёж, можно увидеть, что точка, А находится на расстоянии 5 единиц от нуля (начала координат). Точка В находится от нуля на 6 единиц. Таким образом, модулем точки, А будет число 5, а модулем точки В — число 6.
3. В этом случае графическое обозначение выражения будет следующим: | 5 | = 5.
4. Иными словами, если взять любое произвольное число и обозначить его на координатной прямой в виде точки А, то расстояние от нуля до этой точки и будет модулем числа А.

Графически это можно выразить следующим образом: |a| = OA.

Это интересно: признак перпендикулярности прямой и плоскости, теория и практика.

Свойства абсолютной величины

Ниже будут рассмотрены все математические свойства этого понятия и способы записи в виде буквенных выражений:

1. Модулем любой цифры является величина неотрицательная. Таким образом, абсолютным значением положительной величины будет выступать она сама. Графически эта закономерность выражается следующим образом: |a| = a, если a> 0.
2. Модули противоположных величин равны друг другу Это объясняется тем фактом, что на координатной прямой противоположные числа хотя и располагаются в разных точках, но находятся на одинаковом расстоянии от начальной точки отсчёта. Графически это выражается как: |а| = |-а|.
3. Третьим свойством является то, что абсолютным значением нуля равняется сам нуль. Это условие считается верным в том случае, когда действительное число является нулем. Поскольку нулю соответствует начало отсчета в системе координат, то модулем числа ноль является сам ноль по определению. Графически: |0| = 0|.
4. Еще одним важным свойством является то, что абсолютное значение произведений двух любых действительных чисел равняется произведению двух этих величин. Это условие необходимо рассмотреть более подробно. Иначе говоря, абсолютным значением произведения величин, А и В будет АВ в случае если оба этих значения положительные или же оба отрицательные, или -АВ при условии, что одно из этих чисел будет отрицательным. В записи эта закономерность будет выглядеть следующим образом: |А*В| = |А| * |В|.
5. Абсолютная величина суммы любых двух действительных чисел меньше или равна сумме их модулей.
6. Абсолютная величина разности двух произвольных величин меньше или равна разности двух абсолютных величин.
7. Если в математическом выражении имеется постоянный положительный множитель, его можно выносить за знак | |.
8. Такое же правило распространяется и на показатель степени выражения.

Это интересно: что такое разность в математике?

Особенности решения уравнений с модулем

К примеру, если знак абсолютной величины содержит в себе некоторое математическое выражение, то перед тем как раскрыть модуль, необходимо учитывать действующие математические определения.

|А + 5| = А + 5, если, А больше или равняется нулю.

5-А, если, А значение меньше нуля.

В некоторых случаях знак может раскрываться однозначно при любых значениях переменной.

Рассмотрим ещё одни пример. Построим координатную прямую, на которой отметим все числовые значения абсолютной величиной которых будет 5.

Для начала необходимо начертить координатную прямую, обозначить на ней начало координат и задать размер единичного отрезка. Кроме того, прямая должна иметь направление. Теперь на этой прямой необходимо нанести разметки, которые будут равны величине единичного отрезка.

Таким образом, мы можем увидеть, что на этой координатной прямой будут две интересующие нас точки со значениями 5 и -5.

Видео: Модуль числа. Математика 6 класс.

Модуль числа Арифметика

Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про модуль числа, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое модуль числа , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Арифметика

Обозначим на координатной прямой две точки, которые соответствуют числам -4 и 2.

Точка A, соответствующая числу -4, находится на расстоянии 4 единичных отрезков от точки 0 (начала отсчета), то есть длина отрезка OA равна 4 единицам.

Число 4 (длина отрезка OA) называют модулем числа -4.

Обозначают модуль числа так: |-4| = 4

Читают символы выше следующим образом: «модуль числа минус четыре равен четырем».

Точка B, соответствующая числу +2, находится на расстоянии двух единичных отрезков от начала отсчета, то есть длина отрезка OB равна двум единицам.

Число 2 называют модулем числа +2 и записывают: |+2| = 2 или |2| = 2.

Если взять некоторое число «a» и изобразить его точкой A на координатной прямой, то расстояние от точки A до начала отсчета (другими словами длина отрезка OA) и будет называться модулем числа «a».

Модулем рационального числа называют расстояние от начала отсчета до точки координатной прямой, соответствующей этому числу.

Так как расстояние (длина отрезка) может выражаться только положительным числом или нулем, можно сказать, что модуль числа не может быть отрицательным.

Запишем свойства модуля с помощью буквенных выражений, рассмотрев все возможные случаи.

1. Модуль положительного числа равен самому числу. 
   |a| = a, если a > 0;
2. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу. 
   |-a| = a, если a < 0;
3. Модуль нуля равен нулю. 
   |0| = 0, если a = 0;
4. Противоположные числа имеют равные модули. 
   |-a| = |a|;

Примеры модулей рациональных чисел:

• |-4,8| = 4,8
• |0| = 0
• |-3/8| = |3/8|

Пожалуйста, пиши комментарии, если ты обнаружил что-то неправильное или если ты желаешь поделиться дополнительной информацией про модуль числа Надеюсь, что теперь ты понял что такое модуль числа и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Арифметика

Модуль комплексного числа: определение и примеры — видео и стенограмма урока

Нахождение модуля

Обратите внимание, что вектор, представляющий комплексное число a + bi , также является гипотенузой (или самым длинным участком) прямоугольного треугольника с более короткими сторонами длиной a и b .

Из-за этого есть хорошо известная теорема, которую мы можем использовать, чтобы найти общую формулу для модуля комплексного числа.Эта теорема — теорема Пифагора. Теорема Пифагора гласит: «Если прямоугольный треугольник имеет длину стороны a , b и c , где c — гипотенуза или самая длинная сторона, то a 2 + b . 2 = c 2. »

Если c — это модуль комплексного числа, a + bi , то теорема Пифагора дает a 2 + b 2 = c . 2.Если извлечь квадратный корень из обеих частей этого уравнения, мы получим следующее:

c = √ ( a 2 + b 2)

Это дает нам общую формулу для модуля комплексного числа: a + bi . Поскольку он описывает длину, вы можете видеть, что √ ( a 2 + b 2) даст нам только положительное действительное число или ноль для модуля. Давайте рассмотрим несколько примеров нахождения модуля комплексных чисел.

Некоторые примеры

Предположим, что мы хотим найти модуль комплексного числа 3–4 i . Все, что нам нужно сделать, это определить a и b , а затем вставить эти значения в нашу формулу для модуля. В 3 — 4 i , a = 3 и b = -4. Подставляя их в формулу, получаем следующее:

c = √ ((3) 2 + (-4) 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

Мы получаем, что модуль упругости комплексное число 3-4 и равно 5.Эта формула, несомненно, упрощает задачу!

Рассмотрим другой пример. В этом примере мы хотим найти модуль комплексного числа, показанного на графике ниже.

На графике комплексного числа стоит точка (2, 7). Это говорит нам, что a = 2 и b = 7, поэтому мы имеем дело с комплексным числом 2 + 7 i . Чтобы найти модуль, мы просто подставляем a = 2 и b = 7 в нашу формулу:

c = √ (22 + 72) = √ (4 + 49) = √ (53) ≈ 7.28

Модуль комплексного числа, показанного на графике, равен √ (53), или приблизительно 7,28. Я думаю, мы уже разбираемся в этом!

Краткое содержание урока

Комплексное число — это число в форме a + bi , где a и b — действительные числа, а i — мнимое число √ (-1) . Мы можем изобразить комплексное число a + bi на комплексной плоскости, нанеся точку ( a , b ) на комплексной плоскости.Это дает модуль комплексного числа.

Если мы проведем отрезок линии от начала комплексной плоскости до нанесенного на график комплексного числа ( a , b ), мы создадим вектор , представляющий комплексное число a + bi . Модуль , c , a + bi — это длина этого направленного отрезка прямой или величина вектора, и его можно найти по следующей формуле:

c = √ ( a 2 + b 2)

Какая изящная концепция! В математике всегда прекрасно, когда все складывается таким образом и раскрываются взаимосвязи между концепциями.Давайте уберем это новообретенное знание в наш набор инструментов для умственной математики для использования в будущем!

комплексного числа

Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

За электронным обучением будущее уже сегодня.

Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

(III) Абсолют произведения двух комплексных чисел z1 и z2 равен произведению абсолютных значений чисел. т.е.
$ \ left | z1.z2 \ right | $ = $ \ left | z1 \ право. | $ $ \ left | z2 \ right | $

(IV) Абсолют частного двух комплексных чисел z1 и z2 (0) равен частному абсолютных значений делимого и делителя.
$ \ осталось | \ frac {z1} {z2} \ right | $ = $ \ frac {\ left | z1 \ right |} {\ left | z2 \ right |} $

(V) Абсолют суммы двух сопряженных комплексные числа z1 и z2 никогда не могут превышать сумму своих абсолютных значений, т.е. $ \ left | z1 + z2 \ right | $ $ \ leq $ $ \ left | z1 \ right | $ + $ \ left | z2 \ right | $
Это неравенство называется неравенством треугольника .

От модуля комплексного числа к дому

Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

Праймер для комплексных чисел

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон).Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Сопряжение и модуль

В предыдущем разделе мы рассмотрели алгебраические операции над комплексными числами.Есть несколько других операций, на которые мы должны обратить внимание, поскольку они, как правило, появляются время от времени. Мы также рассмотрим довольно много интересных фактов об этих операциях.

Комплексный конъюгат

Первое, что мы рассмотрим, это комплексное сопряжение (или просто сопряжение). С учетом комплексного числа \ (z = a + bi \) комплексное сопряжение обозначается \ (\ overline z \) и определяется как,

Другими словами, мы просто меняем знак мнимой части числа.

Вот несколько основных фактов о конъюгатах.

Первый просто говорит, что если мы спрягаем дважды, мы вернемся к тому, с чего начали, и, надеюсь, в этом есть какой-то смысл.Остальные три просто говорят, что мы можем разбить сумму, разницы, продукты и частные на отдельные части, а затем соединить их.

Итак, чтобы мы могли сказать, что мы проработали несколько примеров, давайте сделаем пару примеров, иллюстрирующих приведенные выше факты.

1. \ (\ overline {\ overline {z}} \) для \ (z = 3 — 15i \)
2. \ (\ overline {{z_1} — {z_2}} \) для \ ({z_1} = 5 + i \) и \ ({z_2} = — 8 + 3i \)
3. \ ({\ overline {z_1}} — {\ overline {z_2}} \) для \ ({z_1} = 5 + i \) и \ ({z_2} = — 8 + 3i \)

а \ (\ overline {z} = 3 + 15i \ hspace {0.5 дюймов} \ Rightarrow \ hspace {0,5 дюйма} \ overline {\ overline {z}} = \ overline {3 + 15i} = 3 — 15i = z \)

Конечно, мы видим, что после двойного спряжения мы возвращаемся к нашему исходному числу.

b \ ({z_1} — {z_2} = 13 — 2i \ hspace {0,5 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,5 дюйма} \ overline {{z_1} — {z_2}} = \ overline {13 — 2i} = 13 + 2i \)

c \ ({\ overline z_1} — {\ overline z_2} = \ overline {5 + i} — \ left ({\ overline {- 8 + 3i}} \ right) = 5 — i — \ left ({- 8 — 3i} \ right) = 13 + 2i \)

Мы видим, что результаты из (b) и (c) совпадают с предполагаемым фактом.

Есть еще один интересный факт, в котором используются конъюгаты, на которые, вероятно, стоит обратить внимание. Однако вместо того, чтобы просто выдавать этот факт, давайте выведем его. Мы начнем с комплексного числа \ (z = a + bi \), а затем выполните каждую из следующих операций.

Теперь, вспоминая, что \ ({\ mathop {\ rm Re} \ nolimits} \, z = a \) и \ ({\ mathop {\ rm Im} \ nolimits} \, z = b \), мы видим, что иметь,

Модуль

T Другая операция, которую мы хотим рассмотреть в этом разделе, — это модуль комплексного числа.2} \]

Если мы извлечем квадратный корень из обеих сторон, получим

, где \ (\ left | {\, \, \ cdot \,} \ right | \) на \ (z \) — это модуль комплексного числа, а \ (\ left | {\, \, \ cdot \,} \ right | \) на \ ({\ mathop {\ rm Re} \ nolimits} \, z \) — столбцы абсолютного значения. Наконец, для любого действительного числа \ (a \) мы также знаем, что \ (a \ le \ left | a \ right | \) (абсолютное значение…), и поэтому мы получаем

Мы можем использовать аналогичный аргумент, чтобы прийти к,

Существует очень хорошая связь между модулем комплексного числа и его сопряженным.2} \ label {eq: zConjz} \ end {уравнение}

Иногда бывает приятный и удобный факт.

Также обратите внимание, что при вычислении модуля знак действительной и мнимой части комплексного числа не влияет на значение модуля, поэтому мы также можем видеть, что,

и

Теперь мы можем формализовать процесс деления из предыдущего раздела, теперь, когда у нас есть модуль и сопряженные обозначения.2}}} {{164}} = \ frac {{21}} {{41}} — \ frac {9} {{82}} i \]

Вот еще несколько интересных фактов о модуле комплексного числа.

Свойство \ (\ eqref {eq: Mzero} \) должно иметь для вас некоторый смысл.2} \]

Наконец, напомним, что мы знаем, что модуль всегда положителен, поэтому извлеките квадратный корень из обеих частей, чтобы получить

Свойство \ (\ eqref {eq: MQuot} \) можно проверить с помощью аналогичного аргумента.

Неравенство треугольника и варианты

Свойства \ (\ eqref {eq: MProd} \) и \ (\ eqref {eq: MQuot} \) связывают модуль произведения / частного двух комплексных чисел с произведением / частным модуля отдельных чисел.Теперь нам нужно взглянуть на аналогичное соотношение для сумм комплексных чисел, которое называется неравенством треугольника и равно

Мы также сможем использовать это, чтобы получить соотношение для разности комплексных чисел.

Неравенство треугольника на самом деле довольно просто доказать, так что давайте сделаем это.2} = {z_1} \, {\ overline z_1} + {z_1} \, {\ overline z_2} + {z_2} \, {\ overline z_1} + {z_2} \, {\ overline z_2} \ label {eq : tripfone} \ end {уравнение}

Затем обратите внимание, что

и поэтому, используя \ (\ eqref {eq: ReImDefn} \), \ (\ eqref {eq: zRez} \) и \ (\ eqref {eq: MzMzbar} \), мы можем написать два средних члена правой части \ (\ eqref {eq: tripfone} \) как

Также используйте \ (\ eqref {eq: zConjz} \) в первом и четвертом членах в \ (\ eqref {eq: tripfone} \), чтобы записать их как,

Теперь, вспоминая, что модуль всегда положителен, мы можем извлекать квадратный корень из обеих сторон и прийти к неравенству треугольника.

Существует несколько вариантов неравенства треугольника, которые легко вывести.

Давайте сначала начнем с предположения, что \ (\ left | {{z_1}} \ right | \ ge \ left | {{z_2}} \ right | \). Это не требуется для вывода, но поможет получить более общая версия того, что мы собираемся здесь получить.Итак, давайте начнем с \ (\ left | {{z_1}} \ right | \) и поработаем над ним.

Теперь немного перепишем, и мы получим

Если теперь предположить, что \ (\ left | {{z_1}} \ right | \ le \ left | {{z_2}} \ right | \), мы можем проделать тот же процесс, что и выше, за исключением этого переключателя времени \ ({ z_1} \) и \ ({z_2} \), и мы получаем

Теперь, вспоминая определение абсолютного значения, мы можем объединить \ (\ eqref {eq: revtrione} \) и \ (\ eqref {eq: revtritwo} \) в следующий вариант неравенства треугольника.

Кроме того, если мы заменим \ ({z_2} \) на \ (- {z_2} \) в \ (\ eqref {eq: треугольник} \) и \ (\ eqref {eq: revtrithree} \), мы получим два больше вариаций неравенства треугольника.

Иногда вы увидите \ (\ eqref {eq: revtri} \), называемое неравенством обратного треугольника .

Абсолютное значение (модуль / величина) онлайн-калькулятора комплексных чисел

Поиск инструмента

Комплексное число Модуль / величина

Инструмент для вычисления значения модуля / величины комплексного числа | z | (абсолютное значение): длина сегмента между исходной точкой комплексной плоскости и точкой z

Результаты

Модуль комплексного числа / величина — dCode

Тег (-ы): Арифметика, Геометрия

Поделиться

dCode и др. 2} $.2} = \ sqrt {5} $

Вычисление также применимо к экспоненциальной форме комплексного числа.

Как рассчитать модуль действительного числа?

Модуль (или величина) действительного числа эквивалентен его абсолютному значению.

Пример: $ | -3 | = 3 $

Каковы свойства модуля?

Для комплексных чисел $ z, z_1, z_2 $ комплексный модуль имеет следующие свойства:

$$ | z_1 \ cdot z_2 | = | z_1 | \ cdot | z_2 | $$

$$ \ осталось | \ frac {z_1} {z_2} \ right | = \ frac {| z_1 |} {| z_2 |} \ quad z_2 \ ne 0 $$

$$ | z_1 + z_2 | \ le | z_1 | + | z_2 | $$

Модуль — это абсолютное значение, поэтому обязательно положительное (или нулевое):

$$ | z | \ ge 0 $$

Модуль комплексного числа и сопряженного с ним числа равны:

$$ | \ overline z | = | z | $$

Исходный код

dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Модуль комплексного числа / величина».За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), любой алгоритм, апплет или фрагмент «Модуль комплексного числа / величина» (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любые другие Функция «Модуль комплексного числа / величина» (вычислить, преобразовать, решить, расшифровать / зашифровать, расшифровать / зашифровать, декодировать / закодировать, перевести), написанная на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. Д.) и никакая загрузка данных, скрипт, копирование-вставка или доступ к API для «Комплексного числового модуля / величины» не будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.

Нужна помощь?

Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для запросов о помощи!
NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

Вопросы / комментарии

Сводка

Похожие страницы

Поддержка

Форум / Справка

Ключевые слова

модуль, величина, комплекс, число, значение, плоскость, калькулятор

Ссылки

Источник: https: // www.dcode.fr/complex-number-modulus

[Примеры модификаций]

Этот калькулятор по модулю — удобный инструмент, если вам нужно найти результат операций по модулю. Все, что вам нужно сделать, это ввести начальное число x и целое число y , чтобы найти число по модулю r , согласно x mod y = r . Читайте дальше, чтобы узнать, что такое операции по модулю, как вычислить по модулю и как правильно использовать этот калькулятор.

Что такое операции по модулю?

Представьте себе часы, висящие на стене. Допустим, уже поздно — 23 часа. Вы задаетесь вопросом, во сколько вы проснетесь после 8 часов сна. Вы не можете просто прибавить 8 к 11, потому что нет такого времени, как 19 часов утра. Чтобы найти правильный ответ, вам нужно выполнить операцию по модулю (mod 12) — вы складываете эти два числа и продолжаете вычитать 12, пока не получите число меньше 12. В этом случае 7. Вы только что подсчитали, что проснетесь в 7 утра.

Операции по модулю в случае часов настолько интуитивно понятны, что мы их даже не замечаем.В математике есть много типов более сложных операций по модулю, которые требуют большего осмысления. Мы можем записать это:

x модуль y = r

истинно, если такое целое число q (называемое частным ) существует, тогда:

y * q + r = x .

В противном случае число r — это остаток от деления, где x — это делимое , а y — делитель .

Если определение по модулю вам не нравится, и вы все еще не знаете, как вычислить по модулю, взгляните на следующий абзац, и все должно стать кристально ясным.

Что такое сравнение по модулю?

Два числа a и b считаются равными по модулю n , когда их разность a - b целиком делится на n (так что (a - b) делится на n ).

Математически формула сравнения по модулю записывается как:

a ≡ b (мод. N)

и n называется модулем сравнения.

С другой стороны, вы можете сказать, что a и b считаются равными по модулю n , когда они оба имеют одинаковый остаток при делении на n:

мод n = r

b мод n = r

, где r — общий остаток.

Итак, проще говоря — совпадение по модулю происходит, когда два числа имеют одинаковый остаток после одного и того же делителя, например: 24 по модулю 10 и 34 по модулю 10 дают тот же ответ: 4.Следовательно, 24 и 34 сравнимы по модулю 10.

Давайте посмотрим на другой пример:

9 ≡ 21 (мод.6) ,

, потому что 21 - 9 = 12 делится на 6. Его также можно кратко записать как 6 | (21 - 9) . Или, что то же самое, 21 и 9 имеют одинаковый остаток, когда мы делим их на 6:

9 мод 6 = 3

21 mod 6 = 3

Как вычислить по модулю — пример

Рассчитать модуль вручную — несложная задача.Просто следуйте инструкциям ниже!

1. Начните с выбора начального числа (перед выполнением операции по модулю). Допустим, 250. Это наши дивиденды.
2. Выберите делитель. Возьмем 24. Операция, которую мы хотим вычислить, будет тогда 250 mod 24 ( 250% 24 , если используется другое соглашение).
3. Разделите одно число на другое с округлением в меньшую сторону: 250/24 = 10 . Это частное. Кроме того, вы можете думать об этой операции как о целочисленном делении и — типе деления, при котором нам не важна дробная часть результата.
4. Умножьте делитель на частное. Итак, в нашем примере это 10 * 24 = 240 .
5. Вычтите это число из вашего начального числа (делимого). Здесь: 250 - 240 = 10 .
6. Полученное число является результатом операции по модулю. Мы можем записать это как 250 mod 24 = 10 .

Как пользоваться нашим калькулятором модов? 10 mod 3 и другие примеры modulo

Определить модуль с помощью нашего инструмента просто и удобно.Чтобы найти результат операций по модулю между целыми числами, вам необходимо:

1. Введите начальное число — делимое — в первое поле . Возьмем пример из предыдущего абзаца, поэтому введите 250.
2. Введите делитель . В нашем случае 24.
3. Тадааа! Наш калькулятор по модулю вернет вам результат — остаток! И это неудивительно, оно равно 10 — то же самое число, которое мы вычисляли ранее.

Ниже вы найдете несколько типичных запросов, касающихся модуля:

• 1 mod 1 = 0 (поскольку mod 1 всегда равен 0)
• 1 мод 2 = 1
• 1 мод 3 = 1
• 5 мод 2 = 1
• 5 мод 3 = 2
• 6 мод 3 = 0
• 7 мод 3 = 1
• 10 мод 3 = 1
• 18 мод 3 = 0
• 100 мод 3 = 1
• 100 мод 7 = 2

Если вы не видите здесь тот, который хотите найти, воспользуйтесь нашим калькулятором по модулю!

Модульная арифметика

Модульная арифметика — это, вообще говоря, арифметическая система для целых чисел, в которой числа «оборачивают» определенное число.Подведем итог тому, что мы узнали о различных представлениях операций по модулю — все приведенные ниже утверждения являются эквивалентами:

• A ≡ B (мод. C)
• A мод C = B мод C
• C | (А - В)
• A = B + K * C , где K — некоторое целое число

Мы также можем выполнять вычисления по модулю операций.

1. Модульное сложение и вычитание

(A + B) мод C = (A мод C + B мод C) мод C

(A - B) мод C = (A мод C - B мод C) мод C

Итак, сумма по модулю суммы двух чисел равна сумме по модулю этих чисел, вычисленных отдельно, а затем умноженной на делитель по модулю.Первый этап делается для того, чтобы избавиться от частной части, а затем снова используется операция mod. Взгляните на пример:

• А = 11, В = 7, С = 4

  (11 + 7) по модулю 4 = (11 по модулю 4 + 7 по модулю 4) по модулю 4

  левая часть уравнения: (11 + 7) mod 4 = 18 mod 4 = 2

  правая часть уравнения: (11 mod 4 + 7 mod 4) mod 4 = (3 + 3) mod 4 = 6 mod 4 = 2

Аналогично, вычисления аналогичны для вычитания.

2. Модульное умножение

(A * B) мод C = (A мод C * B мод C) мод C

Такое уравнение может быть полезно при работе с большими числами, и мы не можем сразу узнать модуль этого большого числа. Давайте посмотрим на тот же пример (A = 11, B = 7, C = 4) — можете ли вы найти результат 77 mod 4 на месте? 11 mod 4 и 7 mod 4 вычислить проще:

• (11 * 7) по модулю 4 = (11 по модулю 4 * 7 по модулю 4) по модулю 4

  левая часть уравнения: (11 * 7) по модулю 4 = 77 по модулю 4 = 1

  правая часть уравнения: (11 mod 4 * 7 mod 4) mod 4 = (3 * 3) mod 4 = 9 mod 4 = 1

3.100 мод 3 = (1 * 1) мод 3 = 1

Для некоторых конкретных случаев существуют даже более быстрые методы модульного возведения в степень (если B — степень двойки). Если вы хотите прочитать о них и попрактиковаться в модульной арифметике, ознакомьтесь с отличным учебником от Khan Academy под названием «Что такое модульная арифметика?»

Неопределенность определения модуля

Слово modulo происходит от латинского слова modus , означающего меру. Обычно, когда мы используем слово по модулю , мы имеем в виду операцию по модулю , например, e.грамм. 11 по модулю 3 равно 2, поэтому нужно просто найти остаток. Строгое определение по модулю означает:

Python поддерживает широкий спектр арифметических операторов, которые вы можете использовать при работе с числами в вашем коде.Одним из этих операторов является оператор по модулю (% ), который возвращает остаток от деления двух чисел.

Оператор по модулю Python иногда может быть упущен из виду. Но хорошее понимание этого оператора даст вам бесценный инструмент в вашем арсенале инструментов Python.

Математический модуль

Термин по модулю происходит от раздела математики, называемого модульной арифметикой. Модульная арифметика имеет дело с арифметикой целых чисел на круговой числовой строке с фиксированным набором чисел.Все арифметические операции, выполняемые на этой числовой строке, будут повторяться, когда они достигнут определенного числа, называемого модулем .

Классический пример модульной арифметики — двенадцать часов. Двенадцатичасовые часы имеют фиксированный набор значений от 1 до 12. При подсчете двенадцатичасовых часов вы рассчитываете до модуля 12, а затем возвращаетесь к 1. Двенадцатичасовые часы можно классифицировать как « по модулю 12 », иногда сокращается до« по модулю 12 ».

Оператор по модулю используется, когда вы хотите сравнить число с модулем и получить эквивалентное число, ограниченное диапазоном модуля.

Например, предположим, что вы хотите определить, сколько времени будет через девять часов после 8:00. В двенадцатичасовом формате вы не можете просто прибавить 9 к 8, потому что вы получите 17. Вам нужно взять результат, 17, и используйте мод , чтобы получить эквивалентное значение в двенадцатичасовом контексте:

  8 часов + 9 = 17 часов
17 мод 12 = 5
  

17 mod 12 возвращает 5 . Это означает, что девять часов после 8:00 — это 17:00. Вы определили это, взяв число 17 и применив его к контексту mod 12 .

Теперь, если подумать, 17 и 5 эквивалентны в контексте mod 12 . Если бы вы посмотрели на часовую стрелку в 5:00 и 17:00, она была бы в том же положении. В модульной арифметике есть уравнение, описывающее эту взаимосвязь:

Это уравнение гласит: « a и b равны по модулю n ». Это означает, что a и b эквивалентны в mod n , поскольку они имеют одинаковый остаток при делении на n .В приведенном выше уравнении n — это модуль для a и b . Используя значения 17 и 5 из предыдущих, уравнение будет выглядеть так:

Это гласит: « 17 и 5 равны по модулю 12 ». 17 и 5 имеют одинаковый остаток, 5 , при делении на 12 . Таким образом, в модели mod 12 числа 17 и 5 эквивалентны.

Подтвердить это можно с помощью деления:

  17/12 = 1 К 5
5/12 = 0 R 5
  

Обе операции имеют одинаковый остаток, 5 , поэтому они эквивалентны по модулю 12 .

Теперь это может показаться сложным математическим делом для оператора Python, но эти знания подготовят вас к использованию оператора по модулю в примерах далее в этом руководстве. В следующем разделе вы познакомитесь с основами использования оператора Python по модулю с числовыми типами int и float .

Основы операторов Python по модулю

Оператор по модулю, как и другие арифметические операторы, может использоваться с числовыми типами int и float . Как вы увидите позже, его также можно использовать с другими типами, такими как math.fmod () , decimal.Decimal и вашими собственными классами.

Оператор по модулю с

  >>> 15% 4
3

>>> 17% 12
5

>>> 240% 13
6

>>> 10% 16
10
  

  >>> 22% 0
ZeroDivisionError: целочисленное деление или по модулю нуля
  

  >>> 12,5% 5,5
1.5

>>> 17,0% 12,0
5.0
  

  >>> импорт математики
>>> математика.fmod (12.5, 5.5)
1.5

>>> math.fmod (8.5, 2.5)
1.0
  

  >>> 13,3% 1,1
0,09999999999999964

>>> импорт математики
>>> math.fmod (13.3, 1.1)
0,09999999999999964
  

  r = 8 - (-3 * усечение (8 / -3))
r = 8 - (-3 * усечение (-2,666666666667))
r = 8 - (-3 * -2) # Округление в сторону 0
г = 8 - 6
г = 2
  

  r = 8 - (-3 * этаж (8 / -3))
r = 8 - (-3 * этаж (-2.666666666667))
r = 8 - (-3 * -3) # Округление от 0
г = 8 - 9
г = -1
  

  >>> 8.0% -3
-1,0

>>> импорт математики
>>> math.fmod (8.0, -3.0)
2.0
  

  >>> divmod (37, 5)
(7, 2)

>>> 37 // 5
7

>>> 37% 5
2
  

  >>> divmod (37, -5)
(-8, -3)

>>> 37 // -5
-8

>>> 37% -5
-3 # Результат имеет знак делителя
  

  >>> 4 * 10% 12 - 9
-5
  

  >>> 4 * 10% (12-9)
1
  

  def is_even (число):
    вернуть число% 2 == 0
  

  def is_odd (число):
    вернуть число% 2! = 0
  

  def is_odd (число):
    вернуть число% 2 == 1
  

  >>> -3% 2
1

>>> 3% -2
-1
  

  >>> -2% 2
0

>>> 2% -2
0
  

  >>> names = ["Пикард", "Райкер", "Трой", "Крашер", "Ворф", "Дейта", "Ла Форж"]
>>> split_names_into_rows (имена)
---- Пикард ----- ----- Райкер ----- ----- Трой ------
---- Дробилка ---- ----- Worf ------ ----- Данные ------
--- Ла Форж ----
  

  >>> split_names_into_rows (имена, модуль = 4)
---- Пикард ----- ----- Райкер ----- ----- Трой ------ ---- Крашер ----
----- Ворф ------ ----- Данные ------ --- Ла Форж ----

>>> split_names_into_rows (имена, модуль = 2)
---- Пикард ----- ----- Райкер -----
----- Трой ------ ---- Дробилка ----
----- Worf ------ ----- Данные ------
--- Ла Форж ----

>>> split_names_into_rows (имена, модуль = 1)
---- Пикард -----
----- Райкер -----
----- Трой ------
----Дробилка----
----- Ворф ------
-----Данные------
--- Ла Форж ----
  

  для индекса, имя в перечислении (name_list, start = 1):
  

  если индекс% модуля == 0:
    Распечатать()
  

  импортная черепаха
случайный импорт

def draw_with_cyclic_iteration ():
    colors = ["зеленый", "голубой", "оранжевый", "фиолетовый", "красный", "желтый", "белый"]

    turtle.bgcolor ("gray8") # Hex: # 333333
    turtle.pendown ()
    turtle.pencolor (random.выбор (цвета)) # Первый цвет случайный

    i = 0 # Начальный индекс

    в то время как True:
        i = (i + 1)% 6 # Обновить индекс
        turtle.pensize (i) # Установить размер pensize на i
        черепаха вперед (225)
        черепаха. правая (170)

        # Выберите случайный цвет
        если я == 0:
            turtle.pencolor (random.choice (цвета))
  

  импортная черепаха
случайный импорт

def draw_with_cyclic_iteration ():
    colors = ["зеленый", "голубой", "оранжевый", "фиолетовый", "красный", "желтый", "белый"]

    turtle.bgcolor ("gray8") # Hex: # 333333
    turtle.pendown ()
    turtle.pencolor (random.choice (цвета))

    i = 0 # Начальный индекс

    в то время как True:
        i = (i + 1)% 6 # Обновить индекс
        черепаха.pensize (i) # Установить размер pensize на i
        черепаха вперед (225)
        черепаха. правая (170)

        # Выберите случайный цвет
        если я == 0:
            turtle.pencolor (random.choice (цвета))
  

  я = 0: (0 + 1)% 6 = 1
я = 1: (1 + 1)% 6 = 2
я = 2: (2 + 1)% 6 = 3
я = 3: (3 + 1)% 6 = 4
я = 4: (4 + 1)% 6 = 5
i = 5: (5 + 1)% 6 = 0 # Сброс
  

  если i == 0:
    turtle.pencolor (random.choice (цвета))
  

  def convert_inches_to_feet (total_inches):
    дюймы = total_inches% 12
    футов = total_inches // 12

    print (f "{total_inches} дюймов = {футов} футов и {дюймов} дюймов")
  

  >>> convert_inches_to_feet (450)
450 дюймов = 37 футов 6 дюймов
  

  def convert_minutes_to_days (total_mins):
    дней = total_mins // 1440
    extra_minutes = total_mins% 1440

    часы = extra_minutes // 60
    минут = дополнительные_минуты% 60

    print (f "{total_mins} = {дней} дней, {часов} часов и {минут} минут")
  

  >>> convert_minutes_to_days (1503)
1503 = 1 день, 1 час и 3 минуты

>>> convert_minutes_to_days (3456)
3456 = 2 дня, 9 часов и 36 минут

>>> convert_minutes_to_days (35000)
35000 = 24 дня, 7 часов и 20 минут
  

  def convert_inches_to_feet_updated (total_inches):
    футы, дюймы = divmod (total_inches, 12)
    print (f "{total_inches} дюймов = {футов} футов и {дюймов} дюймов")
  

  >>> convert_inches_to_feet (450)
450 дюймов = 37 футов 6 дюймов

>>> convert_inches_to_feet_updated (450)
450 дюймов = 37 футов 6 дюймов
  

  def convert_minutes_to_days_updated (total_mins):
    дней, extra_minutes = divmod (total_mins, 1440)
    часы, минуты = divmod (extra_minutes, 60)

    print (f "{total_mins} = {дней} дней, {часов} часов и {минут} минут")
  

  >>> convert_minutes_to_days (1503)
1503 = 1 день, 1 час и 3 минуты

>>> convert_minutes_to_days_updated (1503)
1503 = 1 день, 1 час и 3 минуты
  

  def check_prime_number (число):
    если число <2:
        print (f "{число} должно быть больше или равно 2, чтобы быть простым.")
        возвращаться

    факторы = [(1, число)]
    я = 2

    в то время как я * я <= число:
        если num% i == 0:
            Factors.append ((i, num // i))
        я + = 1

    если len (факторы)> 1:
        print (f "{число} не является простым. Имеет следующие множители: {факторы}")
    еще:
        print (f "{num} - простое число")
  

  >>> check_prime_number (44)
44 не простое.Он имеет следующие факторы: [(1, 44), (2, 22), (4, 11)]

>>> check_prime_number (53)
53 - простое число

>>> check_prime_number (115)
115 не простое. Он имеет следующие факторы: [(1, 115), (5, 23)]

>>> check_prime_number (997)
997 - простое число
  

  если число <2:
    print (f "{число} должно быть больше или равно 2, чтобы быть простым.")
    возвращаться
  

  факторов = [(1, num)]
я = 2

в то время как я * я <= число:
    если num% i == 0:
        Factors.append ((i, num // i))
    я + = 1
  

  я = 2

в то время как я * я <= число:
    если num% i == 0:
        Factors.append ((i, num // i))
    я + = 1
  

  факторов = [(1, num)]
i = 2 # Начать начальный индекс с 2

в то время как я * я <= число:
    если num% i == 0:
        Factors.append ((i, num // i))
    я + = 1
  

  если len (факторы)> 1:
    print (f "{число} не является простым. Имеет следующие множители: {факторы}")
еще:
    print (f "{num} - простое число")
  

  encrypted_char_index = (char_index + shift)% 26
decrypted_char_index = (char_index - сдвиг)% 26
  

  строка импорта

def caesar_cipher (текст, сдвиг, дешифрование = False):
    если не text.isascii () или не text.isalpha ():
        Raise ValueError ("Текст должен быть в формате ASCII и не содержать чисел.")

    нижний регистр = строка.ascii_lowercase
    верхний регистр = строка.ascii_uppercase
    результат = ""

    если расшифровать:
        сдвиг = сдвиг * -1

    для символа в тексте:
        если char.islower ():
            index = lowercase.index (char)
            результат + = нижний регистр [(индекс + сдвиг)% 26]
        еще:
            index = прописные буквы.индекс (символ)
            результат + = верхний регистр [(индекс + сдвиг)% 26]

    вернуть результат
  

  def caesar_cipher (text, shift, decrypt = False):
    если не text.isascii () или не text.isalpha ():
        Raise ValueError ("Текст должен быть в формате ASCII и не содержать чисел.")
  

  нижний регистр = строка.ascii_lowercase # "abcdefghijklmnopqrstuvwxyz"
uppercase = string.ascii_uppercase # "ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"
результат = ""
  

  если расшифровать:
    сдвиг = сдвиг * -1
  

  для символа в тексте:
    если char.islower ():
        index = lowercase.index (char)
        результат + = нижний регистр [(индекс + сдвиг)% 26]
    еще:
        index = uppercase.index (символ)
        результат + = верхний регистр [(индекс + сдвиг)% 26]

вернуть результат
  

  строка импорта

def caesar_cipher (текст, сдвиг, дешифрование = False):
    если не text.isascii () или не text.isalpha ():
        Raise ValueError ("Текст должен быть в формате ASCII и не содержать чисел.")

    нижний регистр = строка.ascii_lowercase
    прописные буквы = строка.ascii_uppercase
    результат = ""

    если расшифровать:
        сдвиг = сдвиг * -1

    для символа в тексте:
        если char.islower ():
            index = lowercase.index (char)
            результат + = нижний регистр [(индекс + сдвиг)% 26]
        еще:
            index = uppercase.index (символ)
            результат + = верхний регистр [(индекс + сдвиг)% 26]

    вернуть результат
  

  >>> caesar_cipher ("meetMeAtOurHideOutAtTwo", 10)
woodWoKdYebRsnoYedKdDgy
  

  >>> caesar_cipher ("woodWoKdYebRsnoYedKdDgy", 10, decrypt = True)
MeetMeAtOurHideOutAtTwo
  

  строка импорта

def vigenere_cipher (текст, ключ, decrypt = False):
    если не text.isascii () или не text.isalpha () или не text.isupper ():
        Raise ValueError ("Текст должен быть в верхнем регистре ASCII без цифр.")

    uppercase = string.ascii_uppercase # "ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"
    результаты = ""

    для i, символ в перечислении (текст):
        current_key = ключ [i% len (ключ)]
        char_index = uppercase.index (символ)
        key_index = uppercase.index (текущий_ключ)

        если расшифровать:
            index = char_index - key_index + 26
        еще:
            index = char_index + key_index

        результаты + = верхний регистр [индекс% 26]

    вернуть результаты
  

  def vigenere_cipher (текст, ключ, decrypt = False):
    если не текст.isascii () или не text.isalpha () или не text.isupper ():
        Raise ValueError ("Текст должен быть в верхнем регистре ASCII без цифр.")

    верхний регистр = строка.ascii_uppercase
    результаты = ""
  

  для i, символ в перечислении (текст):
    current_key = ключ [i% len (ключ)]
  

  current_key = ключ [i% len (ключ)]
  

  char_index = uppercase.index (char)
key_index = uppercase.index (текущий_ключ)

если расшифровать:
    index = char_index - key_index + 26
еще:
    index = char_index + key_index
  

  результаты + = прописные буквы [индекс% 26]
  

  строка импорта

def vigenere_cipher (текст, ключ, decrypt = False):
    если не text.isascii () или не text.isalpha () или не text.isupper ():
        Raise ValueError ("Текст должен быть в верхнем регистре ASCII без цифр.")

    uppercase = string.ascii_uppercase # "ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"
    результаты = ""

    для i, символ в перечислении (текст):
        current_key = ключ [i% len (ключ)]
        char_index = uppercase.index (символ)
        key_index = прописные буквы.индекс (текущий_ключ)

        если расшифровать:
            index = char_index - key_index + 26
        еще:
            index = char_index + key_index

        результаты + = верхний регистр [индекс% 26]

    вернуть результаты
  

  >>> vigenere_cipher (text = "REALPYTHON", key = "MODULO")
DSDFAMFVRH

>>> encrypted = vigenere_cipher (text = "REALPYTHON", key = "MODULO")
>>> печать (в зашифрованном виде)
DSDFAMFVRH

>>> vigenere_cipher (зашифровано, "MODULO", decrypt = True)
РЕАЛПИТОН
  

  >>> импортировать десятичный
>>> десятичное.Десятичное (15)% десятичное.Десятичное (4)
Десятичный ('3')

>>> десятичный.Десятичный (240)% десятичный. Десятичный (13)
Десятичный ('6')
  

  >>> decimal.Decimal ("12,5")% decimal.Decimal ("5.5")
Десятичный ('1,5')

>>> decimal.Decimal ("13.3")% decimal.Decimal ("1.1")
Десятичный ('0,1')
  

  >>> -17% 3
1 # Знак делителя

>>> десятичное.Десятичное (-17)% десятичное.Десятичное (3)
Десятичный (-2) # Знак дивиденда

>>> 17% -3
-1 # Знак делителя

>>> десятичный.Десятичный (17)% десятичный. Десятичный (-3)
Десятичный ("2") # Знак дивиденда

>>> -13,3% 1,1
1.0000000000000004 # Знак делителя

>>> decimal.Decimal ("- 13,3")% decimal.Decimal ("1,1")
Десятичный ("- 0,1") # Знак дивиденда
  

  >>> decimal.Decimal ("- 13,3")% decimal.Decimal ("1,1")
Десятичный ("- 0,1")

>>> математика.fmod (-13,3, 1,1)
-0,09999999999999964
  

  класс Студент:
    def __init __ (я, имя):
        self.name = имя
        self.study_sessions = []

    def add_study_sessions (самостоятельно, сеансы):
        себя.study_sessions + = сеансы
  

  def total_study_time_in_hours (студент, всего_мин.):
    часы = total_mins // 60
    минут = total_mins% 60

    print (f "{student.name} изучил {часы} часы и {минуты} минуты")
  

  класс Студент:
    def __init __ (я, имя):
        себя.name = имя
        self.study_sessions = []

    def add_study_sessions (самостоятельно, сеансы):
        self.study_sessions + = сеансы

def total_study_time_in_hours (студент, total_mins):
    часы = total_mins // 60
    минут = total_mins% 60

    print (f "{student.name} изучил {часы} часы и {минуты} минуты")
  

  >>> jane = Студент ("Джейн")
>>> jane.add_study_sessions ([120, 30, 56, 260, 130, 25, 75])
>>> total_mins = сумма (джейн.study_sessions)
>>> total_study_time_in_hours (Джейн, всего_минут)
Джейн занималась 11 часов 36 минут
  

  класс Студент:
    def __init __ (я, имя):
        себя.name = имя
        self.study_sessions = []

    def add_study_sessions (самостоятельно, сеансы):
        self.study_sessions + = сеансы

    def __mod __ (сам, другое):
        возвратная сумма (self.study_sessions)% other

    def __floordiv __ (я, другой):
        возвратная сумма (self.study_sessions) // другое
  

  def total_study_time_in_hours (студент):
    часы = студент // 60
    минут = студент% 60

    print (f "{student.name} изучил {часы} часы и {минуты} минуты")
  

  класс Студент:
    def __init __ (я, имя):
        себя.name = имя
        self.study_sessions = []

    def add_study_sessions (самостоятельно, сеансы):
        self.study_sessions + = сеансы

    def __mod __ (сам, другое):
        возвратная сумма (self.study_sessions)% other

    def __floordiv __ (я, другой):
        возвратная сумма (self.study_sessions) // другое

def total_study_time_in_hours (студент):
    часы = студент // 60
    минут = студент% 60

    print (f "{student.name} изучил {часы} часы и {минуты} минуты")
  

  >>> jane = Студент ("Джейн")
>>> Джейн.add_study_sessions ([120, 30, 56, 260, 130, 25, 75])
>>> total_study_time_in_hours (Джейн)
Джейн занималась 11 часов 36 минут