Исследование на сходимость знакочередующихся рядов: Знакочередующиеся и знакопеременные ряды и их сходимость. Примеры

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Примеры решений

Для того чтобы понять примеры данного урока необходимо хорошо ориентироваться в положительных числовых рядах: понимать, что такое ряд, знать необходимый признак сходимости ряда, уметь применять признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши. Тему можно поднять практически с нуля, последовательно изучив статьи Ряды для чайникови Признак Даламбера. Признаки Коши. Логически этот урок является третьим по счёту, и он позволит не только разобраться в знакочередующихся рядах, но и закрепить уже пройденный материал! Какой-то новизны будет немного, и освоить знакочередующиеся ряды не составит большого труда. Всё просто и доступно.

Что такое знакочередующийся ряд? Это понятно или почти понятно уже из самого названия. Сразу простейший пример.

Рассмотрим ряд   и распишем его подробнее:

А сейчас будет убийственный комментарий. У членов знакочередующегося ряда чередуются знаки: плюс, минус, плюс, минус, плюс, минус и т.

д. до бесконечности. Знакочередование обеспечивает множитель  : если   чётное, то будет знак «плюс», если нечётное – знак «минус». На математическом жаргоне эта штуковина называется «мигалкой». Таким образом, знакочередующийся ряд «опознается» по минус единичке в степени «эн».

В практических примерах знакочередование членов ряда может обеспечивать не только множитель  , но и его родные братья:  ,  ,  , …. Например:

Подводным камнем являются «обманки»:  ,  ,   и т.п. – такие множители не обеспечивают смену знака. Совершенно понятно, что при любом натуральном  :  ,  ,  . Ряды с обманками подсовывают не только особо одаренным студентам, они время от времени возникают «сами собой» в ходе решенияфункциональных рядов.

Как исследовать знакочередующийся ряд на сходимость? Использовать признак Лейбница. Про немецкого гиганта мысли Готфрида Вильгельма Лейбница я рассказывать ничего не хочу, так как помимо математических трудов, он накатал несколько томов по философии.

Опасно для мозга.

Признак Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда убывают по модулю, то ряд сходится.

Или в два пункта:

1) Ряд является знакочередующимся.

2) Члены ряда убывают по модулю. То есть,  .

Если выполнены оба условия, то ряд сходится.

Справка для тех, кто забыл, что такое модуль:

Что значит «по модулю»? Модуль, как мы помним со школы, «съедает» знак «минус». Вернемся к ряду  . Мысленно сотрём все знаки и посмотрим только на числа. Мы увидим, что каждый следующий член ряда меньше, чем предыдущий. Таким образом, следующие фразы обозначает одно и то же:

– Члены ряда без учёта знака убывают. – Члены ряда убывают по модулю. – Члены ряда убывают по абсолютной величине

. – Модуль общего члена ряда стремится к нулю: 

Конец справки

Пример 1

Исследовать ряд на сходимость 

В общий член ряда входит множитель  , а значит, нужно использовать признак Лейбница

1) Проверка ряда на знакочередование. Обычно в этом пункте решения ряд расписывают подробно    и выносят вердикт «Ряд является знакочередующимся».

2) Убывают ли члены ряда по модулю? Необходимо решить предел  , который чаще всего является очень простым.

 – члены ряда не убывают по модулю.

Вывод: ряд расходится.

Как разобраться, чему равно  ? Очень просто. Как известно, модуль уничтожает минусы, поэтому для того, чтобы составить  , нужно просто убрать с крыши проблесковый маячок. В данном случае общий член ряда  . Тупо убираем «мигалку»: 

Пример 2

Исследовать ряд на сходимость 

Используем признак Лейбница:

1)  Ряд является знакочередующимся.

2)   – члены ряда убывают по модулю.

Вывод: ряд сходится.

Всё бы было очень просто – но это еще не конец решения!

Если ряд сходится по признаку Лейбница, то также говорят, что ряд сходится условно.

Если сходится и ряд, составленный из модулей:  , то говорят, что ряд сходится абсолютно.

Поэтому на повестке дня второй этап решения типового задания – исследование знакочередующегося ряда на абсолютную сходимость.

Я не виноват – такая уж теория числовых рядов =)

Исследуем наш ряд на абсолютную сходимость. Составим ряд из модулей – опять просто убираем множитель, который обеспечивает знакочередование:   – расходится (гармонический ряд).

Таким образом, наш ряд не является абсолютно сходящимся. Исследуемый ряд    сходится только условно.

Заметьте, что в Примере №1 второй этап не нужен, поскольку еще на первом шаге сделан вывод о том, что ряд расходится.

Собираем ведёрки, лопатки, машинки и выходим из песочницы. Рассматривать более содержательные примеры из кабины экскаватора.

Пример 3

Исследовать ряд на сходимость 

Используем признак Лейбница:

1)  Данный ряд является знакочередующимся.

2)   – члены ряда убывают по модулю.

Вывод: Ряд сходится.

Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

Анализируя начинку ряда, приходим к выводу, что здесь нужно использовать предельный признак сравнения. Скобки в знаменателе удобнее раскрыть:

Сравним данный ряд со сходящимся рядом  . Используем предельный признак сравнения.

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд   сходится вместе с рядом  .

Исследуемый ряд сходится абсолютно

.

Готово.

Пример 4

Исследовать ряд на сходимость 

Пример 5

Исследовать ряд на сходимость 

Это примеры для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления в конце урока.

Как видите, знакочередующиеся ряды – это просто и занудно! Но не спешите закрывать страницу, всего через пару экранов мы рассмотрим случай, которых многих ставит в тупик. А пока еще пара примеров для тренировки и повторения.

Пример 6

Исследовать ряд на сходимость 

Используем признак Лейбница.  1) Ряд является знакочередующимся. 2)    Члены ряда убывают по модулю. Вывод: ряд сходится.

Обратите внимание, что я не расписал подробно члены ряда. Их всегда желательно расписывать, но от непреодолимой лени в «тяжелых» случаях можно ограничиться фразой «Ряд является знакочередующимся». Кстати, не нужно относиться к этому пункту формально,

всегда проверяем (хотя бы мысленно) что ряд действительно знакочередуется. Беглый взгляд подводит, и ошибка допускается «на автомате». Помните об «обманках»  ,  ,  , если они есть, то от них нужно избавиться, получив «обычный» ряд с положительными членами.

Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

Очевидно, что нужно использовать радикальный признак Коши:

Таким образом, ряд   сходится.

Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Пример 7

Исследовать ряд на сходимость 

Это пример для самостоятельного решения. Хммм… что-то я немного погорячился на счет простоты.

Нередко встречаются знакочередующиеся ряды, которые вызывают затруднения.

Пример 8

Исследовать ряд на сходимость 

Используем признак Лейбница: 1) Ряд является знакочередующимся.

2)   

Дело в том, что не существует стандартных обыденных приемов для решения подобных пределов. Куда стремится такой предел? К нулю, к бесконечности? 

Здесь важно, ЧТО на бесконечности растёт быстрее – числитель или знаменатель. Если числитель   при   растёт быстрее факториала, то  . Если, на бесконечности факториал растёт быстрее числителя, то он, наоборот – «утянет» предел на ноль:  . А может быть этот предел равен какому-нибудь отличному  от нуля числу?

Попробуем записать несколько первых членов ряда:

Создается стойкое впечатление, что  , но где гарантия, что при очень больших «эн» факториал не «обгонит» числитель и не утащит предел на ноль?

Обратимся к теории математического анализа, там давно всё доказано.

Справка

– Факториал растёт быстрее, чем любая показательная последовательность, иными словами:   или  . Да хоть миллион в степени «эн», это не меняет дела. Математики говорят, что факториал более высокого порядка роста, чем любая показательная последовательность.

– Факториал растёт быстрее, чем любая степенная последовательность или многочлен, иными словами:   или  . Вместо   можно подставить какой-нибудь многочлен тысячной степени, это опять же не изменит ситуацию – рано или поздно факториал всё равно «перегонит» и такой страшный многочлен. Факториал более высокого порядка роста, чем любая степенная последовательность.

– Факториал растёт быстрее, чем произведение любого количества показательных и степенных последовательностей (наш случай).

– Любая показательная последовательность растёт быстрее, чем любая степенная последовательность, например:  ,  . Показательная последовательность более высокого порядка роста, чем любая степенная последовательность. Аналогично факториалу, показательная последовательность «перетягивает» произведение любого количества любых степенных последовательностей или многочленов: 

Конец справки

Таким образом, второй пункт исследования (вы еще об этом помните? =)) можно записать так: 2)  , так как   более высокого порядка роста, чем  . Члены ряда убывают по модулю.

Вывод: ряд сходится.

Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

А здесь уже работает старый добрый признак Даламбера:

Используем признак Даламбера:

Таким образом, ряд   сходится.

Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Разобранный пример можно решить другим способом.

Теорема: Если ряд сходится абсолютно, то он сходится и условно.

Наверное, вы уже заметили, что обратное неверно: если ряд сходится условно, то это еще не значит, что он сходится абсолютно.

Пример 8 «на бис» вторым способом.

Исследовать ряд на сходимость 

Решение:

 Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

Используем признак Даламбера: … только что печатал … Таким образом, ряд   сходится. По соответствующей теореме из абсолютной сходимости ряда следует и условная сходимость ряда.

Вывод: Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Правда, при втором способе решения есть риск, что преподаватель оценит хитро… смекалку студента и забракует задание. А может и не забракует.

И напоследок пара примеров для самостоятельного решения. Один из той же оперы (перечитайте справку), но попроще. Другой для гурманов – на закрепление интегрального признака сходимости. 

Пример 9

Исследовать ряд на сходимость 

Пример 10

Исследовать ряд на сходимость 

После качественной проработки числовых положительных и знакопеременных рядов с чистой совестью можно перейти к функциональным рядам, которые не менее монотонны и однообразны интересны.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 4: Используем признак Лейбница:

1) Данный ряд является знакочередующимся. 2)    Члены ряда не убывают по модулю. Вывод: Ряд расходится. Примечание: В данном примере неопределенность   устраняется стандартным способом: делением числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени. Старшая степень числителя: 1, старшая степень знаменателя: 

Пример 5: Используем признак Лейбница.   1) Ряд является знакочередующимся. 2)  – члены ряда убывают по модулю. Ряд сходится по признаку Лейбница. Исследуем ряд на абсолютную сходимость: Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом  . Используем предельный признак сравнения:  – конечное число, отличное от нуля,  значит, ряд   расходится вместе с гармоническим рядом. Исследуемый ряд сходится только условно.

Пример 7: Используем признак Лейбница.  1) Ряд является знакочередующимся. 2)  – члены ряда убывают по модулю. Ряд сходится по признаку Лейбница. Исследуем ряд на абсолютную сходимость: Используем признак Даламбера: Таким образом, ряд  сходится. Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Примечание: Возможно, не всем понятно, как разложены факториалы. Это всегда можно установить опытным путём, возьмём и сравним  какие-нибудь соседние члены ряда:   и , следующий член ряда к предыдущему:    и , следующий член ряда к предыдущему:  …

Пример 9: Используем признак Лейбница.  1) Ряд является знакочередующимся. 2) – так как   более высокого порядка роста, чем  Члены ряда убывают по модулю Вывод: Ряд сходится. Исследуем ряд на абсолютную сходимость: Используем признак Даламбера: Таким образом, ряд   – сходится. Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Пример 10: Используем признак Лейбница.  1) Ряд является знакочередующимся. 2)  – члены ряда убывают по модулю. Ряд сходится по признаку Лейбница. Исследуем ряд на абсолютную сходимость: Используем интегральный признак.  Подынтегральная функция непрерывна на  . Таким образом, ряд   расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

Исследуемый ряд сходится только условно.

Исследование сходимости знакочередующихся рядов. Исследование числовых рядов на абсолютную и условную сходимость — КиберПедия

Навигация: Главная Случайная страница Обратная связь ТОП Интересно знать Избранные Топ: Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров… Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда… Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства. .. Интересное: Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются… Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений… Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными… Дисциплины: Автоматизация Антропология Археология Архитектура Аудит Биология Бухгалтерия Военная наука Генетика География Геология Демография Журналистика Зоология Иностранные языки Информатика Искусство История Кинематография Компьютеризация Кораблестроение Кулинария Культура Лексикология Лингвистика Литература Логика Маркетинг Математика Машиностроение Медицина Менеджмент Металлургия Метрология Механика Музыкология Науковедение Образование Охрана Труда Педагогика Политология Правоотношение Предпринимательство Приборостроение Программирование Производство Промышленность Психология Радиосвязь Религия Риторика Социология Спорт Стандартизация Статистика Строительство Теология Технологии Торговля Транспорт Фармакология Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Черчение Экология Экономика Электроника Энергетика Юриспруденция

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 6Следующая ⇒ Цель: Формирование навыков исследования сходимости знакочередующихся рядов; исследования числовых рядов на абсолютную и условную сходимость Время выполнения: 2 часа Требования к выполнению практической работы: 1. Ответить на теоретические вопросы. 2.Оформить задания в тетради для практических работ. Теоретический материал Числовой ряд (23.1) называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа. Числовой ряд (23.1) называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки. Этот ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов. Если члены знакочередующегося ряда (23.1) монотонно убывают по абсолютной величине и общий член стремиться к нулю при , то ряд (23.1) сходится. Этот признак служит достаточным признаком сходимости знакочередующихся рядов. Знакопеременный ряд (23.1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , (23.2) составленный из абсолютных величин его членов, то есть всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся. Если знакопеременный ряд (23.1) сходится, а составленный из абсолютных величин его членов ряд (23.2) расходится, то данный ряд (23.1) называется условно (неабсолютно) сходящимся. Заметим, что из расходимость ряда (23.2) в общем случае не следует расходимость ряда (23.1). Для установления абсолютной сходимости знакопеременного (и знакочередующегося) ряда используются те же признаки, что и для сходимости ряда с положительными членами. Для решения вопроса об абсолютной или условной сходимости знакочередующегося ряда необходимо рассмотреть ряд, составленный из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда. Если при исследовании этого ряда с помощью одного из признаков сходимости (признака Даламбера, признака сравнения рядов) ряд окажется сходящимся, то данный знакочередующийся ряд сходится абсолютно; если же ряд окажется расходящимся, то знакочередующийся ряд сходится условно. Примеры Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Решение: 1) Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают: и . Следовательно, согласно признаку Лейбницу, ряд сходится. Выясним, сходится ли этот ряд абсолютно или условно. Ряд , составленный из абсолютных величин членов данного ряда, который, как, известно, расходится. Поэтому данный ряд сходится условно. 2) Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают , но . Ряд расходится, так как признак Лейбница не выполняется. 3) Используя признак Лейбница, получим ; , то есть ряд сходится. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: . Это геометрический ряд вида , который сходится. Поэтому данный ряд сходится абсолютно. 4) Используя признак Лейбница, имеем ; , то есть ряд сходится. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного рада: , или . Это обобщенный гармонический ряд, который расходится, так как . Следовательно, данный ряд сходится условно. Задания для практической работы 1. Используя признак Лейбница, исследуйте сходимость знакочередующегося ряда: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 2. Исследуйте на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующиеся ряды: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) . Контрольные вопросы: 1. Какой ряд называется знакопеременным? 2. Какой ряд называется знакочередующимся? 3. Сформулируйте признак Лейбница для знакочередующихся рядов. 4. Какой ряд называется абсолютно сходящимся, условно сходящимся? 5. Какие признаки используются для установления абсолютной сходимости знакопеременного ряда? Рекомендуемая литература: 1.2[с. 405-430], 2.2[с. 66-113]. Практическая работа №24 ⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒ Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства. .. Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций… Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)… Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни… 

Исчисление II — Тест чередующихся серий

Онлайн-заметки Пола
Главная / Исчисление II / Серии и последовательности / Испытание чередующейся серии

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 10.8: Тест чередующихся серий

Последние два теста сходимости рядов, которые мы рассматривали, требовали, чтобы все члены ряда были положительными. Конечно, есть много рядов, в которых есть отрицательные термины, и поэтому теперь нам нужно начать искать тесты для таких рядов.

Тест, который мы рассмотрим в этом разделе, будет тестом на чередующиеся серии. Чередующийся ряд — это любой ряд \(\sum {{a_n}} \), для которого члены ряда могут быть записаны в одной из следующих двух форм. 9{n + 1}}\end{выравнивание*}\]

Конечно, есть много других, но все они следуют одному и тому же основному шаблону сведения к одной из первых двух данных форм. {n + 1}}{b_n}\), где \({b_n} \ge 0\) для всех \(n\). Тогда если

1. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} {b_n} = 0\) и,
2. \(\left\{ {{b_n}} \right\}\) — убывающая последовательность

ряд \(\sum {{a_n}} \) сходится.

Доказательство этого теста находится в конце раздела.

Есть несколько замечаний по поводу этого теста. Во-первых, в отличие от интегрального теста и теста сравнения/предельного сравнения, этот тест покажет нам только то, когда ряд сходится, а не расходится ли ряд. 9п}{b_n}} \]

Первый ряд представляет собой конечную сумму (независимо от того, насколько велико \(N\)) конечных членов, поэтому мы можем вычислить его значение, и оно будет конечным. Сходимость ряда будет зависеть исключительно от сходимости второго (бесконечного) ряда. Если второй ряд имеет конечное значение, то сумма двух конечных значений также конечна, и поэтому исходный ряд будет сходиться к конечному значению. С другой стороны, если второй ряд расходится либо потому, что его значение бесконечно, либо потому, что он не имеет значения, то добавление к нему конечного числа не изменит этого факта, и поэтому исходный ряд будет расходиться.

Суть всего этого в том, что нам не нужно требовать, чтобы члены ряда уменьшались для всех \(n\). Нам нужно только потребовать, чтобы члены ряда в конечном итоге уменьшались, поскольку мы всегда можем исключить первые несколько членов, которые на самом деле не уменьшаются, и рассматривать только те члены, которые действительно уменьшаются.

Обратите внимание, что на практике мы не удаляем члены, которые не уменьшаются. Все, что мы делаем, — это проверяем, что в конце концов члены ряда уменьшаются, а затем применяем тест. 9{n + 1}}\frac{1}{n}} \hspace{0,5in}{b_n} = \frac{1}{n}\]

Теперь все, что нам нужно сделать, это выполнить два условия в тесте.

\[\ mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} {b_{n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\ ] \[{b_n} = \frac{1}{n} > \frac{1}{{n + 1}} = {b_{n + 1}}\]

Оба условия выполнены, поэтому с помощью теста чередующихся рядов ряды должны сходиться. 2} + 5}}} \справа]\]

Теперь, вторая часть этого явно переходит в 1 как \(n \to \infty \), в то время как первая часть просто чередуется между 1 и -1. Итак, поскольку \(n \to \infty \) члены чередуются между положительными и отрицательными значениями, которые становятся все ближе и ближе к 1 и -1 соответственно.

Чтобы существовали пределы, мы знаем, что термины должны сводиться к одному числу, и, поскольку они явно не существуют, этого предела не существует, и поэтому по тесту на расхождение этот ряд расходится. 9{n — 3}}\sqrt n}}{{n + 4}}} \]

Показать решение

Обратите внимание, что в данном случае показатель степени «-1» не равен \(n\) или \(n + 1\). Однако это не изменит работу теста, поэтому мы не будем об этом беспокоиться. В данном случае имеем

. \[{b_n} = \frac{{\sqrt n}}{{n + 4}}\]

так что давайте проверим условия.

Первое достаточно легко проверить.

\[\ mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} {b_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} \frac{{\sqrt n}}{{n + 4 }} = 0\]

Второе условие требует некоторой работы. Не сразу понятно, что эти сроки будут уменьшаться. Увеличение \(n\) до \(n + 1\) увеличит как числитель, так и знаменатель. Увеличение числителя говорит о том, что член также должен увеличиваться, а увеличение знаменателя говорит о том, что член должен уменьшаться. Поскольку неясно, какой из них выиграет, нам придется прибегнуть к методам исчисления I, чтобы показать, что члены уменьшаются.

Начнем со следующей функции и ее производной. 92}}}\]

Теперь у этой функции есть две критические точки: \(x = 0\) и \(x = 4\). Обратите внимание, что \(x = — 4\) не является критической точкой, потому что функция не определена в \(x = — 4\). Первый находится за пределами нашей серии, поэтому нам не нужно беспокоиться об этом. Использование контрольных точек,

\[f’\влево( 1 \вправо) = \frac{3}{{50}}\hspace{0,5 дюйма}f’\влево( 5 \вправо) = — \frac{{\sqrt 5}}{{ 810}}\]

и, таким образом, мы можем видеть, что функция возрастает по \(0 \le x \le 4\) и убывает по \(x \ge 4\). Следовательно, поскольку \(f\left( n \right) = {b_n}\), мы также знаем, что \({b_n}\) также возрастают на \(0 \le n \le 4\) и убывают на \(n \ge 4\).

Затем \({b_n}\) постепенно уменьшаются, и второе условие выполняется.

Оба условия соблюдены, поэтому в тесте чередующихся рядов ряды должны сходиться.

Как показал предыдущий пример, иногда нам нужно проделать изрядную работу, чтобы показать, что члены уменьшаются. Не стоит просто делать предположение, что сроки будут уменьшаться, и останавливаться на этом. 9n}}}{{\sqrt n}}\hspace{0,5in} \Rightarrow \hspace{0,25in}\,\,\,\,\,{b_n} = \frac{1}{{\sqrt n} }} \]

Проверка двух условий дает,

\[\ mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} {b_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} \frac{1}{{\sqrt n}} = 0 \] \[{b_n} = \frac{1}{{\sqrt n}} > \frac{1}{{\sqrt {n + 1}}} = {b_{n + 1}}\]

Два условия теста выполнены, и, следовательно, по тесту чередующихся рядов ряд сходится.

Следует отметить, что перезапись, которую мы сделали в предыдущем примере, работает только потому, что \(n\) является целым числом и из-за присутствия \(\pi\). Без \(\pi\) мы не смогли бы этого сделать, а если бы \(n\) не было гарантированно целым числом, мы бы не смогли этого сделать.

Давайте завершим этот раздел доказательством теста чередующихся серий.

Проверка чередующихся рядов

Без ограничения общности можно предположить, что ряд начинается с \(n = 1\). Если нет, мы могли бы изменить приведенное ниже доказательство, чтобы оно соответствовало новому начальному положению, или мы могли бы сделать сдвиг индекса, чтобы серия начиналась с \(n = 1\). 9{n}}{b_n}\) нам нужно лишь внести небольшие изменения в доказательство, поэтому мы не будем давать это доказательство.

Наконец, в примерах все, что нам действительно нужно, это чтобы \({b_n}\) были положительными и со временем уменьшались, но для того, чтобы это доказательство работало, нам действительно нужно, чтобы они были положительными и уменьшались для всех \(n\) .

Во-первых, обратите внимание, что, поскольку члены последовательности уменьшаются для любых двух последовательных членов, мы можем сказать,

\[b_{n} — {b_{n + 1}} \ge 0\]

Теперь давайте посмотрим на четные частичные суммы.

\[\begin{align*}{s_2}& = {b_1} — {b_2} \ge 0\\ {s_4} & = {b_1} — {b_2} + {b_3} — {b_4} = {s_2} + {b_3} — {b_4} \ge {s_2} & \hspace{0.5in} & {\mbox{потому что}}}{b_3} — {b_4} \ge 0\\ {s_6} & = {s_4} + {b_5 } — {b_6} \ge {s_4} & \hspace{0.5in} & {\mbox{потому что}}}{b_5} — {b_6} \ge 0\\ & \,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vdots \\ {s_{2n}} & = {s_{2n — 2}} + { b_{2n — 1}} — {b_{2n}} \ge {s_{2n — 2}} & \hspace{0.5in} & {\mbox{потому что}}{b_{2n — 1}} — {b_ {2n}} \ge 0\end{align*}\]

Итак, \(\left\{ {{s_{2n}}} \right\}\) — возрастающая последовательность.

Далее мы можем записать общий термин как

\[\begin{align*}{s_{2n}} & = {b_1} — {b_2} + {b_3} — {b_4} + {b_5} + \cdots — {b_{2n — 2}} + {b_ {2n — 1}} — {b_{2n}}\\ & = {b_1} — \left( {{b_2} — {b_3}} \right) — \left( {{b_4} — {b_5}} \ справа) + \cdots — \left( {{b_{2n — 2}} — {b_{2n — 1}}} \right) — {b_{2n}}\end{align*}\]

Каждая из величин в скобках положительна, и по предположению мы знаем, что \({b_{2n}}\) также положительна. Итак, это говорит нам, что \({s_{2n}} \le {b_1}\) для всех \(n\).

Теперь мы знаем, что \(\left\{ {{s_{2n}}} \right\}\) является возрастающей последовательностью, которая ограничена сверху, и поэтому мы знаем, что она также должна сходиться. Итак, предположим, что его предел равен \(s\) или

\[\ mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} {s_{2n}} = s\]

Далее мы можем быстро определить предел последовательности нечетных частичных сумм, \(\left\{ {{s_{2n + 1}}} \right\}\), следующим образом,

\[\ mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} {s_{2n + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} \left( {{s_{2n} } + {b_{2n + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} {s_{2n}} + \mathop {\lim }\limits_{n \to \ infty } {b_{2n + 1}} = s + 0 = s\]

Итак, теперь мы знаем, что и \(\left\{ {{s_{2n}}} \right\}\), и \(\left\{ {{s_{2n + 1}}} \right\} \) являются сходящимися последовательностями, и они оба имеют одинаковый предел, поэтому мы также знаем, что \(\left\{ {{s_n}} \right\}\) является сходящейся последовательностью с пределом \(s\). Это, в свою очередь, говорит нам, что \(\sum {{a_n}} \) сходится.

Переменный ряд и абсолютная сходимость

Все используемые нами тесты сходимости рядов требуют, чтобы базовая последовательность \(\{a_n\}\) была положительной последовательностью. (Мы можем ослабить это с помощью теоремы 9.2.21 и заявить, что должно быть \(N>0\) такое, что \(a_n>0\) для всех \(n>N\text{;}\), то есть \(\{a_n\}\ ) положителен для всех, кроме конечного числа значений \(n\text{.}\))

В этом разделе мы исследуем ряды, сумма которых включает отрицательные члены. Мы начинаем с очень специфической формы ряда, где члены суммирования чередуются между положительными и отрицательными значениями.

Определение 9.5.1. Чередующиеся серии.

Пусть \(\{a_n\}\) — положительная последовательность. 9{n+1}a_n. \end{уравнение*}

Поскольку \(\{a_n\}\) уменьшается, величина, на которую \(S_n\) отскакивает вверх/вниз, уменьшается. Более того, нечетные члены \(S_n\) образуют убывающую ограниченную последовательность, а четные члены \(S_n\) образуют возрастающую ограниченную последовательность. Поскольку ограниченные монотонные последовательности сходятся (см. теорему 9.1.23) и члены \(\{a_n\}\) стремятся к 0, можно показать, что нечетные и четные члены \(S_n\) сходятся к одному и тому же общему пределу \ (L\text{,}\) сумма ряда.

Рисунок 9{n+1}\frac1n=\ln(2)\text{.}\)

Базовая последовательность имеет вид \(\{a_n\} = \{\ln(n) /n\}\text{.}\) Она положительна и приближается к 0 как \(n\to\infty\) (используйте L «Правило Больницы»). Однако последовательность не убывает для всех \(n\text{.}\). Вычислить \(a_1=0\text{,}\) \(a_2\приблизительно0,347\text{,}\) несложно. \(a_3\приблизительно 0,366\текст{,}\) и \(a_4\приблизительно 0,347\текст{:}\) последовательность увеличивается, по крайней мере, для первых 3 членов. Мы не приходим к выводу, что мы не можем применить тест чередующихся серий. Вместо этого рассмотрим долгосрочное поведение \(\{a_n\}\text{.}\) Рассматривая \(a_n=a(n)\) как непрерывную функцию \(n\), определенную на \([1 ,\infty)\text{,}\) можно взять его производную: 9n\frac{\ln(n)}{n}\) сходится; добавление членов с \(n=1\) и \(n=2\) не меняет сходимости (т. е. мы применяем теорему 9.2.21). Важным уроком здесь является то, что, как и раньше, если ряд не соответствует критериям теста чередующихся рядов только на конечном числе членов, мы все равно можем применить тест.

Базовая последовательность \(\{a_n\} = \abs{\sin(n) }/n\text{.}\) Эта последовательность положительна и приближается к \(0\) как \(n\to\ infty\text{.}\) Однако это не убывающая последовательность; значение \(\abs{\sin(n)}\) колеблется между \(0\) и \(1\) как \(n\to\infty\text{.}\) Мы не можем удалить конечное число членов, чтобы сделать \(\{a_n\}\) убывающими, поэтому мы не можем применить тест чередующихся рядов. Имейте в виду, что это не означает, что мы заключаем, что ряд расходится; на самом деле он сходится. Мы просто не можем заключить это на основании теоремы 9.2}{12}\примерно 0,82247. \end{уравнение*}

Эти два ряда сходятся к своим суммам с разной скоростью. Чтобы быть точным до двух знаков после запятой, нам нужно 202 члена первого ряда и только 13 членов второго. Чтобы получить 3 разряда точности, нам нужно 1069 членов первого ряда и только 33 второго. Почему второй ряд сходится гораздо быстрее первого?

Хотя при изучении скорости сходимости учитываются многие факторы, переменная структура переменного ряда дает нам мощный инструмент для аппроксимации суммы сходящегося ряда. 9{n+1}\frac{\ln(n)}{n}\) сошлись. С \(n=1001\text{,}\) мы находим \(\ln(n) /n \приблизительно 0,0069\текст{,}\), что означает, что \(S_{1000} \приблизительно 0,1633\) с точностью до один, может быть, два знака после запятой. Поскольку \(S_{1001} \приблизительно 0,1564\текст{,}\) мы знаем, что сумма \(L\) равна \(0,1564\leq L\leq0,1633\text{.}\)

Пример 9.5.7. Аппроксимация суммы сходящихся знакопеременных рядов.

Аппроксимация суммы следующих рядов с точностью до \(0,001\text{.}\)

93=-1/1000\text{,}\) мы можем легко вычислить \(S_{10} = 0,

6\text{.}\) Часть 2 теоремы утверждает, что \(L\) находится между \(S_9\ ) и \(S_{10}\text{,}\), поэтому \(0,

6 \lt L\lt 0,

6\text{. }\)

1. Мы хотим найти \(n\), где \(\ln(n)/n \lt 0,001\text{.}\) Начнем с решения \(\ln(n)/n = 0,001\) для \( n\text{.}\) Это не может быть решено алгебраически, поэтому мы воспользуемся методом Ньютона для аппроксимации решения. (Примечание: мы также можем использовать метод «грубой силы». То есть мы можем угадывать и проверять численно, пока не найдем решение.) Пусть \(f(x) = \ln(x)/x-0,001\text{ ;}\) мы хотим знать, где \(f(x) = 0\text{.}\) Мы делаем предположение, что \(x\) должно быть «большим», поэтому наше начальное предположение будет \(x_1= 1000\text{.}\) Вспомните, как работает метод Ньютона: при заданном приближенном решении \(x_n\text{,}\) наше следующее приближение \(x_{n+1}\) равно 9{n+1}\frac1n\text{,}\) сходится. Представление о том, что чередование знаков членов ряда может привести к сходимости ряда, приводит нас к следующим определениям.

   Определение 9.5.8. Абсолютная и условная сходимость.

   1. Ряд \(\ds \infser a_n\) сходится абсолютно , если \(\ds \infser \abs{a_n}\) сходится.

   2. Ряд \(\ds \infser a_n\) сходится условно , если \(\ds \infser a_n\) сходится, но \(\ds \infser \abs{a_n}\) расходится. 9n\frac{3n-3}{5n-10}\) расходится.

   Зная, что ряд сходится абсолютно, мы можем сделать два важных утверждения, приведенных в следующей теореме. Во-первых, абсолютная сходимость «сильнее», чем обычная сходимость. То есть только потому, что \(\infser a_n\) сходится, мы не можем заключить, что \(\infser \abs{a_n}\) будет сходиться, но знание того, что ряд сходится, абсолютно говорит нам, что \(\infser a_n\) будет сходиться .

   Одна из причин, по которой это важно, заключается в том, что все наши тесты сходимости требуют, чтобы основная последовательность термов была положительной. Взяв абсолютное значение членов ряда, где не все члены положительны, мы часто можем применить соответствующий тест и определить абсолютную сходимость. Это, в свою очередь, определяет, что данный нам ряд также сходится.

   Второе утверждение относится к перестановкам ряда. При работе с конечным набором чисел сумма чисел не зависит от порядка их сложения. (Итак, \(1+2+3 = 3+1+2\text{.}\)) Можно с удивлением обнаружить, что при работе с бесконечным набором чисел одно и то же утверждение не всегда верно: некоторые бесконечные списки чисел могут быть переставлены в разном порядке для получения разных сумм. Теорема утверждает, что члены абсолютно сходящегося ряда можно переставлять как угодно, не затрагивая суммы.

   Теорема 9.5.10. Теорема об абсолютной сходимости.

   Пусть \(\ds \infser a_n\) — абсолютно сходящийся ряд.

   1. \(\ds \infser a_n\) сходится.

   2. Пусть \(\{b_n\}\) любая перестановка последовательности \(\{a_n\}\text{.}\) Тогда

      \begin{уравнение*} \infser b_n = \infser a_n. \end{уравнение*}

   Доказательство.

   Мы приведем доказательство первой части теоремы об абсолютной сходимости. Предположим, что \(\infser \abs{a_n}\) сходится. Начнем с того, что заметим, что для любой последовательности \(a_n\text{,}\) у нас есть

   \начать{собирать*} -\abs{a_n} \leq a_n \leq \abs{a_n}\\ \end{собрать*}

   Если мы добавим \(\abs{a_n}\) ко всем трем сторонам:

   \начать{собирать*} 0\leq a_n +\abs{a_n} \leq 2\abs{a_n}. \end{собрать*}

   Теперь мы можем применить тест прямого сравнения к ряду \(\infser \left(a_n+\abs{a_n}\right)\text{.}\) Поскольку \(\infser \abs{a_n}\ ) сходится по нашему предположению, сходится и \(\infser 2\abs{a_n}\) (скалярное кратное сходящегося ряда также сходится по теореме 9.2.16). Поэтому \(\infser \left(a_n+\abs{a_n}\right)\) сходится по тесту прямого сравнения.

   Теперь обратим внимание на \(\infser a_n\text{.}\) Мы можем сказать

   \начать{выровнять*} \infser a_n \amp =\infser \left(a_n+\abs{a_n}-\abs{a_n}\right)\\ \amp =\infser \left(a_n+\abs{a_n}\right)-\infser \abs{a_n}. \конец{выравнивание*}

   Последняя строка — это разность двух сходящихся рядов, которая также сходится по теореме 9.2.16. Поэтому \(\infser a_n\) сходится.

   В примере 9.5.9 мы определили, что ряд из части 2 сходится абсолютно. Теорема 9.5.10 говорит нам, что ряд сходится (что мы также можем определить с помощью теста чередующихся рядов).

   Теорема утверждает, что перестановка членов абсолютно сходящегося ряда не влияет на его сумму. Это означает, что, возможно, сумма условно сходящегося ряда может меняться в зависимости от расположения членов. Действительно, может. Теорема Римана о перестановке (названная в честь Бернхарда Римана) утверждает, что члены любого условно сходящегося ряда можно переставить так, что сумма будет иметь любое желаемое значение, включая \(\infty\text{!}\) 9{n+1}\frac1n = 1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\frac16+\frac17\cdots = \ln(2) , \end{уравнение*}

   (см. ключевую идею 9.2.17 или пример 9.5.5).

   Рассмотрим перестановку, в которой за каждым положительным членом следуют два отрицательных:

   \begin{уравнение*} 1-\frac12-\frac14+\frac13-\frac16-\frac18+\frac15-\frac1{10}-\frac1{12}\cdots \end{уравнение*}

   (Убедитесь, что это те же числа, что и в ряду переменных гармоник, только в другом порядке.) Теперь сгруппируйте некоторые термины и упростите:

   \начать{выровнять*} \left(1-\frac12\right)-\frac14+\left(\frac13-\frac16\right)-\frac18+\left(\frac15-\frac1{10}\right)-\frac1{12}+\cdots \усилитель =\\ \frac12-\frac14+\frac16-\frac18+\frac1{10}-\frac{1}{12}+\cdots \amp =\\ \frac12\left(1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\frac16+\cdots\right) \amp = \frac12\ln(2) .

   No related posts.