Исследования функции и построение графика примеры – Исследование функции и построение графика функции

Исследование функции

1. Исследование поведения функции и построение графиков

Перед решением примера на исследование функции и построение графика необходимо проработать теоретический материал (см. Н.С. Пискунов, том I, гл. У, §§ I-II).

Дайте ответы на контрольные вопросы.

1. Какая функция называется возрастающей (убывающей) на данном промежутке?

2. Что такое экстремум функции?

3. Каково необходимое условие экстремума? Является ли оно достаточным?

4. Каковы достаточные признаки экстремума?

5. Что значит график функции выпуклый(вогнутый) на данном промежутке?

6. Что такое асимптота графика? Какие бывают асимптоты?

Общее исследование функций и построение графиков удобно выполнять по следующей схеме.

Общая схема исследования и построения графика

1. Найти область определения функции.

2. Найти точки разрыва функции и выяснить их характер.

3. Выяснить, является ли функция четной , нечетной, периодической.

4. Найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.

5. Найти точки экстремума возрастания и убывания.

6. Найти точки перегиба графика и интервалы выпуклости и вогнутости.

7. Найти асимптоты графика: вертикальные и невертикальные.

8. Построить график функции, используя все полученные результаты. Если их окажется недостаточно, то следует найти ещё несколько точек графика, исходя из уравнения функции.

Построение графика функции целесообразно выполнять по его элементам вслед за выполнением отдельных пунктов исследования.

Пример 9. Исследовать функции и построить их графики

1) 2)

3) 4)

Решение 1)

1. Область определения функции

2. Точек разрыва нет, функция всюду непрерывна.

3. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.

4. При . А при . Это означает, что график функции пересекает координатные оси в точках . Полученные точки сразу нанесите на координатную плоскость. Интервалы, где функция сохраняет знак, определяются условия, что их границами могут быть только точки пересечения с осью OX, точки разрыва и границы области определения. Для данной функции такими точками могут быть точки . Определяем знак функции в интервалах , получаем:

5. Находим производную .

Критические точки , следовательно, . Других критических точек нет, поскольку производная всюду существует. Используем достаточное условие монотонности функции и первый достаточный признак экстремума, составим таблицу.

Таблица

x		-2		0
	+	0	—	0	+
	возр.	max	убыв.	min	возр.

Нанесите на координатную плоскость точки экстремума и покажите пунктиром предполагаемое поведение функции.

6. Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости находим вторую производную .

Критическая точка второго рода других критических точек нет, так как вторая производная всюду существует. Используем условие экстремума. (См. табл.)

Таблица

		-1
	—	0	—
	выпукла	перегиб	вогнута

График функции имеет точку перегиба , ее ординату находим из выражения функции. Нанесите эту точку на координатную плоскость.

7. Вертикальных асимптот нет, так как функция всюду непрерывна. Определяем наклонную асимптоту, ее уравнение . Коэффициенты

   и находим по формулам

.

Угловой коэффициент асимптоты не существует, поэтому наклонной асимптоты нет.

Уточним график в правой полуплоскости, так как характерных точек там нет, для этого найдем

Окончательно строим график.

Решение 2)

1. Область определения .

2. Точка разрыва , исследуем характер разрыва, для этого, найдем односторонние пределы в этой точке:

отсюда следует, что — точка разрыва второго рода. Попутно можно заметить, что есть вертикальная асимптота с уравнением . Нанесите эту точку на координатную плоскость, покажите поведение функции вблизи асимптоты.

3. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.

4. При , а при .

Точки пересечения с осями координат .

(Нанесите их на координатную плоскость).

Критические точки ; последняя является точкой разрыва.

5. Проверим выполнение достаточных условий:

Таблица

		-1		2		5
	+	0	—	не сущ.	—	0	+
	возр.	max	убыв.	не сущ.	убыв.	min	возр.

6.

Вторая производная в ноль не обращается, не существует при . Но это точка разрыва, следовательно, критических точек второго рода нет, точек перегиба нет.

Найдем интервалы выпуклости, вогнутости.

Таблица

	—	+
	выпукла	вогнута

7. Вертикальная асимптота уже определена. Найдем наклонную:

.

Следовательно, наклонная асимптота есть, ее уравнение .

8. Используя полученные данные, строим график:

Решение 3)

1. Функция определена на всей числовой оси.

2. Точек разрыва нет.

3. Функция нечетная, так как

,

её график симметричен относительно начала координат.

4. При и при .

График функции проходит через начало координат.

5.

не обращается в ноль, не существует в точках , которые и являются критическими. .

Таблица

6. .

при , не существует в точках .

Проверяем выполнение достаточных условий:

Таблица

		– 1		0		1
	—		—	0	+		+
	выпукл.	нет перегиба	выпукл.	перегиб	вогнут.	нет перегиба	вогнут.

Точка перегиба .

7. Вертикальной асимптоты нет, найдем наклонную асимптоту

;

Следовательно, уравнение наклонной асимптоты .

8. Строим график

Решение 4) .

1. Функция определена на всей числовой оси.

2. Функция непрерывна на всей числовой оси.

3. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.

4. .

5. .

Критические точки .

Таблица

		– 1		1
	+	0	–	0	+
	возр.		убыв.		возр.

.

6. .

Критическая точка второго рода .

Таблица

		0
	–	0	+
	выпукл.	перегиб	вогнут.

, точка перегиба .

7. Вертикальных асимптот нет, найдем наклонную:

.

;

.

График функции имеет две наклонные асимптоты:

– левая и – правая.

8. Строим график

8

studfiles.net

Исследование функций и построение графиков

С помощью дифференциального исчисления можно установить характерные особенности изменения функций: возрастание и убывание, максимумы и минимумы, направление выпуклости и вогнутости графика, наличие асимптот. Характерные точки – точки разрыва, экстремума, перегиба, пересечения с осями координат – служат опорными точками при исследовании функций и построения их графиков.

Обычно используют следующую схему исследования функции.

1. Находят область определения, интервалы непрерывности и точки разрыва функции.

2. Исследуют функцию на чётность или нечётность (осевая или центральная симметрия графика.

Функция y = f(x) называется чётной, если

График чётной функции симметричен относительно оси Oy, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (x; y) он содержит и точку (-x; y).

Функция y = f(x) называется нечётной, если

График нечётной функции симметричен относительно начала координат, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (x; y) он содержит и точку (-x; -y).

3. Находят асимптоты (вертикальные, горизонтальные или наклонные).

4. Находят интервалы монотонности функции, точки её экстремума.

Функции, убывающие или возрастающие на некотором числовом промежутке, называются монотонными функциями.

Функция называется возрастающей на интервале ]a, b[, принадлежащем области определения функции, если бОльшим значениям независимой переменной из этого интервала соответствуют бОльшие значения функции, т.е. если

Функция называется убывающей на интервале ]a, b[, если бОльшим значениям независимой переменной из этого интервала соответствуют меньшие значения функции, т.е. если

5. Находят интервалы выпуклости и вогнутости кривой, точки её перегиба.

График дифференцируемой функции называется выпуклым в интервале ]a, b[, если в этом интервале он расположен ниже любой своей касательной (рис. 15).

График дифференцируемой функции называется вогнутым в этом интервале он расположен выше любой своей касательной  (рис. 16).

Теорема (достаточный признак вогнутости или выпуклости графика). Если для функции f(x) во всех точках интервала ]a, b[

то кривая y = f(x) вогнута в этом интервале; если же

во всех точках интервала ]a, b[, то кривая выпукла в этом интервале.

Точка графика непрерывной функции, в которой изменяется выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба.

Из определения следует, что с одной стороны от точки перегиба кривая расположена под касательной, с другой стороны – над ней, или наоборот. Поэтому точку перегиба на графике принято показывать отрезком касательной, которая в этой точке пересекает кривую (рис. 17).

Теорема (достаточный признак существования точки перегиба). Если в точке функция f(x) имеет первую производную , а вторая производная в этой точке равна нулю или не существует, и кроме того, при переходе через меняет знак, то

является точкой перегиба графика функции y = f(x).

6. Находят точки пересечения кривой с осями координат, если они существуют.

7. Составляют сводную таблицу исследования.

8. Строят график функции.    

 Пример 4. Исследовать функциюи построить её график.

Решение.

1. Область определения – вся числовая прямая. Множеством значений данной функции, как и всякой показательной функции, служит интервал ]0, +∞[. Поэтому график функции расположен выше оси Ox,  2. Функция чётная, так как

её график симметричен относительно оси Oy. Поэтому исследование можно выполнять только для ]0, +∞[.

3. Вертикальных асимптот у графика нет, поскольку функция непрерывна на всей числовой прямой. Горизонтальной асимптотой является ось Ox, так как

Поскольку кривая имеет двустороннюю горизонтальную асимптоту y = 0, у неё не может быть наклонных асиптот.

4. Находим

Из уравненияимеем

Так как при переходе через значение x = 0 меняет знак с плюса на минус, то функция в точке x = 0 переходит от возрастания к убыванию, а (0; 1) – точка максимума. Касательная к кривой в этой точке горизонтальна, поскольку

5. Находим

Из уравненияполучаемт.е.

Учитывая чётность функции, исследуем знаки в окрестности только точки

Следовательно, при x = 1 кривая меняет выпуклость на вогнутость. Так как

то

точка перегиба кривой. Угловой коэффициент касательной в кривой в этой точке

поэтому в точке перегиба касательная образует с осью Ox тупой угол.

6. График не пересекает оси Ox, поскольку он расположен выше неё. Найдём точки пересечения кривой с осью Oy: полагая x = 0, имеем

Тем самым получим точку (0; 1) графика, которая совпадает с точкой максимума.

7. Составим сводную таблицу исследования, куда внесём все характерные точки и интервалы между ними. Учитывая чётность функции, получаем следующую таблицу:

				Особенности графика
[-1, 0[	+	—	Возрастает	Выпуклый
0	0	—	1	(0; 1) – точка максимума
]0, 1[	—	—	Убывает	Выпуклый
1	—	0		— точка перегиба, образует с осью Ox тупой угол
]1, +∞[	—	+	Убывает	Вогнутый
+∞	—	+		y = 0 – горизонтальная асимптота

   8. Используя результаты исследования, строим график функции (рис. 18).

Асимптоты ОЭФ

studfiles.net

§ 9. Общий план исследования функций и построение графиков

1. 1. Найти ОДЗ и точки разрыва функции.

   2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

2. Провести исследование функции с помощью первой производной, то есть найти точки экстремума функции и интервалы возрастания и убывания.

3. Исследовать функцию с помощью производной второго порядка, то есть найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.

4. Найти асимптоты графика функции: а) вертикальные, b) наклонные.

5. На основании проведенного исследования построить график функции.

Заметим, что перед построением графика полезно установить, не является ли данная функция четной или нечетной.

Вспомним, что функция называется четной, если при изменении знака аргумента значение функции не меняется: f(-x) = f(x) и функция называется нечетной, если f(-x) = -f(x).

В этом случае достаточно исследовать функцию и построить её график при положительных значениях аргумента, принадлежащих ОДЗ. При отрицательных значениях аргумента график достраивается на том основании, что для четной функции он симметричен относительно оси Oy, а для нечетной относительно начала координат.

Примеры. Исследовать функции и построить их графики.

1. .

   1. Область определения функции D(у)= (–∞; +∞). Точек разрыва нет.

Пересечение с осью Ox: x = 0,у=0.

Функция нечетная, следовательно, можно исследовать ее только на промежутке [0, +∞).

2. . Критические точки: x₁ = 1; x₂= –1.

3.

4. а) Вертикальных асимптот нет

б) .

Асимптота – y = 0.

2. .

   1. D(y)=(–∞; +∞). Точек разрыва нет.

Пересечение с осью Ox: .

3. .

4. а) Вертикальных асимптот нет

б).

  Наклонных асимптот нет.

3. .

   1. D(y)=(0; +∞). Функция непрерывна на области определения.

Пересечение с осью :

2.

3.

4.  а) .

Вертикальная асимптота x = 0.

  б).

Наклонная асимптота y = 0.

5. .

   1. D(y)=( –∞;0)È(0;1)È(1;+∞).

Функция имеет две точки разрыва x= 0 и x= 1.

Точек пересечения с осями координат нет.

2. при любых действительных значениях x. Поэтому функция возрастает на всей числовой прямой.

3.  

4.  а)

Вертикальные асимптоты x = 0, x = 1.

б) 

Наклонная асимптота y = x + 1.

Раздел VI. Комплексные числа

§ 1. Основные понятия

Опр. 1. Комплексным числом называется выражение z=x+iy, (1) где х, у – действительные числа, а символ i – мнимая единица, которая определяется условием i²=-1. При этом число х называется действительной частью комплексного числа z и обозначается x=Rez, а у – мнимой частью z и обозначается Imz (от французских слов: reel – действительный, imaginare – мнимый). Выражение (1) называется алгебраической формой комплексного числа.

Опр. 2. Два комплексных числа z=x+iy и =x—iy, которые отличаются только знаком мнимой части, называются сопряжёнными.

Опр. 3. Два комплексных числа z₁=x₁+iy₁ и z₂=x₂+iy₂ считаются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части:

§ 2. Операции над комплексными числами в алгебраической форме

Арифметические действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме, выполняются по обычным правилам действий над двучленами с учётом того, что i²=-1. Так, если z₁=x₁+iy₁, z₂=x₂+iy₂, то

1)

2)

3)

4)

studfiles.net

3. Примеры исследования функций и построения графиков

В данном разделе рассмотрены задачи, связанные с исследованием функций и построением их графиков. Примеры даны с подробным решением. Приступая к выполнению типового расчета, студент может рассмотреть соответствующий пример данного раздела и найти ответы на возникающие при работе вопросы.

Пример 1.Найти асимптоты кривойи построить график функции по точкам.

Решение.

1. Поскольку корень четной степени принимает только арифметические значения, то график функции целиком расположен выше оси ОХ. Функция определена при условии , т.е. в интервалахи. Поэтому исследуем поведение функции прии.

, значит прямаях= 2 является вертикальной асимптотой.

Теперь рассмотрим поведение функции слева от нуля: . Мы получили конечный предел, поэтому прямаяне является вертикальной асимптотой. По мере приближения к точкеслева функция стремится к нулю, оставаясь при этом положительной.

2.Определим уравнения невертикальных асимптот.

прии.

1;= === ==^.

Таким образом, существует правая наклонная асимптота .

-1;

=== ==.

Существует левая наклонная асимптота .

Для построения графика необходимо взять несколько дополнительных точек:

Х	0	-1	-2	2,5	3	4
у	0	0,58	1,4	5,6	5,2	5,6

График функции изображен на рис. 1.

Рис.1. График функции .

Пример 2. Провести полное исследование функциии построить ее график.

Решение.

1. Область определения функции: .

2. Точек разрыва нет, так как функция существует при любых действительных значениях .

3. Найдем асимптоты:

а) вертикальных асимптот нет, так как нет точек разрыва второго рода;

б) невертикальные асимптоты (в данном примере исследования при ианалогичны):

;

== == =.

Уравнение невертикальной асимптоты

4. Исследование на экстремум

==;

при. Производная не существует прии.

Составим таблицу:

х		0	(0;4)	4	(4;6)	6	(6;+∞)
	+	Не сущест.	─	0	+	Не сущест.	+
у	возрастает	max	убывает	min	возрастает		возрастает

5. Исследование на перегиб

=

== == =.

Вторая производная при любых отлична от нуля и не существует прии.

Составим таблицу:

	+	Не сущ.	+	Не сущ.	—
	Вогнута	Нет точек перегиба	Вогнута	Точка перегиба	Выпукла

Значение функции в точке перегиба .

6. Точки пересечения с осями координат.

=

прии.

7. По данным исследования строим график функции (рис. 2).

Рис. 2. График функции .

Пример 3. Провести полное исследование функциии построить её график.

Решение.

1. Область определения функции:

2. Исследуем граничную точку .

==

=.

3. Заметим, что функция в окрестности точки стремится к нулю, оставаясь при этом отрицательной. Конечный предел означает, что вертикальных асимптот нет. Находим невертикальные асимптоты.

Так как функция определена при , то исследуем ее поведение лишь при.

.

Невертикальных асимптот нет.

4. Исследование на экстремум

;

,приили, причем─ граничная точка области определения.

Составим таблицу:

	–	0	+
	Функция убывает	—(min)	Функция возрастает

5. Определим интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Найдем точки перегиба

.

Производная обращается в ноль при .

Составим таблицу:

	—	0	+
	выпукла	точка перегиба	вогнута

=.

График функции изображен на рис. 3.

Пример 4. Исследовать функцию и поострить её график

_.

Замечание.При исследовании функций, заданных параметрически, можно пользоваться упрощенной схемой исследования.

1. Найти область изменения переменных

2. Найти точки пересечения графика с осями координат.

3. Найти производную функции и точки, в которых она обращается в нуль или не существует. Учитываем, что в точках, где производная равна нулю, касательная к графику параллельна оси ОХ, а в точках, где производная не существует, касательная перпендикулярна оси ОХ.

4. При необходимости взять несколько дополнительных точек.

Решение.

Поскольку х и у выражены через параметр t, то можно получить соответствующие значения х и у. Таким образом, построение функции, заданной параметрически, удобнее всего проводить поточечно, если есть возможность вычислить достаточно большое число точек.

1. Рассмотрим первоначально икак функции от. В системе координатвыражениеопределяет параболу, переменнаяопределена при любом, причем припеременная. Максимальное значениесоответствует значению(вершина параболы), следовательно. Для функциимаксимального значения не существует. Функция определена прии,,.

2. Точки пересечения с осями координат.

Если , то, то. Этим значениямсоответствуют следующие значения:. Это точки пересечения графика с осью ОХ.

Если , то,Этим значениямсоответствуют следующие значения:Это точки пересечения с осью ОУ.

3. Вычислим производную и определим экстремум функции и интервалы монотонности: ==

Заметим, что при производнаяне определена. На графике параметрусоответствует точка с координатами,, точка (1;2). В окрестности точкипроизводнаяположительна, что соответствует монотонному возрастанию функции.

Производная при, что соответствует точке (-3;-2). В этой точке касательная к графику функции параллельна оси ОХ, а точка (-3;-2) является точкой минимума, поскольку производная при переходе через точкуменяет знак с «-» на «+».

4. Вторая производная позволит выяснить направление выпуклости графика функции: . Посколькупри, то функция выпукла вниз (вогнута), а приграфик функции направлен выпуклостью вверх, так как.

5. Можно взять дополнительные точки и нарисовать график функции (рис. 4):

Рис. 4. График функции .

studfiles.net

Общая схема исследования функции и построения графиков (Лекция №11)

1. 1. Найти ОДЗ и точки разрыва функции.
   2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
2. Провести исследование функции с помощью первой производной, то есть найти точки экстремума функции и интервалы возрастания и убывания.
3. Исследовать функцию с помощью производной второго порядка, то есть найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.
4. Найти асимптоты графика функции: а) вертикальные, b) наклонные.
5. На основании проведенного исследования построить график функции.

Заметим, что перед построением графика полезно установить, не является ли данная функция четной или нечетной.

Вспомним, что функция называется четной, если при изменении знака аргумента значение функции не меняется: f(-x) = f(x) и функция называется нечетной, если f(-x) = -f(x).

В этом случае достаточно исследовать функцию и построить её график при положительных значениях аргумента, принадлежащих ОДЗ. При отрицательных значениях аргумента график достраивается на том основании, что для четной функции он симметричен относительно оси Oy, а для нечетной относительно начала координат.

Примеры. Исследовать функции и построить их графики.

1. . 1. Область определения функции D(у)= (–∞; +∞). Точек разрыва нет.

   Пересечение с осью Ox: x = 0,у=0.

   Функция нечетная, следовательно, можно исследовать ее только на промежутке [0, +∞).

   2. . Критические точки: x₁ = 1; x₂= –1.
   3.
   4. а) Вертикальных асимптот нет

   б) . Асимптота – y = 0.

   
   

2. .
   1. D(y)=(–∞; +∞). Точек разрыва нет.

      Пересечение с осью Ox: .

   3. .
   4. а) Вертикальных асимптот нет

      б).

      
      Наклонных асимптот нет.

3. .
   1. D(y)=(0; +∞). Функция непрерывна на области определения.

      Пересечение с осью :

   4. а) .

      Вертикальная асимптота x = 0.

      
      б).

      Наклонная асимптота y = 0.

4. .
   1. D(y)=( –∞;0)È(0;1)È(1;+∞).

      Функция имеет две точки разрыва x= 0 и x= 1.

      Точек пересечения с осями координат нет.

   2. при любых действительных значениях x. Поэтому функция возрастает на всей числовой прямой.
   3.  

   4.  

      а)

      Вертикальные асимптоты x = 0, x = 1.

      б)

      Наклонная асимптота y = x + 1.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Во многих приложениях математического анализа встречаются комбинации показательных функций. Эти комбинации рассматриваются как новые функции и обозначаются:

– гиперболический синус.

– гиперболический косинус.

С помощью этих функций можно определить еще две функции.

– гиперболический тангенс.

– гиперболический котангенс.

Функции sh x, ch x, th x определены, очевидно, для всех значений x, т.е. их область определения (–∞; +∞). Функция же cthx определена всюду за исключением точки x = 0.

Между гиперболическими функциями существуют следующие соотношения, аналогичные соответствующим соотношениям между тригонометрическими функциями.

Найдем: .

Т.е. .

.

Итак, .

Следовательно, .

Найдем производные гиперболических функций

.

Аналогично можно показать .

.

Т.е. и .

Графики гиперболических функций. Для того чтобы изобразить графики функций

shx и chx нужно вспомнить графики функций y = e^x и y = e^—x

Проведем исследования функции y = th x.

1. 1. D(f) = (–∞; +∞), точек разрыва нет.
   2. Точка пересечения с осями координат .
2.  

   , функция возрастает на (–∞; +∞).

4. 1. Вертикальной асимптоты нет.
   2. 
      .

y = cth x

1. D. Точка разрыва x = 0 cth x = 0 – нет
2.  

   убывает на .

4. 2. При x → +∞

toehelp.ru

§6.Полное исследование функции и построение ее графика

Обычно при построении графика функции у=f(х) используют метод построения по точкам, когда из области определения берут несколько значений аргумента х1,х2…х_n, вычисляют соответствующие значения функции у1,у2…у_n, строят точки (х1,у1), (х2,у2), …,( х_n, у_n) и соединяют их плавной кривой. В простых случаях полученная линия достаточно точно изображает настоящий график функции у=f(х). Но если функция f(х) им. особенности, разные возрастания и убывания, разрывы и т.п., то полученный чертеж может быть далек от истины.

Для построения точного графика нужно знать его особенности. Это позволяет сделать дифференциальное исчисление. Суть метода в том, что находят характерные опорные точки графика (а не случайные) и соединяют их с учетом особенностей его, а не просто плавной кривой линией.

Для исследования функции и построения графика нужно проделать следующую работу:

-определить область существования функции. Это сразу выявит т.е. значения аргумента, над которыми кривая графика проходит и над какими нет,

-исследовать ф-ию на периодичность, четность, нечетность Это позволит (если функция обладает этими св-ми) строить график лишь в части обл. сущ-ия, а в другой достроить его автоматически,

-исследовать ф-ию на непрерывность, определить ее точки разрыва,

-найти экстремумы функции и участки ее возрастания и убывания,

-определить точки перегиба функции, участки выпуклости и вогнутости графика,

-найти асимптоты графика,

-определить точки пересечения графика с осями координат,

-исследовать ф-ию около точек границы ее области сущ-ия,

-если ход графика в отдельных местах недостаточно ясен, взять несколько дополнительных точек.

Для удобства результаты заносят в таблицу вида

х
у
особенности

Полученные опорные точки из таблицы переносят на плоскость и соединяют с учетом всех особенностей функции. В некоторых случаях для удобства по осям берут разные масштабы.

Пример полного исследования функции и построение графика.

Построить график функции у=f(х)=.

1.обл определения функции (-,),

2.функция нечетная f(-х)=-f(х), (достаточно построить график для х), не явл периодической,

3.функция непрерывна в (-,) как частное двух непрерывных, знам не равен 0, график есть сплошная линия,

4.исследуем на экстремум, у’=4,

у»=4

=4,

у»=.

Критические точки у’=0, 1-х²=0, х1=-1, х2=1, других нет.

у»(-1), min,

у»(1) 0,max,

у_min=-2 при х=-1, у_max=2 при х=1,

(-,-1), у’0- кривая убывает

(-1,1), у’- кривая возрастает,

(1, ), у’0- кривая убывает.

5.точки подозрительные на перегиб. у»=0.

х1=0, х2=-, х3=+- других нет.

(-,-), у»0-кривая выпуклая,

(-,0), у» -кривая выгнутая.

Отсюда х2=-=-1,73- точка перегиба

х3=- точка перегибакривая выпуклая

x1=0-точка перегиба кривая вогнутая

6.находим асимптоты, вертикальных нет. Находим наклонные.

у=кх+в, к= lim_хf(х)/х= lim_х0, к=0,

в= lim_х(f(х)-кх)= lim_х(, в=0. Асимптота у=0- горизонтальная, ось ох (и прии при).

7.точки пересечения с осями: х=0, у=0- кривая проходит через начало координат,

8.на границе обл. сущ-ия, те при х-, х, у=f(х) 0, кривая приближается к оси ох. Составим таблицу:

х	-	-1,73	-1	0	1	1,73		3
у	0	-1,73	-2	0	2	1,73	0	6/5
особен	у=0, асимп	перегиб	min	перегиб	max	перегиб	у=0, асимп

Чертим график.

studfiles.net

Общая схема исследования функции и построение её графика — МегаЛекции

Общее исследование функции и построение её графика удобно выполнять по следующей схеме:

1. Найти область определения функции.

2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это не представляется затруднительным).

3. Если область определения функции является симметричным числовым множеством, выяснить обладает ли функция свойством чётности или нечётности.

4. Найти асимптоты графика функции.

5. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.

6. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции.

7. По результатам исследования построить график функции.

Пример 1. Исследовать функцию и построить её график.

Решение.

1. ;

2. График пересекает ось OY в точке с координатами

3. Функция общего вида, т.к. .

4. График функции асимптот не имеет (т.к. функция является многочленом).

5. , — критические точки. Составим

таблицу:

 

Точка является максимумом функции, точка является минимумом функции.

6. . Составим таблицу:

Точка является точкой перегиба графика.

Построим график функции, используя результаты исследования (рис.3)

 

Рис.3

 

Пример 2. Исследовать функцию и построить её график.

Решение.

1. .

 

2. График функции пересекает оси координат в точке .

3. Функция нечётная, т.к. . График

функции симметричен относительно начала координат.

 

1. Найдём асимптоты графика функции.

— горизонтальные асимптоты, т.к. .

,

следовательно, наклонная асимптота выродилась в горизонтальную .

 

2. Найдём промежутки монотонности и экстремумы функции:

 

.

 

Данная дробь не может быть равна 0, т.к. числитель дроби всегда есть число положительное, следовательно, функция экстремумов не имеет.

Т.к. числитель и знаменатель дроби могут принимать только положительные значения, то при любых значениях производная может быть только положительной, следовательно, функция возрастает во всей своей области определения.

 

 

6. Найдём промежутки выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции:

.

 

 

Точка является точкой перегиба графика функции.

 

По результатам исследования построим график функции (рис. 4)

 

 

Рис. 4

 

 

Пример 3. Исследовать функцию

Решение.

1. .

2. График пересекает оси координат в точке (0;0).

3. Функция общего вида, т.к. не является симметричным числовым множеством.

4. Найдем асимптоты графика функции, т.к. в точке функция претерпевает бесконечный разрыв, то график функции имеет вертикальную асимптоту . Для отыскания наклонной асимптоты найдем следующие пределы:

Таким образом, прямая служит наклонной асимптотой графика.

5. Найдем первую производную функции:

.

Найдем критические точки функции:

Точка является максимумом функции;

точка — является минимумом функции.

6. Найдем промежутки выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции:

.

Т.к. вторая производная функции не равна 0, то точек перегиба у графика функции нет.

Найдём интервалы выпуклости и вогнутости графика функции:

По результатам исследования построим график функции (рис. 5)

Рис.5

 

Упражнения.

№1. Исследовать функцию и построить её график:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

РАЗДЕЛ5. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

5.1. Неопределённый интеграл: основные понятия, определения, свойства

Определение.

Функция называется первообразной для функции на некотором промежутке , если для всех значений из этого промежутка выполняется

.

Рассмотрим примеры.

1. Функция является первообразной для функции на всей числовой оси, т.к. при любом значении выполняется

.

2. Функция является первообразной для функции для любого , т.к.

.

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной заданной функции. Разнообразные вопросы математического анализа и его многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике приводят к обратной задаче: по данной функции найти такую функцию , производная которой была бы равна функции , т.е.

 

.

Восстановление функции по её производной — основная задача интегрального исчисления.

Задача нахождения по данной функции называется интегрированием.

Действительно, если — первообразная для , т.е.

,

то функция , где — произвольная постоянная, также является первообразной для , т.к.

для любого числа .

Например, для функции первообразной является не только функция , но и функция , т.к.

.

Теорема.

Если функция является первообразной для функции на некотором промежутке , то функция

,

где — произвольная постоянная, также является первообразной для на этом же промежутке.

Определение.

Совокупность всех первообразных для функции , определённых на некотором промежутке, называется неопределённым интегралом от функции на этом промежутке и обозначается символом

.

Читается: «интеграл от эф от икс де икс».

По определению

— подынтегральная функция,

— подынтегральное выражение,

— переменная интегрирования,

— знак неопределённого интеграла,

С — постоянная величина (константа).

Нахождение неопределённого интеграла по данной подынтегральной функции называется интегрированиемэтой функции.

Так как интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, то для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

 

---

Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:

megalektsii.ru

No related posts.