Определение характера точки разрыва графика функции
Методические указания и примеры типового расчёта
заданий №24, №25 «Математического тренинга» по теме
« Определение характера точки разрыва графика функции и схематическое построение графика вблизи точки разрыва»
Теория
· Непрерывность функции в точке и на отрезке.
· Точки разрыва графика функции и их характер.
· Свойства непрерывной на отрезке функции.
· Асимптота графика функции.
Определение. Функция называется непрерывной в точке , если в этой точке выполнены три условия:
1. Существуют левосторонний и правосторонний пределы функции;
2. Существует сама функция в этой точке;
3. Значение функции в этой точке равно значениям односторонних пределов функции в этой точке: .
Если будет нарушено, хотя бы одно из этих равенств, то функция не будет являться непрерывной, и сама точка х=а, будет называться точкой разрыва.
Определение. Точкой разрыва первого рода называется такая точка , в которой существуют и равны друг другу оба односторонних предела, но не существует сама функция в этой точке, либо она существует, но не равна односторонним пределам
Рис 1. х=а — точка разрыва I рода Рис 2. х=а — точка разрыва I рода
Точки разрыва первого рода ещё называют точками устранимого разрыва, или точками «скачка» (Рис. 1 и Рис.2).
Точка разрыва I рода будет точкой неустранимого разрыва, если оба односторонних предела существуют, но не равны друг другу (Рис. 3).
Рис. 4. х=а – точка разрыва II рода. Рис. 5. х=а – точка разрыва II рода.
Рис. 6. х=а – точка разрыва II рода.
В точке х=а на рис.6 оба односторонние пределы функции не существуют.
Асимптоты графиков функций
Асимптотой графика функции является такая прямая, к которой неограниченно близко приближается график этой функции. Различают асимптоты вертикальные, горизонтальные и наклонные.
Если функция y = f(x) не существует в точке х = а и ее предел в этой точке не существует, то, говорят, что прямая х = а является вертикальной асимптотой графика этой функции.
Так, в точках х = -1 и х = 1 не существует, не существуют так же пределы ее в этих точках, это означает, что прямые х = -1 и х = 1 являются вертикальными асимптотами графика этой функции.
Аналогичный пример: в точках х = -2 и х = 3 эта функция не существует, не существуют так же пределы ее в этих точках, это означает, что прямые х = -2 и х = 3 являются
Если функция существует для достаточно больших x и , то прямую y = c называют горизонтальной асимптотой графика этой функции.
Например:
функция ,
так как, .
На рисунке 7 приведён график функции . Асимптоты совпадают с осями координат.
Рисунок 7. График функции
На рисунке 8 показан график функции , его асимптоты: вертикальная асимптота x = 0 (ось Oy), наклонная асимптота y = x.
На рисунке 9 изображён график функции у= . Асимптотами графика функции являются: горизонтальная – ось ох, вертикальные х = 1 и
х = -1 .
Рис.8. График функции
Рис.9. График функции у =
Задание 1. Найти точки разрыва графика функции и сделать схематический рисунок графика вблизи точки разрыва.
,
Решение:
Рассмотрим точку х=0:
1. Вычислим левосторонний предел в точке:
2. Вычислим правосторонний предел в точке:
3. Вычислим значение функции в этой точке:
Так как предел функции слева равен пределу функции справа и равен самой функции в точке х=0:
то х=0- точка непрерывности функции.
Рассмотрим точку х=-4:
1. Вычислим левосторонний предел в точке:
2. Вычислим правосторонний предел в точке:
3. — не существует. Значит, точка разрыва II рода.
1.4.6. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «Непрерывность функции»
Задача 1.
При каком значении числа А функция
Будет непрерывной?
Указание
Функция может иметь разрыв только в точке Х = 5, поэтому А следует выбрать так, чтобы в этой точке выполнялось равенство
Решение
Областью определения функции является все множество действительных чисел, причем по обе стороны точки Х = 5 функция является элементарной, то есть непрерывной. Для обеспечения непрерывности в точке Х = 5 поставим условие
Ответ: 5.
Задача 2.
Каким числом можно доопределить функцию
При Х = 0, чтобы она стала непрерывной в этой точке?
Указание
Подобная операция возможна в том случае, если точка разрыва является устранимой особенностью, то есть существует конечный предел функции в этой точке.
Решение
Найдем предел данной функции в точке Х = 0:
Следовательно, если принять F (0) = 3, функция станет непрерывной точке Х = 0.
Ответ: 3.
Задача 3.
Каким числом можно доопределить функцию
При Х = 0, чтобы она стала непрерывной в этой точке?
Указание
Вычисляя предел функции в точке Х = 0, воспользуйтесь тем, что второй множитель – ограниченная функция, и примените свойства бесконечно малых.
Решение
Ограниченная функция. Как известно, произведение бесконечно малой функции на ограниченную есть бесконечно малая, поэтому
То есть предел существует и конечен. Поэтому можно доопределить функцию так: F (0) = 0.
Ответ: F (0) = 0.
Задача 4.
Каким числом можно доопределить функцию
При Х = 0, чтобы она стала непрерывной в этой точке?
Указание
Подобная операция возможна в том случае, если точка разрыва является устранимой особенностью, то есть существует конечный предел функции в этой точке.
Решение
Найдем односторонние пределы данной функции в точке Х = 0:
Следовательно, предел данной функции в точке Х = 0 в обычном смысле не существует, поэтому добиться ее непрерывности в этой точке невозможно.
Ответ: это невозможно.
Задача 5.
Найти количество точек разрыва функции
Исследовать характер этих точек.
Указание
На область определения накладываются два ограничения: логарифмируемое выражение должно быть положительным, а знаменатель дроби – не равным нулю.
Решение
Данная функция не существует при трех значениях аргумента: Х = 0 и Х = +1 (в первом случае знаменатель не существует, во втором он равен нулю). Каждая из найденных точек является внутренней точкой области определения и, следовательно, точкой разрыва.
Исследуем характер точек разрыва:
Следовательно, Х = 0 – устранимая особенность.
Следовательно,
И Х = +1 – точки разрыва 2-го рода.
Ответ: Х = 0 – устранимая особенность, Х = +1 – точки разрыва 2-го рода.
Задача 6.
Выяснить, какие из функций
Имеют точки разрыва 1-го рода.
Указание
В точке разрыва 1-го рода существуют конечные односторонние пределы функции, но они не равны между собой.
Решение
Найдем точки разрыва каждой функции и исследуем их характер.
1) Функция
Не определена при Х = 0.
Следовательно, единственная точка разрыва этой функции – это точка разрыва 2-го рода.
2) Функция
Не определена при Х = 0 (заметим, что знаменатель основной дроби не равен нулю ни при каком значении Х).
Найдем односторонние пределы F (X) в точке Х = 0:
Следовательно, Х = 0 – точка разрыва 1-го рода.
3) Функция
Не определена при Х = 5.
Следовательно, точка Х = 5 – точка разрыва 2-го рода.
4) Функция
Не определена при Х = -0,5. При этом
Таким образом, односторонние пределы в точке Х = -0,5 равны соответственно 1 и -1, то есть эта точка – точка разрыва 1-го рода.
Ответ: 2,4.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
matica.org.ua
Пример 1. Функция определена и непрерывна на за исключением точки . Определим тип разрыва. Поскольку и , то в точке разрыв второго рода (рис. 6).
Пример 2. Функция определена и непрерывна при всех , кроме , где знаменатель равен нулю. Найдем односторонние пределы в точке :
.
Односторонние пределы конечны и различны, следовательно, – точка разрыва первого рода (рис. 7).
Пример 3. Установить, в каких точках и какого рода разрывы имеет функция
Эта функция определена на . Так как и непрерывны соответственно в промежутках и , то разрыв может быть только на стыке промежутков, то есть в точке . Поскольку , то является точкой разрыва второго рода.
Пример 4. Можно ли устранить разрывы функций:
А) в точке ;
Б) в точке ;
В) в точке ?
Решение. О примере а) сразу можно сказать, что разрыв в точке устранить невозможно, так как в этой точке бесконечные односторонние пределы (см. пример 1).
Б) Функция хотя имеет конечные односторонние пределы в точке
(,),
Но они не совпадают, поэтому разрыв также устранить нельзя.
В) Функция в точке разрыва имеет равные односторонние конечные пределы: . Следовательно, разрыв может быть устранен переопределением функции в точке , если положить вместо .
Пример 5. Показать, что функция Дирихле
Разрывна в каждой точке числовой оси.
Решение. Пусть – любая точка из . В любой ее окрестности найдутся как рациональные, так и иррациональные точки. Значит, в любой окрестности функция будет иметь значения, равные 0 и 1. В таком случае не может существовать предела функции в точке ни слева, ни справа, значит функция Дирихле в каждой точке числовой оси имеет разрывы второго рода.
Пример 6. Найти точки разрыва функции
И определить их тип.
Решение. Точками, подозрительными на разрыв, являются точки .
В точке имеет разрыв второго рода, так как
.
Точка является точкой непрерывности, так как значение функции в этой точке и в ее окрестности определяется второй строкой, а не первой: .
Исследуем точку : , , откуда следует, что – точка разрыва первого рода.
Для самостоятельного решения.
Исследовать функции на непрерывность и определить тип точек разрыва:
1) ; Ответ: – точка устранимого разрыва;
2) ; Ответ: Разрыв второго рода в точке ;
3) ; Ответ: Разрыв первого рода при ;
4)
Ответ: В точке устранимый разрыв, в – разрыв второго рода и в точке — разрыв первого рода.
5) Как следует выбрать число , чтобы функция
Была бы непрерывной в точке ?
Ответ: .
6) Можно ли подобрать число так, чтобы функция
Была бы непрерывной в точке ?
Ответ: нет.
5.10 Дифференциальное исчисление функций одной переменной
В этом разделе центральное место занимают понятия производной и дифференциала. Кроме усвоения содержательной стороны излагаемых вопросов, этот раздел требует продолжительной работы по усвоению техники дифференцирования. Нужно довести свое умение дифференцировать до такой степени, чтобы дифференцирование элементарных функций любой сложности не вызывало затруднений. Для этого необходимо решить большое количество примеров. Помещенные здесь упражнения для самостоятельной работы нужно рассматривать лишь как небольшую часть всей работы. Рекомендуем еще обратиться за примерами к другим источникам.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
matica.org.ua