Исследовать функцию на экстремум: Исследовать на экстремум функции двух переменных

132. Исследование функций на экстремум с помощью производных высших порядков

Рассмотрим непрерывную, дифференцируемую функцию и исследуем ее на экстремум с помощью Второй производной.

Если функция имеет первую и вторую производные, и в точке первая производная равна нулю , а вторая производная не равна нулю , то функция в этой точке имеет Максимум, если ; или Минимум, если .

Для того чтобы исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной, необходимо:

1) найти первую производную и критические точки функции , т. е. точки, в которых производная функции обращается в ноль или имеет разрыв;

2) найти вторую производную и исследовать знак второй производной в найденных критических точках:

– если вторая производная в критической точке отрицательна, то функция в этой точке имеет максимум;

– если вторая производная в критической точке положительна, то функция в этой точке имеет минимум;

– если вторая производная равна нулю, то данное правило для этой функции не применимо, и экстремум надо искать с помощью первой производной;

Вычислить значения функции в точках экстремумов.

Пример 5. Исследуйте на экстремум функцию .

Решение. 1. Найдем первую производную: . Приравняем ее к нулю и найдем критические точки: .

2. Найдем вторую производную: . Определим знак второй производной в критических точках: , следовательно, – точка максимума; и , тогда – точка минимума.

3. Вычислим значения функции в критических точках:

; .

Ответ. ; .

Рассмотрим непрерывную, дифференцируемую функцию и исследуем ее на экстремум с помощью производных высших порядков.

Если в некоторой точке первая производная функции равна нулю , и вторая производная тоже равна нулю , то исследование функции на экстремум в этой точке можно проводить с помощью производных более высокого порядка.

Для этого используется следующее Свойство непрерывной функции

: «Если функция непрерывна и отлична от нуля в точке , то и в некоторой окрестности точки она отлична от нуля и имеет знак, совпадающий со знаком функции в этой точке».

Пусть функция в точке имеет равные нулю производные до (N–1) порядка включительно, а производная
N–го порядка непрерывна и не равна нулю:

, а .

Тогда, функция в точке имеет Максимум, если
и Минимум, если (при условии, что
n – четное число). Если N – нечетное число, то функция в точке не имеет экстремумов.

Пример 6. Исследуйте функцию на экстремум.

Решение. Заданная функция определена и положительна на всей числовой оси и обращается в ноль при .

Найдем первую производную: .

Производная обращается в ноль в критической точке .

Вторая производная и третья производная в точке

также обращаются в ноль.

Четвертая производная в точке не равна нулю.

Порядок производной – это четное число, а знак производной . Следовательно, точка это точка минимума функции.

Ответ. В точке функция Имеет минимум.

Пример 7. Исследуйте функцию на экстремум.

Решение. Найдем первую производную в точке .

Вторая производная , третья производная и четвертая производная в точке тоже обращаются в ноль.

Пятая производная не равна нулю и положительна.

Порядок производной – это нечетное число. В точке функция не имеет экстремумов.

Ответ. Функция экстремумов не имеет.

Ответьте на вопросы

1. Как найти экстремум функции при помощи производных высших порядков?

2. Когда функция будет иметь max, а когда min, если N–ая производная ?

< Предыдущая		Следующая >

Исследование функции с помощью производной /qualihelpy

Теоремы о дифференцируемых функциях

Рассмотрим функции  и , которые непрерывны на отрезке  и дифференцируемы на интервале .
Теорема Ферма : если функция  в точке  имеет локальный экстремум, то  .
Геометрический смысл теоремы: касательная к графику функции в точке  параллельна оси абсцисс. 

Теорема Лагранжа:  , где .

Геометрический смысл теоремы: касательная к графику функции в точке   параллельна секущей, соединяющей концы графика этой функции.

Теорема Ролля: если  и  , то .

Геометрический смысл теоремы: у графика функции существует точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс.

Теорема Коши: если  , то .

Исследование функции с помощью первой производной

С помощью производной функции можно определить характер монотонности функции, точки экстремума, а также ее наибольшее и наименьшее значение на заданном промежутке.

Достаточное условие возрастания (убывания) функции:

а) если на заданном промежутке   , то функция возрастает на этом промежутке;

б) если   , то функция убывает на этом промежутке.

Экстремум функции

Максимумом (минимумом) функции   называют такое ее значение, которое больше (меньше) всех ее других значений в окрестности рассматриваемой точки.

Максимум и минимум функции имеют локальный характер, поскольку отдельные минимумы некоторой функции могут оказаться больше максимумов той же функции (рис. 6.4

).

Максимум и минимум функции называются  экстремумом функции . Значение аргумента, при котором достигается экстремум, называется точкой экстремума . На рисунке 6.4 значения , , ,  и  являются точками экстремума рассматриваемой функции.

 

Критическими точками функции называют те значения аргумента, при которых производная функции равна нулю или не существует. Критические точки функции находят, решая уравнение: .

Алгоритм нахождения точек экстремума функции:

1) находим область определения функции  ;

2) находим ;

3) находим критические точки функции, решая уравнение ;

4) наносим критические точки на область определения функции;

5) определяем знак производной функции на полученных промежутках;

6) определяем точки экстремума функции по правилу: 
если при переходе через критическую точку производная меняет знак c «+» на «–», то имеем точку максимума, а если с «–» на «+», то имеем точку минимума.

Рассмотрим функцию   на отрезке . Свое наибольшее и наименьшее значение она может принимать либо на концах отрезка, либо в точках экстремума.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции

на заданном отрезке:  

1) находим ;

2) находим критические точки функции, решая уравнение ;

3) находим значение функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих данному отрезку;

4) определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных.

Исследование функции с помощью второй производной

Критическими точками второго рода функции  называют те значения аргумента, при которых вторая производная этой функции равна нулю или не существует.

Критические точки второго рода функции находят, решая уравнение .

Если при переходе через критическую точку второго рода вторая производная функции меняет знак, то имеем 

точку перегиба  графика функции.

Если на некотором промежутке выполняется неравенство , то функция  вогнута на этом промежутке, а если , то функция выпукла на этом промежутке.

Пример 1. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции  .
Решение . Используя таблицу производных найдем производную функции:  . Найдем критические точки:  , ,  . Нанесем числа  и  на координатную прямую и установим знаки производной на полученных промежутках: 

Ответ : На промежутках  и  функция возрастает. На промежутке  функция убывает. Точки экстремума:  ,  . 
Пример 2. Найдите точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости графика функции .

 
Решение . 1. Используя таблицу производных найдем первую производную функции:  .
2. Используя таблицу производных найдем вторую производную функции:  .
3. Найдем критические точки второго рода:  ,  .
4. Нанесем точку  на область определения данной функции и установим знаки ее второй производной на полученных промежутках:

Ответ : На промежутке  функция выпукла вверх; на промежутке  функция выпукла вниз;  – точка перегиба графика функции.
Пример 3. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке  .
Решение . 1. По формуле  найдем производную данной функции: .
2. Найдем критические точки функции, решая уравнение  , откуда  , .
3. Найдем значение функции на концах отрезка  и в критической точке  , поскольку она принадлежит данному отрезку:  ,   ,  .

Ответ : ,  .

Приведем схему полного исследования функции  .  
1. Находим область определения функции.
2. Определяем, является ли функция четной или нечетной.
3. Выясняем, является ли функция периодической.
4. Находим точки пересечения графика функции с осью ординат.
5. Находим нули функции (точки пересечения графика функции с осью абсцисс).
6. Проводим исследование функции с помощью первой производной:
а) находим критические точки первого рода;
б) находим промежутки возрастания и убывания функции;
в) находим точки экстремума функции и значение функции в точках экстремума.
7. Проводим исследование функции с помощью второй производной:
а) находим критические точки второго рода;
б) находим промежутки выпуклости и вогнутости функции;
в) находим точки перегиба графика функции.
8. Находим асимптоты графика функции.
9. Строим график функции.
10. Находим промежутки знакопостоянства функции: промежутки, на которых функция положительна и промежутки, на которых функция отрицательна.
11. Находим область значений функции.

вариантов поведения функций | Колледж Алгебра

Результаты обучения

• Определение возрастания, убывания или постоянства функции
• Найти локальные экстремумы функции по графику
• Описать поведение функций инструментария

В рамках исследования того, как изменяются функции, мы можем определить интервалы, в течение которых функция изменяется определенным образом. Мы говорим, что функция возрастает на интервале, если значения функции увеличиваются по мере увеличения входных значений в этом интервале. Точно так же функция убывает на интервале, если значения функции уменьшаются по мере увеличения входных значений на этом интервале. Средняя скорость изменения возрастающей функции положительна, а средняя скорость изменения убывающей функции отрицательна. На приведенном ниже графике показаны примеры увеличения и уменьшения интервалов функции. 9{\text{}}\left(2,\infty\right)[/latex] и убывает по [латексу]\left(-2\text{,}2\right)[/latex].

В этом видео далее объясняется, как определить, где функция увеличивается или уменьшается.

В то время как некоторые функции возрастают (или убывают) во всей своей области, многие другие нет. Значение выхода, при котором функция изменяется с возрастающей на убывающую (по мере движения слева направо, то есть по мере увеличения входной переменной), называется локальным максимумом . Если функция имеет более одного, мы говорим, что она имеет локальные максимумы. Точно так же значение выхода, при котором функция изменяется с убывающей на возрастающую по мере увеличения входной переменной, называется локальным минимумом . Форма множественного числа — «локальные минимумы». Вместе локальные максимумы и минимумы называются локальными экстремумами или локальными экстремальными значениями функции. (Форма единственного числа — «экстремум».) Часто термин локальный заменяется термином относительный . В этом тексте мы будем использовать термин местный .

Функция не возрастает и не убывает на интервале, где она постоянна. Функция также не возрастает и не убывает в экстремумах. Обратите внимание, что мы должны говорить о локальных экстремумах, потому что любой данный локальный экстремум, как определено здесь, не обязательно является самым высоким максимумом или самым низким минимумом во всей области определения функции.

Для приведенной ниже функции локальный максимум равен 16, и он возникает при [latex]x=-2[/latex]. Локальный минимум равен [latex]-16[/latex] и возникает при [latex]x=2[/latex].

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы на графике, нам нужно наблюдать за графиком, чтобы определить, где график достигает своей максимальной и самой низкой точек, соответственно, в пределах открытого интервала. Подобно вершине американских горок, график функции в локальном максимуме выше, чем в соседних точках с обеих сторон. График также будет ниже в локальном минимуме, чем в соседних точках. График ниже иллюстрирует эти идеи для локального максимума.

Определение локального максимума.

Эти наблюдения приводят нас к формальному определению локальных экстремумов.

A Общее примечание: локальные минимумы и локальные максимумы

Функция [latex]f[/latex] является возрастающей функцией на открытом интервале, если a\right)[/latex] для любых двух входных значений [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] в заданном интервале, где [latex]b>a[/latex].

Функция [latex]f[/latex] является убывающей функцией на открытом интервале, если [latex]f\left(b\right)a[/latex].

Функция [latex]f[/latex] имеет локальный максимум в точке [latex]x=b[/latex], если существует интервал [latex]\left(a,c\right)[/latex] с [ латекс]a Аналогично, [latex]f[/latex] имеет локальный минимум в точке [latex]x=b[/latex], если существует интервал [latex]\left(a,c\right)[/latex] с [latex] a

Пример: поиск возрастающих и убывающих интервалов на графике

Учитывая функцию [латекс]р\влево(т\вправо)[/латекс] на графике ниже, определите интервалы, на которых функция кажется возрастающей.

Показать решение

Пример: поиск локальных экстремумов на графике

Постройте график функции [latex]f\left(x\right)=\dfrac{2}{x}+\dfrac{x}{3}[/latex]. Затем используйте график, чтобы оценить локальные экстремумы функции и определить интервалы, на которых функция возрастает. 9{2}-15x+20[/latex] для оценки локальных экстремумов функции. Используйте их, чтобы определить интервалы, на которых функция увеличивается и уменьшается.

Показать решение

Пример: поиск локальных максимумов и минимумов на графике

Для функции [latex]f[/latex], график которой показан ниже, найдите все локальные максимумы и минимумы.

Показать решение

Анализ функций набора инструментов для увеличения или уменьшения интервалов

Теперь мы вернемся к функциям нашего набора инструментов и обсудим их графическое поведение в таблице ниже. 9{2}}[/латекс]

Увеличение на [латекс]\влево(-\infty,0\вправо)[/латекс]

Уменьшение на [латекс]\влево(0,\infty\вправо)[/латекс]

Кубический корень

[латекс]f\влево(х\вправо)=\sqrt[3]{х}[/латекс]

Увеличение Квадратный корень

[латекс]f\влево(х\вправо)=\sqrt{x}[/латекс]

Увеличение на [латекс]\влево(0,\infty\вправо)[/латекс] Абсолютное значение

[латекс]f\left(x\right)=|x|[/латекс]

Увеличение на [латекс]\влево(0,\infty\вправо)[/латекс]

Уменьшение на [латекс]\влево(-\infty,0\вправо)[/латекс]

Минимум при [латекс]х=0[/латекс]

Использование графика для определения абсолютного максимума и абсолютного минимума функции

Существует разница между определением наивысшей и минимальной точек на графике в области открытого интервала (локально) и определением наивысшей и минимальной точек точек на графике для всей области. Координаты [latex]y\text{-}[/latex] (выходные) в самой высокой и самой низкой точках называются 9{3}[/latex] — одна из таких функций.

A Общее примечание: абсолютные максимумы и минимумы

Абсолютный максимум [latex]f[/latex] в точке [latex]x=c[/latex] равен [latex]f\left(c\right)[ /latex], где [latex]f\left(c\right)\ge f\left(x\right)[/latex] для всех [latex]x[/latex] в домене [latex]f[/latex ].

Абсолютный минимум для [латекс]f[/латекс] при [латекс]х=d[/латекс] равен [латекс]f\влево(д\вправо)[/латекс], где [латекс]f\влево (d\right)\le f\left(x\right)[/latex] для всех [latex]x[/latex] в домене [latex]f[/latex].

Пример: нахождение абсолютных максимумов и минимумов на графике

Для показанной ниже функции [latex]f[/latex] найдите все абсолютные максимумы и минимумы.

Показать решение

Поддержите!

У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

Как найти локальные экстремумы с помощью теста первой производной-2021

Из книги: Предварительное вычисление для чайников

Предварительное вычисление для чайников

Исследуйте книгу Купить на Amazon

Все локальные максимумы и минимумы на графике функции — называемые локальными экстремумами — возникают в критических точках функция (где производная равна нулю или не определена). Не забывайте, однако, что не все критические точки обязательно являются локальными экстремумами.

Первым шагом в нахождении локальных экстремумов функции является нахождение ее критических чисел ( x — значения критических точек). Затем вы используете тест первой производной. Этот тест основан на идеях уровня Нобелевской премии, согласно которым, когда вы преодолеваете вершину холма, вы сначала поднимаетесь, а затем спускаетесь, и что когда вы въезжаете в долину и выезжаете из нее, вы спускаетесь, а затем вверх. Этот математический материал довольно удивителен, а?

На рисунке показан график

Чтобы найти критические числа этой функции, выполните следующие действия:

1. Найдите первую производную числа f с использованием правила мощности.

2. Приравняйте производную к нулю и найдите x.

   x = 0, –2 или 2.

   Эти три значения x- являются критическими числами f. Дополнительные критические числа могли бы существовать, если бы первая производная была неопределенной при некоторых значениях x , но поскольку производная

   определено для всех входных значений, приведенный выше набор решений, 0, –2 и 2, представляет собой полный список критических чисел. Поскольку производная (и наклон) f равно нулю при этих трех критических числах, кривая имеет горизонтальные касательные при этих числах.

Теперь, когда у вас есть список критических чисел, вам нужно определить, возникают ли пики или впадины или ни то, ни другое при этих значениях x . Вы можете сделать это с помощью теста первой производной. Вот как:

1. Возьмите числовую прямую и запишите найденные критические числа: 0, –2 и 2.

   Вы делите эту числовую прямую на четыре области: слева от –2, от –2 до 0, от 0 до 2 и справа от 2.

2. Выберите значение из каждой области, подставьте его в первую производную и отметьте, будет ли ваш результат положительным или отрицательным.

   В этом примере вы можете использовать числа –3, –1, 1 и 3 для проверки областей.

   Эти четыре результата соответственно являются положительными, отрицательными, отрицательными и положительными.

3. Возьмите свою числовую прямую, отметьте каждую область соответствующим положительным или отрицательным знаком и укажите, где функция увеличивается и уменьшается.

   Увеличивается, когда производная положительна, и уменьшается, когда производная отрицательна. В результате получается так называемый знаковый график функции.

   Этот рисунок просто говорит вам то, что вы уже знаете, если смотрели на график f , — что функция идет вверх до –2, вниз от –2 до 0, далее вниз от 0 до 2 и снова вверх от 2 на.

   А вот и ракетостроение. Функция переключается с возрастания на убывание при –2; другими словами, вы поднимаетесь до -2, а затем падаете. Итак, при –2 у вас есть холм или локальный максимум. И наоборот, поскольку функция переключается с убывания на возрастание в 2, у вас есть впадина или локальный минимум. И поскольку знак первой производной не меняется при нуле, в этом 9 нет ни минимума, ни максимума.0253 x -значение.

4. Получите значения функции (другими словами, высоты) этих двух локальных экстремумов, подставив значения x- в исходную функцию.

   Таким образом, локальный максимум находится в точке (–2, 64), а локальный минимум – в точке (2, –64). Готово.

Чтобы использовать тест первой производной для проверки локального экстремума при определенном критическом числе, функция должна быть непрерывной при этом значении x-.

Эта статья из книги:

• Предварительное исчисление для чайников,

Об авторе книги:

Мэри Джейн Стерлинг.