Исследовать на сходимость: Необходимые и достаточные признаки сходимости числового ряда

{\infty}\sin n$.

Решение

Общий член ряда имеет вид: $u_n=\sin n$. Поговорим о нём несколько неформально. Итак, что мы знаем о синусе? Мы знаем, что эта функция ограничена, и что она периодическая. Т.е. значения синуса повторяются и повторяются – до бесконечности. Это кстати, легко увидеть по графику функции $y=\sin x$. Обратите внимание, что если мы «пойдём в бесконечность» по синим точкам, то получим в пределе единицу; а если по красным точкам – то в пределе будет ноль:

Иными словами, совершенно логичным будет предположение, что $\lim_{n\to\infty}\sin n$ не существует, и ряд будет расходиться. Однако мы можем упростить себе задачу: нам ведь достаточно показать, что $\lim_{n\to\infty}\sin n\neq 0$. Итак, цель решения определена: показать, что предел общего члена ряда не равен нулю.

Пойдём методом от противного. Предположим, что $\lim_{n\to\infty}\sin n=0$. Если предел некоей последовательности равен числу $a$, то и предел любой её подпоследовательности также равен числу $a$.

{n+1}\ln n}{\sqrt{n}}.$

Числовые ряды — презентация онлайн

Похожие презентации:

Числовые ряды

Числовые ряды

Ряды. Определение числового ряда, суммы ряда. Свойства рядов. Необходимый признак сходимости ряда

Числовые ряды

Числовые ряды. Признаки сходимости числовых рядов. Лекция 12

Числовые ряды

Дифференциальные уравнения и ряды. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Ряды с комплексными членами

Числовые ряды

Числовые, функциональные и степенные ряды

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

План
1.Числовые ряды.
Определение.
2.Необходимый признак
сходимости.
3.Достаточные признаки
сходимости рядов с
положительными членами.
4.Знакопеременные ряды.
5.Знакочередующиеся ряды.
6.Признак Лейбница.
Сумма ряда или ряд, — математическое
выражение, позволяющее записать бесконечное
количество слагаемых и подразумевающее

значение их суммы, которое можно получить в
предельном смысле. Если значение суммы (в
предельном смысле) существует, то говорят, что
ряд сходится. В противном случае говорят, что
он расходится
Пусть дана бесконечная последовательность чисел:
а1 , а2 , а3 ,… ап ,…
(1)
Выражение:
а а а а … а …
п
1
2
3
п
(2)
п 1
называется числовым рядом, а числа — членами ряда.
Суммы S1 a1; S2 a1 a2 ; S3 a1 а2 а3 ,…; S п a1 a2 ап ,..
называются частичными суммами ряда. (2)
Если последовательность частичных сумм имеет
конечный предел
S lim S n
n
(3)
то этот предел называется суммой ряда. В этом
случае ряд называется сходящимся.Если же
предел (3) не существует или равен ∞ то ряд
расходится и суммы не имеет.
Необходимый признак сходимости ряда
● Если ряд сходится, то его общий член а п стремится
к нулю при неограниченном возрастании номера n :
lim an 0
n
(4)
При нарушения условия (4) ряд заведомо расходится.
Заметим, что из сходимости ряда (2) следует сходимость
его остатка rn an 1 an 2 . .. и, наоборот, из
сходимости остатка ряда следует сходимость
исходного ряда. Иначе говоря , если отбросить конечное
число начальных членов ряда, то это не отразится
на сходимости (расходимости) ряда.
Достаточные признаки сходимости рядов с
положительными членами.
1) Признак сравнения рядов
a1 a2 … an …
b1 b2 … bn …
● Если, начиная с некоторого номера n ϵ N,
(5)
(6)
выполняется
неравенство an bn , то из сходимости ряда (6) следует
сходимость ряда (5) и из расходимости ряда (5) следует
расходимость ряда (6).
2) Признак Даламбера.
an 1
l то при ℓ<1
● Если существует предел lim
n a
n
ряд (5) сходится , а при ℓ>1 расходится. При ℓ=1 вопрос
о сходимости ряда остается переменным.
3) Признак Коши
● Если существует предел
lim n an l an 0 то
n
при
ℓ <1 ряд (5) сходится, а при ℓ>1 расходится.
Если
ℓ=1, то вопрос о сходимости ряда остается
нерешенным.
Примеры
1. Написать пять первых членов ряда по данному общему
1
члену an
n(n 1)
1
1
1
1
1
1
….
n 1 n(n 1)
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
(*)
2. Найти для ряда (*) частичную сумму первых n членов( )S n
1
запишем иначе:
Общий член ряда an
n(n 1)
1
1
1
n(n 1) n n 1
Частичная сумма ряда
1
1 1 1 1 1
1 1
S n 1 …
1
n 1
2 2 3 3 4
n n 1
1
S lim S n lim 1
1
n
n
n 1
Отсюда следует, что ряд (*) сходится и его сумма S=1
3. Написать формулу общего члена для ряда:
2 4 6
8
…
5 8 11 14
Числители членов – четные числа вида 2n,
а знаменатели –числа, которые получаются
формуле 3n+2. (n=1,2,3,…)
по
Учитывая, что знаки членов ряда чередуются, получим
an 1
n 1
2n
3n 2
4. Гармонический ряд
1
1 1
1
1 … … — расходиться!
n 1 n
2 3
n
если an
1
С n
,то расходится!
2n 1 3 5 7
2n 1
. ..
…
2 7 12
5n 3
n 1 5n 3
2n 1 2
lim
0 => ряд расходится
n 5n 3
5
5. Исследовать по признаку Даламбера сходимость ряда:
«
n
2
an
n!
2
n 1 n!
2 n 1
an 1
n 1 !
2
an 1
n!
2
lim
lim
n lim
0
n a
n n 1 ! 2
n n 1
n
n 1
ℓ=0<1 => ряд сходится.
6. Исследоватьnпо признаку Коши сходимость ряда:
n
n 1 2 n 1
n
n
n
1
lim
lim an lim n
1
n
n
n 2
2
2
n 1
n 1
n
=> сходится
Знакопеременные ряды
Определение: Если члены числового ряда с
разными знаками, то такой ряд будет называться
знакопеременным.
● Знакопеременный ряд a1 a2 a3 an (1)
называется абсолютно сходящимся, если сходится
ряд, составленный из абсолютных
величин его членова1 а2 а3 … аn …
Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).
(2)
● Если же ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится,
то ряд (1) называется условно сходящимся.
Признаки абсолютной сходимости
знакопеременного ряда те же, что и сходимости
с положительными членами.
Знакочередующиеся ряды
a1 a 2 a3 a 4 … ( 1)
Ряд
n 1
a n …
(3)
a1 a 2 a3 … ( 1) a n …
(3`)
n
где
n>0 (n=1,2,3,…) называется
знакочередующимся. Этот
ряд является частным
случаем знакопеременного
ряда.
Признак Лейбница
Если члены
знакочередующегося ряда (3)
a1 a2 a3 … an …
убывают по абсолютной
величине
и lim a n 0 , то такой ряд
n
сходится и сумма
a
его 0<S< 1
# Исследовать сходимость
знакопеременного ряда.
1 1 1
1
n 1
1 … ( 1)
…
3 5 7
2n 1
Члены данного ряда убывают по абсолютной
величине, знаки чередуются и предел
1
lim
0 =>ряд сходится
n 2n 1
1 1 1
1
Составлен ряд 1 …
(а)
3 5 7
2n 1
и сравним его с расходящимся рядом
1
1
1
1
(б)
. ..
2
4
6
2n
Каждый
член
ряда (а)
больше
(т.к. расходится
гармонический
ряд).
соответственного члена
ряда (б), следовательно, ряд
(а) расходится, потому
данный ряд сходится
Итак: 1) Сходятся условно ряды с общим членом
1
n 1
или 1
n
an 1
an 1
1 n
4n 1
2) Абсолютно сходятся ряды с общим членом
n
( 1) 1
an n ; n
a
a
— сходится
3) Расходятся ряды с общим членом
n
n
a ( 1) n
1 2 3 4 … ( 1) n
n
Признак Лейбница не работает.
1+1+1+1+…
S n n — ряд расходится, т.к.
1
n2
— сходится.
n 1
( 1)
5)
n
— сходится условно.
lim s n
n

English     Русский Правила

Резюме тестов сходимости — Mathematics LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

17116

Эта страница является черновиком и находится в активной разработке.

9∞_{n=1}a_n\) с ненулевыми членами, пусть \( ρ=\lim_{n→∞}∣\frac{a_{n+1}}{a_n}∣\)

Если \( 0≤ρ<1\), то ряд сходится абсолютно.

Часто используется для рядов, содержащих факториалы или экспоненты.

Если \( ρ>1\) или \( ρ=∞\), ряд расходится. Если \( ρ=1\), тест неубедительный. 9н_н\). Если \( ρ>1\) или \( ρ=∞\), ряд расходится. Если \( ρ=1\), тест неубедительный.

---

Сводка тестов сходимости распространяется по лицензии CC BY-NC-SA и была создана, изменена и/или курирована LibreTexts.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Лицензия

   CC BY-NC-SA

   Показать страницу TOC

   да

   Стадия

   Проект

2. Теги

   1. расчет: да
   2. юпитер: питон

Тесты сходимости серии

— инструкции по расчету

• Тест Абеля
• Абсолютная конвергенция
• Тесты сходимости чередующихся серий
• Удаление первых N терминов
• Тест Дирихле
• Тест прямого сравнения
• Проверка сходимости геометрических рядов
• Интегральные тесты сходимости серии
• n-й термин Тест на дивергенцию
• Серия Р
• Проверка соотношения
• Корневой тест
• Конвергенция серии Тейлора

Что означает «конвергенция»?

• Абсолютная конвергенция
• Условная сходимость
• Поточечная сходимость
• Скорость сходимости
• Радиус и интервал сходимости
• Равномерная сходимость

Что означает «расхождение»?

Часто вам нужно знать, сходится ли ряд (то есть достигает определенного числа) или расходится (не сходится). Выяснение этого с нуля может быть чрезвычайно трудной задачей — что-то, что выходит за рамки даже курса исчисления II. К счастью, математики до вас рассчитали тесты на сходимость рядов: сходимость или расхождение многих обычных рядов. Это позволяет вам выяснить, может ли конкретный ряд сходиться или нет.

Критерий Абеля — критерий сходимости бесконечных рядов; Он говорит нам, сходится ли некоторый бесконечный ряд в определенных ситуациях.

Подробнее: Тест Абеля.

Если абсолютное значение ряда

сходится, то ряд

сходится.

Если для всех n a _n положительное, невозрастающее (т. е. 0 < = a _n ) и приближается к 0, то проверка знакопеременного ряда говорит нам, что следующий знакопеременный ряд сходится:

Если ряд сходится, то остаток R,sub>N = S – S _N ограничен |R _N |< = a _{N + 1} . S — точная сумма бесконечного ряда, а S _N — сумма первых N членов ряда.

Следующие ряды либо оба сходятся, либо оба расходятся , если N — целое положительное число.

Критерий Дирихле является обобщением критерия переменного ряда.

Тест Дирихле — это один из способов определить, сходится ли бесконечный ряд к конечному значению. Тест назван в честь немецкого математика XIX века Петера Густава Лежена Дирихле.

Формально критерий Дирихле утверждает, что бесконечный ряд
a ₁ b ₁ + a ₂ b ₂ + … + a _n b _{истинны, если сходится два следующих утверждения:}

1. Последовательность частичных сумм
   с _n = a ₁ + a ₂ + … a _n
   — ограниченная последовательность. Другими словами, существует положительное число K, такое что
   S _n < K для всех n.
2. b ₁ + b ₂ + … b _n – монотонно убывающая последовательность (т. е. неуклонно убывающая последовательность), сходящаяся к нулю (т.е. b _n < b _n-1 и lim _{n→∞ ) b n = 0).}

Когда использовать критерий Дирихле

Тест Дирихле — один из менее известных тестов. В общем, общие правила сходимости рядов — те, которые вы изучаете в элементарном исчислении, — достаточны для проверки подавляющего большинства рядов. Но есть некоторые конкретные случаи, когда «обычные» тесты просто не работают.

Например, вы можете использовать тест отношения или тест корня, чтобы показать, что следующий степенной ряд расходится (при |z|> 1) или абсолютно сходится при |z| < 1.

Однако ни один из этих тестов не говорит вам, что происходит, когда z = 1. Для этого вы можете использовать тест Дирихле, чтобы показать, что ряд сходится (Evans, 2009).

Пример критерия Дирихле

Используйте критерий Дирихле, чтобы показать, что следующий ряд сходится:

Шаг 1: Перепишите ряд в виде a ₁ b ₁ + a 3 2 _{… + a n b n :}

Шаг 2: Показать, что последовательность частичных сумм a _n ограничена. Один из способов решить эту проблему — оценить первые несколько сумм и посмотреть, есть ли тенденция:

• a ₂ = cos(2π) = 1
• a ₃ = cos(2π) + cos(3π) = 1 – 1 = 0
• a ₄ = cos(π) + cos(2π) + cos(3π) = 1 – 1 + 1 = 0

Оказывается, последовательность частичных сумм ограничена (≤1).

Шаг 3: Оцените b _n , чтобы увидеть, уменьшается ли оно. Один из способов сделать это — построить график функции (я использовал Desmos.com):

Очевидно, что функция (и, следовательно, последовательность) убывает, а предел при n→∞ равен 0. Следовательно, этот ряд сходится.

Доказательство теста Дирхле

Посмотрите следующее видео для доказательства сходимости с помощью теста Дирхле:

Доказательство того, что сумма(sin(n)/n) сходится с помощью теста Дирихле

Посмотрите это видео на YouTube.

В тесте прямого сравнения применяются следующие два правила, если 0 < = a _n &lt ;= b _n для всех n, превышающих некоторое натуральное число N. r между -1 и 1, то ряд сходится к ¹ ⁄ _{(1 – правая)} .

Следующие ряды либо оба сходятся, либо оба расходятся, если для всех n> = 1 f(n) = a ⁿ и f положительна, непрерывна и убывающа. Если ряд сходится, то остаток R _N ограничен

См.: Интегральный ряд / Оценка остатка.

Предельный сравнительный тест

Предельный сравнительный тест утверждает, что следующие ряды либо оба сходятся, либо оба расходятся, если lim(N → ∞) ( ^{a _n} ⁄ _{b n} , где a _n ,b _n >0, а L положительна и конечна.

Следующий ряд расходится, если последовательность {a _n } не сходится к 0:

Несколько примеров см. в: Тест N-го члена на расхождение.

Если p > 1, то p-ряд сходится.
Если 0 < p < 1, то ряд расходится.

Следующие правила применяются, если для всех n n≠0. L = lim (n→ ∞)|a ^{н + 1} ⁄ _{a н} |.
Если L<1, то ряд

сходится.

Если L>1, то ряд

расходится.
Если L = 1, то тест соотношения неубедителен.

Подробнее: Проверка отношения

Пусть L = lim(n→ ∞)|a _n | ^1/n
Если <, то ряд

сходится.
Если >, то ряд расходится.
Если L = 1, то тест неубедительный.

См.: Корневой тест

Ряд Тейлора сходится, если f имеет производные всех порядков на интервале «I» с центром в точке c, если lim(n→ infin;)RN = 0 для всех x в l:

Остаток ряда Тейлора R _N = S – S _N равно (1/(n + 1)!)f ^{(n + 1)} (z)(x – c) ^{n + 1} , где z – константа между x и с.

Сойтись означает рассчитаться по определенному номеру . Например, ряд {9, 5, 1, 0, 0, 0} остановился или сошелся на числе 0.

Интегралы, пределы, ряды и последовательности могут сходиться. Например, если лимит устанавливается на определенное (конечное) число, то лимит существует. Противоположным является diverge , где интеграл, предел, ряд или последовательность не могут установиться на числе. В случае предела, если он расходится, то его не существует.

Поточечная сходимость — это когда последовательность функций сходится к одной функции, называемой предельной функцией (или предельной функцией ). Последовательность функций , обозначаемая {f _n (x)}, представляет собой семейство функций с набором параметров натуральных чисел (целых неотрицательных чисел, которые мы используем для счета, например 1, 2, 3,… ).

Например, последовательность функций f(x) = x/n сходится к предельной функции f(x) = 0 для отрезка [0, 1], как показано на следующем рисунке:

Этот ряд функций сходится поточечно к f(x) = 0.

По сравнению с равномерной сходимостью это довольно простой тип сходимости. Одно из основных различий между двумя типами сходимости состоит в том, что предельная функция поточечно сходящейся последовательности не обязательно должна быть непрерывной функцией, а предельная функция равномерно сходящейся последовательности должен ли быть непрерывным.

Тесты сходимости рядов: формальное определение поточечной сходимости

Поточечная сходимость — относительно простой способ определения сходимости для последовательности функций. Итак, вам может быть интересно, зачем вообще нужно формальное определение. Хотя сходимость кажется естественной (как показанная выше последовательность функций f(x) = x/n), не все функции ведут себя так хорошо. Чтобы показать, что ряд функций имеет поточечную сходимость, вы должны доказать, что он удовлетворяет формальному определению. Тем не менее, определение довольно простое:

Последовательность функций f _n показывает поточечную сходимость для множества A, если для всех x ∈ A выполняется следующее: (достигает) определенной точки или предела . Он используется как инструмент для сравнения скорости алгоритмов, особенно при использовании итерационных методов.

Существует множество различных способов расчета скорости сходимости. Один относительно простой способ — следующая формула (Senning, 2020; Hundley, 2020),

Где:

• α = порядок сходимости (действительное число > 0) последовательности. Например: 1 (линейная), 2 (квадратичная) или 3 (кубическая),
• x _n = последовательность,
• λ = асимптотическая ошибка; Действительное число ≥ 1,
• r = значение, к которому сходится последовательность.

Как правило, алгоритмы с более высоким порядком сходимости достигают своей цели быстрее и требуют меньшего количества итераций. См.: Асимптотическая ошибка.

А радиус сходимости связан со степенным рядом, который будет сходиться только для определенных значений x. Интервал, в котором происходит эта сходимость, называется интервалом сходимости и обозначается (-R, R). Буква R в этом интервале называется радиусом сходимости. Это называется «радиус», потому что, если коэффициенты являются комплексными числами, значения x (если |x| < R) образуют открытый диск радиуса R.

Хотя обычно можно сказать, что нечто сходится, если оно располагается на число, сходимость в исчислении обычно определяется более строго, в зависимости от того, равна ли сходимость условное или абсолютное .

Пример геометрического ряда. Этот абсолютно сходится.

Ряд абсолютно сходится если ряд сходится и он также сходится при замене всех членов ряда их абсолютными значениями.

Условная сходимость — это особый вид сходимости, при котором ряд сходится, если его рассматривать как целое, но расходятся абсолютные значения. Иногда его называют полусходящийся .

Ряд абсолютно сходится если ряд сходится (приближается к определенному числу) и он сходится и при замене всех членов ряда их абсолютными значениями. Другими словами,

…if |u ₁ | + |u ₂ | +… сходится, то ряд u ₁ + u ₂ +… абсолютно сходится.

Этот оператор обычно записывается с символом суммирования:

если Σ | и _н | сходится, то ряд Σ u _n имеет абсолютную сходимость.

Ряд положительных членов

Если ряд положительных членов сходится, то сходится как ряд положительных членов, так и ряд знакопеременных членов (т. е. ряд с чередующимися положительными и отрицательными членами).

Если сходящийся ряд представляет собой набор положительных членов , то этот ряд также абсолютно сходящийся. Это потому, что Σ u _n и Σ| и _н | это одна и та же серия.
Например, следующий геометрический ряд представляет собой оба:

Геометрический ряд.

Ряды с положительными и отрицательными членами

Если сходящийся ряд имеет бесконечное число положительных членов и бесконечное число отрицательных членов, он имеет абсолютную сходимость, только если Σ| u _n также сходится.

Условная сходимость — это особый вид сходимости, при котором ряд сходится (т. е. останавливается на определенном числе), если рассматривать его как единое целое. Однако есть одна загвоздка:

• Сумма его положительных членов стремится к положительной бесконечности и
• Сумма его отрицательных членов стремится к отрицательной бесконечности.

Он обладает очень особым свойством, называемым теоремой о рядах Римана , которое гласит, что его можно заставить сходиться к любому желаемому значению — или расходиться — путем простой перестановки членов.

Один из способов определения условно сходящегося ряда

Чтобы узнать, сходится ли ряд условно:

1. Узнать, сходится ли ряд, затем
2. Определить, что оно не является абсолютно сходящимся.
   1. Тест чередующихся рядов говорит нам, что если члены ряда чередуются по знаку (например, -x, +x, -x…), и каждый член больше, чем член после него, то ряд сходится.
   2. Возьмите абсолютные значения знакопеременного (сходящегося) ряда. Если новый (все положительные члены) ряд сходится, то ряд абсолютно сходится. Если этот новый ряд не сходится, исходный ряд сходится лишь условно.

Пример условной сходимости

Одним из примеров условно сходящегося ряда является знакопеременный гармонический ряд, который можно записать как:

Он сходится к пределу (ln 2) условно, но не абсолютно; создайте новый ряд, взяв абсолютное значение каждого из членов, и ваш новый ряд будет расходиться.

Понимание теоремы о рядах Римана

Может показаться нелогичным, что ряд можно заставить сходиться к чему угодно, просто переставляя члены. Но если у вас есть четко определенный предел, к которому вы хотите приблизиться, все, что вам нужно сделать, это:

1. Возьмите достаточно положительных терминов, чтобы чуть-чуть превысить желаемый предел, затем
2. Добавьте достаточно отрицательных терминов, чтобы опуститься ниже желаемого предела, затем
3. Продолжайте в том же духе.

Поскольку все члены исходного ряда стремятся к нулю, новый перестроенный ряд будет сходиться к выбранному вами пределу.

В качестве примера ряда Римана рассмотрим знакопеременный гармонический ряд, который мы рассмотрели выше. Как написано, он сходится к ln2. Но можем ли мы заставить его сходиться к половине этого, (ln2)/2. Обычным способом было бы написано

1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 +….
и т. д.

Все остальные члены отрицательные. Но если мы расположим это как (один положительный член) + (два отрицательных члена), мы получим это:

1 – 1/2 -1/4 + 1/3…

Мы можем переписать это как:

Что составляет половину того, к чему сходилась исходная серия.

Литература

Абсолютная и условная сходимость. Получено с https://www.math.utah.edu/lectures/math2220/22PostNotes.pdf 22 декабря 2018 г.

Неабсолютная (условная) сходимость

Ряд является неабсолютно (условно) сходящимся, если ряд сходится, но множество абсолютных значений ряда расходится. Это также называется полусходимостью или условной сходимостью . Например, следующий знакопеременный ряд сходится:

Однако ряд

расходится.

Выбор теста сходимости ряда для положительного ряда.

Равномерная сходимость — это когда ряд непрерывных функций сходится к одной конкретной функции f(x), называемой предельной функцией . Этот тип сходимости определяется более строго, чем поточечная сходимость.

Идея равномерной сходимости очень похожа на равномерную непрерывность, когда значения должны оставаться внутри определенной «рамки» вокруг функции. Если вы не знакомы с тем, что значит быть единообразным, вы можете сначала прочитать о непрерывности единообразия.

Что означает сходимость ряда функций?

Например, ряд f(x) = x/n сходится к f(x) = 0 на отрезке [0, 1]:

Этот ряд функций равномерно сходится к f(x) = 0, называется ограничивающей функцией .

Обратите внимание, как наклон каждой функции становится все ниже и ниже, в конечном итоге сходясь к f(x) = 0 (что, по сути, является функцией, которая идет вдоль оси x).

Хотя эти функции сходятся к предельной функции (f(x) = 0 в приведенном выше примере), последовательность может сходиться, а может и не сходиться равномерно для этой функции. Равномерная сходимость — это особый тип сходимости, при котором предельная функция должна находиться в пределах заданной «границы» вокруг двух значений: между двумя крошечными значениями («эпсилон»): -ε и ε.

Формальное определение равномерной сходимости

Последовательность непрерывных вещественных функций ( f ₁ , f ₂ … f _{n 9034 ), определенная на замкнутом интервале, [ba 9034] , имеет равномерную сходимость , если для всех x в области верно следующее неравенство:}

| f _n (x) – f ( x )| < ε для всех x ∈ D всякий раз, когда n ≥ N ,

Где:

• N = натуральное число, зависящее только от ε,
• D = домен,
• ∈ = «является элементом» (т. е. «находится в множестве»)

Следующее изображение графически поясняет, что здесь происходит:

Равномерно сходящаяся функция f(x), окруженная полосой ε. Целое число N выбирается таким образом, чтобы предельная функция f _u (x) находилась внутри полосы для всех x в области.

Поточечная сходимость и равномерная сходимость

Если функция сходится равномерно, то она также сходится поточечно к тому же пределу (но обратите внимание, что это не работает наоборот). Основное отличие заключается в значениях, от которых зависит N:

• Точечный : N зависит от ε и x. Выбирается одно значение (x), затем вокруг этой точки рисуется произвольная окрестность.
• Равномерный : N зависит только от ε Окрестность рисуется вокруг всей предельной функции,.

Серийные тесты сходимости для равномерной сходимости

Вы можете проверить равномерную сходимость с помощью критерия Абеля или М-критерия Вейерштрасса.

История

Считается, что термин «равномерная сходимость» впервые был использован Кристофером Гудерманном в его статье 1838 года об эллиптических функциях. Термин не был официально определен до тех пор, пока Карл Вейерштрасс не написал Zur Theorie der Potenzreihen в 1841 году (Kadak, 2014).

«Расходящийся» обычно означает либо:

• Рассчитывается на определенное число (т.е. имеет лимит), либо
• Не сходится.

В некоторых областях математики расхождение может просто означать «идет по другому пути» (например, в KL «Расхождение в статистике»). Однако в исчислении это почти всегда относится к ограничениям или поведению последовательностей и рядов.

Серии и последовательности, которые расходятся (тест на расхождение)

Тест на расхождение.

9Ряды 0031 и Последовательности также могут расходиться. В общем смысле расхождение означает, что последовательность или ряд не ограничиваются конкретным числом.

Расходящийся ряд будет (обычно) продолжаться и продолжаться до бесконечности (т.е. эти ряды не имеют пределов). Например, ряд

9 + 11 + 13 …

будет расти вечно.

Однако не все ряды расходятся: некоторые расходятся все время , другие сходятся или расходятся при очень специфических обстоятельствах . Например:

• Ряды, которые все время расходятся, включают все бесконечные арифметические ряды и гармонические ряды.
Ряды
• , которые сходятся , иногда , включают степенные ряды, сходящиеся везде или в одной точке (вне которой ряд будет расходиться).

Доказательство расхождения (или сходимости) чрезвычайно сложно за некоторыми исключениями. Например, вы можете показать, что бесконечный ряд расходится, показав, что последовательность частичных сумм расходится.

Сравнение четырех популярных тестов (Boardman & Nleson, 2015).

Тесты сходимости серии

: связанные статьи

М-тест Вейерштрасса

Тесты сходимости серии

: ссылки

Arfken, G. (1985). Математические методы для физиков, 3-е изд. Орландо, Флорида: Academic Press.
Боас, Р. и др. (1996). Учебник реальных функций. Издательство Кембриджского университета.
Браудер, А. (1996). Математический анализ: введение. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 19.96.
Clapham, C. & Nicholson, J. (2014). Краткий Оксфордский математический словарь. ОУП Оксфорд.
Эванс, П. (2009). Math 140A Test 2. Получено 18 сентября 2020 г. с: http://math.ucsd.edu/~lni/math240/math240a_Midterm_Sample2.pdf
Hundley, D. Notes: Rate of Convergence. Получено 8 сентября 2020 г. с: http://people.whitman.edu/~hundledr/courses/M467F06/ConvAndError.pdf
Хантер, К. Последовательности и ряды функций.
Джеффрис, Х. и Джеффрис, Б.С. (1988). «Равномерная сходимость последовательностей и рядов» и сл. §1.112-1.1155 в методах математической физики, 3-е изд. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета, стр. 37–43, 19.88.
Кадак, У. (2014). О равномерной сходимости последовательностей и рядов нечеткозначных функций. Получено 10 февраля 2020 г. с: https://www. hindawi.com/journals/jfs/2015/870179/
Kevrekidis, P. 132class13 (PDF). Получено 14 декабря 2018 г. с: http://people.math.umass.edu/~kevrekid/132_f10/132class13.pdf
Кнопп, К. «Равномерная сходимость». §18 в Теории функций, части I и II, два тома, связанные как один, часть I. Нью-Йорк: Довер, стр. 71–73, 1996.
Куратовски, К. (2014). Введение в исчисление. Эльзевир.
Матонлайн. Тест Дирихле на сходимость рядов действительных чисел Примеры 1. Получено 18 сентября 2020 г. с: http://mathonline.wikidot.com/dirichlet-s-test-for-convergence-examples-1
Nelson, D. (2008) . Математический словарь пингвинов. Пингвин Букс Лимитед.
Рудин В. (1976). Основы математического анализа, 3-е изд. Нью-Йорк: McGraw-Hill, стр. 147–148.
Сеннинг, Дж. Вычисление и оценка скорости сходимости. Получено 8 сентября 2020 г. с: http://www.math-cs.gordon.edu/courses/ma342/handouts/rate.pdf
Спивак, М. (2006). Исчисление, 3-е издание. Издательство Кембриджского университета.
Васиштха, А. Алгебра и тригонометрия.
Фогель Т. Поточечная и равномерная сходимость последовательностей функций (7.1). Получено 10 февраля 2020 г. с: https://www.math.tamu.edu/~tvogel/410/sect71a.pdf
Вуд, А. (2012) Абсолютная и условная сходимость. Получено 14 декабря 2018 г. с: https://resources.saylor.org/wwwresources/archived/site/wp-content/uploads/2012/09/MA102-5.4.6-Absolute-and-Conditional-Convergence.pdf
Инфографика основана на оригинальной графике профессора Джо Калига.

УКАЗЫВАЙТЕ ЭТО КАК:
Стефани Глен . «Тесты сходимости серий» Из CalculusHowTo.com : Исчисление для всех нас! https://www.calculushowto.com/sequence-and-series/series-convergence-tests/

————————————————— ————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

ИсчислениеHowTo.com

11.3 Признаки сходимости несобственных интегралов

Исчисление одной действительной переменной автора Pheng Kim Ving Глава 11: Методы интеграции Раздел 11.3: Признаки сходимости несобственных интегралов

11,3 Испытания Для сходимости несобственных интегралов

 

Возврат К содержанию
Перейти к проблемам и решениям

 

1. Тесты на сходимость

 

Существуют несобственные интегралы, которые нельзя вычислить с помощью фундаментальная теорема исчисления, потому что первообразные
их подынтегральные выражения не могут быть найдены. В этой ситуации мы все еще можем определить сходятся они или нет по
проверка их сходимости путем сравнения их с более простыми несобственными интегралы, поведение которых (сходимость
или дивергенция) известна.

 

Перейти к проблемам и решениям Вернуться к Начало страницы

 

2. р — Интеграл

 

Проверка сходимости несобственных интегралов осуществляется с помощью сравнение этих интегралов с известными более простыми несобственными
интегралы. Сейчас мы рассмотрим некоторые из таких интегралов. Они известны как р -интеграл.

 

 

Рис. 2.3

 

 

 

 

 

4

0023  

 

The P — Интегралы

Все 4 интегралы выше с Exponent P на Denintatrator. 1057 р — интегралы . Чтобы различать их
мы указываем, какова их неправильная точка. Их основная терминология обобщена в таблице ниже.

 

 

Обратите внимание, что at в имени интеграла используется для указания неправильного точка интеграла. Заметим, что
p -интегралы являются основными — типа несобственными интегралами.

 

Теорема 2.1 п — Интегралы

Каждый приведенный выше интеграл называется p -интегралом . Обратите внимание, что часть ii является частным случаем 1-го интеграла части iii, где a = 0, .

 

Доказательство

 

 

Следовательно, аналогично части ii :

 

Пример 2.

1

 

Для каждого из следующих интегралов определите, является ли он сходится или расходится, без фактического вычисления.

 

 

Решение

EOS

 

Решения 7 910 Проблемы1072 Вернуться к Начало страницы

 

3. Стандартный сравнительный тест (SCT)

 

Предположим, у нас есть функция f и мы хотим знать, сходится или расходится его интеграл. Если f ( x ) может быть по сравнению с
подынтегральная функция p -интеграла, то мы можем нарисовать вывод об интеграле от ф .

 

 

 

 

В доказательстве теоремы 3. 1 ниже используются следующие свойство действительных чисел.

 

Основные Свойство Действительных Чисел

 

 

 

Теорема 3.1 Стандартный сравнительный тест (SCT)

Этот признак сходимости несобственного интеграл называется стандартным сравнительным тестом , сокращенно SCT .

 

Proof

EOP

 

Remarks 3.1

 

 

Example 3.1

 

Establish the convergence or divergence of the following интеграл без фактического его вычисления.

 

 

Решение

 

сходится.

EOS

 

Перейти к проблемам и решениям Вернуться к Начало страницы

 

4. Сравнительный тест предельных значений (LCT)

 

SCT не всегда применяется

Отношение подынтегральных выражений Сравнительный тест предельных значений (LCT)

Предположим:     где L какой-то конечное положительное число. Тогда несобственные интегралы f и г с теми же ограничениями интегрирования ведут себя одинаково, т.е. либо оба сходятся, либо оба расходятся.   Поскольку этот признак сходимости несобственного интеграл использует предел, он называется тестом сравнения пределов , сокращенно LCT .

 

Доказательство

EOP

 

Когда мы не можем найти несобственный интеграл, который можно использовать для применения SCT к заданному несобственному интегралу, мы попробуем LCT.

 

Пример 4.1

 

Определите, сходится ли следующий интеграл или расходится без вычисления:

 

 

Решение 1

 

Таким образом, по ЛКТ данный интеграл сходится.

ЭОС

Раствор 2

EOS

Пример 4.2

Укажите конвергенс или даверг. Без на самом деле расчет:

Раствор

EOS

11111111171111111111111111111111111111111111111111. НЕОБХОДИМОЙ Начало страницы

 

5. Другие сравнения

 

Сравнения Между собственными интегралами

 

Сравнения между собственными интегралами получаются из свойства определенных интегралов, и мы уже знаем о них.
См. раздел . 9.3 Теорема 6.1 Часть 6 . Напомним, что все собственные интегралы конечны числа, поэтому все они сходятся.
Однако мы можем захотеть сравнить собственный интеграл функции f с другим собственным интегралом, если первообразная из ф
не может быть найден. Пример см. Проблема & Решение 4 .

 

Сравнение с Не- p -интегральные

 

p -интегральные не единственные интегралы, используемые в сравнительных тестах. Есть другие функции иногда должно быть
использовал. Пример иллюстрации см. Проблема & Решение 4 .

 

Вернуться к началу страницы

 

Проблемы и решения

 

1. Для каждого из следующих интегралов определите сходится или расходится без фактического вычисления.

 

 

Раствор

 

а. Единственная ненадлежащая точка — 0. Разрыв:

Возвращение на вершину страницы

2.

2.

. следующие интегралы без фактического вычисления.

 

 

Решение

Возвращение на вершину страницы

3. для каждого из следующих.

No related posts.