определения, формулы и примеры решения
Содержание:
- Основные понятия и определения
- Примеры исследования последовательностей на монотонность
- Нестрогая монотонность
Основные понятия и определения
Определение
Последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ называется монотонно возрастающей, если для любого $n \in N, x_{n}<x_{n+1}$
Пример
Последовательность $\left\{x_{n}\right\}=\{n\}=\{1 ; 2 ; \ldots ; n ; \ldots\}$ является возрастающей, так как для любого $n \in N, x_{n}<x_{n+1}$
Можно дать еще одно альтернативное определение возрастающей последовательности.
Определение
Последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ называется монотонно возрастающей, если для любого $n \in N, \frac{x_{n}}{x_{n+1}}<1$
Определение
Последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ называется монотонно убывающей, если для любого $n \in N$ , $x_{n}>x_{n+1}$
Или,
Последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ называется
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Последовательность $\left\{x_{n}\right\}=\{n\}=\{-1 ;-2 ; \ldots ;-n ; \ldots\}$ является убывающей, так как для любого $n \in N$ , $x_{n}>x_{n+1}$
Примеры исследования последовательностей на монотонность
Пример
Задание.
{n}}{n !}\right\}, n \geq 2$ — монотонно убывающая последовательность.
Нестрогая монотонность
Последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ является неубывающей или нестрого возрастающей (невозрастающей или нестрого убывающей), если для $\forall n \in N$, $x_{n} \leq x_{n+1}\left(x_{n} \geq x_{n+1}\right)$
Последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ называется монотонной, если она убывающая или возрастающая.
Если все элементы последовательности $\left\{x_{n}\right\}$ равны одному и тому же числу, то последовательность называется постоянной.
Пример
Последовательность $\left\{x_{n}\right\}=\{0 ; 0 ; \ldots ; 0 ; \ldots\}$ является постоянной, так для любого натурального $n$ : $x_n=0$
Читать дальше: предел числовой последовательности.
Математики достигли прорыва в изучении «опасной» задачи / Хабр
Математики считают гипотезу Коллатца «болотом», и предупреждают друг друга, что от неё стоит оставаться подальше.
Однако теперь Теренс Тао достиг большего прогресса, чем кто бы то ни было за несколько десятилетий. Возьмите любое число. Если оно чётное, поделите его на два. Если нечётное, умножьте на три, прибавьте один. Повторите. Любое ли число в итоге приходит к 1?
Опытные математики советуют новичкам держаться подальше от гипотезы Коллатца. Они называют её песней сирен: попади под её влияние, и можешь уже никогда не добраться до осмысленной работы.
Гипотеза Коллатца, возможно, простейшая из нерешённых задач математики – именно это и делает её такой предательски притягательной.
«Это очень опасная задача. Люди становятся одержимыми ею, при том, что она совершенно невозможна», — сказал Джеффри Лагариас, математик из Мичиганского университета, эксперт по гипотезе Коллатца.
Но в 2019 году один из лучших математиков мира осмелился подступиться к ней, и получил самый значимый из всех результатов, что были достигнуты за несколько десятилетий.
8 сентября 2019 Теренс Тао опубликовал доказательство, где показано, что гипотеза Коллатца, по меньшей мере, «почти» верна «почти» для всех чисел. И хотя результат Тао не является полным доказательством гипотезы, это очень серьёзный прорыв для задачи, не так-то легко раскрывающей все свои секреты.
«Я не ожидал решить задачу полностью, — сказал Тао, математик из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе. – Но у меня получилось сделать больше, чем я ожидал».
Головоломка Коллатца
Лотар Коллатц, вероятно, высказал одноимённую гипотезу в 1930-х годах. Задача звучит, как фокус для вечеринок. Возьмите любое число. Если оно чётное, поделите его на два. Если нечётное, умножьте на три, прибавьте один. Получится новое число. Примените те же правила для него. Гипотеза говорит о том, что произойдёт, если настойчиво повторять этот процесс.
Интуиция подсказывает, что начальный номер влияет на конечный результат. Возможно, некоторые числа в итоге будут уменьшаться до 1.
Возможно, другие числа будут увеличиваться до бесконечности.
Однако Коллатц предсказал, что это не так. Он предположил, что если вы начнёте с положительного целого числа, и достаточно долго будете повторять указанную последовательность, то с любого начального числа придёте к 1. А придя к единице, вы попадёте в ловушку правил гипотезы, и войдёте в бесконечную петлю: 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, и так далее, до бесконечности.
С годами многих любителей задач притягивала привлекательная простота гипотезы Коллатца, или «задачи 3х+1», как её ещё называют. Математики проверили уже квинтиллион примеров (это число с 18 нулями), не найдя ни единого исключения из предсказания Коллатца. Вы и сами можете попытаться проверить несколько примеров с любым из множества имеющихся в интернете «калькуляторов Коллатца». В интернете полно необоснованных любительских доказательств гипотезы, авторы которых утверждают, что им удалось её доказать или опровергнуть.
«Вам нужно только уметь умножать на 3 и делить на 2, и вы уже можете начать играться с ней.
И это очень заманчиво», — сказал Марк Чамберленд, математик из Колледжа Гриннела, записавший популярное на YouTube видео об этой задаче под названием «Простейшая из невозможных задач».
А вот истинных доказательств немного.
В 1970-х математики показали, что почти все последовательности Коллатца – список чисел, которые вы получаете при повторении процесса – в итоге приходят к числу меньшему, чем начальное. Это было слабое свидетельство того, что почти все последовательности Коллатца приводят к 1, но тем не менее, оно было. И с 1994 года до полученного в 2019 году результата Тао, рекорд по демонстрации минимального значения удерживал Иван Корец. Другие работы сходным образом пытались атаковать задачу, не приближаясь к её главной цели.
«Мы, на самом деле, не понимаем вопроса Коллатца достаточно хорошо, поэтому значительных работ по этому вопросу не было», — сказал Каннан Саундарараджан, математик из Стэнфордского университета, работавший над этой гипотезой.
Тщетность этих попыток привела многих математиков к заключению, что эта гипотеза просто недоступна при текущем уровне знаний, и что им лучше тратить своё время на другие исследования.
«Задача Коллатца известна своей сложностью – настолько, что математики обычно предваряют каждое её обсуждение предупреждением не тратить на неё время», — сказал Джошуа Купер из университета Южной Каролины.
Неожиданный совет
Впервые Лагариас заинтересовался этой гипотезой, будучи студентом, не менее 40 лет назад. Десятилетиями он был неофициальным куратором всего, что с ней связано. Он набрал целую библиотеку связанных с нею работ, и в 2010 опубликовал некоторые из них в виде книги под названием: «Решающий вызов: задача 3х +1».
«Теперь я гораздо больше знаю об этой задаче, и всё равно могу сказать, что решить её невозможно», — сказал Лагариас.
Обычно Тао не тратит своё время на невозможные задачи. В 2006 году он получил Филдсовскую премию, высшую награду по математике, и считается одним из лучших математиков своего поколения.
Он привык решать задачи, а не гоняться за воздушными замками.
«Это риски, связанные с профессией математика, — сказал он. – Можно стать одержимым одной из больших известных задач, находящихся за пределами возможностей любого человека, и потерять кучу времени».
Однако у Тао не всегда получается противостоять искушениям из этой области. Каждый год он тратит один-два дня на самые известные из нерешённых задач по математике. С годами он делал несколько подходов и к гипотезе Коллатца, но безуспешно.
Затем в августе анонимный читатель оставил в блоге Тао комментарий. Он предложил попробовать решить гипотезу Коллатца «почти для всех» чисел, не пытаясь полностью доказать её.
«Я не ответил, однако это заставило меня снова задуматься об этой задаче», — сказал Тао.
И он понял, что гипотеза Коллатца была в некотором роде похожа на особые типы уравнений – дифференциальные уравнения в частных производных – появлявшихся в наиболее значительных результатах, полученных им за время его карьеры.
Входы и выходы
Дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП) можно использовать для моделирования многих из наиболее фундаментальных физических процессов во Вселенной, вроде эволюции жидкостей или прохождении гравитационных волн сквозь пространство-время. Они появляются в ситуациях, когда будущее положение системы – например, состояние пруда через пять секунд после броска в него камня – зависит от вкладов двух или более факторов, типа вязкости и скорости воды.
Казалось бы, у сложных ДУЧП есть мало что общего с таким простым арифметическим вопросом, как гипотеза Коллатца.
Но Тао понял, что у них есть нечто общее. В ДУЧП можно подставить значения, получить другие значения, повторить процесс – и всё это для понимания будущего состояния системы. Для каждого заданного ДУЧП математикам нужно знать, приведут ли начальные значения на входе к бесконечным значениям на выходе, или же уравнения всегда будут выдавать конечные значения, вне зависимости от начальных.
Теренс Тао, вдохновлённый комментарием в своём блоге, достиг крупнейшего за десятилетия прогресса в изучении гипотезы Коллатца
Для Тао эта цель была того же порядка, как и то, всегда ли вы получите одно и то же значение (1) из процесса Коллатца, вне зависимости от начального значения. В результате он понял, что техники изучения ДУЧП могут подойти для изучения гипотезы Коллатца.
Одна особенно полезная техника использует статистический способ изучения долговременного поведения небольшого количества начальных значений (что-то типа небольшого количества начальных конфигураций воды в пруду) и экстраполирует результат на долгосрочное поведение всех возможных начальных конфигураций пруда.
В контексте гипотезы Коллатца представим, что мы начали с большой выборки чисел. Наша цель – изучить, как эти числа ведут себя, когда мы применяем к ним процесс Коллатца. Если почти 100% чисел в выборке приходят к 1 или очень близко к 1, можно заключить, что почти все числа будут вести себя так же.
Но чтобы это заключение было обоснованным, нужно очень тщательно составить выборку. Эта задача похожа на составление выборки участников голосования на выборах президента США. Для тщательного составления выборки из всей популяции нужно использовать взвешенные пропорции для республиканцев и демократов, мужчин и женщин, и так далее.
У чисел есть собственные «демографические» параметры. Нечётные и чётные числа, числа, делящиеся на 3, и числа, отличающиеся друг от друга ещё более хитрыми способами. Создав выборку чисел, можно сделать так, чтобы в неё входили определённые тип чисел, и не входили другие, по взвешенному принципу – и чем лучше вы выберете веса, тем точнее будут ваши умозаключения по поводу всех чисел в целом.
Взвешенный выбор
Задача Тао была гораздо сложнее, чем просто понять, как нужно создавать изначальную выборку чисел с нужными весами. На каждом шагу процесса Коллатца числа, с которыми вы работаете, меняются. Одно очевидное изменение состоит в том, что почти все числа из выборки уменьшаются.
Другое, возможно, менее очевидное изменение состоит в том, что числа могут начать скапливаться в группы. К примеру, можно начать с красивого равномерного распределения чисел от одного до миллиона. Но через пять итераций числа, скорее всего, сконцентрируются на нескольких небольших интервалах числовой прямой. Иначе говоря, можно начать с хорошей выборки, которая через пять шагов будет безнадёжно искажена.
«Обычно можно ожидать, что распределение после итерации будет полностью отличаться от начального», — сказал Тао. Однако ключевой его идеей было то, как можно создать выборку чисел, по большей части сохраняющих свои оригинальные веса в процессе Коллатца.
К примеру, начальная выборка Тао взвешена так, чтобы в ней не было чисел, делящихся на три, поскольку процесс Коллатца всё равно довольно быстро устраняет такие числа. Некоторые другие веса, выбранные Тао, оказываются сложнее. Он отдаёт предпочтение числам, остаток которых от деления на 3 составляет 1, и отходит от чисел, остаток которых от деления на 3 составляет 2.
В итоге выборка, с которой начинает Тао, сохраняет свой характер даже после начала процесса Коллатца.
«Он обнаружил способ продолжить этот процесс так, чтобы после нескольких шагов всё ещё было понятно, что происходит, — сказал Саундарараджан. – Когда я впервые увидел эту работу, я очень обрадовался и решил, что она потрясающая».
Тао использовал свою технику назначения весов, чтобы доказать, что почти все начальные значения – не менее 99% — в итоге приходят к величине, очень близкой к 1. Это позволило ему сделать вывод о том, Что 99% начальных значений, больших, чем квадриллион, в итоге приходят к величинам, меньшим 200.
Это, возможно, самый сильный результат в долгой истории этой гипотезы.
«Это великолепный прорыв в наших знаниях о том, что происходит с этой задачей, — сказал Лагариас. – Это определённо лучший результат за очень долгое время».
Метод Тао почти наверняка не способен добраться до полного доказательства гипотезы Коллатца. Причина в том, что его начальная выборка всё же немного искажается после каждого шага.
Искажение будет минимальным, пока в выборке всё ещё содержатся множество разных значений, далёких от 1. Но в процессе Коллатца все числа в выборке начинают стремиться к одному, и небольшое искажение становится всё больше – так же, как небольшая ошибка в подсчётах результата голосования не имеет большого значения в случае крупной выборки, но сильно влияет на результат, когда выборка мала.
Любое доказательство полной гипотезы, скорее всего, будет основано на другом подходе. В итоге, работа Тао одновременно является и триумфом, и предостережением всем интересующимся: как только вам кажется, что вы загнали задачу в угол, она ускользает.
«К гипотезе Коллатца можно подобраться сколь угодно близко, но она всё равно остаётся недостижимой», — сказал Тао.
Сравнительный тестовый калькулятор с шагами
AllebildervideoSnewsmapsShoppingBücher
Sucoptionen
Сравнение Сравнительного испытания на сцену — символ
www.
symbolab.com ›…› СОГДА серии с использованием теста сравнения пределов шаг за шагом.
Сравнительный тест на конвергенцию: Предельный/Прямой — Статистические инструкции
www.statisticshowto.com › sequence-and-series › co…
Сравнительный тест предельных значений и прямой сравнительный тест объясняются простым языком с примерами. … Шаг 2: Умножьте на обратную величину знаменателя.
Bilder
Alle anzeigen
Alle anzeigen
Ähnliche Fragen
Есть ли калькулятор, показывающий шаги?
Каково правило сравнительного теста?
Какова формула теста сравнения пределов?
Как узнать, когда использовать сравнительный тест?
Калькулятор сравнительных тестов серии
series-comparison-test-calculator.myriadeconsulting.fr
Бесплатный калькулятор теста сравнения пределов рядов. Пошаговая проверка сходимости рядов с помощью теста сравнения пределов. Вычислите ответы с помощью Wolfram’s .
..
Введение в статистику и анализ данных
books.google.de › books
… исследования калькулятора (продолжение) проверка гипотезы доли населения … 581 сравнение выборок и, 640– 645 уровней значимости, 584 шага для, …
Статистический анализ мощности: простая и общая модель для …
books.google.de › books
альфа-уровень в два раза выше желаемого альфа-канала для каждого сравнения. Универсальный калькулятор F можно использовать для определения значения F, необходимого для достижения …
Калькулятор сравнительных тестов серииСравнительный тест работает хорошо …
d-elite.cfd › сравнительный тест серии калькулятор
Бесплатный Калькулятор теста сравнения рядов — пошаговая проверка сходимости рядов с помощью теста сравнения 813 Специалисты 93% Уровень удовлетворенности 71938+ …
Питание, физическая активность и здоровье в раннем возрасте
books.google.de › books
Учитывая особенности дошкольного возраста, а также доступность оборудования, мы наконец выбрал, после длительного тестирования, модифицированный ступенчатый тест с .
..
Отчет об исследованиях
books.google.de › books
МЕТОД РАСЧЕТА Метод Тарнера2 / метод расчета водохранилища … Сравнение информации в таблице видно, что большие шаги, используемые в …
Роль федерального правительства в расширении прав и возможностей американцев зарабатывать …
books.google.de › books
Недавно на веб-сайт был добавлен новый калькулятор фиксированного дохода, с помощью которого инвесторы могут тестировать различные сценарии доходности и цены, рассчитывать выпуклость …
Damit du nur die relatedesten Ergebnisse erhältst, wurden einige Einträge ausgelassen, die den 4 angezeigten Treffern sehr ähnlich sind. Du kannst bei Bedarf diesuche unter Einbeziehung der übersprungenen Ergebnisse wiederholen. |
ähnliche sucalfragen
Сравнение тестового калькулятора Интеграл
Тестовый калькулятор отношения
Сравнение ограниченного сравнения
ИЗОБРАЖЕНИЕ Сравнение CALDATOR
.
Калькулятор сходимости последовательности
калькулятор сходимости последовательности — Googlesuche
AlleBilderShoppingVideosMapsNewsBücher
suchoptionen
Wolfram|Alpha Widgets: «Sequences: Convergence to/Divergence»
www.wolframalpha.com › виджеты › галерея › просмотреть
04.07.2016 · Получить бесплатно «Sequences to: Convergence/Divergence» виджет для вашего веб-сайта, блога, WordPress, Blogger или iGoogle. Узнать больше Транспорт …
Калькулятор сходимости последовательностей + онлайн-решатель с бесплатными шагами
www.storyofmathematics.com › математические калькуляторы › s…
Bewertung 5,0
(6)
Калькулятор сходимости последовательности — это онлайн-калькулятор, используемый для определения того, является ли функция сходящейся или расходящейся, путем определения предела …
Что такое последовательность.
.. · Как использовать последовательность… · Результат · Решенные примеры
Калькулятор рядов — Symbolab
www.symbolab.com › Шаг за шагом › Исчисление
Бесплатный калькулятор сходимости рядов — проверка бесконечного ряда на сходимость шаг за шагом -шаг.
Калькулятор сходимости последовательности с шагами [Бесплатно для студентов]
kiodigital.net › калькулятор сходимости последовательности
Калькулятор сходимости последовательности — Этот бесплатный калькулятор предоставляет вам бесплатную информацию о сходимости последовательности. Лучший инструмент для пользователей это …
Калькулятор сходимости рядов
mathforyou.net › online › исчисление › сходимости
Онлайн-калькулятор проверки сходимости различных рядов.
Ähnliche Fragen
Как найти сходимость последовательности?
Как узнать, сходится последовательность или расходится?
Сходится ли моя последовательность?
Что является примером последовательности сходимости?
Калькулятор предела последовательности — EasyCalculation
www.
easycalculation.com › analytics › limit-of-seq…
Последовательность называется сходящейся, если существует такой предел. Последовательность, которая не сходится, называется расходящейся.
Гл. 9-1 Определение сходимости или расхождения последовательности (Пример 6-7)
www.youtube.com › смотреть
08.03.2015 · Как определить, сходится/расходится ли последовательность графически (используя график) …
Dauer: 12:29
Прислано: 08.03.2015
Калькулятор сходимости или расхождения последовательности — Recycler Ambiental
www.recyclerambiental.com.br Расхождение означает, что оно уходит. WebСледуйте приведенным ниже шагам, чтобы получить результат калькулятора сходимости последовательностей, равный 0,9.0003
Центром интервала сходимости является Калькулятор ряда Тейлора с … Последовательность S n сходится к пределу S. Калькулятор сходимости последовательности.
Калькулятор сходимости последовательностей с шагами
mcheol.