Исследовать систему и если она совместна найти решение онлайн: Исследование систем линейных уравнений онлайн

Содержание

Педагогическая мозаика. Система линейных уравнений. Правило Крамера

1. Педагогическая мозаика

Попченко Светлана Николаевна
МБОУ СОШ №3 г. Клинцы, Брянской
области
Учитель математики
Система линейных уравнений
ПРАВИЛО КРАМЕРА
Пусть дана система двух линейных
уравнений с двумя переменными
a1 x b1 y c1
a2 x b2 y c2
Главным определителем системы
называется число, которое равно
a1 b1
a2 b2
a1 b2 a2 b1 .
Пример
Найти главный определитель
системы
5x 3 y 1,
4 x 3 y 10,
Решение
5 3
4 3
5 3 4 ( 3) 15 12 27,
Первым вспомогательным определителем
называется число, которое вычисляется по
формуле:
.
x
c1
b1
c2
b2
c1 b2 c2 b1 ,
причем, он получается из главного
определителя, если столбец коэффициентов
a1
при x
a2
заменить столбцом свободных членов
c1
c2
Вторым вспомогательным определителем
называется число, которое вычисляется по
формуле:
.

y
a1
c1
a2
c2
a1 c2 a2 c1 ,
причем, он получается из главного определителя,
если столбец коэффициентов при y
b1
b2
заменить столбцом свободных членов
c1
c2
.
Пример.
Найти вспомогательный определитель системы
2x 3y 1,
x 2y 3,
Решение
x
y
1 3
3 2
2 1
1 3
1 ( 2) 3 ( 3) 2 9 7,
2 3 1 1 6 1 5.
Правило Крамера
1. Если главный определитель системы отличен от нуля
0
то система совместна и имеет единственное решение, причем
x
x
,
y
y
.
2. Если главный определитель системы равен нулю
0
а хотя бы один из вспомогательных отличен от нуля x 0 ( y 0),
то система несовместна.
3. Если главный определитель системы и оба вспомогательных
равны нулю, то система совместна и имеет бесконечное
множество решений (является неопределенной), причем, если
x t, тогда
где
c1 a1 t
c2 a2 t
y
или y
,
b1
b2
t R.

Решить системы уравнений
x 2y 5,
2x 3y 8;
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
x
5 2
8 3
1 2
2 3
1 3 2 2 3 4 1,
5 3 8 2 15 16 1,
y
1 5
2 8
1 8 2 5 8 10 2.
Главный определитель системы отличен от нуля
1 0,
значит система совместна и имеет единственное решение
y 2
x 1
x
1, y
2.
1
1
Ответ: (1; 2).
2.
9x 6y 3,
3x 2y 2;
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя
системы:
9 6
3 2
9 ( 2) 3 ( 6) 18 18 0,
9 3
3 6
x
3 ( 2) 2 ( 6) 6 12 0,6 y
9 2 3 3 18 9 9.
3 2
2 2
Главный определитель системы равен нулю,
вспомогательных не равен нулю
( y 9 0),
Ответ:
система несовместна.
а
один
из
3. 3x 4 y 5,
6x 8 y 10.
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
x
5
4
10 8
3 4
6 8
3 8 6 4 24 24 0,
40 40 0,
y
3
5
6 10
30 30 0.

Главный и оба вспомогательных определителя равны нулю, значит система
совместна и имеет бесконечное множество решений. Чтобы найти все пары
решений системы, достаточно взять любое из уравнений системы и,
придавая
переменной
x
произвольные
значения
из
множества
действительных чисел x = t R, найти значения y:
5 3t
y
Ответ: система имеет б/м решений, x t, y
4
5 3t
, где
4
.
t R.
4.
.
5 x y 16
2 x 3 y 3
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
x
16 1
3
3
5 1
2
3
15 2 17 0
48 3 51; y
5 16
2 3
15 32 17
значит, система имеет единственное решение.
y 17
x 51
x
3, y
1
17
17
.
Ответ: (3; -1).
5. 2 x 3 y 1,
5 x 3 y 8.
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
.
x
1
3
8 3
2
3
5 3
6 15 21 0
3 24 21; y
2
1
5 8
16 5 21
значит, система имеет единственное решение.

y 21
x 21
x
1, y
1
21
21
.
Ответ: (-1; 1)
6.
.
2 x 3 y 3,
7 x 5 y 16.
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
x
3
3
16 5
2 3
7 5
10 21 11 0
15 48 33; y
2
3
7 16
32 21 11
значит, система имеет единственное решение.
y 11
x 33
x
3, y
1
11
11
.
Ответ: (3; -1).
С помощью правила Крамера легко проводить
исследование систем уравнений с параметрами.
Исследовать систему уравнений — это значит решить
вопрос о ее совместности или несовместности, и
если она совместна, то найти все ее решения.
7. Исследовать систему уравнений
ax y 2,
x y 2a.
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
x
2
1
a 1
1 1
a 1,
y
a 2
2a 2 2 2(a 1)(a 1).
2 2a 2(1 a),
1 2a
2a 1
1. Главный определитель системы не равен нулю, если a 1 0, a 1,
тогда система совместна и имеет единственное решение:
y 2(a 1)(a 1)
x 2(1 a)
2(a 1)
x
2,
y
2(a 1).

a 1
a 1
a 1
2. Если a — 1= 0, a = 1, тогда x y 0,
значит система совместна и имеет бесконечное множество
решений, т. е. является неопределенной.
Пусть
x t, тогда из первого или второго уравнения y 2 t,
где t R .
8. Исследовать систему уравнений:
(a 5) x (2a 3) y (3a 2) 0,
(3a 10) x (5a 6) y (2a 4) 0.
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
a 5
2a 3
3a 10 5a 6
x
(a 5)(5a 6) (3a 10)(2a 3)
3a 2 2a 3
2a 4 5a 6
5a2 31a 30 6a2 29a 30 a2 2a a(2 a).
(3a 2)(5a 6) (2a 4)(2a 3)
15a2 28a 12 4a2 14a 12 11a2 14a a(11a 14).
y
a 5
3a 2
3a 10 2a 4
(a 5)(2a 4) (3a 10)(3a 2)
2a2 14a 20 9a2 36a 20 7a2 22a a(7a 22).
1. Если
0, a(2 a) 0, a 0, a 2,
тогда система совместна и имеет единственное решение
y a(7a 22) 7a 22
x a(11a 14) 11a 14
.
x
, y
a(2 a)
a 2
a(2 a)
2 a
2. Если a = 2, тогда
0, x 16 0, y 72 0,
значит система несовместна.

0,
3. Если a = 0, тогда
x
y
значит система имеет бесконечное множество решений, т. е.
является неопределенной. Положим x = t, тогда из первого или
2 5t
второго уравнения находим
y
3
,
где
t R.
9. Исследовать систему уравнений
ax y b,
bx y a.
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
y
a b
b a
1. Если
a 1
b
a b (a b)(a b).
2
2
1
a b,
x
b
1
a
1
b a,
a b 0, a b,
тогда система совместна и имеет единственное решение
x
a b
y (a b)(a b)
x
1,
y
a b.
b a
a b
2. Если a = -b, тогда x y 0,
система имеет бесконечное множество решений, т. е. является
неопределенной. Положим x t, тогда y b(t 1), где t R .
10. Найти все значения а, при которых система уравнений
3x ay 5,
6 x 8 y 1.
имеет единственное решение.
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
x
5
a
1
8
3 a
6 8
24 6a 6 4 a ,
40 a,
y
3
5
6 1
Если 0, 4 a 0, a 4
то система имеет единственное решение.

3 30 33
11. Найти все значения
m
, при которых система уравнений
(m 2) x 7 y 9,
m 1 x 2 m 2 y 18.
,
имеет бесконечное множество решений.
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
m 2
7
2m2 8 7m 7 2m2 7m 15 2 m 1,5 m 5
m 1 2 m 2
9
7
x
18m 36 126 18m 90 18 m 5 ,
18 2 m 2
y
.
m 2
9
m 1 18
18m 36 9m 9 9m 45 9 m 5
Если m = 5, тогда все три определителя равны нулю x y 0
а значит система совместна и имеет бесконечное множество решений.
Ответ: m = 5.
12. Найти все значения а, при которых система уравнений
.
x ay 3
ax 4 y a 4
не имеет решений.
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
x
1 a
a 4
a
3
a 4 4
y
.
4 a 2 a 2 4 a 2 a 2
12 a 2 4a a 2 4a 12 a 6 a 2
1
3
a
a 4
a 4 3a 2 a 2
0
x 0, y 0
При a = -2 главный определитель равен нулю
а оба вспомогательных не равны нулю
.

Ответ: a = -2.
Дополнительные задачи
Решить систему уравнений:
1. 6 x 5 y 19,
3x y 34.
2. 7 x 4 y 15,
2 x 3 y 4.
Ответ: (9; 7).
Ответ (1;2)
Исследовать системы уравнений:
3. 3x ay 5a 2 ,
2
3x ay a .
Ответ:
1. Если a 0 ,то система совместна и имеет единственное
решение a 2 ; 2a
.
2. Если a = 0, то система совместна и имеет бесконечное
множество решений.
4.
(a 1) x 2ay 2 0,
2ax (a 1) y (a 1) 0.
Ответ:
1
1. Если a 1 è a
3
то система совместна и имеет единственное решение:
2a 2
a 1
x
; y
3a 1
1 3a
2. Если a = -1, то система совместна и имеет бесконечное множество
решений.
1
3. Если a , то система несовместна.
3.
5.
.
ay bx 0,
y x b a.
Ответ:
a b
Если
, то система совместна и имеет единственное
решение (a; b).
2. Если a = b, то система совместна и имеет б/м решений.
6. Найти все значения a, при которых система уравнений
5 x ay 2,
10 x 3 y 3.

имеет единственное решение.
Ответ:
a 1,5
7. Найти все значения m, при которых система уравнений
.
m 2 x 27 y 4,5,
2 x (m 1) y 1,
имеет бесконечное множество решений.
Ответ: m = -7.
8. Найти все значения a, при которых система уравнений
7ax 4 y 8,
2
x
7
ay
49
a
,
не имеет решений.
Ответ:
a
2
7

20. Решение системы линейных уравнений с помощью ранга матрицы

Пусть дана система линейных уравнений (25), коэффициенты которых принадлежат данному полю Р.

Пусть А = (26) матрица этой системы и А1 = (27) расширенная матрица. Если система (25) имеет хотя бы одно решение, то её называют Совместной, в противном случае система Несовместная. Если все слагаемые, содержащие неизвестные, стоят в левых частях уравнений, а свободные члены – в правых частях, то система называется Приведённой. Если в системе (25) хотя бы один свободный член отличен от нуля, то эта система называется Неоднородной. Если же все свободные члены равны нулю, то имеем систему Линейных однородных уравнений.

Теорема 26 (теорема Кронекера – Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её матрицы равен рангу расширенной матрицы.

Доказательство. Þ Пусть система (25) совместна. Следовательно, существуют такие элементы A1, A2, … , AN , что

Записав эти равенства в векторной форме, получим, что В = A1×А1 + A2×А2 + … + AN×АN , где А1, а2, … , АN –векторы-столбцы матрицы А, В – вектор-столбец свободных членов. Из последнего равенства следует, что системы векторов А1, а2, … , АN и А1, а2, … , АN , В эквивалентны, поэтому их ранги равны. Итак, rang A = rang A1.

Ü Пусть rang A = rang A1 = К. Не нарушая общности, можно считать, что отличный от нуля минор

К-го порядка в матрице А Стоит в левом верхнем углу. Векторы-столбцы обозначим А1, а2, … , Ак, ак+1, … , АN, В (*). Система А1, а2, … , Ак Будет максимальной линейно независимой подсистемой в системе (*), следовательно, найдутся такие коэффициенты Х10, х20, … , хк0, Что В = Х10 А1 + Х20 А2 + … + Хк0 Ак. Это равенство равносильно равенству В = Х10 А1 + Х20 А2 + … + Хк0 Ак + … + 0×Ак+1 + … + 0×АN. Перейдя к координатам, получим:

(28)

Отсюда следует, что (Х10, х20, … , хк0, 0,… ,0) – решение системы (25), т. е. эта система совместна.

Из теоремы Кронекера – Капелли следуют правила решения системы линейных уравнений.

Для решения системы линейных уравнений достаточно

1. Найти ранги основной и расширенной матриц ( А и А1 ). Если rang A ¹ rang A1, То система не имеет решения.

2. Если rang A = rang A1 = К, то для решения достаточно оставить К Уравнений, коэффициенты которых стоят на тех строчках матрицы А, На которых стоит базисный минор, и в этих уравнениях оставить в их левых частях те неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор. Остальные неизвестные нужно перенести в правые части уравнений. Они могут принимать все возможные значения из поля Р. Эти неизвестные называются Свободными. (Не нарушая общности, можно считать, что оставлены первые К уравнений и первые К неизвестных, система (29)).

(29)	Определитель левой части системы (29) отличен от нуля, число уравнений равно числу неизвестных, поэтому (по теореме Крамера) эта система при всевозможных Хк+1, … , хN имеет единственное решение.

Следовательно, неизвестные Х1, х2, … , хк можно выразить через Хк+1, … , хN. Формулы, с помощью которых Х1, х2, … , хк выражаются через Хк+1, … , хN задают так называемое Общее решение Данной системы уравнений. При каждом конкретном наборе переменных Хк+1, … , хN мы получим единственный набор Х1, х2, … , хк. Это Частное решение Системы уравнений. Число свободных неизвестных равно N – К. Поэтому если К = N, то свободных неизвестных нет, система (29), а поэтому и система (25), имеет единственное решение. Если же К < N,

То система имеет бесконечно много решений.

Пример. Исследовать систему уравнений и решить её, если она совместна в поле R.

Решение. Составим матрицу и расширенную матрицу.

А1 =

Так как первый и второй столбцы пропорциональны, то для нахождения ранга матрицы один из них можно удалить. Будем считать, что удалён второй столбец. Минор М = ¹ 0.

Окаймим этот минор первым столбцом и третьей строкой, получим

D = = 56 ¹ 0.

Следовательно, rang A = 3. Но rang A1 Не может быть больше 3. Итак, rang A = rang A1 = 3. Для решения остаются три уравнения, т. е. все уравнения. Оставим в левых частях первое, третье и четвёртое неизвестные, второе неизвестное перенесём в правые части,

Получим

Для этой системы D = 56, = 84Х2 ,

= 20, = 24. По формулам Крамера получаем Х1 = , Х3 = , х4 = . Общее решение данной системы (), Х2 – любое действительное число.

< Предыдущая		Следующая >

Автоматизация, которая продвигает вас вперед

Zapier позволяет вам автоматизировать работу с более чем 5000 приложений, чтобы вы могли двигаться вперед быстрее.

Начните работу бесплатно

Свяжитесь с отделом продаж

Ёнджун Ким, менеджер по дизайн-системам в Cottage

Нам доверяют в больших и малых компаниях

Найдите свой первый Zap

Узнайте больше о Zaps по должностям

Делай то, что умеешь лучше всего, пусть Zapier сделает все остальное

Zapier соединяет ваши рабочие приложения, чтобы вы могли больше сосредоточиться и меньше расстраиваться.

Zapier поможет вам управлять всей воронкой — от привлечения лидов до электронных писем клиентов, чтобы вы получали больше конверсий и меньше хаоса.

Автоматизация для маркетологов →

От маркетинга до контрактов — Zapier оптимизирует ваши бизнес-процессы, чтобы вы росли больше и меньше ворчали.

Автоматизация для владельцев бизнеса →

От DevOps до подготовки пользователей — Zapier позволяет вам лучше обслуживать свою организацию, чтобы вы могли сосредоточиться на более широкой картине.

Автоматизация для ИТ →

Узнайте, как работает Zapier

Начните с простого, масштабируйте до изысканность

Создавайте автоматизированные рабочие процессы, выполняющие более одной задачи — до 100 шагов, если быть точным.

Добавьте к своим рабочим процессам настраиваемую логику «если/то», чтобы они работали точно так, как вы, но автоматически.

Преобразование данных из одного приложения в нужный формат перед их передачей в другое приложение. Диплом о данных не требуется!

Узнайте больше о возможностях

От «что, если» к «что будет дальше»

Пользователи Zapier каждый день автоматизируют свой путь к совершенству. Но не верьте нам на слово!

Познакомьтесь с нашими клиентами

«Благодаря Zapier все менеджеры по работе с клиентами могут сосредоточить свое время на ключевых клиентах и стратегии сбыта, которая способствует росту доходов».

Алисия Робертс, менеджер по работе с ключевыми клиентами компании Fellow Products

«Без Zapier работа моей команды сводилась бы к одной или двум дополнительным нагрузкам каждую неделю. Теперь мы можем сосредоточиться на добавлении ценности за счет обслуживания клиентов, а не на управлении повседневными операциями».

Тим Тиу, менеджер по маркетингу глобального сообщества, Asana

«Zapier дает нам неограниченную гибкость и креативность. С Zapier вы как художник с чистым холстом. Не знаю, что бы мы без него делали».

Риши Шах, основатель и генеральный директор Digioh

«Мы внушили всей команде, что если вы делаете что-то повторяющееся, для этого, вероятно, есть Zap».

Кевин Мартин, основатель и технический директор unspun

Столько (или мало) помощи, сколько пожелаете

Сделай сам

Независимо от того, являетесь ли вы новичком в области автоматизации или хотите развить свои навыки, мы сделаем все возможное, чтобы сделать своими руками.

Краткое руководство
Университет Zapier
Сообщество
Поддержка

Нанять эксперта

Выберите сертифицированного эксперта Zapier, который поможет вам продумать и создать автоматизированные рабочие процессы.

MercOlogy
Flow Digital
GetUWired
Посмотреть всех экспертов

5000+ приложений, бесконечные возможности

Zapier поддерживает больше приложений, чем любая другая платформа, поэтому вы можете подключать инструменты, которыми пользуетесь сегодня и завтра.

Исследуйте через приложение

План, соответствующий вашим потребностям

Всегда бесплатно

Только начинаете? Бесплатно изучите основные функции Zapier.

Попробуйте бесплатно

Professional

Готовы повысить уровень? Разблокируйте мощные функции с тарифным планом Professional.

Попробуйте бесплатно

Команды и компании

Вам нужна автоматизация в вашей организации? Ознакомьтесь с нашими корпоративными планами.

Подробнее

Устранение проблем с отображением сайта в представлении в режиме совместимости в Internet Explorer 11

Windows Internet Explorer Больше. ..Меньше

Поддержка Internet Explorer прекращена 15 июня 2022 г.

Internet Explorer 11 был окончательно отключен с помощью обновления Microsoft Edge в некоторых версиях Windows 10. Если какой-либо сайт, который вы посещаете, нуждается в Internet Explorer 11, вы можете перезагрузить его в режиме Internet Explorer в Microsoft Edge. Мы рекомендуем вам использовать Microsoft Edge для более быстрого, безопасного и современного просмотра веб-страниц.

Начните работу с Microsoft Edge

Для Windows 10

Иногда веб-сайты выглядят не так, как вы ожидаете: изображения могут не отображаться, меню могут быть не на своем месте, а текст может быть перемешан. Это может быть вызвано проблемой совместимости между Internet Explorer и сайтом, на котором вы находитесь. Иногда это можно исправить, добавив сайт в список просмотра в режиме совместимости.

Чтобы добавить сайт в список просмотра совместимости

Откройте Internet Explorer, нажмите кнопку Инструменты , а затем выберите Параметры просмотра в режиме совместимости .
В разделе Добавить этот веб-сайт введите URL-адрес сайта, который вы хотите добавить в список, а затем выберите Добавить .

Примечание. Если вы добавили сайт в список просмотра в режиме совместимости, а страница выглядит хуже, возможно, проблема не в совместимости, и вам следует удалить сайт из списка.

После того, как вы включите представление в режиме совместимости, Internet Explorer будет автоматически показывать этот сайт в представлении в режиме совместимости при каждом посещении. Вы можете отключить его, удалив сайт из списка совместимости.

Не все проблемы с отображением веб-сайтов вызваны несовместимостью браузера. Прерванное подключение к Интернету, интенсивный трафик или проблемы с веб-сайтом также могут повлиять на отображение страницы.

Для Windows 7

Если сайт несовместим с Internet Explorer 11 для Windows 7, вы увидите кнопку «Просмотр в режиме совместимости» в адресной строке. Включив просмотр в режиме совместимости, вы поможете исправить проблемы с отображением на сайтах.

Чтобы включить просмотр в режиме совместимости

Посмотрите, есть ли Просмотр в режиме совместимости Кнопка отображается в адресной строке. (Если вы не видите кнопку, нет необходимости включать режим совместимости.)
org/ListItem»>
Нажмите кнопку Представление в режиме совместимости , чтобы отобразить сайт в представлении в режиме совместимости.

Чтобы очистить список сайтов просмотра в режиме совместимости

Откройте Internet Explorer, нажмите кнопку Инструменты , а затем выберите Параметры Интернета .
В разделе История просмотров выберите Удалить .
В диалоговом окне Удалить историю просмотра установите флажок История , а затем выберите Удалить .
No related posts.