3. Основные формулы теории вероятностей
Задача 1. В ящике 10 красных и 5 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность, что пуговицы будут одноцветными?
Решение. СобытиеA={вынуты пуговицы одного цвета} можно представить в виде суммы, где событияиозначают выбор пуговиц красного и синего цвета соответственно. Вероятность вытащить две красные пуговицы равна, а вероятность вытащить две синие пуговицы. Так как событияине могут произойти одновременно, то в силу теоремы сложения
Задача 2. Среди сотрудников фирмы
28% знают английский язык, 30% – немецкий,
42% – французский; английский и немецкий
– 8%, английский и французский – 10%,
немецкий и французский – 5%, все три
языка – 3%. Найти вероятность того, что
случайно выбранный сотрудник фирмы: а)
знает английский или немецкий; б) знает
английский, немецкий или французский;
в) не знает ни один из перечисленных
языков.
Решение. Обозначим черезA,Bи С события, заключающиеся в том, что случайно выбранный сотрудник фирмы владеет английским, немецким или французским соответственно. Очевидно, доли сотрудников фирмы, владеющих теми или иными языками, определяют вероятности этих событий. Получаем:
а) P(AB)=P(A)+P(B) P(AB)=0,28+0,30,08=0,5;
б) P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)(P(AB)+P(AC)+P(BC))+P(ABC)=0,28+0,3+0,42
(0,08+0,1+0,05)+0,03=0,8;
в) 1P(ABC)=0,2.
Задача 3. В семье – двое детей. Какова вероятность, что старший ребенок – мальчик, если известно, что в семье есть дети обоего пола?
Решение.Пусть А={старший ребенок –
мальчик},B={в семье есть
дети обоего пола}. Будем считать, что
рождение мальчика и рождение девочки
– равновероятные события. Если рождение
мальчика обозначить буквой М, а рождение
девочки – Д, то пространство всех
элементарных исходов состоит из четырех
пар:.
Задача 4. Мастер, имея 10 деталей, из которых 3 – нестандартных, проверяет детали одну за другой, пока ему не попадется стандартная. Какова вероятность, что он проверит ровно две детали?
Решение.Событие А={мастер проверил ровно две детали} означает, что при такой проверке первая деталь оказалась нестандартной, а вторая – стандартная. Значит,, где={ первая деталь оказалась нестандартной } и={вторая деталь – стандартная}. Очевидно, что вероятность события А1
Задача 5.
В одном ящике
3 белых и 5 черных шаров, в другом ящике
– 6 белых и 4 черных шара. Найти вероятность
того, что хотя бы из одного ящика будет
вынут белый шар, если из каждого ящика
вынуто по одному шару.
Решение. СобытиеA={хотя бы из одного ящика вынут белый шар} можно представить в виде суммы, где событияиозначают появление белого шара из первого и второго ящика соответственно. Вероятность вытащить белый шар из первого ящика равна, а вероятность вытащить белый шар из второго ящика. Кроме того, в силу независимостииимеем:. По теореме сложения получаем: .
Задача 6.Три экзаменатора
принимают экзамен по некоторому предмету
у группы в 30 человек, причем первый
опрашивает 6 студентов, второй — 3
студентов, а третий — 21 студента (выбор
студентов производится случайным
образом из списка). Отношение трех
экзаменаторов к слабо подготовившимся
различное: шансы таких студентов сдать
экзамен у первого преподавателя равны
40%, у второго — только 10%, у третьего —
70%.
Решение. Обозначим черезгипотезы, состоящие в том, что слабо подготовившийся студент отвечал первому, второму и третьему экзаменатору соответственно. По условию задачи
,,.
Пусть событие A={слабо подготовившийся студент сдал экзамен}. Тогда снова в силу условия задачи
,,.
По формуле полной вероятности получаем:
Задача 7. Фирма имеет три источника поставки комплектующих – фирмы А, B, С. На долю фирмы А приходится 50% общего объема поставок, В – 30% и С – 20%. Из практики известно, что среди поставляемых фирмой А деталей 10% бракованных, фирмой В – 5% и фирмой С – 6%. Какова вероятность, что взятая наугад деталь окажется годной?
Решение. Пусть событиеG– появление годной детали. Вероятности
гипотез о том, что деталь поставлена
фирмами А,B, С, равны
сответственно Р(А)=0,5, Р(В)=0,3, Р(С)=0,2.
Условные вероятности появления при
этом годной детали равны Р(G|A)=0,9,
P(G|B)=0,95, P(G|C)=0,94
(как вероятности противоположных событий
к появлению бракованной). По формуле
полной вероятности получаем:
P(G)=0,50,9+0,30,95+0,20,94=0,923.
Задача 8(см. задачу 6). Пусть известно, что студент не сдал экзамен, т.е. получил оценку «неудовлетворительно». Кому из трех преподавателей вероятнее всего он отвечал?
Решение. Вероятность получить «неуд» равна. Требуется вычислить условные вероятности. По формулам Байеса получаем:
, и аналогично,
,.
Отсюда следует, что, вероятнее всего, слабо подготовившийся студент сдавал экзамен третьему экзаменатору.
Сведения об образовательной организации
Размер:
A
A
A
Цвет: CCC
Изображения
Вкл.
Выкл.
Обычная версия сайта
Горно-Алтайский государственный университет
- Университет
- Обращение ректора
- История
- Ученый совет
- Администрация
- Интеллект-центр
- Медиацентр
- Отдел делопроизводства
- ОПОД и УИК
- Управление бухгалтерского учета и финансового контроля
- Планово-финансовое управление
- Управление кадров
- Центр цифрового развития
- Административно-хозяйственное и материально-техническое подразделение
- Контрактный управляющий
- Противодействие коррупции
- Сведения о доходах
- Антитеррористическая безопасность
- Международная деятельность
- Безопасность и охрана труда
- Лучшие студенты
- Структура
- Календарь мероприятий
- Профком студентов и аспирантов
- Вопросы ректору
- Образование
- Факультеты и институт
- Учебно-методическое управление
- Методический совет ГАГУ
- Образовательная деятельность
- Отдел практической подготовки студентов
- Заочное обучение
- Центр дополнительного образования
- Центр карьеры
- Методические и иные документы
- Консультационный центр поддержки студентов
- Региональный центр финансовой грамотности
- Учебно-тренинговый центр
- Центр развития педагогического образования
- Локальный центр тестирования иностранных граждан
- Воспитание
- Центр воспитательной и внеучебной работы
- Центр социально-психологической помощи
- Совет по воспитательной работе
- Волонтёрский центр
- Информационные материалы
- Совет кураторов
- Клуб выпускников
- Наука
- Новости науки
- Центр развития науки и инноваций
- Отдел научно-технической информации
- Отдел подготовки научно-педагогических кадров
- Библиотечно-издательский центр
- Лаборатории, НШ, НИЦ, вузовско-академическая кафедра
- Музейный комплекс ГАГУ
- Научные мероприятия в ГАГУ
- Центр развития туризма и гостеприимства
- Национальный проект «Наука и университеты»
- Культура и спорт
- Немецкий культурный центр
- Центр языка и культуры Китая
- Туристский клуб «Горизонт»
- Спортивный клуб «Буревестник»
- Киберспорт
- Спортивные достижения студентов и сотрудников ГАГУ
- Военно-патриотический клуб «БАРС»
- Спортивно-оздоровительная база на Телецком озере
- Контакты и адреса
- Телефонный справочник
- Платежные реквизиты
- Символика ГАГУ
- Карта корпусов
- Карта сайта
- Сведения об образовательной организации
- ›
- Файлы
Объяснение биномиального распределения | Майке Элиза
Какой студент не был там? Пришло время экзамена, и вас ждут вопросы с несколькими вариантами ответов.
Не может быть так сложно догадаться об успехе, не так ли?
Экзамен состоит из 20 вопросов. Каждый вопрос имеет четыре варианта ответа. В каждом вопросе верным является ровно один вариант ответа. Для прохождения нужно минимум 10 правильных ответов. Какова вероятность прохождения, если вы выберете один случайный ответ на каждый вопрос?
Прежде чем вы продолжите чтение (или прокрутите вниз, чтобы проверить ответ), я хочу, чтобы вы сделали приблизительное предположение. Просто (мысленно) отметьте одно из полей выше.
Это распространенная проблема, которую можно описать с помощью биномиального распределения. И с такими проблемами мы сталкиваемся в повседневной жизни.
Например:
Вы бросаете кости 3 раза.
Каковы шансы получить ровно одну шестерку? Каковы шансы получить хотя бы одну шестерку?
Вы играете в лотерею каждый день в течение года. Каковы шансы выиграть хотя бы один раз?
Вы делаете 3 штрафных броска. Каковы шансы поразить цель хотя бы два раза?
Вероятность заболевания определенным заболеванием составляет 1 %. Каковы шансы, что в группе из 10 человек хотя бы двое заболеют?
Все эти проблемы можно описать с помощью биномиального распределения. Прежде чем мы рассмотрим это математически, давайте посмотрим на это с более общей точки зрения.
Что нам нужно для биномиального распределения?
- один базовый эксперимент, который будет повторяться много раз (n раз).
- только два исхода в базовом эксперименте: успех или неуспех; свойство выполнено или не выполнено.
- вероятность успеха p, которая не меняется от одного эксперимента к другому (это означает, что эксперименты независимы).
Что мы ищем?
Ищем вероятность определенного количества успехов.
Порядок, в котором происходят успехи, не имеет значения. Нам все равно, правильно ли мы ответили на первые пять вопросов или на последние пять вопросов нашего экзамена. Важно то, что мы правильно ответили ровно на пять вопросов. Цель состоит в том, чтобы сдать экзамен, а не сдать экзамен, правильно ответив на первые x вопросов.
Чтобы понять проблему, давайте сначала рассмотрим упрощенную версию экзамена с несколькими вариантами ответов. Допустим, в нашем экзамене всего три вопроса, и на каждый вопрос есть четыре возможных ответа, из которых ровно один правильный, а остальные три неправильные. Вам разрешено отметить только один вопрос, и вы следуете этим правилам. Вы сдадите экзамен, если правильно ответите хотя бы на два вопроса. Назовем это событие А и узнаем, как рассчитать вероятность этого события.
Если вы понятия не имеете, как решить такую задачу, самый простой и интуитивно понятный способ начать — нарисовать дерево вероятностей.
На каждый вопрос есть два результата: либо вы отвечаете правильно, либо нет.
Если вы выбираете случайный ответ, вероятность угадать правильный ответ составляет один к четырем, 1/4 или 0,25. Следовательно, вероятность неправильного угадывания намного выше и составляет 3/4 или 0,75.
Ответив на первый вопрос, отвечаем на второй вопрос. Опять же, у нас есть те же два возможных результата: правильный ответ или неправильный ответ. Повторяем процесс для третьего вопроса.
Это приводит к следующему дереву вероятностей.
Теоретически мы можем продолжать рисовать это дерево для любого количества экзаменационных вопросов.
Теперь мы можем использовать это дерево для вычисления вероятностей. Прежде чем приступить к расчету, я призываю вас всегда делать приблизительные предположения о том, какой, по вашему мнению, будет вероятность. Вы можете быть удивлены, но у нас, людей, есть огромная склонность ошибаться в вероятностях!
Чтобы вычислить вероятность для данного пути, нам нужно всего лишь перемножить числа вдоль пути.
Таким образом, вероятность правильного ответа на все три вопроса равна
Вероятность того, что первый и второй ответы будут правильными, а третий неверным, равна
Как насчет того, чтобы первый и два других ответа были правильными? Как показывает расчет,
вероятность такая же, как и раньше.
Это имеет смысл, потому что умножение является коммутативным, то есть порядок, в котором мы умножаем числа, не имеет значения.
Теперь мы возвращаемся к нашему первоначальному вопросу: мы хотим знать, каковы шансы пройти, это означает правильно ответить по крайней мере на два вопроса. Нам все равно, какие из них мы верные, если мы верными по крайней мере два.
Чтобы вычислить эту вероятность, мы вычисляем вероятности для каждого из путей, а затем складываем эти вероятности.
Допустим, экзамен сдан, если хотя бы на два вопроса даны правильные ответы. Чтобы вычислить это, все, что нам нужно сделать, это отметить все интересные пути, вычислить вероятности для каждого пути и сложить их все.
Это приводит к
вероятности сдать этот экзамен путем угадывания. Вероятно, это намного ниже, чем вы могли предположить, не так ли?
Точно так же мы могли бы решить нашу первоначальную экзаменационную задачу с 20 вопросами, даже если бы нам пришлось рисовать огромное дерево!
И ни у кого нет на это времени.
Здесь в игру вступает биномиальное распределение. Но прежде чем мы представим его, мы нарисуем в уме воображаемые деревья и сделаем некоторые выводы.
Сначала определим случайную величину X. Случайная величина — это переменная, зависящая от случайности. В нашем случае X — количество успехов, независимо от 9.0083 успех может быть. Может быть, это правильный ответ. Возможно, это быть девушкой. Возможно, это выигрыш в лотерею.
В нашем случае успех означает получение правильного ответа, поэтому
Допустим, мы сначала ищем вероятность получения ровно 0 правильных ответов, P(X=0). Помните, что наш экзамен состоит из 20 вопросов с четырьмя ответами, каждый из которых является правильным.
В нашем (воображаемом) дереве вероятностей это событие визуализируется путем справа с двадцатью неправильными ответами подряд.
Таким образом, вероятность этого события определяется как
Далее мы можем рассмотреть вероятность того, что один ответ будет правильным, а все остальные — неправильными.
Это уже немного сложнее, так как существует уже не один-единственный путь, удовлетворяющий этому условию, а множество.
Давайте сначала рассмотрим возможность получения правильного первого ответа и неправильного ответа на все остальные. Итак, мы сначала идем налево, а затем всегда направо и получаем вероятность
Что произойдет, если вместо первого ответа мы получим правильный второй ответ?
Поскольку мы продолжаем умножать одни и те же числа (только в другом порядке), эта вероятность не меняется.
Независимо от того, в какой позиции мы получим правильный ответ, вероятность всегда будет той же самой, поскольку мы только изменим порядок умножения. Есть 20 возможностей поставить один правильный ответ, мы говорим, что мы выбираем один вопрос из двадцати. В нашем (воображаемом) дереве вероятностей есть 20 путей с одинаковой вероятностью. Таким образом, вероятность получить ровно один правильный ответ равна 9.0003
Теперь давайте посмотрим на вероятность получения ровно двух правильных ответов.
Для начала мы могли бы рассчитать вероятность того, что первые два ответа будут правильными, а все остальные — неправильными.
Как мы, возможно, уже догадались, опять же, не имеет значения, какие два вопроса мы ответим правильно, вероятность того, что два конкретных вопроса будут правильными, а остальные — неверными, всегда будет одинаковой. Что сейчас более интересно, так это вычислить количество путей в нашем дереве.
Всего 20 вопросов, на 18 из которых мы ответим неправильно, а на 2 правильно. есть
возможности заказать 20 вопросов. Из этих 20 вопросов 18 будут неправильными. Эти 18 можно заказать в
различными способами. Два правильных ответа можно расположить
способами.
Таким образом, существует
возможных путей, чтобы правильно ответить ровно на два вопроса. Кажется, это довольно большое число, не так ли? Запишите их, если не верите мне.
Теперь у нас есть 190 путей, в которых ровно два ответа верны. Таким образом, вероятность получения ровно двух правильных ответов равна 9.
0003
Одним из важных шагов в обобщении этого является понимание числа путей в дереве вероятностей. Приведенное выше рассмотрение можно обобщить на так называемый биномиальный коэффициент. Вместо того, чтобы вычислять количество путей для получения ровно 2 правильных ответов, мы хотим вычислить его для k ответов.
Рассуждая так же, как и выше, мы получаем
Мы могли бы сделать это еще более общим и заменить 20 на n. Это дает нам общую формулу для биномиального коэффициента.
В дереве вероятностей, как описано выше, это количество путей с ровно k успешными результатами.
В литературе биномиальный коэффициент обычно описывается как количество возможностей выбрать k людей из n.
Надеюсь, ты все еще со мной. Потому что теперь мы можем собрать все воедино и, наконец, получить наше биномиальное распределение!
Теперь мы можем обобщить это и получить ровно k правильных ответов. Чтобы получить ровно k ответов из 20 правильных, мы должны дать k правильных ответов и 20-k неправильных ответов.
Это происходит с вероятностью
, потому что опять же, мы умножаем количество путей на вероятность получения k правильных ответов и вероятность получения 20-k неправильных ответов!
Для общего n это приводит к
или, что еще более общее, если мы еще не знаем вероятности:
Теперь мы можем вычислить вероятности, чтобы получить ровно k правильных ответов для любого количества экзаменационных вопросов и вероятностей.
Но что нам действительно нужно знать, так это вероятность хотя бы 10 правильных ответов или столько правильных ответов, сколько необходимо для успешной сдачи экзамена.
Чтобы вычислить вероятность до k правильных ответов, нам нужно только сложить вероятности для 0, 1, 2,…k правильных ответов.
Почему? Поскольку в нашем дереве вероятностей все эти события состоят из разных путей, поэтому, чтобы вычислить объединенную вероятность всех этих событий, мы можем просто добавить их.
И с этим знанием мы можем ответить на наш первоначальный вопрос.
Наконец-то мы можем рассчитать вероятность правильного ответа хотя бы на 10 вопросов. Чтобы рассчитать эту вероятность, мы могли либо вычислить вероятности правильного ответа на 10, 11, 12,… 20 вопросов, либо вычислить вероятности ответа на 0,1,… 9 вопросов.вопросы правильно, складывая эти вероятности и вычитая ответ из 1.
Независимо от того, какой вариант мы предпочитаем, мы получаем следующую вероятность:
Это означает, что вероятность прохождения составляет примерно 1,4 %. Если 100 студентов угадают полные экзамены, мы ожидаем, что 1,4 из них сдадут (в среднем).
Как ты догадался? Был ли он близок к правильному ответу?
Об авторе: Майке — математик, питающийся кофе, который любит учить, говорить и писать о математике. Если вы хотите поддержать ее работу, не стесняйтесь купить ей кофе: https://www.buymeacoffee.com/maikeelisa
1/2 — Вероятность прохождения теста? | by KSV Muralidhar
Теоретическая вероятность прохождения теста составляет 1/2 в качестве выборочного пространства, S = {пройдено, не пройдено}, но эмпирическая вероятность может быть другой.
Фото Рихо Кролла на UnsplashПредположим, человек собирается пройти тест. Кто-то задает ему вопрос: Какова вероятность того, что вы пройдете тест? Мы рассмотрим возможные ответы на этот вопрос, рассмотрев два важных понятия вероятности, а именно. теоретическая вероятность и эмпирическая вероятность .
Теоретическая вероятность
Теоретическая вероятность предполагает, что каждый результат в выборочном пространстве S имеет равные шансы появления. Теоретическая вероятность того, что человек сдаст экзамен, составляет 1/2 или 0,5. Этот эксперимент имеет два возможных исхода, а именно «пройдено» или «не пройдено», следовательно, S = {пройдено, не пройдено}.
Изображение автора Из приведенной выше формулы вероятности P(pass) = 1/2, т. е. человек провалит половину своих экзаменов, что маловероятно даже после сдачи тысяч экзаменов (бесконечных испытаний). У прилежного человека может быть P(pass) = 1,9. 0011 Как найти более надежную меру вероятности? Чтобы ответить на этот вопрос, мы обсудим эмпирическую вероятность.
Эмпирическая вероятность
Эмпирическая вероятность вычисляется с использованием исторических данных или выборки. Вероятность прохождения человеком теста рассчитывается с учетом его результатов в предыдущих тестах. Например, ранее человек прошел 100 тестов и успешно прошел 98 из них. P(pass) теперь будет 98/100 (0,98). Чтобы быть более точным с оценкой вероятности, мы можем рассматривать только те тесты человека, которые аналогичны текущему. Мы рассмотрим еще несколько примеров.
- Вероятность того, что команда X выиграет игру против команды Y, не равна 0,5 (S = {победа, поражение}). Нам нужно посмотреть на прошлые выступления команды против команды Y и оценить вероятность. Предположим, что команда сыграла 1000 игр против команды Y и выиграла в 650 из них, P(win) = 0,65. Чтобы быть более точным в оценке вероятности, мы можем рассматривать только предыдущие игры против Команды Y в недавнем прошлом.
- Вероятность дождя сегодня не равна 0,5 (S = {дождь, нет дождя}). Посмотрите на исторические данные о погоде в тот же день. Предположим, что из рассматриваемых 100 дней 10 дней шел дождь, P(дождь) = 0,1. Мы можем рассматривать один и тот же день только за последние 20–30 лет для более надежной оценки вероятности.
- Вероятность заболевания от курения не равна 0,5 (S = {заболевание, отсутствие заболевания}). Нам необходимо рассмотреть случайную выборку курящих людей и использовать ее для оценки вероятности заболевания. Предположим, мы опросили 1000 курящих людей и обнаружили, что у 10 человек есть заболевание, P(болезнь) = 0,01. Для более надежной оценки вероятности мы можем рассматривать только выборку людей с теми же демографическими данными и состоянием здоровья, что и у субъекта в вопросе.
Теоретическая вероятность сильно отличается от эмпирической вероятности. Эмпирическая вероятность является более надежной оценкой вероятности, поскольку она рассчитывается с использованием исторических данных.