Как через среднюю линию найти основание трапеции: Найдите среднюю линию трапеции.если ее основания равны 16 и 32?

Запоминаем и применяем свойства трапеции

Репетиторы ❯ Математика ❯ Запоминаем и применяем свойства трапеции

Автор: Анна Шилец

●

07.02.2014

●

Раздел: Математика

В этой статье мы постараемся насколько возможно полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет про общие признаки и свойства трапеции, а также про свойства вписанной трапеции и про окружность, вписанную в трапецию. Затронем мы и свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.

Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разложить по местам в голове и лучше запомнить материал.

Трапеция и все-все-все

Для начала коротко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

Итак, трапеция – фигура-четырехугольник, две из сторон которой параллельны друг другу (это основания). И две не параллельны – это боковые стороны.

В трапеции может быть опущена высота – перпендикуляр к основаниям. Проведены средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции возможно провести биссектрису.

Про различные свойства, связанные со всеми эти элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.

Свойства диагоналей трапеции

Чтобы было понятнее, пока читаете, набросайте себе на листке трапецию АКМЕ и проведите в ней диагонали.

1. Если вы найдете середины каждой из диагоналей (обозначим эти точки Х и Т) и соедините их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции заключается в том, что отрезок ХТ лежит на средней линии. А его длину можно получив, разделив разность оснований на два: ХТ = (a – b)/2.
2. Перед нами все та же трапеция АКМЕ. Диагонали пересекаются в точке О. Давайте рассмотрим треугольники АОЕ и МОК, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники – подобные. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = АЕ/КМ.
   Отношение площадей треугольников АОЕ и МОК описывается коэффициентом k
   2.
3. Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только в этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые отрезки диагоналей образовали совместно с боковыми сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЕМО являются равновеликими – их площади одинаковые.
4. Еще одно свойство трапеции включает в себя построение диагоналей. Так, если продолжить боковые стороны АК и МЕ в направлении  меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся к некоторой точке. Дальше, через середины оснований трапеции проведем прямую. Она пересекает основания в точках Х и Т.
   Если мы теперь продлим прямую ХТ, то она соединит вместе точку пересечения диагоналей трапеции О, точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон и середины оснований Х и Т.
5. Через точку пересечения диагоналей проведем отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х – на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОХ = КМ/АЕ.
6. А теперь через точку пересечения диагоналей проведем параллельный основаниям трапеции (a и b) отрезок. Точка пересечения разделит его на две равных части. Найти длину отрезка можно по формуле 2ab/(a + b).

Свойства средней линии трапеции

Среднюю линию проведите в трапеции параллельно ее основаниям.

1. Длину средней линии трапеции можно вычислить, если сложить длины оснований и разделить их пополам: m = (a + b)/2.
2. Если провести через оба основания трапецию любой отрезок (высоту, к примеру), средняя линия разделит его на две равных части.

Свойство биссектрисы трапеции

Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, например, угол КАЕ нашей трапеции АКМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь – биссектрисой отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона.

Свойства углов трапеции

1. Какую бы из двух пар прилежащих к боковой стороне углов вы не выбрали, сумма углов в паре всегда составляет 180⁰: α + β = 180
   0  и γ + δ = 180⁰.
2. Соединим середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов при любом из них составляет 90⁰ , длину отрезка ТХ легко вычислить исходя из разности длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ – КМ)/2.
3. Если через стороны  угла трапеции провести параллельные прямые, те разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции

1. В равнобедренной трапеции равны углы при любом из оснований.
2. Теперь снова постройте трапецию, чтобы проще было представить, о чем речь. Посмотрите внимательно на основание АЕ – вершина противоположного основания М проецируется в некую точку на прямой, которая содержит АЕ. Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средняя линия равнобедренной трапеции – равны.
3. Пару слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции – их длины равны. А также одинаковы углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции.
4. Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника 180⁰ – обязательное условие для этого.
5. Из предыдущего пункта следует свойство равнобедренной трапеции – если возле трапеции можно описать окружность, она является равнобедренной.
6. Из особенностей равнобедренной трапеции вытекает свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + b)/2.
7. Снова проведите отрезок ТХ через середины оснований трапеции – в равнобедренной трапеции он является перпендикуляром к основаниям. И одновременно ТХ – ось симметрии равнобедренной трапеции.
8. На этот раз опустите на большее основание (обозначим его a) высоту из противолежащей вершины трапеции. Получится два отрезка. Длину одного можно найти, если длины оснований сложить и разделить пополам:
   (a + b)/2. Второй получим, когда из большего основания вычтем меньшее и полученную разность разделим  на два: (a – b)/2.

Свойства трапеции, вписанной в окружность

Раз уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.

1. Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее боковой стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к боковой стороне. В таком случае большее основание пересекает центр описанной окружности точно посередине (R = ½АЕ).
2. Диагональ и боковая сторона могут встречаться и под острым углом – тогда центр окружности оказывается внутри трапеции.
3. Центр описанной окружности может оказаться вне пределов трапеции, за большим ее основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной – тупой угол.
4. Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции АКМЕ (вписанный угол) составляет половину того центрального угла, который ему соответствует:МАЕ = ½МОЕ.
5. Коротко про два способа найти радиус описанной окружности. Способ первый: посмотрите внимательно на свой чертеж – что вы видите? Вы без труда заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла, умноженному на два. Например, R = АЕ/2*sinАМЕ. Аналогичным образом формулу можно расписать для любой из сторон обоих треугольников.
6. Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, боковой стороной и основанием трапеции: R = АМ*МЕ*АЕ/4*S_АМЕ.

Свойства трапеции, описанной около окружности

Вписать окружность в трапецию можно, если соблюдается одно условие. Подробней о нем ниже. И вместе эта комбинация фигур имеет ряд интересных свойств.

1. Если в трапецию вписана окружность, длину ее средней линии можно без труда найти, сложив длины боковых сторон и разделив полученную сумму пополам: m = (c + d)/2.
2. У трапеции АКМЕ, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: АК + МЕ = КМ + АЕ.
3. Из этого свойства оснований трапеции вытекает обратное утверждение: окружность можно вписать в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон.
4. Точка касания окружности с радиусом r, вписанной в трапецию, разбивает боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно вычислить по формуле: r = √ab.
5. И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, этот пример тоже начертите сами. У нас есть старая-добрая трапеция АКМЕ, описанная около окружности. В ней проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами треугольники АОК и ЕОМ – прямоугольные.
   Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т.е. боковые стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции – совпадает с диаметром вписанной окружности.

Свойства прямоугольной трапеции

Прямоугольной называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства проистекают из этого обстоятельства.

1. У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
2. Высота и боковая сторона трапеции, прилежащая к прямому углу, равны.
   Это позволяет вычислять площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2) не только через высоту, но и через боковую сторону, прилежащую к прямому углу.
3. Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.

Доказательства некоторых свойств трапеции

Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

• Вы уже наверное и сами догадались, что тут нам снова потребуется трапеция АКМЕ – начертите равнобедренную трапецию. Проведите из вершины М прямую МТ, параллельную боковой стороне АК (МТ || АК).

Полученный четырехугольник АКМТ – параллелограмм (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – равнобедренный и МЕТ = МТЕ.

АК || МТ, следовательно МТЕ = КАЕ, МЕТ = МТЕ = КАЕ.

Откуда АКМ = 180⁰

— МЕТ = 180⁰ — КАЕ = КМЕ.

Что и требовалось доказать.

Теперь на основании свойства равнобедренной трапеции (равенства диагоналей) докажем, что трапеция АКМЕ является равнобедренной:

• Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЕ. Получим параллелограмм КМХЕ (основание – МХ || КЕ и КМ || ЕХ).

∆АМХ – равнобедренный, поскольку АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, поэтому МАЕ = МХЕ.

У нас получилось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, т.к АМ = КЕ и АЕ – общая сторона двух треугольников. А также МАЕ = МХЕ. Можем сделать вывод, что АК = МЕ, а отсюда следует и что трапеция АКМЕ – равнобедренная.

Задача для повторения

Основания трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует угол 150⁰ с меньшим основанием. Требуется найти площадь трапеции.

Решение: Из вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать углы трапеции.

Углы АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 180⁰. Поэтому КАН = 30⁰ (на основании свойства углов трапеции).

Рассмотрим теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 30⁰. Поэтому КН = ½АВ = 4 см.

Площадь трапеции находим по формуле: S_АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см².

Послесловие

Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились с карандашом в руках начертить трапеции для всех приведенных свойств и разобрать их на практике, материал должен был неплохо вами усвоиться.

Конечно, информации тут много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно перепутать свойства описанной трапеции со свойствами вписанной. Но вы сами убедились, что разница огромна.

Теперь у вас есть подробный конспект всех общих свойств трапеции. А также специфических свойств и признаков трапеций равнобедренной и прямоугольной. Им очень удобно пользоваться, чтобы готовиться к контрольным и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Остались вопросы?

Задайте свой вопрос и получите ответ от профессионального преподавателя.

Задать вопрос

Наши курсы

Математика

Курсы по математике 10 класс

Математика

Курсы по математике 9 класс

Математика

Математика 11 класс

Математика

Курсы по геометрии 7 класс

Математика

Курсы по алгебре 7 класс

Математика

Алгебра 8 класс

Математика

Курсы по геометрии 8 класс

Французский язык

Курсы французского языка для начинающих

Урок геометрии в 8-м классе на тему «Средняя линия трапеции»

Тип урока: урок  «открытия» нового знания.

Цели урока:

1. Образовательные:
   • ввести определение средней линии трапеции;
   • изучить свойства трапеции;
   • формировать умения и навыков применять знания о средней линии трапеции при решении задач.
2. Развивающие:
   • развивать геометрическое мышление учащихся при решении геометрических задач, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь, память, внимание;
   • учить учащихся учиться математике, самостоятельно добывать знания.
3. Воспитательные:
   • воспитывать у учащихся  ответственное отношение к учебному труду, волю;
   • формировать эмоциональную культуру и культуру общения.

Методы обучения: словесный, наглядный, деятельностный.

Формы обучения: коллективная, индивидуальная.

Оборудование: мультимедиа проектор, экран, шаблон произвольной трапеции, шаблон равнобокой трапеции, шаблон прямоугольной трапеции, указка,  цветные мелки, у каждого ученика набор смайликов.

 Структура урока:

I. Организационный момент – 2 минуты.

II. Проверка  домашнего задания.- 6 минут.

III. Постановка познавательной задачи – 1 минута.

IV. «Открытие»  новых знаний – 15 минут.

V.  Первичное осмысление и закрепление новых знаний – 15 минут.

VI. Постановка домашнего задания – 1 минута.

VII. Подведение итогов урока – 4 минуты.

VIII. Рефлексия -1 минута.

Ход урока

I. Организационный момент /Цель: включить учащихся в деловой ритм /

Приветствие учеников. Сообщение учащимся краткого плана урока. Ребята, работа предстоит большая и интересная, поэтому, прошу всех слушать меня внимательно, на вопросы мои отвечать, всё подмечать, ничего не забывать (слайд № 1 презентации).

II. Проверка домашнего задания /Цель: проверка и  коррекция знаний, умений учащихся по теме «Теорема Фалеса, средняя линия треугольника, трапеция»/

Ребята, дома вы должны были к сегодняшнему уроку повторить теорию и написать домашнюю контрольную работу по теме: «Теорема Фалеса, средняя линия треугольника, трапеция».

 Вариант 1.

1. Втреугольнике АВС сторона АВ равна 24 , сторона ВС равна 21. Сторона АС разделена на 3 равные части и через каждую точку деления проведены прямые, параллельные АВ и ВС. Найдите отрезки, образовавшиеся на сторонах АВ и ВС.

2.Диагонали параллелограмма равны 8 см и 10 см. Середины его сторон последовательно соединены отрезками. Вычислите периметр образовавшегося четырёхугольника.

3. В равнобокой  трапеции верхнее основание равно 10 м, высота равна 5 м, острый угол при нижнем основании 45^o Найдите нижнее основание трапеции.

Вариант 2.

1. В треугольнике МОК сторона МО равна 16 , сторона ОК равна 20. Сторона МК разделена на 4 равные части и через каждую точку деления проведены прямые, параллельные МО и ОК. Найдите отрезки, образовавшиеся на сторонах МО и ОК.

2. ДЕ – средняя линия треугольника АВС, причём точка Е принадлежит АС, точка Д принадлежит ВС. Определите длину стороны АВ, если она на 5 см больше, чем ДЕ.

3. В трапеции АСДЕ с основаниями СД и АЕ через вершину С  проведена прямая параллельно стороне ДЕ. Она пересекает сторону АЕ в точке В, угол А равен 45^o, угол АСВ равен 65^o. Найдите углы трапеции АСДЕ.

Вариант 3.

1. На стороне угла в 60^o отложены от его вершины  3 равных отрезка и через их точки деления проведены параллельные прямые под углом  60^o к этой стороне, пересекающие другую сторону угла. Найдите отрезки параллельных  прямых, если наименьший из них равен 7.

2. Диагональ квадрата равна 14 см. Середины его сторон последовательно соединены отрезками. Вычислите периметр образовавшегося четырёхугольника.

3. Найдите углы трапеции, если углы, прилежащие к одной из боковых сторон относятся как 7:8, а  к другой боковой стороне как 1:5.

Экспресс-проверка домашней контрольной работы (проверяем только ответы). Работу над ошибками проведём на следующем уроке, после того как я  ваши работы проверю. А пока посмотрите, какие ответы вы должны были получить (слайд № 2 презентации).

Блиц-опрос теории

1) Сформулируйте теорему Фалеса.

2) О чём говорится в замечании к теореме Фалеса?

3) Кто такой Фалес Милетский?

4) Сформулируйте определение средней линии треугольника.

5) Сколько их?

6) Сформулируйте свойства средней линии треугольника.

7) Что  называется трапецией?

8) Назовите виды трапеции.

III. Постановка  познавательной задачи /Цель: организация учащихся по принятию познавательной задачи/

Ребята, как вы думаете, а можно провести среднюю линию в трапеции? Что эта за линия? Что она соединяет? Сколько их можно провести в трапеции? Всё это нам предстоит изучить сегодня на уроке. Поэтому тема нашего урока «Средняя линия треугольника». Цель урока: сформулировать определение средней линии трапеции, доказать её  свойства, учиться  применять их при решении задач (слайд № 3 презентации).

Откройте тетради, запишите число, тему урока.

IV. «Открытие» новых знаний  /Цель: сформулировать определение средней линии трапеции, доказать её  свойства, учиться  применять их при решении задач/

Внимание на экран (слайд № 4 презентации).

Попытайтесь сформулировать определение средней линии трапеции аналогично определению средней линии треугольника, ведь треугольник можно рассматривать как трапецию, у которой одно основание равно 0, т.е. вершины В и С совпадают. (Учащиеся  пытаются сформулировать определение средней линии трапеции). Сколько середин сторон у трапеции? (4) Как их можно соединить? Сколько вариантов соединения? (3). Какие это варианты соединений? (боковая сторона — боковая сторона, боковая сторона – основание, основание – основание)

На доске:

И только один из трёх  отрезков называется средней линией трапеции. Какой? Почему?  Это отрезок  МК, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Так как только этот отрезок, мы замечаем, параллелен основаниям трапеции, точно так же, как средняя линия треугольника параллельна третьей стороне треугольника. Сформулируйте определение средней линии трапеции с опорой на выше изложенное.

Откройте учебник на странице 75,п.59, читаем вслух все вместе определение средней линии трапеции. Сколько средних линий можно провести в трапеции? (Ответ: 1) Ребята, средняя линия трапеции нужна для нахождения площади трапеции.

Начертите в тетради произвольную трапецию с основаниями 3 см и 5 см. Постройте её среднюю линию и запишите, что отрезок МN — средняя линия трапеции АВСД с основаниями АД и ВС.

Теперь о свойствах средней линии трапеции. С опорой на рисунок уже одно свойство мы заметили. Ещё раз его сформулируйте. (Средняя линия трапеции параллельна её основаниям). Измерьте среднюю линию трапеции, которую вы начертили в тетрадях, установите зависимость между нею и основаниями трапеции. (Средняя линия трапеции равна полусумме оснований трапеции).

Откройте учебник на странице 75,п.59, теорема 6.8 читаем вслух все вместе теорему о свойствах  средней линии трапеции. Доказательство этой теоремы подготовила дома Полякова Таня. Прошу её внимательно слушать и всё , что она записывает на доске,  вы записывайте в своих тетрадях. (Теорему о свойствах  средней линии трапеции доказывает на «отлично» успевающая по геометрии ученица у доски, остальные учащиеся вместе с ней в своих тетрадях.)

V. Первичное осмысление и закрепление новых знаний

Решение задач  учащимися под руководством учителя и с его помощью.

1. Составьте свою задачу  по теме урока  и решить её (cлайд № 5, cлайд № 6, cлайд № 7, cлайд № 8 презентации).

2. МN-средняя линия трапеции АВСД. Через точку N проведена прямая NР, параллельная стороне АВ и пересекающая сторону АД в точке Р. Определите вид четырёхугольника АМNР. Ответ обосновать. (Параллелограмм)

3. В трапеции АВСД с основаниями АД и ВС известны стороны: АВ=4 см,ВС=6 см, СД=5 см, АД=10 см.  МN-средняя линия трапеции АВСД. Найдите периметр трапеции АМNД (22,5 см).

4. Как следует изменить основания  трапеции а и в, чтобы её средняя линия увеличилась в 2 раза? (надо увеличить каждое основание в 2 раза).

5. Одно из оснований трапеции в 3 раза больше другого. Средняя линия трапеции равна 12 см. Найдите каждое основание трапеции (6 см, 18 см).

6. Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок с концами, лежащими на прямых, содержащих основания трапеции (например, высоту трапеции). Ребята, эта задача есть ещё одно свойство средней линии трапеции. Сформулируем его: «Средняя линия  делит пополам любой отрезок с концами, лежащими на прямых, содержащих основания трапеции».

VI. Постановка домашнего задания  /Цель: закрепление знаний, умений, полученных на уроке; воспитание ответственного отношения к учебному труду/ (cлайд № 9 презентации)

п. 59, № 59, № 67, № 69, № 66* (для желающих) – стр.83

Вопросы 1 7-19 (стр.79)

VII. Подведение итогов урока (cлайд № 10 презентации)

1) Вопросы для закрепления:

— Сформулируйте определение средней линии трапеции.

— Перечислите свойства средней линии трапеции

— При нахождении какой величины нам будет нужна средняя линия трапеции?

2) Несколько  учеников по просьбе учителя оценивают работу класса на уроке; оценивают свою собственную  работу  на уроке. Учитель оценивает работу учащихся на уроке.

VIII. Рефлексия

Ребята, я оценила вашу работу на уроке.  А теперь я прошу каждого из вас оценить свою работу на уроке с помощью соответствующего смайлика (на сколько вы были активны, как точны были ваши ответы, на сколько вы постарались, всё ли вам удалось на уроке). Урок окончен, спасибо, вам, за урок, ребята.

Литература

1. БурмистроваТ.А. Изучение геометрии в 7 классе. Пособие для учителя. М.: Просвещение, 1983.

2. Дудницын Ю.П., Кронгауз В.Л. Контрольные работы по геометрии. 8 класс. М.:НПО «Образование», 1998.

3. Жохов В.И. и др. Геометрия. 7-9. Книга для учителя. М.: Просвещение, 2003.

4. Мельникова Н.Б. и др. Геометрия в 7 классе. Пособие для учителя. М.: Просвещение, 1984.

5. Погорелов А.В. Геометрия. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. М.:  Просвещение, 2005.

6. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Самостоятельные работы. 8 класс. Газета «Математика-Первое сентября», № 33, 2002.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами (или катетами). Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется ее средней линией. треугольник параллелен третьей стороне и конгруэнтен …

Вспомним теорему о средней линии треугольника: отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и конгруэнтен его половина Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие противоположные стороны непараллельны, называется трапецией. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — ее боковыми сторонами (или катетами). Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется ее средней линией. Задача 1. (8 баллов) Докажите теорему о средней линии трапеции: средняя линия трапеции параллельна основаниям и конгруэнтна их полусумме Подсказка. Предположим, что ABCD — трапеция, а AD и BC — ее основания. Пусть F — середина. Продлите BF к прямой AD и используйте теорему о средней линии соответствующего треугольника:0005

---

Видеоответ:

Решено проверенным экспертом

Вопрос о наилучшем совпадении:

Вспомним теорему о средней линии треугольника: отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и конгруэнтный его половине Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие противоположные стороны непараллельны, называется трапецией: параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — ее боковыми сторонами (или ноги). Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется ее средней линией. Задача 1. (8 баллов) Докажите теорему о средней линии трапеции: средняя линия трапеции параллельна основаниям и конгруэнтна их полусумме Подсказка. Предположим, что ABCD — трапеция, а AD и BC — ее основания. Пусть F — середина. Продлите BF к прямой AD и используйте теорему о средней линии соответствующего треугольника:0005

Рекомендуемые видео

Стенограмма

Итак, друзья, давайте вместе разберемся с этой проблемой. Итак, у нас есть трапеция и внутри нашей трапеции. У нас здесь происходит несколько разных вещей. Итак, наша трапеция — это трапеция A. B. C. D. И наш средний отрезок этой трапеции — E. F. И наша задача — доказать, что этот средний отрезок E. F. составляет половину суммы B. C. Итак, основание 1 вашей трапеции и A. D. Основание 2 вашей трапеции а также параллельно B.C. и A.D. Это наша цель. Теперь, чтобы сделать это, у нас есть несколько конструкций, которые мы собираемся создать. Нам дано, что E. F. — средний отрезок. Однако, поскольку нам дано, что Ef является средним сегментом, когда мы доказываем, что это средний сегмент, мы не обязательно можем использовать всю эту информацию о нем, потому что мы пытаемся доказать, что это средний сегмент. true и работать в обратном направлении, чтобы найти, что это правда. Итак, один из способов, которым мы это делаем, — создание некоторых конструкций. Так что мой первый шаг здесь будет построение, имейте в виду, когда вы имеете дело с геометрией, вы всегда можете работать, чтобы построить что-то, что означает, что вы можете сделать сегмент, вы можете сделать точку, вы можете провести линию любой из это то, что вы можете сделать. Хм Итак, по построению по построению мы расширили A.D. Мы расширили линию A.D. Так что в данном случае это a через G. Это ваш отрезок A.G. Но мы расширили эту линию. Технически вы могли бы расширить эту строку и просто добавить стрелку, потому что следующее, что мы собираемся сделать, это расширить расширение. Прошу прощения. Это должно сказать по конструкции, давайте дважды проверим наши слова здесь. Так что по построению, по построению мы будем расширяться. Ну вот. Мы собираемся увеличить дистанцию ​​здесь. B.F.B.S. Две пересекающиеся линии A.D. Теперь я говорю линия A.D. потому, что технически эта линия будет продолжаться вечно, и здесь есть оба сегмента. Итак, хотя мы говорим об определенном сегменте этой линии, у вас есть линия A.D., которая может быть продлена. Итак, мы собираемся расширить BF, пока он не пересечет эту линию. Так вот, то, как я нарисовал здесь картинку, указывает на то, что она останавливается здесь, в точке G. Хм, но нам важно это увидеть. Итак, давайте продолжим и посмотрим на наше доказательство, и мы начнем с самого начала, и мы просто проработаем это вместе. Итак, еще раз, наша цель — доказать, что это средний сегмент. Так что я собираюсь переместить свою фотографию сюда и дать нам немного больше места для записи. Хорошо, так как мы делаем это, моя первая строка моего доказательства будет дана. Итак, данная информация, которую мы имеем здесь, это трапеция A.B.C.D. И нам также дана эта E, точка E, точка E и точка F. Наши средние точки A. B и D. C. соответственно. Таким образом, вы также можете написать это как две отдельные строки. Вы можете сказать, что это трапеция, а затем вторая строка может также сказать эту информацию. Эм оба в порядке. Um, и поэтому нам дано, что F является серединой um um C. D. И E. является серединой A. B. Итак, второе, что мы собираемся здесь сказать, поскольку мы знаем, что слово является средней точкой, мы можем сказать, что E , На самом деле, давайте сделаем и то, и другое. Таким образом, мы можем сказать, что A конгруэнтно E.B. Точно так же мы можем сказать, что D.F конгруэнтно fc. И это верно по определению средней точки. Теперь нам действительно не нужна эта часть информации здесь. Но что я собираюсь сделать, так это поместить эту информацию в фиолетовую рамку. Причина, по которой я хочу это сделать, заключается в том, что по мере разработки этого доказательства мы объясним, почему эта часть важна. Итак, давайте взглянем сюда еще раз, еще раз проверьте, есть ли у вас эта информация, показанная на вашей диаграмме, и, конечно, в этом конкретном случае мы это делаем, я поставлю там двойную линию, потому что мы знаем, что E. B и a. E. Хотя они одинаковы, они не такие же, как DF и FC. Итак, мы укажем, что это разные вещи. Итак, следующее, что мы всегда можем сказать, это то, что мы можем говорить о вертикальных углах. Итак, мы рассмотрим эти два угла прямо здесь, и мы знаем, что это вертикальные углы, а вертикальные углы всегда параллельны. Теперь, когда мы говорим о вертикальных углах, важно признать, что C. F B и и далее, если мы начнем с CFB, это означает, что нам нужно начать с D. Итак, D E F G, угол D E F G. Наши вертикальные углы. Теперь, когда вы разговариваете со своим учителем, вы можете использовать это за один шаг. И сказать, что CFB и угол D F G являются вертикальными углами, и мы можем сказать, что вертикальные углы конгруэнтны. Однако в нашем формальном доказательстве мы обычно утверждаем, что это вертикальные углы. Гм и причина этого гм определение вертикальных углов, Определение вертикальных углов. И тогда наша следующая строка скажет нам, что они конгруэнтны. Как правило, нам нужно указать, что они из себя представляют. Тогда мы можем сказать, что мы знаем о них. Итак, D F G. Мы собираемся сказать, что они конгруэнтны. И это верно, потому что вертикальные углы всегда параллельны, вертикальные углы всегда могут увеличиваться. Теперь, если вы хотите записать свою теорему в виде условного утверждения, вы можете сказать, что если углы являются углами, запятыми, то они всегда конгруэнтны, что также приемлемо. Итак, мы смотрим на эти два треугольника. Я собираюсь использовать свой зеленый цвет здесь. И моя цель на данный момент — доказать, что эти два треугольника одинаковы. А теперь я прервусь со своим доказательством, потому что причина, по которой я хочу показать, что эти два треугольника одинаковы, заключается в том, что я в конечном счете хочу иметь возможность использовать мою редакцию с добавлением угла, чтобы иметь возможность показать, что отрезок Ef составляет половину B. C. и A.D. И то, что я знаю, моя дорожная карта для моего доказательства здесь, мы будем говорить об углах B и G. И затем мы поговорим об этом отрезке здесь, Bc. И мы знаем, что он будет конгруэнтным DDG, потому что мы сможем сказать, что это конгруэнтная часть конгруэнтного треугольника. Теперь это говорит мне о том, что мои сегменты здесь, 1234 сегмента A, D. и D. G. Тогда некоторые из них будут такими же, как если бы у меня были B. C. и A. D. Итак, тогда мы можем поговорить об этом. Это своего рода дорожная карта для моего доказательства здесь. Итак, давайте поговорим о вертикальных углах. Следующий набор углов. Нам нужно поговорить о нашем ракурсе здесь. Мы скажем угол C.B.S. Итак, угол C.B.F. И угол. Если мы собираемся сказать cbf, мы собираемся сказать D G. F. Нам нужно убедиться, что мы согласуемся с нашей маркировкой. Итак, D G F — альтернативные внутренние углы. И причина, по которой мы это знаем, заключается в том, что если это ловушка, то мы узнаем, что основание один и основание два параллельны. Таким образом, мы можем сказать, что это альтернативные внутренние углы. И мы можем сказать определение альтернативных внутренних углов. И я собираюсь немного передвинуть свою газету сюда для нас. Очень хороший. И тогда мы можем сказать, что Ingles Cbf конгруэнтны здесь и мы. Конгруэнтны углу D. G. F. И это верно, потому что если прямые параллельны, если прямые параллельны, то параллельные внутренние углы конгруэнтны. Итак, у нас достаточно информации, чтобы сказать, что у нас есть конгруэнтные треугольники. Итак, это мой следующий шаг, я собираюсь сказать, что треугольник Cbf конгруэнтен треугольнику D. G. F. И это верно по углу угла стороны. Итак, давайте еще раз взглянем на нашу картинку и поймем, откуда это взялось. Один угол — это мой вертикальный угол. Второй угол — это мой угол B. И G. Здесь и далее моя сторона — это сторона F. D. И F. C. Итак, у меня есть угол, угол, сторона. Это я могу использовать, чтобы доказать, что эти треугольники конгруэнтны. Тогда я могу сказать, что Bc конгруэнтна G. D. Таким образом, Bc конгруэнтна Bc конгруэнтна DDG, и это верно, поскольку CPC TC соответствует частям конгруэнтных треугольников. Конгруэнтность. Таким образом, вы можете увидеть это в своих заметках как CPC T C. С вашим учителем. Хм, но это означает, что соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны. Это означает, что если сами треугольники конгруэнтны, это означает, что все их части также должны быть конгруэнтны. Итак, что мы имеем после того, как обсудим, что у нас есть соответствующие части конгруэнтных треугольников. Тогда что мы можем сделать, так это сказать, что F. Давайте посмотрим на нашу диаграмму здесь, я собираюсь прокрутить здесь. В конечном итоге мы собираемся здесь сказать, что половина верхней и нижней части равна R. E. F. Итак, я собираюсь сказать, что E. F. равна половине D плюс B. C. Итак, давайте переместим нашу бумагу и запишите это. Итак, я могу сказать, что E. F. равно 1/2 D плюс B. C. И это верно, потому что это определение среднего отрезка определения среднего отрезка трапеции. И я знаю это, потому что знаю, что мне дана трапеция. Так что это действительно полезно Тогда путем замены. Я могу сказать, что f равно 1/2, а затем давайте вернемся к нашей диаграмме здесь, A D и D G. A D. И D. G. Потому что мы собираемся заменить. Итак, A D и D G A D плюс de G. И это верно при замене. И причина, по которой я могу это сделать, заключается в том, что я только что показал, что B C и D G конгруэнтны друг другу. Итак, что я собираюсь здесь сделать, так это отметить фиолетовым здесь другие наши конгруэнтные части, которые доказывают, что у нас были конгруэнтные треугольники. Итак, часть первая была в этом сегменте, часть вторая здесь, хм, у меня есть альтернативные конгруэнтные внутренние углы. Итак, у меня есть мои вертикальные углы, мои альтернативные внутренние углы, так что у меня есть достаточно, чтобы доказать, что мои треугольники конгруэнтны. А затем то, что мы сделали, это просто использовали соответствующие части. И тогда моим следующим шагом была замена. Итак, затем я заменил B C C, я заменил B C и D G. И затем моя самая последняя часть здесь, я собираюсь сказать, что строка 11 здесь будет говорить, что F. E. Или мы могли бы сказать EF, либо одна мм параллельна D , И это также параллельно Bc. И причина, по которой я могу это сказать, в том, что если две линии параллельны 3-й линии Параллельны 3-й линии, то союз параллельен друг другу. Это называется теоремой о 3-й параллельной линии. Гм. И другое предостережение, которое вы можете прямо здесь, если вы ищете дополнительную строку своего доказательства, если вы чувствуете, что вам нужна дополнительная информация, вы также можете использовать, можете использовать обратную теорему об альтернативных внутренних углах, чтобы показать в прокрутке здесь, чтобы показать, что если у вас есть альтернативные внутренние углы, которые вырастил Аркан, то вы можете доказать, что линии параллельны, и причина, по которой я говорю, что это не обязательно необходимая часть вашего доказательства. Хм, но если вы хотите добавить эту часть своего доказательства, добро пожаловать на другой способ, который вы можете использовать, я собираюсь изменить цвета здесь, чтобы вы могли видеть зеленым цветом. Um Наша цель — посмотреть на эту um вот эту линию и доказать, что она параллельна um как верху, так и низу. Итак, еще одна вещь, которую мы можем сделать, это удлинить этот отрезок здесь. Мы хотели расширить это. Мы могли бы и могли бы также говорить об этих углах как о соответствующих углах. Это еще одна вещь, которую мы могли бы сделать, или мы могли бы также говорить о альтернативных внутренних углах, если бы мы продолжили все эти линии, и мы могли бы говорить о потенциально этих углах внутри и снаружи. Так что я думаю, чтобы уточнить, это может быть альтернативный интерьер или он может быть соответствующим. Гм Давайте будем предельно четкими в наших заметках здесь. Итак, чередуйте внутренние углы здесь, мы используем альтернативные внутренние углы, или вы также можете использовать соответствующие углы. Обратное этой теоремы говорит о том же. Итак, гм, это просто дополнительный способ, который вы можете использовать, чтобы прояснить это доказательство, если вы чувствуете, что вам нужна дополнительная информация, чтобы доказать это. Гм, но в остальном это хороший способ, гм, чтобы вообще доказать, гм, что средний сегмент трапеции составляет половину суммы двух оснований, а также параллелен тем же граням. Отличная работа друзья.

Найти калькулятор уравнений средней линии — Google Suce

ALLBILDERVIDEOSBüchermApsNewshopping

Sucoptionen

Тригонометрический уравнение Calcator — Sembolab

WWW.Symbolab.com ›STEP -by -stept -stept -stept -stept rol -steptor rol -steptor rol -steptor rol -steptor rol -steptor rol -steptor rol -steptor rol -steptor rol -stepture

.symetarire

-шаг.

Sin (x)+sin (x/2)=0, 0<= x<= 2pi · Триггерные неравенства · Cos (x)-sin (x)=0

Калькулятор синусоидальной функции — Бесплатный онлайн калькулятор — Byju’s

byjus.com › Калькуляторы › Математические калькуляторы

Онлайн-калькулятор синусоидальной функции BYJU ускоряет вычисления и отображает синусоидальную волну за доли секунды. Как использовать …

Ähnliche Fragen

Как найти уравнение средней линии?

Что такое среднее уравнение функции?

Что такое средняя линия синусоидального уравнения?

Определить уравнение средней линии функции0005

math.stackexchange.com › вопросы › определить-ми…

Однако, чтобы ответить на ваш вопрос о средней линии, средняя линия обычно является константой после триггерной функции. В данном случае это −2.

Калькулятор фазового сдвига

www.omnicalculator.com › математика › фазовый сдвиг

30.12.2022 · Калькулятор фазового сдвига предназначен для определения амплитуды, периода, фазового сдвига и вертикального сдвига произвольно измененного синуса или косинус …

Онлайн-калькулятор синусоидальной функции — Cuemath

www.cuemath.com › калькуляторы › синусоидальная-функц… Ваши сложные расчеты.

Написание уравнения синусоиды с помощью калькулятора — YouTube

www. youtube.com › смотреть

10.10.2013 · Написание уравнения синусоиды с помощью калькулятора для поиска важных точек на графике.
Dauer: 11:47
Прислано: 10.10.2013

Калькулятор середины

www.calculatorsoup.com › Геометрия › Плоскость

Вы можете найти середину отрезка по двум конечным точкам1, (x1, y) (х2, у2). Добавьте каждую координату x и разделите на 2, чтобы найти x средней точки. Добавьте каждый …

Bilder

Alle anzeigen

Alle anzeigen

Примеры тригонометрии | Амплитуда, период и фазовый сдвиг — Mathway

www.mathway.com › примеры › тригонометрия › и…

Бесплатное средство решения математических задач отвечает на ваши домашние задания по алгебре, геометрии, тригонометрии, исчислению и статистике… Найдите амплитуду, период и фазовый сдвиг.

Бесплатный онлайн-калькулятор синусоидальной функции — KioDigital

kiodigital.net › калькулятор синусоидальной функции

Это очень простой инструмент для калькулятора синусоидальной функции.