Как число умножить на координаты вектора: Умножение вектора на число

Содержание

Умножение вектора на число

Навигация по странице:

Геометрическая интерпретация умножения вектора на число.
Алгебраическая интерпретация умножения вектора на число.
Формулы умножения вектора на число
- для плоских задач
- для пространственных задач
- для n -мерного вектора
Свойства вектора умноженного на число
Примеры задач на умножение вектора и числа
- плоская задача
- пространственных задача

Онлайн калькулятор. Умножение вектора на число.

Геометрическая интерпретация.

Произведение ненулевого вектора на число — это вектор, коллинеарный данному (сонаправленный данному, если число положительное, имеющий противоположное направление, если число отрицательное), а его модуль равен модулю данного вектора, умноженному на модуль числа.

Алгебраическая интерпретация. Произведение ненулевого вектора на число — это вектор, координаты которого равны соответствующим координатам данного вектора, умноженным на число.

Формулы умножения вектора на число

Формула умножения вектора на число для плоских задач

В случае плоской задачи произведение вектора a = {a_x ; a_y} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:

k · a = {k · a_x ; k · a_y}

Формула умножения вектора на число для пространственных задач

В случае пространственной задачи произведение вектора a = {a_x ; a_y ; a_z} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:

k · a = {k · a_x ; k · a_y ; k · a_z}

Формула умножения n -мерного вектора

В случае n-мерного пространства произведение вектора a = {a₁ ; a₂; . .. ; a_n} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:

k · a = {k · a₁; k · a₂; … ; k · a_n}

Свойства вектора умноженного на число

Если вектор b равен произведению ненулевого числа k и ненулевого вектора a, то есть b = k · a, тогда:

b || a — вектора b и a параллельны
a↑↑b, если k > 0 — вектора b и a сонаправленные, если число k > 0
a↑↓b, если k < 0 — вектора b и a противоположно направленные, если число k < 0
|b| = |k| · |a| — модуль вектора b равен модулю вектора a умноженному на модуль числа k

Примеры задач на умножение вектора и числа

Пример умножения вектора на число для плоских задачи

Пример 1. Найти произведение вектора a = {1; 2} на 3.

Решение: 3 · a = {3 · 1; 3 · 2} = {3; 6}.

Пример умножения вектора на число для пространственных задачи

Пример 2. Найти произведение вектора a = {1; 2; -5} на -2.

Решение: (-2) · a = {(-2) · 1; (-2) · 2; (-2) · (-5)} = {-2; -4; 10}.

Вектора Вектор: определение и основные понятия Определение координат вектора заданного координатами его начальной и конечной точки Модуль вектора. Длина вектора Направляющие косинусы вектора Равенство векторов Ортогональность векторов Коллинеарность векторов Компланарность векторов Угол между векторами Проекция вектора Сложение и вычитание векторов Умножение вектора на число Скалярное произведение векторов Векторное произведение векторов Смешанное произведение векторов Линейно зависимые и линейно независимые вектора Разложение вектора по базису

Онлайн калькуляторы с векторами

Онлайн упражнения с векторами на плоскости

Онлайн упражнения с векторами в пространстве

Умножение вектора на число

Произведением вектора x на число β (x≠0, β≠0) называется вектор, модуль которого равен |x||β| и который направлен в ту же сторону, что и вектор x, если β>0, и в противоположную, если β<0. Если x=0 и (или) β=0, то βx=0.

Рис. 1

На рисунке Рис. 1 вектор x умножен на число 1.5. Полученный вектор y’ имеет то же направление, что и

x т.к 1.5>0, и имеет длину 1.5 раз превысшающее длину x.

Вектор q имеет противополжное к p направление, т.к. вектор p умножено на отрицательное число -0.5, и имеет длину 2 раза меньше длины p.

Рассмотрим процесс умножения вектора на число.

Вариант 1. Начальные точки всех векторов совпадают с началом координат.

Пусть имеется вектор

где координаты вектора x, и пусть β некоторое число. Тогда

То есть для умножения вектора на число достаточно умножить каждый координат данного вектора на это число.

На рисунке Рис. 1 вектор x имеет координаты x=(6,4). Для умножения вектора x на число 1.5, умножим каждый координат вектора x на число 1.5:

Вариант 2. Начальные точки векторов произвольные.

Пусть имеется вектор

x, с начальной точкой и конечной точкой . Умножим вектор x на число β. Для этого проще всего параллельно переместить вектор x на начало координат, умножить на число, после чего параллельно переместить началную точку полученного вектора на точку A.

Переместим вектор x на начало координат. Получим новый вектор x’ с начальными и конечными точками:

Умножим x’ на β:

Параллельно переместив начальную точку вектора x’ на точку A, получим вектор x» с начальными и конечными точками:

На рисунке Рис. 1 вектор p=AB имеет координаты A(2,3) и B(8,1). Для умножения вектора p на число -0.5, сначала переместим параллельно вектор p так, чтобы начальная точка вектора p совпала с началом координат. Получим вектор p’=A’B’ с координатами

A’(0,0) и B’(8-2, 1-3)=B’(6,-2).

Умножим вектор p’ с числом -0.5:

Перемесив начальную точку вектора q’ на точку A, получим вектор q=AE, где точка E имеет координаты:

Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:

1.β(x+y)=βx+βy (дистрибутивность относительно сложения векторов).

2. (α+β)a=αa+βa (дистрибутивность относительно сложения чисел).

3. α(βa)=(αβ)a (ассоциативность).

4. 1·a=a (умножение на единицу).

Пример 1. Умножить вектор y=(3,5,-6) на число 2.5.

Для умножения вектора y на число 2.5, просто умножаем каждый координат вектора y

на данное число:

Пример 2. Умножить вектор x=AB на число 3, где A(2,2), B(7,6).

Переместим вектор AB на начало координат. Начальное и конечное точки перемещенного вектора будут:

Умножив полученный вектор на число 3, изменяется расположение конечной точки B’:

Переместив вектор на точку A, получим вектор 3·x, со следующими начальной и конечной точками:

qgis 3 — Умножение/деление значений x/y вершин линейного и полигонального слоя?

спросил 2 года, 6 месяцев назад

Изменено 2 года, 6 месяцев назад

Просмотрено 262 раза

У меня есть несколько полигональных и линейных слоев в формате шейп-файла без crs, поэтому его нельзя перепроецировать. Координаты вершин нужно разделить на 3 600 000, чтобы они соответствовали проекту crs, EPSG:4326.

Можно ли это сделать в полевом калькуляторе или с помощью плагина?

Можно ли его преобразовать в другой формат файла и отредактировать?

Вот пример текущих значений.

qgis-3
qgis-обработка
аффинное преобразование

Конечно, вы можете умножать/разделять все вершины векторного слоя. Вот что такое Аффинные преобразования хороши для.

Перейдите к Processing Toolbox и выполните алгоритм аффинного преобразования , выберите свой слой (вы можете запустить его как пакет, если хотите) и установите параметры

Масштабный коэффициент (ось x) и Масштабный коэффициент (y- оси) как 1/3600000 (да, вы можете использовать рациональное число там 🙂 ).

После этого вы должны назначить правильную CRS (алгоритм Назначить проекцию ) вашему слою.

Если вы хотите узнать больше об аффинных преобразованиях, посмотрите этот пост: QGIS перемещает слой/все объекты с помощью векторного аффинного преобразования и

Я предлагаю обходной путь, но не уверен, что есть более простое решение — это также зависит от ваших данных, вы не указали, в чем заключаются ваши исходные данные и почему вы не можете просто перепроецировать свои шейп-файлы.

Перейти в меню вектор — инструменты геометрии — извлечь вершины. Вы получаете слой точек с вашими вершинами. Используйте калькулятор поля и определите значение двух новых полей (с именами x_coord и y_coord) следующим образом: $x/3600000 соответственно $y/3600000. Вы получаете новые поля с правильными значениями. Экспортируйте слой как CSV (текстовый слой с разделителями), затем повторно импортируйте файл csv (слой меню — добавить слой — добавьте текстовый слой с разделителями) и определите два поля, сгенерированные выше (x_coord и y_coord), как x-/y- координаты.

Тем не менее, точки должны быть снова преобразованы в многоугольники: используйте точки в пути (из панели инструментов), а затем из меню вектор — инструменты геометрии — линии в многоугольники.

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя адрес электронной почты и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

Векторы, что это вообще такое?

Опубликовано 6 августа 2016 г.

Обновлен 4 ноября 2022 г.

Урок Гранта Сандерсона

Текстовая адаптация по реке Way

Исходный код

Интерпретации векторов

«Совершенно
Интерпретации векторов
» Соверсовки. координаты является актом насилия».
\qquad — Герман Вейль
Фундаментальным строительным блоком линейной алгебры является вектор, так что стоит убедиться, что мы все на одной странице о что точно вектор есть . Видите ли, вообще говоря, есть три разных, но связанных между собой интерпретации векторов, которые я назову точкой зрения студента-физика, точки зрения информатики и точки зрения математика.
Physics Perspective
С точки зрения студента-физика векторы представляют собой стрелки, указывающие в пространстве. То, что определяет данный вектор, — это его длина и направление, на которое он указывает, но пока эти два факта одинаковы, вы можете перемещать его, и это все тот же вектор.
Векторы, живущие на плоской плоскости, двумерны, а те, что находятся в более широком пространстве, в котором мы с вами живем, трехмерны.
CS Perspective
С точки зрения информатики векторы представляют собой упорядоченные списки чисел. Например, если вы занимаетесь аналитикой цен на жилье, и вас интересуют только площадь и цена, вы можете смоделировать каждый дом как пару чисел, первое из которых указывает площадь, а второе — цену.
Обратите внимание, что порядок здесь имеет значение. Говоря жаргонным языком, вы бы моделировали дома как двумерные векторы, где «вектор» — это в значительной степени причудливое слово для обозначения списка, а двухмерным его делает тот факт, что его длина равна двум.
Математическая абстракция
Математик обобщает оба этих взгляда, в основном говоря, что вектор может быть чем угодно, где есть разумное понятие сложения двух векторов и умножения вектора на число, операций, о которых я расскажу позже в этой главе. . Детали этого представления довольно абстрактны, и я на самом деле думаю, что было бы правильно игнорировать его до последнего видео в этой серии, отдавая предпочтение более конкретной обстановке в промежутке. Причина, по которой я привожу ее здесь, заключается в том, что она намекает на тот факт, что идеи сложения векторов и умножения на числа будут играть важную роль в этих темах.
Думая о системах координат
Теперь, хотя я уверен, что многие из вас уже знакомы с системами координат, стоит пройтись по ним подробно, так как именно здесь происходят все важные переходы между двумя основными точками зрения линейной алгебры. . На данный момент сосредоточим наше внимание на двух измерениях: у вас есть горизонтальная линия, называемая осью x , и вертикальная линия, называемая осью y . Место их пересечения — 9.0111 origin , о котором вы должны думать как о центре пространства и корне всех векторов.
После выбора произвольного расстояния, представляющего длину 111, вы делаете галочки на каждой оси, отстоящей на это расстояние.
Когда я хочу передать идею 2D-пространства в целом, которая часто встречается в этом тексте, я расширю эти деления, чтобы сделать линии сетки, например:
Давайте остановимся на конкретной мысли, Имейте в виду, когда я говорю слово вектор . Учитывая геометрическую направленность, к которой я здесь стремлюсь, всякий раз, когда я представляю новую тему, связанную с векторами, я хочу, чтобы вы сначала подумали о стреле и, в частности, подумали о стрелке внутри системы координат, такой как плоскость xyxyxy, с ее хвостом. сидит в истоке.
Координаты вектора — это пара чисел, которые в основном дают инструкции о том, как добраться от хвоста этого вектора в начале координат до его вершины. Первое число говорит вам, как далеко пройти вдоль оси x, причем положительные числа указывают на движение вправо, а отрицательные числа указывают на движение влево, а второе число говорит вам, как далеко затем пройти параллельно оси y, а положительные числа указывают на восходящее движение, а отрицательные числа указывают на нисходящее движение.
Чтобы отличить векторы от точек, эту пару чисел принято записывать вертикально с квадратными скобками вокруг них.
↖ =[−23]≠(2,3)\nwarrow\ =\begin{bmatrix}-2 \\ 3\end{bmatrix}\neq(2,3)↖ =[−23]=( 2,3)
Важное замечание: каждая пара чисел дает вам один и только один вектор, и каждый вектор связан с одной и только с одной парой чисел.
Какой вектор соответствует прохождению 666 единиц вверх и 444 единицам влево?
[64]\begin{bmatrix}6 \\ 4\end{bmatrix}[64]
[46]\begin{bmatrix}4 \\ 6\end{bmatrix}[46]
[ −46]\begin{bmatrix}-4 \\ 6\end{bmatrix}[−46]
[−6−4]\begin{bmatrix}-6 \\ -4\end{bmatrix}[− 6−4]
В трех измерениях вы добавляете третью ось, называемую осью Z, которая перпендикулярна осям X и Y. В этом случае каждый вектор связан с упорядоченной тройкой чисел: первое число говорит вам, как далеко двигаться по оси x, второе число говорит вам, как далеко двигаться параллельно оси y, а третье число говорит вам, как далеко двигаться параллельно новой оси Z. Каждая тройка чисел дает вам одну уникальную точку в пространстве, и каждая точка в пространстве связана ровно с одной тройкой чисел.
Операции с векторами
А как насчет сложения векторов и умножения чисел на векторы? В конце концов, каждая тема линейной алгебры сосредоточена вокруг этих двух операций. К счастью, они оба относительно прямолинейны.
Дополнение
Допустим, у нас есть два вектора, один направлен вверх и немного вправо, а другой направлен вправо и немного вниз.
Чтобы сложить эти два вектора, переместите второй вектор так, чтобы его хвост находился на кончике первого. Затем, если вы нарисуете новый вектор от хвоста первого до того места, где сейчас находится кончик второго, этот новый вектор будет их суммой.
Почему это разумно? Почему именно это определение сложения, а не какое-то другое? Что ж, мне нравится думать об этом так: каждый вектор представляет собой определенное движение; шаг с определенным расстоянием и направлением. Если вы сделаете шаг по первому вектору, а затем сделаете шаг в направлении и на расстояние, описываемое вторым вектором, общий эффект будет таким же, как если бы он просто двигался по сумме этих двух векторов.
Вы можете думать об этом как о расширении того, как мы думаем о сложении чисел в числовой строке. Один из способов, которым мы учим детей думать о сложении, скажем, 2+52+52+5, состоит в том, чтобы думать о перемещении на 222 шага вправо, а затем еще на 555 шагов вправо. Общий эффект такой же, как если бы вы сначала сделали 777 шагов вправо.
На самом деле, давайте посмотрим, как сложение векторов выглядит численно. Первый вектор здесь имеет координаты [12]\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}[12], а второй имеет координаты [3−1]\begin{bmatrix}3\\-1\end {bmatrix}[3−1]. Когда вы берете их векторную сумму, используя этот метод, вы можете думать о пути из четырех шагов от хвоста первого до кончика второго: пройти 111 вправо, затем 222 вверх, затем 333 вправо, затем 111 вниз.
Реорганизовав эти шаги так, чтобы сначала вы выполняли все движения вправо, а затем все движения по вертикали, вы можете прочитать это так: сначала двигайтесь 1+31+31+3 вправо, затем двигайтесь 2-12-12-1 вверх . Таким образом, новый вектор имеет координаты 1+31+31+3 и 2+(-1)2+(-1)2+(-1).
В общем случае, чтобы добавить два вектора в числовой список векторов, сопоставьте их термины и сложите их вместе.
[x1y1]+[x2y2]=[x1+x2y1+y2]\begin{bmatrix} \color{green}{x_1} \\ \color{red}{y_1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix } \color{green}{x_2} \\ \color{red}{y_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \color{green}{x_1+x_2} \\ \color{red}{y_1+ y_2} \end{bmatrix}[x1y1]+[x2y2]=[x1+x2y1+y2]
У нас складываются два вектора: [4−2 ]+[62]\begin{bmatrix}4\\-2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}6\\2\end{bmatrix}[4−2]+[62]. Опишите, как пройти от начала координат к их сумме.
Пройдите 101010 единиц по положительной оси xxx и 444 единицы по положительной оси yyy.
Пройдите 101010 единиц по положительной оси xxx и не двигайтесь по оси yyy.
Не двигаться, сумма в начале.
Не двигаться по оси xxx и пройти 101010 единиц по положительной оси yyy.
Масштабирование
Другой фундаментальной векторной операцией является умножение на число. Это лучше всего понять, просто взглянув на несколько примеров.
Если вы возьмете число 222 и умножите его на заданный вектор, вы растянете этот вектор так, что он станет в два раза длиннее, чем вы начали.
Если вы умножите вектор на 13\frac1331, вы сожмете его так, что он составит одну треть своей первоначальной длины.
Если умножить его на отрицательное число, например -1,8-1,8-1,8, то вектор перевернется, а затем растянется в 1,81,81,8 раза.
Этот процесс растяжения, сжатия, а иногда и изменения направления называется «масштабированием». Всякий раз, когда вы получаете число вроде 222, 13\frac1331 или −1,8–1,8–1,8, действующее таким образом, масштабируя некоторый вектор, вы называете его «скаляром». На самом деле, во всей линейной алгебре одна из основных функций чисел — это масштабирование векторов, поэтому обычно используется слово 9.0111 скаляр взаимозаменяемо со словом номер . Численно растяжение вектора в 222 раза соответствует умножению каждой из его координат на 222, поэтому в представлении векторов как списков чисел умножение данного вектора на скаляр означает умножение каждого из его компонентов на этот скаляр.
2v→=2⋅[xy]=[2x2y]2\overrightarrow{\mathbf{v}}= 2\cdot \begin{bmatrix} \color{green}{x} \\ \color{red}{y } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\color{green}{x} \\ 2\color{red}{y} \end{bmatrix}2v
=2⋅[xy]=[2x2y]
Заключение
В следующих главах вы увидите, что я имею в виду, когда говорю, что почти каждая тема линейной алгебры вращается вокруг этих двух фундаментальных операций сложения векторов и скаляра. умножение. В последней главе о линейной алгебре я также расскажу подробнее о том, как и почему математик думает об этих операциях, независимых и абстрагированных от того, как вы предпочитаете представлять векторы.
По правде говоря, не имеет значения, думаете ли вы о векторах, по сути, как о стрелках в пространстве, которые имеют хорошее числовое представление, или как о списках чисел, которые имеют хорошую геометрическую интерпретацию. Полезность линейной алгебры связана не столько с одним из этих взглядов, сколько со способностью переводить их туда и обратно. Это дает аналитику данных хороший способ концептуализировать множество списков чисел в визуальной форме, что может серьезно прояснить закономерности в данных и дать общее представление о том, что делают определенные операции.
С другой стороны, он дает таким людям, как физики и программисты компьютерной графики, язык для описания пространства и манипулирования пространством с помощью чисел, которые можно обработать и запустить с помощью компьютера.
Когда я делаю математическую анимацию, например, я начинаю с размышлений о том, что происходит в пространстве, затем заставляю компьютер представлять вещи в числовом виде и выясняю, где разместить какие пиксели на экране, а это часто зависит от понимание линейной алгебры.
No related posts.