Как делать обратную замену в уравнении: Метод замены переменной

Содержание

Решение уравнений сводящихся к квадратным

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Решение уравнений сводящихся к квадратным

«Предмет математики настолько
серьезен,
что полезно не упускать случаев
делать его немного занимательным»
О. Паскаль

3. Тип урока: урок совершенствования и систематизации знаний.

Цели:
Образовательная: Повторить и систематизировать знания
по данной теме при этом максимально развивая
способности учеников, закрепить способы решения
уравнений.
Развивающая: развивать мышление, накапливать способы
математической деятельности с помощью наблюдения
опыта , обобщения.
Воспитательная: Привить интерес и любовь к родному
городу.
План урока:
•Организационный момент.
• Проверка готовности к путешествию.
•Устранение неисправностей.
•Достопримечательности Бурятии.
•Мастер класс.
•Итог урока.
•Домашнее задание.
Математика — это история, история развития
человеческой мысли, интеллекта. А когда
люди научились решать квадратные
уравнения?
Древние греки — Евклид и другие ученые решали геометрическим путем. Задачи,
которые они решали, имели практическую
направленность. Например, найти сторону
квадрата по его площади, или радиус круга
тоже по площади.
В Древнем Вавилоне образованные люди (это были
жрецы и чиновники) умели решать задачи на
определение длины и ширины прямоугольника по
площади и периметру.
Багдад 9 век. Математик аль-Хорезми предлагает
правило решения квадратных уравнений в точности
соответствующее действиям по нашим формулам, но
изложено риторически. Задачу x²+10x=39 он
формулировал так: квадрат и десять его корней равно
39. Затем дальше действовали по правилу и поверьте,
считали устно, но очень быстро, находя корни таких
уравнений.
Выдающий французский математик 16 века Франсуа Виет ввел для
коэффициентов буквы и получил равенство, связывающее корни
уравнения (и не только второй степени)
Виет (1540-1603) сделал решающий шаг, введя символику во все
алгебраические доказательства путем применения буквенных обозначений
Франсуа Виет

8. Проверка готовности экипажа

1. Уравнение вида ax2+bx+c=0 называется …
2. Дискриминант находится по формуле D= …
3. Если D > 0, то квадратное уравнение имеет …
4. Если D =0, то уравнение имеет …
5. Если D <0, то уравнение …
6. Уравнение ax2+bx+c=0 примет вид линейного, если…
7. Какие знаки имеют корни уравнения 2х² +6х – 25 = 0
8. Уравнение вида x2 + px + q=0 называется…
9. Уравнения вида ax2=0, ax2+bx=0, ax2+c=0, где а ≠ 0, b ≠ 0, с ≠ 0
называются…
•Устранение неисправностей.
Найди ошибку: 1) Решить уравнение
х2 –(х-2)2 -8=0
х2- х2-4х+4-8=0
-4х=4
х=-1
верное решение: х = ±4
2) Решить уравнение
2
2х =32
2
х =16
х=4
верное решение: х = ±4

11. 3)В уравнении 3х2-4х+7=0 х1+х2=4 х1х2=7

верное решение: х1+х2=
х1х2=

12. Экскурсия.

Главный соборный храм
Цогчен-дуган построен в
1976 году.
Вес скульптуры
памятника В.И.
Ленину -42 тонны
•На колокольне
Одигитриевского
кафедрального
собора 6
колоколов
Площадь
этнографического
музея 37 гектар
Высота памятника
Гэсэру составляет 9
метров ( вместе с
копьем)
Оперный театр
основан в 1939
году

25. Мастер-класс

26. Проект №1

Докажите, что уравнение не имеет корней
(х² +2х +2) (х² -4х +5) = 1
Решение: (( х² +2х +1) +1)(( х² -4х +4) +1) = 1
((х+1)² +1)((х-2)² +1) = 1
т.к. (х+1)² ≥0, то (х+1)² +1 ≥ 1
аналогично (х-2)²≥ 0, то (х-2)² + 1 ≥ 1
значит х² +2х +2 = 1 и х² -4х +5 =1
х² +2х +1= 0
х² -4х +4=0
х =-1
х=2
Ответ: нет решений

27.

Проект №2Решить уравнение
1
2(х² + 2
õ
Решение: Заменим х+
⇒ х²+2х
1
õ
+
1
) – 7( х + ) +9 =0
õ
1
1
= t ; ⇒ (х +
) ² =t²
õ
õ
1
2
õ
⇒ 2(t²-2 )- 7t +9 = 0
⇒t₁ =1; t₂ =2,5
= t²
⇒ х² +
1
2
õ
= t² -2
⇒ ⇒ 2t²- 7t +5 = 0

28. сделаем обратную замену х + = 1 и х + = 2.5

1
õ
Ответ : х₁ = 0,5;
1
õ
х₂ =2

29. Проект №3

Решить уравнение
Решение:
(х² -2х -3) ²+(х² -5х +6) ²= 0
(х² -2х -3) ² = 0 и
х² -2х -3 = 0
х₁ = 3; х ₂= — 1
(х² -5х +6) ² = 0
х² -5х +6 = 0
х₁ = 3; х ₂= 2
Ответ: х = 3
Спасибо
за урок

English     Русский Правила

Уравнения, допускающие понижение порядка

Существует три вида уравнения , которые при помощи замены переменной (искомой функции) сводятся к уравнениям первого порядка.

1. Уравнения вида

(12)

Введем новую функцию p(x) путем замены . Тогда и получаем уравнение первого порядка . Решив его, т. е. найдя функцию p=p(x), решим затем уравнение Получим общее решение уравнения (12).

Замечание. На практике при решении уравнения (12) будем поступать иначе. Порядок в уравнении будем понижать непосредственно путем последовательного интегрирования данного уравнения.

2. Уравнения вида

(13)

т. е. уравнение, не содержащее явно искомой функции y.

Обозначим , где – новая неизвестная функция. Тогда и уравнение (13) принимает вид

.

Пусть – общее решение полученного дифференциального уравнения первого порядка. Сделав обратную замену

, получаем . Для отыскания y достаточно проинтегрировать последнее уравнение. Общее решение уравнения (13) будет иметь вид

.

Частным случаем уравнения (13) является уравнение

не содержащее также и независимую переменную x. Оно интегрируется тем же способом:

. Получается уравнение с разделяющимися переменными.

3. Уравнения вида

(14)

т. е. уравнение, не содержащее независимой переменной x.

Для понижения порядка уравнения введем новую функцию , зависящую от переменной y, полагая . Дифференцируем это равенство по x, учитывая, что :

,

т. е. . После замены уравнение (14) запишется в виде:



Пусть – общее решение полученного дифференциального уравнения первого порядка. Сделав обратную замену , получаем – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя его, найдем общий интеграл данного дифференциального уравнения

Частным случаем уравнения (14) является уравнение

.

Такое уравнение решается при помощи аналогичной подстановки .

 

Линейные дифференциальные уравнения

Второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение 12. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

(15)

где

y – искомая функция, а , и – известные функции, непрерывные на некотором интервале (а, b).

Если , то уравнение (15) называется линейным однородным уравнением. Если же функция не равна тождественно нулю, то уравнение (15) называется линейным неоднородным уравнением. Если разрешить уравнение (15) относительно второй производной, то легко видеть, что оно является частным случаем уравнения и удовлетворяет условиям теоремы Коши. Поэтому для любых начальных условий (11) это уравнение имеет единственное решение задачи Коши.

Рассмотрим частный случай уравнения (15), когда функции и – постоянные величины, т. е.

Уравнение такого вида называется линейным уравнением с постоянными коэффициентами.

 

Линейные однородные уравнения второго порядка

Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка

,(16)

где p и q – вещественные числа.

Можно показать, что при определенных условиях функция , где k –некоторое число, является решением уравнения (16). Действительно, подставляя функцию и ее производные в уравнение (16), получим

Сокращая обе части этого равенства на , получаем квадратичное уравнение относительно k

. (17)

Уравнение (17) называется характеристическим уравнением для уравнения (16). Заметим, что если число является корнем уравнения (17), то функция есть решение однородного уравнения (16). Таким образом, в зависимости от корней и характе­ристического уравнения (17) получаем общее решение уравнения (16).

Таким образом, справедлива следующая

Теорема 3. 1. Если корни характеристического уравнения (17) различные действительные числа, т. е. , то общее решение однородного дифференциального уравнения (16) имеет вид

;

2. Если корни уравнения (17) равные действительные числа, т. е. , то общее решение однородного дифференциального уравнения (16) имеет вид

;

3. Если корни уравнения (17) комплексные, т. е. , то общее решение однородного дифференциального уравнения (16) имеет вид

.

 

Неоднородные дифференциальные уравнения

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот…

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор..

.

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам…

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между…


Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

Что такое биквадратное уравнение

Как решать биквадратное уравнение: видео

В прошлых уроках мы научились решать квадратные уравнения. Для этого потребовалось ввести новый математический объект — дискриминант. Если вы не помните, что это такое, рекомендую вернуться к уроку «Как решать квадратные уравнения».

Для начала определение, что вообще такое биквадратное уравнение — это любое выражение, где переменная присутствует только в 4-ой и во 2-ой степени.

Как считать такие биквадратные конструкции? Схема состоит из пяти шагов. Все шаги очень легкие и очень быстрые:

1)вводим новую переменную $^>=t$. >=_>$.

5)решаем полученные уравнения и находим иксы.

Реальные задачи

Пример № 1

Давайте посмотрим, как эта схема работает на настоящих биквадратных уравнениях.

Решаем первую задачу:

Вводим новую переменную и переписываем:

Это обычное квадратное уравнение, посчитаем его с помощью дискриминанта:

Это хорошее число. Корень равен 3.

Теперь находим значение $t$:

Но будьте внимательны, мы нашли только $t$ — это не решение, это только третий шаг. Переходим к четвертому шагу — вспоминаем, что такое $t$ и решаем:

Вот мы и решили первую часть. Переходим ко второму значению $t$:

Итого у нас вышло четыре ответа: 2; -2; 1; -1, т.е. биквадратное уравнение может иметь до четырех корней.

Пример № 2

Переходим ко второму примеру:

Тут я не буду подробно все расписывать. Давайте решать так, как бы мы делали это в классе.

Тогда у нас выйдет:

Корень из дискриминанта равен 7. Найдем $t$:

Вспоминаем, что такое $t$:

Вот и все. У нас снова четыре ответа: 4; -4; 3; -3.

Пример № 3

Переходим к последнему биквадратному уравнению:

Опять же вводим замену:

Давайте умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дробных коэффициентов:

Корень из дискриминанта равен трем:

Считаем иксы. Вспоминаем, что такое $t$:

Второй вариант чуть посложнее:

Мы получили снова четыре корня:

Вот так решаются все биквадратные уравнения. Конечно, это не самый быстрый способ, зато он самый надежный. Попробуйте самостоятельно прорешать такие же примеры, как и в этом видео. В ответе значения иксов нужно записывать через точку с запятой — вот так, как я записывал. На этом урок закончен. Удачи!

Биквадратное уравнение. Алгоритм решения и примеры.

Биквадратные уравнения относятся к разделу школьной алгебры. Метод решения таких уравнений довольно простой, нужно использовать замену переменной.
Рассмотрим алгоритм решения:
-Что такое биквадратное уравнение?
-Как решить биквадратное уравнение?
-Метод замены переменной. =-10\), не подходит условию \(t\geq0\)

Ответ: решения нет.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Биквадратное уравнение

Уравнение которое выглядит как ax 4 +bx 2 +c=0, называют Биквадратным уравнением. В нем х — неизвестная переменная. a,b,c -имеют различное числовое значение, где, а не равно нулю. Так же при х — стоящем в четвертой степени, коэффициент а — называется старшим, и х — стоящем во -второй степени, коэффициент b — называется вторым, с — является свободным членом.
Корнем биквадратного уравнения является значение х если при его использовании уравнение ax 4 +bx 2 +c превращается в ноль.

Действие с помощью которого находятся все корни уравнения или выясняется что таковых у него нет, называется — решением биквадратного уравнения.

Для решения биквадратного уравнения существует ряд действий, которые следует придерживаться.


Во-первых:
Путем подстановки, где у=х 2 , решаемое биквадратное уравнение переводим в квадратное ау 2 +bу+с=0.

Во-вторых: В полученном уравнении необходимо найти корни.

В-третьих: Произвести замену введенного нами значения х 2 , путем приравнивания получившихся корней квадратного уравнения.

В- четвертых:
После решения полученного уравнения, находим корни в биквадратном уравнении.

Для того чтобы все легче усвоилось, рассмотрим все описанное на нескольких примерах.

1) Дано уравнение 2х 4 -19х 2 +9=0, оно биквадратное.
Производим замену х 2 =у, следовательно, х 4 =у 2 ,
записываем получившееся 2у 2 -19у+9=0,
Мы получили полное неприведенное уравнение с коэффициентами а=2, b=-19,с=9.
Дискриминант уравнения: D = b 2 — 4ac= (-19) 2 — 4 * 2 * 9 = 361 — 72 = 289
У квадратного уравнения 2 корня, потому как D=289, что больше ноля. Находим их.
у1 = (-b+ √D)/2a = (-(-19)+ √289)/(2*2) = (19+17)/4 = 36/4 = 9
y2 = (-b- √D)/2a =(-(-19)±√289)/(2*2) = (19-17)/4 = 2/4 = 1/2
Производим замену х11, и х22

Данное биквадратное уравнение имеет ответ: х1 = 3; х2 =-3; х3 = 1/√2; х4= — 1/√2 .

2) Рассмотрим уравнение х 4 +2х2-8=0
Производим замену х 2 =у, следовательно, х 4 =у 2 ,
записываем получившееся у 2 +2у-8=0,
Мы получили полное неприведенное уравнение с коэффициентами а=1, b=2,с=-8.
Дискриминант уравнения: D = b 2 — 4ac=22 — 4 * 1 *(-8) = 4 + 32 = 36
У квадратного уравнения 2 корня, потому как D=36, что больше ноля. Находим их.
у1 = (-b+ √D)/2a = (-2+ √36)/(2*1) = (-2+6)/2 = 4/2 = 2
y2 = (-b- √D)/2a =(-2 — √36)/(2*1) = (-2-6)/2 = (-8)/2 = -4
Производим замену х2 =у1, и х2 =у2
х1=2
х1,2= +√2
х3 = 4 (решения нет)

Данное биквадратное уравнение имеет ответ: х1 =√2; х2 = -√2

Из данного уравнения мы можем сделать вывод. Если при решении получается корень со знаком минус или у меньше ноля, больше его не рассматриваем. т.к. он не подходит нам по условию.

Для приведения многочлена к стандартному виду, во многих случаях используют формулы сокращенного умножения. Они решаются с помощью открытия скобок.

Как решать С1. Урок 5. ЕГЭ по математике 2014 — решения.егэцентр.рф

Поздравляю вас, дорогие читатели!

Наконец-то мы дошли до решения тригонометрических уравнений. Сейчас мы решим несколько уравнений, которые похожи на задания ЕГЭ. Конечно, в реальном экзамене, задачи будут немного сложнее, но суть останется та же.

Для начала рассмотрим легкое уравнение (подобные мы уже решали в прошлых уроках, но повторить всегда полезно).

$$(2\cos x + 1) (2\sin x — \sqrt{3}) = 0.$$

Думаю, объяснения, как решать, излишни.

$$2\cos x + 1 = 0 \text{ или } 2\sin x — \sqrt{3} =0,$$

$$\cos x = -\frac{1}{2} \text{ или } \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2},$$

 

Горизонтальным пунктиром отмечено решение для уравнения с синусом, вертикальным — с косинусом.

Таким образом, итоговое решение можно записать, например, так:

$$\left[ \begin{array}{l}x= \pm \frac{2\pi}{3},\\x = \frac{\pi}{3}+2\pi k. \end{array}\right.$$

Тригонометрическое уравнение с ОДЗ

$$(1+\cos x)\left(\frac{1}{\sin x} — 1\right) = 0.$$

Важное отличие в этом примере, что в знаменателе появился синус. Хотя мы немного решали подобные уравнения в предыдущих уроках, стоит остановиться на ОДЗ поподробнее.

ОДЗ

`\sin x \neq 0 \Rightarrow x \neq \pi k`. Когда мы будем отмечать решение на круге, эту серию корней мы отметим специально проколотыми (открытыми) точками, чтобы показать, что `x` не может принимать такие значения.

Решение

Приведем к общему знаменателю, а затем поочередно приравняем обе скобки к нулю.

$$(1+\cos x)\left(\frac{1-\sin x}{\sin x}\right) = 0,$$

$$1+\cos x = 0 \text{ или } \frac{1-\sin x}{\sin x} = 0,$$

$$\cos x = -1 \text{ или } \sin x=1.$$

Надеюсь, решение этих уравнений не вызовет затруднений. 2 — 6t +5 =0, $$

$$t_1 = 5, t_2 = 1.$$

Обратная замена.

$$\tg x = 5, \tg x = 1.$$

$$\left[\begin{array}{l}2x = \arctan{5}+\pi k, \\ 2x = \frac{\pi}{4} + \pi k. \end{array} \right.$$

Теперь поделим обе серии на два, чтобы узнать, чему равен, собственно, `x`.

$$\left[\begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\arctan{5}+\frac{\pi k}{2}, \\ 2x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}. \end{array} \right.$$

Вот мы и получили ответ.

Последнее уравнение (произведение тангенса на синус)

$$\tg x \cdot \sin 2x = 0.$$

ОДЗ

Поскольку тангенс — это дробь, знаменателем которой является косинус, то в ОДЗ получим, что `\cos x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2}+\pi k.`

Решение

$$\tg x =0 \text{ или } \sin 2x = 0.$$

Эти уравнения решаются легко. Получим:

$$x = \pi k  \text{ или } 2x = \pi k,$$

$$x = \pi k  \text{ или } x = \frac{\pi k}{2}.$$

Теперь самое интересное: поскольку у нас было ОДЗ, нужно выполнить отбор корней. 2 \left(x-\frac{\pi}{3} \right) — 3 =0`.

На этом хватит. Будут вопросы — спрашивайте! Оставляйте лайки, если мой труд оказался полезен 🙂

 

Решение сложных уравнений, приводящихся к квадратным

На экзаменах вряд ли дадут задания, где нужно просто подставив в формулы значения, решить квадратное уравнение. Скорее всего будет нужна какая-нибудь хитрость, которая поможет из сложнейшего уравнения превратить его в простое.

Давайте рассмотрим такие случаи.

Вы конечно же уже хорошо разбираетесь в решении полных и неполных квадратных уравнений. Поэтому сразу перейдем к сложным на вид, но простым по сути таким заданиям.

  1. Биквадратное уравнение;
  2. Сводящееся к биквадратному уравнению;
  3. Уравнения вида 1: ;
  4. Уравнения вида 2: ;
  5. Возвратное уравнение.

Содержание

  • 1 Биквадратное уравнение
  • 2 Сводящееся к биквадратному уравнению
  • 3 Уравнения вида:
  • 4 Уравнения вида:
  • 5 Возвратное уравнение

Биквадратное уравнение

Уравнение вида — называется биквадратным уравнением. Обратите внимание здесь переменная при старшем коэффициенте , дважды возведена в квадрат, то есть получился биквадрат, а переменная при втором коэффициенте возведена тоже в квадрат, хотя в квадратном уравнении первой степени.

В таких уравнениях первоначальную переменную во второй степени заменяют на другую переменную, то есть делают замену , и подставляют в биквадратное, тогда первоначальное уравнение превращается в обычное квадратное: . И дальше решается все через формулы дискриминанта или по теореме Виета.

Пример 1.

Замена: , получим:

по теореме Виета:

Теперь необходимо вернуться к первоначальной переменной :

так как , а , то получим:   

и   , в этом случае корней нет, так как не существует таких действительных чисел, которые при возведении в квадрат дадут отрицательное число.

Сводящееся к биквадратному уравнению

Рассмотрим уравнение вида

 Здесь делается вот такая замена:

Пример 2.

замена:

преобразуем правую часть замены для этого раскроем скобки и приведем подобные, затем в числителе вынесем общий множитель 2 за скобки, он сокращается со знаменателем:

из получившегося равенства, выразим:

Теперь подставим в само уравнение

вместо , то что получили :

возведем в 4 степень каждую из скобок, используя биномиальное разложение с использованием треугольника Паскаля:

рисунок 1

Используя пятую строчку на рисунке 1, и подставив в формуле вместо , а вместо   в первой скобке и во второй скобке, получим:

раскроем скобки и приведем подобные:

сократим все на 2 и перенесем 16 в левую часть равенства:

Получили биквадратное уравнение из примера 1, корни этого уравнения (см.выше). теперь вернемся к исходной переменной

Подставив , получим

Возможно вы спросите, почему нельзя было сразу возвести каждую скобку в 4 степень, без замены. Если вы поступите именно так, то у вас получится сложный многочлен, где будут присутствовать слагаемые со всеми степенями от 1й до 4й, и решить уравнение 4го порядка будет достаточно сложно.

Уравнения вида:

Здесь нужно перегруппировать множители так, чтобы выполнялось равенство (если возможно)

и попарно раскрыть скобки.

Пример 3:

Перепишем уравнение таким образом

проверим условие (*):

— оно выполняется, теперь можно попарно раскрыть скобки:

упростим:

— обоих скобках есть одинаковая часть , сделаем замену эту скобки на , получим:

.

Раскроем скобки и приведем подобные:

получили неполное квадратное уравнение, вынесем общий множитель за скобки:

корни данного уравнения .

Делаем обратную замену, то есть так как , то получим:

или

данное квадратное уравнение решаем используя формулы дискриминанта:

, значит два корня:

Итак, в уравнении

четыре корня:

Уравнения вида:

В данном уравнении тоже делается замена:

тогда , возведем левую часть равенства в квадрат и получим:

сократим и перенесем 2 в правую часть равенства:

Рассмотрим решение такого типа уравнений на примере 4:

Замена , тогда

Подставим в уравнение:

Упростим и приведем к стандартному виду квадратного равнения:

Получили квадратное уравнение не приведенное, поэтому решать будем через формулы дискриминанта.

Произведем обратную замену: или . Решим эти уравнения относительно переменной :

Перенесем в левую часть равенства и приведем к общему знаменателю:

Дробь равна 0, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

Решим квадратное уравнение, где :

И второе уравнение:

также приведем к общему знаменателю, перенеся в левую часть равенства:

Решим квадратное уравнение, где

Итак, корни уравнения  :

Возвратное уравнение

Уравнение вида , где — многочлен стандартного вида, у которого равны коэффициенты членов, одинаково удаленных от начала и конца уравнения — называется возвратным.

Рассмотрим пример 5: 

Здесь многочлен стандартного вида четвертой степени: , где коэффициенты при первом и последнем слагаемом, а также при втором и предпоследнем, — равны между собой, то есть посмотрите рисунок 2:

рисунок 2

Так как уравнение четной степени, делим его на степень среднего члена и группируем члены с одинаковыми коэффициентами. На рисунке 2 видно, что средним членом является слагаемое , значит, делим каждое слагаемое на :

сократим каждую дробь и сгруппируем слагаемые с одинаковыми коэффициенты:

вынесем попарно общий множитель за скобки:

Получили уравнение из примера 4. Его корни: 

Итак, если в уравнении переменная входит в виде некоторой функции от одного и того же выражения, то как правило, это одинаковое выражение с переменной удобно обозначить новой одной буквой (новой переменной). Такие действия простыми словами называют замена переменных.

Решение линейных диофантовых уравнений с любым числом неизвестных / Хабр

Здравствуйте, уважаемые читатели! Продолжаю серию дилетантских статей о математике.

  • Первая часть
  • Вторая часть

Сегодня предлагаю поразмышлять над некоторой интересной математической задачкой.
А именно, давайте-ка для разминки решим следующее линейной уравнение:

«Чего сложного?» — спросите вы. Действительно, лишь одно уравнение и целых четыре неизвестных. Следовательно, три переменных есть свободные, а последняя зависит от оных. Так давайте выразим скорее! Например, через переменную , тогда множество решений следующее:

где — множество любых действительных чисел.

Что же, решение действительно оказалось слишком тривиальным. Тогда будем нашу задачу усложнять и делать её более интересной.

Вспомним про линейные уравнения с целыми коэффициентами и целыми корнями, которые, собственно, являются разновидностью диофантовых уравнений. Конкретно — наложим на наше уравнение соответствующие ограничение на целочисленность коэффициентов и корней. Коэффициенты при неизвестных у нас и так целые (), а вот сами неизвестные необходимо ограничить следующим:

где — множество целых чисел.

Теперь решение, полученное в начале статьи, «не проканает», так как мы рискуем получить как рациональное (дробное) число. Так как же решить это уравнение исключительно в целых числах?

Заинтересовавшихся решением данной задачи прошу под кат.

А мы с вами продолжаем. Попробуем произвести некоторые элементарные преобразования искомого уравнения:

Задача выглядит по-прежнему непонятной, в таких случаях математики обычно производят какую-нибудь замену. Давайте и мы с вами её бахнем:

Опа, мы с вами достигли интересного результата! Коэффициент при у нас сейчас равен единице, а это значит, что мы с вами можем выразить эту неизвестную через остальные неизвестные в этом уравнении без всяких делений (чем грешили в самом начале статьи). Сделаем это:

Обращу внимание, что это говорит нам о том, что какие бы не были (в рамках диофантовых уравнений), всё равно останется целым числом, и это прекрасно.

Вспоминая, что справедливо говорить, что . А подставив заместо полученный выше результат получим:

Тут мы также видим, что что какие бы не были , всё равно останется целым числом, и это по-прежнему прекрасно.

Тогда в голову приходит гениальная идея: так давайте же объявим как свободные переменные, а будем выражать через них! На самом деле, мы уже это сделали. Осталось только записать ответ в систему решений:

Теперь можно лицезреть, что в системе решений нигде нет деления, а это значит, что всегда решения будут целочисленными. Попробуем найти частное решение исходного уравнения, положив, к примеру, что :

Подставим в исходное уравнение:

Тождественно, круто! Давайте попробуем ещё разок на другом примере?

Тут мы видим отрицательный коэффициент, он может доставить нам изрядных проблем, так что давайте от греха избавимся от него заменой , тогда уравнение будет следующим:

Как мы помним, наша задача сделать такие преобразования, чтобы в нашем уравнении оказалась неизвестная с единичным коэффициентом при ней (чтобы затем выразить её через остальные без любого деления). Для этого мы должны снова что-нибудь взять «за скобку», самое быстрое — это брать коэффициенты из уравнения которые самые близкие к единице. Однако нужно понимать, что за скобку можно взять только лишь то число, которое обязательно является каким-либо коэффициентом уравнения (ни больше, ни меньше), иначе наткнемся на тавтологию/противоречие или дроби (иными словами, нельзя чтобы свободные переменные появились где-то кроме как в последней замене). Итак:

Введем замену , тогда получим:

Вновь возьмем за скобку и наконец получим в уравнении неизвестную с единичным коэффициентом:

Введем замену , тогда:

Выразим отсюда нашу одинокую неизвестную :

Из этого следует, что какие бы мы не взяли, все равно останется целым числом. Тогда найдем из соотношения :

Аналогичным образом найдем из соотношения :

На этом наша система решений созрела — мы выразили абсолютно все неизвестные, не прибегая к делению, тем самым показывая, что решение точно будет целочисленным. Также не забываем, что , и нам надо ввести обратную замену. Тогда окончательная система решений следующая:

Таким образом, осталось ответить на вопрос — а любое ли подобное уравнение можно так решить? Ответ: нет, если уравнение в принципе нерешаемо. Такое возникает в тех случаях, если свободный член не делится нацело на НОД всех коэффициентов при неизвестных. Иными словами, имея уравнение:

Для его решения в целых числах достаточно выполнение следующего условия:

(где — наибольший общий делитель).

Доказательство

Доказательство в рамках этой статьи не рассматривается, так как это повод для отдельной статьи. Увидеть его вы можете, например, в чудесной книге В. Серпинского «О решении уравнений в целых числах» в §2.

Резюмируя вышесказанное, выпишем алгоритм действий для решения линейных диофантовых уравнений с любым числом неизвестных:

  1. Проверяем, а решаемо ли уравнение вообще (вышеописанным свойством ). Если ответ положительный — переходим к следующему пункту.
  2. Для ускорения процесса поделим все коэффициенты (включая свободный член) на их .
  3. Избавляемся от отрицательных коэффициентов в уравнении заменой
  4. Проводим серию замен (разваливая некоторые члены уравнения на суммы и объединяя их в скобки) таким образом, чтобы в конце концов один из членов уравнения был с единичным коэффициентов, и мы смогли вывести его без какого либо деления. Помня при этом, что за скобку можно взять только то число, которое обязательно является каким-либо коэффициентом уравнения (ни больше, ни меньше), иначе наткнемся на тавтологию/противоречие или дроби (иными словами, нельзя чтобы свободные переменные появились где-то кроме как в последней замене). Наконец, объявляем все переменные, через которые выражена оная, как свободные.
  5. Выводим остальные переменные через вышевыведенную (выводим из всех наших замен), не забывая также про обратные замены.
  6. Объединяем все в единую систему решений.

В заключение стоит сказать, что также можно добавить ограничения на каждый член уравнения в виде неравенства на оного (тогда к системе решений добавляется система неравенств, в соответствии с которой нужно будет скорректировать ответ), а также добавить ещё чего-нибудь интересное. Ещё не стоит забывать и про то, что алгоритм решения является строгим и поддается записи в виде программы для ЭВМ.

С вами был Петр,
спасибо за внимание.

Mathwords: обратная замена

Mathwords: обратная замена
индекс: нажмите на букву
индекс: предметные области

Обратная замена

Процесс решения линейной система уравнений, преобразованная в рядно-ступенчатую форма или уменьшенный рядно-эшелонный форма. Сначала решается последнее уравнение, затем предпоследний и т. д.

 

Пример:

Рассмотрим систему с заданной строчно-эшелонной формой для его расширенной матрицы.

Уравнения для этой системы

\(\eqalign{x — 2y + z &= 4\\y + 6z &= — 1\\z &= 2}\)

Последнее уравнение говорит z = 2. Подставьте это во второе уравнение, чтобы получить

\(\eqalign{y + 6\left( 2 \right) &= — 1\\y &= — 13}\)

Теперь подставьте z = 2 и y = –13 в первое уравнение, чтобы получить

\(\eqalign{x — 2\left( { — 13} \right) + \left( 2 \right) &= 4\\x &= — 24}\)

Таким образом, решение x = –24, y = –13 и z = 2.

 

См. также

Дополненная матрица

 


  эта страница обновлена 20 июля 17
Математические слова: термины и формулы от алгебры I до исчисления
написано, проиллюстрировано и создано веб-мастером Брюсом Симмонсом
Copyright © 2000 Брюс Симмонс
Все права защищены

линейная алгебра — Обратное исключение и обратная замена?

спросил

Изменено 3 месяца назад

Просмотрено 1к раз

$\begingroup$

Я задал этот вопрос и получил ответ

Метод Гаусса превращает матрицу в верхнетреугольную, затем вы решаете треугольную систему

, но если «тогда вы решаете треугольную систему» ​​означает, что вы решаете ее, используя операции с элементарными строками (также известные как элементарные операции со строками, выполняемые для замены), эти два метода кажутся идентичными: чтобы как бы «заменить» переменные из уравнений), а в Гауссе вы используете замену, чтобы как бы заменить переменные из уравнений. Поскольку ERO используются для замены этих переменных, они кажутся мне полностью идентичными. Может ли кто-нибудь помочь с этой путаницей? Они должны быть разными, но я не понимаю, как, если замена требует выполнения элементарных операций со строками в любом случае.

Я думал, что эта часть может быть вопросом сама по себе.

  • линейная алгебра

$\endgroup$

$\begingroup$

Обратная подстановка — это процедура решения системы линейных алгебраических уравнений $Ux=y$, где $U$ — верхняя треугольная матрица, диагональные элементы которой не равны нулю. Я думаю, что под обратным исключением подразумевается исключение Гаусса, процесс выполнения операций над строками для создания верхней треугольной матрицы.

Итак, если у вас есть система $Ax=b$, чтобы решить эту систему, вы можете выполнить исключение Гаусса (процесс применения операций над строками для получения верхней треугольной матрицы), чтобы получить $Ux=b’$. Теперь, когда у вас есть верхняя треугольная матрица, вы можете выполнить обратную замену (то есть начать с $u_{n,n}x_{n}=b_n’$, а затем использовать это решение для решения уравнений для $x_{n-1 }$, затем $x_{n-2}$ и так далее).

Вкратце: Backs-sub — это решатель для системы с верхней треугольной матрицей, исключение Гаусса (возможно, также называемое обратным исключением) — это метод получения системы с верхней треугольной матрицей.

Дополнительные сведения см. в статьях Википедии по каждому из них: https://algowiki-project.org/en/Backward_substitution и https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_elimination .

$\endgroup$

2

$\begingroup$

(немного запоздало, но, надеюсь, еще пригодится кому-нибудь)

В методе исключения Гаусса с обратной заменой мы сначала приводим систему уравнений к рядный эшелон из методом исключения. опорные точки , ведущие коэффициенты, используются для создания нулей ниже . Затем мы используем замену для решения системы: начиная с самого нижнего уравнения, мы подставляем (заменяем) решения наших переменных в уравнения выше.

В Исключение Гаусса-Жордана мы приводим систему к ряду сокращенного эшелона формы посредством исключения. Повороты используются для создания нулей ниже и выше . После того, как в строке уменьшена форма эшелона, у нас есть решение.

Пожалуйста, смотрите https://en.wikipedia.org/wiki/Row_echelon_form для изображений этих эшелонированных форм.

Подводя итог, можно сказать, что в методе исключения Гаусса с обратной подстановкой мы исключаем нисходящие и заменяем восходящие; в исключении Гаусса-Жордана мы исключаем вверх и вниз.

$\endgroup$

Твой ответ

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Обязательно, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

7a- Тренировочные задачи на обратную замену.

от Maged kamel

Содержание

  1. Практические задачи на обратную замену.
    • Первая практическая задача на обратную замену.
    • Вторая практическая задача на обратную замену.

Первая практическая задача на обратную замену.

Мы представим практические задачи на обратную замену из книги Стюарта «Алгебра колледжа». Две практические задачи № 25 и 27.

1-Для первой тренировочной задачи №25 на обратную замену. Матрица задана в строчно-ступенчатой ​​форме. а) напишите систему уравнений, для которой данная матрица является расширенной матрицей. б) использовать обратную замену для решения системы.

Вы можете щелкнуть любое изображение, чтобы увеличить его, затем нажать маленькую стрелку справа, чтобы просмотреть все остальные изображения в виде слайд-шоу.

Детали данной матрицы для практического задания № 25 показаны на следующем слайде.

Мы введем вертикальную линию между третьим столбцом и четвертым столбцом, чтобы показать расширенную матрицу. Следующим шагом является запись системы линейных уравнений, у нас есть три строки, что означает, что мы напишем три системы уравнений, которые можно записать следующим образом: A- предположим, что у нас есть вертикальный столбец, который имеет три строки с одним столбцом то есть (X Y Z)

Первая строка (1 -2 4) должна быть умножена на вектор-столбец (X Y Z). Первая система линейных уравнений:
X-2y+4Z=3.

Вторая строка (0 1 2) должна быть умножена на вектор-столбец (X Y Z). Вторая система линейных уравнений: 0X+Y+2Z=7.

Третья строка (0 0 1) должна быть умножена на вектор-столбец (X Y Z). Третья система линейных уравнений: 0X+0Y+1Z=2.

Треугольная форма показана для трех систем уравнений на следующем слайде.

Используйте обратную подстановку, чтобы получить значения X и Y и Z. Мы начинаем с последней строки, для которой у нас есть значение Z, равное 2. Мы перемещаем обратно во вторую систему линейных уравнений и подставляем значение Z в этом уравнении, чтобы получить значение Y, равное 7-4=3.

Перемещаем обратно в первую систему линейных уравнений и подставляем значение Y&Z в это уравнение, чтобы получить значение X, равное 3-8+6=1.

Важно проверить значения X, Y и Z в любой из трех систем уравнений, чтобы убедиться в точности решения.

Вторая практическая задача на обратную замену.

1-Для второго практического задания №27 на обратную замену. Матрица задана в строчно-ступенчатой ​​форме. а) напишите систему уравнений, для которой данная матрица является расширенной матрицей. б) использовать обратную замену для решения системы.

Детали данной матрицы для практического задания № 27 показаны на следующем слайде.

Мы введем вертикальную линию между четвертым столбцом и пятым столбцом, чтобы показать расширенную матрицу. Следующим шагом является запись системы линейных уравнений, у нас есть четыре строки, что означает, что мы напишем четыре системы уравнений, которые можно записать следующим образом: A- предположим, что у нас есть вертикальный столбец, который имеет три строки с одним столбцом то есть (X Y Z W)

Первая строка (11 2 3 -1) должна быть умножена на вектор-столбец (X Y Z W). Первая система линейных уравнений:
X+2Y+3Z-W=7.

Вторая строка (0 1 -2 0) должна быть умножена на вектор-столбец (X Y Z W). Вторая система линейных уравнений: 0X+Y-2Z+0W=5.

Третья строка (0 0 1 2) должна быть умножена на вектор-столбец (X Y Z W). Третья система линейных уравнений: 0X+0Y+1Z+2W=5.

Четвертая строка (0 0 0 1) должна быть умножена на вектор-столбец (X Y Z W). Четвертая система линейных уравнений: 0X+0Y+0Z+1W=3.

На следующем слайде показаны две системы линейных уравнений.

Используйте обратную подстановку, чтобы получить значения X, Y, Z и W. Начнем с последней строки, для которой значение W равно 3. Переместим обратно в третью систему линейных уравнений и подставим значение W в этом уравнении, чтобы получить значение Z, равное 5-6=-1.

Это компоновка матрицы 3×4, чтобы она имела форму эшелона строк.

Мы переезжаем возвращаем во вторую систему линейных уравнений и подставляем значения Z&W в это уравнение, чтобы получить значение Y, равное 3.

Наконец, мы перемещаем обратно во вторую систему линейных уравнений и подставляем значения Y &Z и W в этом уравнении, чтобы получить значение X, равное 7.

Подробности оценки значения x показаны на следующем слайде.

Важно проверить значения X, Y и Z в любой из трех систем уравнений, чтобы убедиться в точности решения.

В следующем посте мы будем решать практические задачи на исключение Гаусса Жордана.

Это ссылка на матричный калькулятор.

Для полезной внешней ссылки, математика — это весело для матричной части.

Делитесь и наслаждайтесь.

Исчисление I. Правило замены неопределенных интегралов

Онлайн-заметки Пола
Дом / Исчисление I / Интегралы / Правило замены для неопределенных интегралов

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Уведомление для мобильных устройств

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т.е. вы наверное на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 5-3: Правило подстановки для неопределенных интегралов

После последнего раздела мы теперь знаем, как вычислять следующие интегралы. 9{\ гидроразрыва {5} {4}}} + с \]

Как всегда, мы можем проверить наш ответ с помощью быстрой производной, если хотим, и не забудьте «обратно заменить» и получить интеграл обратно в терминах исходной переменной.

То, что мы сделали в приведенной выше работе, называется правилом подстановки . Вот правило замены в целом.

Правило замены

\[\int{{f\left( {g\left( x \right)} \right)\,g’\left( x \right)\,dx}} = \int{{f\left( u \ справа)\,du}},\hspace{0,25 дюйма}{\mbox{где}}u = g\left( x \right)\]

На этом этапе возникает естественный вопрос, как определить правильную замену. К сожалению, ответ зависит от интеграла. Однако есть общее эмпирическое правило, которое будет работать для многих интегралов, с которыми мы будем работать.

Столкнувшись с интегралом, мы спросим себя, что мы умеем интегрировать. С интегралом выше мы можем быстро понять, что знаем, как интегрировать

\[\int{{\sqrt[4]{х}\, дх}}\]

Однако у нас был не только корень, у нас также были вещи перед корнем и (что более важно в данном случае) вещи под корнем. Поскольку мы можем интегрировать корни только в том случае, если под корнем находится только \(x\), хорошим первым предположением для замены будет сделать \(u\) материалом под корнем.

Другой способ подумать об этом — спросить себя, если бы вы должны были дифференцировать подынтегральную функцию (конечно, мы не дифференцируем, но просто на секунду притворяемся, что дифференцируем), существует ли цепное правило и какова внутренняя функция для Правило цепи. Если есть цепное правило (для производной), то есть довольно большая вероятность, что внутренняя функция будет подстановкой, которая позволит нам вычислить интеграл.

Однако мы должны быть осторожны. Бывают случаи, когда использование этого общего правила может создать нам проблемы или чрезмерно усложнить проблему. Со временем мы столкнемся с проблемами, в которых имеется более одной «внутренней функции» и/или интеграла, которые будут выглядеть очень похожими, но при этом использовать совершенно разные подстановки. Реальность такова, что единственный способ действительно научиться делать замены — это просто решать множество задач, и в конце концов вы начнете чувствовать, как они работают, и вам будет все легче и легче определять правильные замены.

Теперь, покончив с этим, мы должны задать следующий вопрос. Как мы узнаем, что получили правильную замену? Ну, после вычисления дифференциала и фактического выполнения подстановки каждый \(x\) в интеграле (включая \(x\) в \(dx\)) должен исчезнуть в процессе подстановки, и должны остаться только буквы \ (u\) (включая \(du\)) и у нас должен остаться интеграл, который мы можем сделать.

Если остались \(x\) или у нас есть интеграл, который нельзя вычислить, то есть довольно большая вероятность, что мы выбрали неправильную замену. К сожалению, однако есть по крайней мере один случай (мы увидим пример этого в следующем разделе), где правильная замена фактически оставит некоторые \(x\) и нам нужно будет сделать немного больше работы чтобы заставить его работать.

Опять же, в этот момент нельзя не подчеркнуть, что единственный способ действительно научиться делать подстановки — это просто работать с множеством задач. Существует множество различных типов задач, и после решения многих задач вы начнете по-настоящему чувствовать эти задачи, и после того, как вы поработаете с ними достаточно, вы достигнете точки, когда вы сможете делать простые замены в своем уме. голову без необходимости что-либо записывать.

В заключение следует отметить, что часто (фактически почти в каждом случае) дифференциал не будет точно отображаться в подынтегральном выражении, как это было в приведенном выше примере, и иногда нам потребуется произвести некоторые манипуляции с подынтегральным выражением и /или дифференциал, чтобы все \(x\) исчезли при подстановке. 92}} }}\,dx}}\)

Показать все решения Скрыть все решения

a \( \displaystyle \int {{\left( {1 — \frac{1}{w}} \right)\cos \left( {w — \ln w} \right)\,dw}}\) Показать Решение

В этом случае похоже, что у нас есть косинус с внутренней функцией, поэтому давайте используем его в качестве подстановки.

\[u = w — \ln w\hspace{0.5in}du = \left( {1 — \frac{1}{w}} \right)dw\]

Итак, как и в первом примере, мы работали над косинусом, который появляется точно в дифференциале. Тогда интеграл равен

. \[\begin{align*}\int{{\left( {1 — \frac{1}{w}} \right)\cos \left( {w — \ln w} \right)\,dw}} & = \int{{\cos\left( u \right)\,du}}\\ & = \sin \left( u \right) + c\\ & = \sin \left({w — \ln w } \right) + c\end{align*}\]

Не забудьте вернуться к исходной переменной в задаче. 9{\ гидроразрыва {1} {2}}} + с \ конец {выравнивание *} \]

В предыдущем наборе примеров подстановка в целом была довольно очевидной. Был ровно один термин, который имел «внутреннюю функцию», поэтому вариантов замены было немного. Давайте рассмотрим некоторые более сложные задачи, чтобы убедиться, что мы не ожидаем, что все подстановки будут такими же, как в предыдущем наборе примеров.

Пример 2. Оцените каждый из следующих интегралов. 94}\,dx}}\) Показать решение

В этой задаче есть две «внутренние функции». Есть \(1 — x\), который находится внутри двух триггерных функций, а также есть член, возведенный в степень 4 90 571 90 572.

Есть два способа решить эту проблему. Первая идея, которая приходит в голову многим студентам, состоит в том, чтобы заменить \(1 — x\). В этом нет ничего плохого, но это не устраняет проблему члена в степени 4 -го -го. Это все еще там, и если бы мы использовали эту идею, нам нужно было бы сделать вторую замену, чтобы справиться с этим.

Второй (и гораздо более простой) способ решить эту проблему — просто возвести данные в степень 4 th и посмотреть, что получится. Замена в этом случае будет,

\[u = 2 — \cos \left( {1 — x} \right)\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\,du = — \sin \left( {1 — x} \right)dx\hspace{0. 5in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\sin \left( {1 — x} \right)dx = — du\]

Здесь следует отметить две вещи. Во-первых, не забывайте правильно обращаться с «-». Распространенная ошибка в этот момент — потерять его. Во-вторых, обратите внимание, что \(1 — x\) на самом деле не является проблемой. Поскольку \(1 — x\) был «похоронен» в подстановке, которую мы фактически использовали, о ней также позаботились в то же время. Тогда интеграл равен 9{10}}\]

Используя это, правильная замена выглядит так:

\[u = \sin \left( {3z} \right)\hspace{0.5in}du = 3\cos \left( {3z} \right)dz\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in} \cos \left( {3z} \right)dz = \frac{1}{3}du\]

Обратите внимание, что в этом интеграле снова есть две явные замены, но снова 3\(z\) скрыто в используемой нами замене, поэтому нам не нужно об этом беспокоиться. 94} + c\end{выравнивание*}\]

В задачах на подстановку важно помнить, что после подстановки все исходные переменные должны исчезнуть из интеграла. После замены единственными переменными, которые должны присутствовать в интеграле, должна быть новая переменная от замены (обычно \(u\)). Обратите также внимание, что это включает в себя переменные в дифференциале!

Следующий набор примеров, хотя и не особенно сложный, может вызвать проблемы, если мы не обращаем внимания на то, что делаем. 92} + 4}}\,dy}}\)

Показать все решения Скрыть все решения

a \( \displaystyle \int {{\frac{3}{{5y + 4}}\,dy}}\) Показать решение

Такой проблемы мы еще не видели. Заметим, что если мы возьмем знаменатель и продифференцируем его, мы получим просто константу, и единственное, что у нас есть в числителе, также является константой. Это довольно хороший показатель того, что мы можем использовать знаменатель для нашей замены, поэтому

\[u = 5y + 4\hspace{0,5 дюйма} du = 5\,dy\hspace{0,25 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,25 дюйма}\,\,\,\,\,\,dy = \frac{ 1}{5}ду\]

Интеграл сейчас,

\[\ begin{align*}\int{{\frac{3}{{5y + 4}}\,dy}} & = \frac{3}{5}\int{{\frac{1}{u }\,du}}\\ & = \frac{3}{5}\ln \left| ты \право| + c\\ & = \frac{3}{5}\ln \left| {5y + 4} \право| + с\конец{выравнивание*}\]

Помните, что мы можем просто вынести 3 в числителе из интеграла, и в этом случае интеграл становится немного яснее. 92} + 4} \right)}} + c\end{align*}\]

В этом случае будьте осторожны, чтобы не превратить это в логарифм. После решения таких задач, как первые две из этого набора, распространенной ошибкой является превращение каждого рационального выражения в логарифм. Если есть степень всего знаменателя, то есть большая вероятность, что это не логарифм.

Идею, которую мы использовали в последних трех частях для определения подстановки, неплохо запомнить. Если у нас есть рациональное выражение, попробуйте дифференцировать знаменатель (игнорируя любые степени, которые находятся в целом знаменателе), и если результатом является числитель или он отличается от числителя только на мультипликативную константу, то мы обычно можем использовать это как нашу замену. 9{- 1}}и + с\]

У нас явно нет именно этого, но есть что-то похожее. В знаменателе есть квадрат плюс константа, а в числителе просто константа. Итак, немного поработав и сделав правильную замену, мы сможем привести наш интеграл к форме, которая позволит нам использовать эту формулу.

Одна часть этой формулы действительно важна, это «1+» в знаменателе. «1+» должен быть там, и у нас есть «4+», но об этом достаточно легко позаботиться. Мы просто вынесем 4 из знаменателя, и в то же время мы вычтем 3 из числителя из интеграла. Это дает 92}}}{4}\). С переписыванием мы можем увидеть, что нам нужно, чтобы использовать следующую замену.

\[u = \ frac {{\ sqrt 5 y}} {2} \ hspace {0,25 дюйма} \, \, \, du = \ frac {{\ sqrt 5}} {2} \, dy \ hspace {0,25 in}\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\,dy = \frac{2}{{\sqrt 5 }}ду\]

Не волнуйтесь из-за корня в замене, они будут появляться при случае. После подстановки получаем

9{ — 1}}\left( {\frac{{\sqrt 5 \,y}}{2}} \right) + c\end{align*}\]

В этом последнем наборе интегралов у нас было четыре интеграла, которые во многом были похожи друг на друга, но все они либо давали разные ответы, используя одну и ту же замену, либо использовали совершенно другую замену, чем похожая на нее. 4} + 2t} \право| + с\конец{выравнивание*}\] 9{ — 1}}\left( {2x} \right) + c\end{align*}\]

Поскольку этот документ также представлен в Интернете, мы поместим остальные примеры правил подстановки в следующий раздел. Со всеми примерами в одном разделе раздел становился слишком большим для веб-презентации.

Правило обратной цепи — GeeksforGeeks

Интегралы — важная часть теории исчисления. Они очень полезны при вычислении площадей и объемов для произвольно сложных функций, которые в противном случае очень трудно вычислить и часто являются плохими приближениями площади или объема, заключенного в функцию. Интегралы обратны дифференцированию, поэтому их называют антипроизводными. Существуют формулы для интегралов стандартных функций, но эти формулы обычно не распространяются на случаи, когда функции становятся комплексными. Одним из таких правил является правило замены. Изучим это правило подробнее.

Правило обратной цепочки

Цепное правило для производных позволяет вычислять производные для очень сложных функций, которые включают одну или несколько стандартных базовых функций. Для интеграции в таких сценариях существует множество приемов или методов, упрощающих расчеты. Для некоторых специальных классов функций используется правило обратной цепочки . Это правило также называют «правилом подстановки » или «правилом u-подстановки» . Чтобы использовать это правило, функция должна иметь форму, приведенную ниже: 

∫f(g(x))g'(x)dx

Заметим, что в функции данного вида присутствуют как функция g(x), так и ее производная g'(x). Некоторые примеры таких функций:

∫cos(x 2 ).2xdx

2x. Теперь, чтобы вычислить интегралы для таких функций с помощью правила подстановки, требуется небольшая модификация. Рассмотрим общий вид таких функций: 

∫f(g(x))g'(x)dx

Пусть u = g(x), продифференцируем это относительно x,

Используя этот результат в предыдущем уравнении,

∫f(u)du

в конечном результате.

∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du, где u = g(x) 

Вычисление интегралов по правилу обратной цепи

необходимо искать возможные функции и их производные в заданных интегральных функциях. Естественный вопрос, который приходит на ум, — как узнать о правильной подстановке. Правил определения правильной замены не существует. Интуиция для распознавания правильной замены развивается с практикой.

Пример 1: вычислить интеграл для ∫cos(x 2 ).2xdx.

Ответ:

F(x) = ∫cos(x 2 ).2xdx

Найдите функцию и ее производную во всей функции. В этом случае

g(x) = x 2 и g'(x) = 2x

Подставляя, u = g(x)

⇒ u = x 2

⇒ 5 3 du = 90xdx3 90xdx3 F(x) = ∫cos(u)du

⇒ F(x) = sin(u) + C

⇒ F(x) = sin(x 2 ) + C

Теперь рассмотрим интеграл другого типа: 

Пример 2. Вычислите интеграл для ∫tan(x)dx.

Ответ:

F(x) = ∫tan(x)dx

Это можно переписать как

Обратите внимание, здесь g(x) = cos(x) и g’ (x) = -sin(x)

Подставляя, u = g(x)

⇒ u = cos(x)

⇒ du = -sin(x)dx

⇒ -du = sin(x)dx

⇒ F(x) = -ln(u) + C 

⇒ F(x) = -ln(cos(x)) + C

Ошибки, которых следует избегать при использовании правила обратной цепи

Следует быть осторожным при выборе функции «u» из исходной интегральной функции. Если он выбран неосторожно, интегралы могут стать чрезмерно сложными, а не упроститься. Кроме того, в некоторых сценариях u-функции видны не сразу. В следующем списке представлены некоторые вещи, которые следует иметь в виду при решении интегральных задач с помощью правила обратной цепочки.

1. Для применения правила обратной цепочки интеграл должен быть переписан в виде

w(u(x)).u'(x)

составной фактор.

2. При интегрировании составной функции внешнюю функцию следует интегрировать только после правильной подстановки u-функции и ее производных.

3. Иногда, в некоторых ситуациях, интеграл должен быть разделен/умножен на некоторые постоянные множители переменных или может потребоваться перестановка функции. Например,

F = ∫tan(x)dx

В этом случае u-функция не совсем ясна. Таким образом, tan(x) переписывается через sin(x) и cos(x).

F =

Теперь ясно, что cos(x) является u-функцией.

Примеры задач

Вопрос 1. Вычислите интеграл для ∫cos(e x ).e x dx.

Ответ:

F(x) = ∫cos(e x ).e x dx

Найдите функцию и ее производную от всей функции. В этом случае

g(x) = e x и g'(x) = e x  

Подставляя, u = g(x) 

⇒ u = e x

e 905 = du

dx

F(x) = ∫cos(u)du

⇒ F(x) = sin(u) + C

⇒ F(x) = sin(e x ) + C

Вопрос 2: Вычислите интеграл для ∫(6x + 4) 6 .6dx.

Ответ:

F(x) = ∫(6x + 4) 6 .6dx.

Найдите функцию и ее производную во всей функции. В этом случае

g(x) = 6x + 4 и g'(x) = 6

Подстановка, u = g(x)

⇒ u = 6x + 4

⇒ du = 6dx

F(x) = ∫ u 6 du

⇒F(x) =  + C

⇒F(x) = + C

.

Ответ:

F(x) = ∫(x 2 + 1) 3 .2xdx.

Найдите функцию и ее производную от этой функции в исходной функции. В этом случае

g(x) = x 2 + 1 и g'(x) = 2x

Подставляя, u = g(x)

⇒ u = x 2 + 1

⇒ 5 du = 90xdx3 1dx3 3 0xdx3 F(x) = ∫u 3 du

⇒F(x) = 4 + C

⇒F(x) = + C

Вопрос 4. Вычислите интеграл для .

Ответ:

F(x) =

Найдите функцию, производную от этой функции в исходной функции. В этом случае

g(x) = x 2 + 1 и g'(x) = 2x

Подставляя, u = g(x)

⇒ u = x 2 + 1

⇒ 5 du = 90xdx3 1dx3 3 0xdx3 F(x) =

⇒F(x) =

⇒F(x) =

Вопрос 5. Вычислите интеграл для .

Ответ:

F(x) =

Найдите функцию, производную от этой функции в исходной функции. В этом случае

g(x) = x + 3 и g'(x) = 1

Подстановка, u = g(x)

⇒ u = x + 3

⇒ du = dx

F(x) =

⇒F(x) =

⇒lF(x) + 3) + C

Вопрос 6. Вычислите интеграл для

Ответ:

F(x) =

Найдите функцию и ее производную от всей функции. В этом случае

g(x) = ln(x) и g'(x) =

Подставляя u = g(x)

⇒ u = ln(x)dx

⇒ du =  

F(x) = ∫u 2 du

⇒F(x) =  + C

⇒F(x) =  + C

Вычислить интеграл для ∫ (1-x)cos(1-x)dx

Ответ:

F(x) = ∫sin(1-x)cos(1-x)dx

Эту функцию можно переписать как,

F(x) =

Найдите функцию и ее производную от всей функции. В этом случае

g(x) = 2(x -1) и g'(x) = 2

Подставляя, u = g(x)

⇒ u = 2(x – 1)

⇒ du = 2dx

F(x) =

⇒F(x) =  + C

⇒ F(x) =  + 9 9020

Решите систему уравнений с помощью подстановки.

После того, как вы закончите этот урок, просмотрите все наши уроки по алгебре и практические задачи.

Как решить систему уравнений с помощью подстановки

В этом видео показано, как решить систему с помощью подстановки.
Чтобы решить с помощью подстановки, приравняйте оба уравнения, если они оба равны y.
Это можно сделать, только если у вас есть одно уравнение с переменной.
Имея уравнение, равное переменной, вы можете подставить другое уравнение в терминах этой переменной и решить.
Если уравнение еще НЕ равно переменной, то вам придется изолировать переменную для уравнения(ий), чтобы ее можно было вставить в другое уравнение.
После этого вы находите отсутствующую переменную и подставляете ее обратно в одно из исходных уравнений, чтобы получить значение второй переменной.
Значения x и y являются координатами точки пересечения двух линий.
Чтобы проверить это, подставьте оба значения x и y в исходное уравнение и упростите его, чтобы проверить, верно ли оно.
Например:


Перепишите это после подстановки 2x-1, где мы видим y в первом уравнении. Итак:

После решения находим, что x=2.
Затем подставьте 2 вместо x в любом уравнении, чтобы найти значение y.


Следовательно, решение (2,3).

Примеры решения системы уравнений подстановкой

Пример 1

Уравнение уже имеет значение для .

Итак, давайте просто возьмем значение в этом уравнении и подставим его в это

У нас будет

Распределим по каждому члену в скобках

Объединим похожие члены

Теперь давайте изолируем, добавив с обеих сторон .

Затем разделите обе части на ,

И мы получим

Затем подставим значение в одно уравнение, чтобы получить значение .

Итак, наш ответ:

Пример 2

Давайте найдем одну из переменных в одном из уравнений, а затем подставим ее в другое.

Теперь найдите значение, используя уравнение дна.

Чтобы найти , добавим к обеим частям уравнения.

Давайте решим значение, подставив значение в нижнее уравнение.

Распределить по каждому термину в скобках

Объединить похожие термины

Теперь давайте изолируем, добавляя с обеих сторон.

Затем разделите обе части на ,

И мы получим

Затем подставим значение в одно уравнение, чтобы получить значение .

Итак, наш ответ:

Стенограмма видеоурока

На этом уроке вы научитесь решать систему уравнений алгебраически.

Мы собираемся использовать алгебру для решения одной из переменных. После этого найдите другую переменную.

Но проблема в том, что у нас одновременно есть два уравнения с двумя отсутствующими переменными.

Итак, чтобы решить эту проблему, мы должны найти способ объединить два уравнения только с одной переменной.

Например,

Итак, что мы собираемся сделать, так это получить одно значение и подставить его в другое уравнение. Таким образом, мы можем исключить одну недостающую переменную.

Возьмем значение из второго уравнения и подставим его в первое уравнение.

Давайте решим это.

У нас есть

, но поскольку мы также знаем, что

, мы придем к этому уравнению

Опять же, мы просто получаем значение в одном уравнении и подставляем его во второе уравнение.

Этот процесс называется «заменой».

Возвращаясь назад, давайте сначала решим уравнение, вычитая обе части уравнения.

У нас будет

Затем, чтобы изолировать , мы должны сложить обе части уравнения.

Теперь у нас есть

Но значение не является окончательным ответом.

Нам также нужно знать значение .

Чтобы решить эту проблему, давайте просто возьмем одно уравнение и подставим значение .

Давайте получим

, затем подставим значение .

Давайте сделаем это

И у нас будет

Итак, наш окончательный ответ:

Чтобы проверить это, давайте получим другое уравнение и подставим значения и .

Это чек.

Итак, здесь вы узнали, как решить систему уравнений алгебраически с помощью подстановки.

Вкратце: мы получаем значение в одном уравнении и подставляем его в другое уравнение, чтобы найти .

Затем мы подставляем значение в одно уравнение, чтобы найти значение .

Мы также проверяем, получили ли мы правильный ответ, составив уравнение и подставив значение и .

Давайте еще один пример.

Это пример системы операций, в которой одно уравнение уже решает значение . В то время как другое уравнение не является.

Обратите внимание, что уже имеет значение для .

Итак, давайте просто возьмем значение в этом уравнении и подставим его в это

У нас будет

затем давайте объединим подобные члены

Теперь давайте изолируем, добавляя с обеих сторон.

затем разделите обе части на ,

И мы получим

Затем давайте подставим значение в одно уравнение, чтобы получить значение .

Итак, наш ответ:

Поскольку мы использовали верхнее уравнение для решения, давайте воспользуемся нижним уравнением для проверки.

Так что все в порядке.

Подводя итог, мы получаем первое уравнение и подставляем его в значение во втором уравнении, чтобы найти значение .

Затем мы подставляем значение в первое уравнение, чтобы получить значение .

Чтобы проверить наши ответы, мы подставляем значение и во второе уравнение.

Давайте еще один пример.


В этом случае ни одно из уравнений не решает значение переменной.

Итак, что мы собираемся сделать, так это найти одну из переменных в одном из уравнений, а затем использовать ее для подстановки в другое.

Для меня будет проще найти значение, используя верхнее уравнение.

Чтобы найти , давайте вычтем из обеих частей уравнения.

Обратите внимание, что это отрицательное значение. Мы не хотим негатива.

Таким образом, чтобы сделать его положительным, мы должны разделить обе части на .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

© 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

Карта сайта