Как делить комплексные числа: Сложение, умножение и деление комплексных чисел

Содержание

Операции над комплексными числами — Студопедия

Поделись с друзьями

Алгебраическую операцию сложения на множестве можно задать следующим образом:

Сложение комплексных чисел ассоциативно, т.е. и коммутативно, т.е. . Сумма чисел , поэтому число является противоположным числу , тем самым определена операция вычитания .

Учитывая, что через обозначен корень уравнения , т.е. или , можно определить умножение комплексных чисел:

Умножение также ассоциативно и коммутативно. Произведение нескольких сомножителей вычисляется как последовательное умножение. Натуральная степень комплексного числа может быть найдена при помощи формулы бинома Ньютона. Поскольку , , , , , при возведении в любую натуральную степень , надо найти остаток от деления на 4 и возвести в степень, равную этому остатку.

Чтобы определить деление комплексных чисел, нужно определить число обратное числу . Для действительного числа обратным будет число .

Выражение запишем в стандартной форме. Для этого умножим числитель и знаменатель на комплексное число :

где .

Значит, для любого ненулевого комплексного числа существует обратное. Таким образом, операция деления определена как произведение делимого на число, обратное делителю.

Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел, любое действительное число можно записать в виде .

Число называется сопряженным числу и обозначается .

Сумма и произведение сопряженных чисел являются числами действительными:

;

Число называется модулем или абсолютной величиной комплексного числа . Очевидно, что .

Свойства сопряжения:

;

Каждому комплексному числу поставим в соответствие точку плоскости, координатами которой в прямоугольной системе координат являются числа и .

Рис. 3.1.

Тогда каждой точке плоскости будет соответствовать единственное комплексное число .

В результате получается взаимно однозначное соответствие между множеством комплексных чисел C и множеством точек плоскости, которое позволяет отождествить произвольное комплексное число с точкой плоскости, имеющей в выбранной системе координат координаты . При этом точки горизонтальной координатной оси изображают действительные числа и поэтому эту ось называют действительной осью, а по вертикальной оси откладываются мнимые части комплексных чисел, поэтому вертикальная ось называется мнимой осью.

Расстояние от точки до начала координат есть действительное неотрицательное число , которое называется модулем комплексного числа и обозначается . Угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором точки называется аргументом и обозначается . Для числа 0 аргумент не определен, для остальных комплексных чисел аргумент определяется с точностью до целых кратных , при этом положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

Пусть . Из рис. 3.1 ясно, что модуль числа находится по формуле . Аргумент числа определяется из равенств , .

Отсюда:

(3.1)

Запись числа в виде (3.1) называется тригонометрической формой комплексного числа.

Если воспользоваться формулой Эйлера,

(3.2)

то от тригонометрической формы записи комплексного числа (3.2) несложно перейти к его показательной форме записи:

Пусть и ‑ сопряженные числа. Если , то . Геометрически и являются точками, симметричными относительно действительной оси (рис. 3.2). Отсюда вытекают равенства .

Рис. 3.2.

Перемножать и делить комплексные числа удобнее, если они представлены в тригонометрической форме:

(3.3)

В показательной форме:

При умножении комплексных чисел их аргументы складываются, а модули перемножаются. Это правило верно для любого числа сомножителей.

Аналогично,

(3.4)

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

Комплексные числа. Комплексная плоскость. Умножение и деление чисел в тригонометрической форме

Математика \ Математика

Страницы работы

6 страниц (Word-файл)

Посмотреть все страницы

Скачать файл

Содержание работы

Тема: «Комплексные числа»

П.3. Комплексная плоскость

Рассмотрим плоскость прямоугольной системой координат О_ху. Каждому комплексному числу z=x+iy может быть сопоставлена в соответствии точки плоскости z(x,y), причем это соответствие взаимно однозначно. Плоскость, на которой реализовано такое соответствие, наз. комплексной плоскостью.

На О_х расположены действительные числа z=x+oi=x, поэтому О_х – действительная ось; на О_у расположены число мнимые числа z=o+iy=iy, поэтому О_у – мнимая ось.

Заметим, что r=/z/ — расстояние т. z от начала координат. С каждой точкой z связан радиус – вектор этой точки О_z; угол, образованный радиус-вектором О_z с осью О_х

, называется аргументом φ=Аrg z этой точки. Здесь – r<Arg z < + (Для точки z=0 arg-). Наименьшее модулю значение Arg z называется главным значением и обозначается arg z П <arg z< П.

Рис.:

Примеры: 1) z=2, z=2, arg2=0; 2) z=-1; z=1, arg(-1)=П; 3) z=I; z=1, arg=

Модуль r и arg z комплексные число z можно рассмотреть как координаты т.z/

x=z cos φ, y=r sin φ.

То получили тригонометрическую форму комплексного числа:

z=x+iy = r cosφ + i r sinφ = r (cosφ + I sinφ)/

Чтобы сложить (выч.) два компл. числа в тригонометрической форме и сложить (выч. ) их радиусы-векторы (по правилу параллелограмм).

Теорема 1.

Модуль произведения к.r. равен произведению модулей, а аргумент равен сумме аргументов множителей.

Умножение и деление чисел в тригонометрической форме.

Следствие.

Модуль целой положительной степени к.r. равен такой же степени модуля α argz

n=argz т.е.

argzⁿ = nargz т.е.

zⁿ = zⁿ (cos^hφ+isin^hφ) – формула Муавра (Абрахам Муавр 1667-1754 английский математик).

Теорема 2. z₂≠0

Извлечение корня из компл.числа

Пусть т.е. уже извл. ст. из к.z. z=r(cosφ+isinφ). Тогда **** т.1 (1) возв. в степ. h.

Отсюда

Таким образом (понимает арифметическое значение корня) .

Получили (R=0, 1, 2, 3, …, n-1)

Корень n-й степени из к.r. z≠0 имеет точно n значение.

Пример 1.

z=-1+i Найти

R=0,1,2

Отсюда

Точки w₀, w₁₁, w₂ представляют собой равноотстоящие друг от друга точки расположенные по окружности радиуса

Пример 2.

Схеме ?

0 1 0 -1

т.к. формула Эйлера

Тема: «Комплексное число»

П.1. Определение комплексного числа и арифметические действия над ними.

Опр. 1. Комплексным числом называется выражение вида

(1) z=x+iy или z=x+yi, [компл. чисел] где х и у действительные числа, I – линейная единица:

Действительные числа ч и у наз. соответственно действенной и мнимой частями числа z и обозначаются и образом: х=Rеz, y=Imz

Например, z=5+2i – комплексное число, Rеz=1,2, Imz=-0,7

Опр.2 Число z=x+i(-y)=x-iy называется сопряженным числу z=x+iy

Например, для числа ž=6+2i число z=6-2i сопряженное.

Числа z=-1,7-3i и ž=-1,7+3i сопряженное

Очевидно, что Rež = Rez, Imž = -Imz

Опр. 3. Модулем комплексного числа z называется неотрицательное число

Очевидно, что |ž| = |z|.

Множество комплексных чисел обозначается С.

На множестве комплексных чисел определено равенство двух чисел, операции сложения, вычитание, умножение и деление:

Пусть z₁=x₁+iy, z₂=x₂+iy₂ – комплексное число

1) z₁=z₂ <=> Re z₁=Re z₂, Im z₁=Im z₂.

z=0 <=> Re z=0, Im z=0

Числа вида x+i0=x действительные числа

Числа вида 0+iy=iy – чисто мнимые

z₁+z₂=(Re z₁±Re z₂) + (Im z₁±Im z₂)

2) z₁±z₂ = (x₁+y₁i) ± (x₂+y₂i) = (x₁±x₂) + (y₁±y₂)i т.е. чтобы сложить (вычесть) два комплексных числа нужно сложить (вычесть) действительные части, сложить (вычесть) мнимые части (полученные действия и мнимые части записать в виде суммы).

Пример z₁=2+3i, z₂=7-11i

z₁±z₂ = (2+3i) + (7-11i) = 2+3i+7+(-11)i=(2+7)+(3+(-11))i=9+(-1)i=9-4i;

z₁-z₂ = (2-7) + (3-(-11))i=-5+14i

3) z₁·z₂ = (x₁+y₁i) ± (x₂+y₂i) = x₁x₂ + x₁y₂ = x₁x₂ + x₁y₂i+x₂y₂i – y₁y₂ = (x₁x₂ + x₁y₂) + (x₁y₂ + x₂y₁)i.

y₁i·y₂i = y₁·y₂·i²

Пример. z₁=2+3i z₂

=7-11i z₁·z₂=(2·7-3+..)+(2(-11)+7·3)I = 47-1i

Очевидно, что z₁·ž = |z|² = x²+y²

z₂ ≠ 0

Пример z₁=1+3i, z₂ = 2-i

П.2 Комплексная плоскость. Тригонометрическая форма комплексных чисел.

Рассмотрим координатную плоскость О_ху. Комплексное число z=x+iy можно изобразить на этой плоскости в виде точки z(x,y). На оси О_х расположены действительные числа, на О_у – чисто мнимые, поэтому О_х – действит. ось, О_у – мнимая ось, плоскости О_ху – комплексная плоскость.

Заметим, что |z|=r – расстояние точки z от начала координат, r — радиус-вектор точки z. Радиус-вектор r образует с О_х угол φ. Угол φ=arg z называется аргументом точки z.

Для аргумента φ:

Схема.

(*)

Пример а) z=2, |z|=2, arg z=0, z=-1, |z|=1, arg z =-П

б) z=I, |z|=1, arg z =

из (*) => х=rcosφ, y=isinφ. Также х+iy = rcosφ+irsinφ = r(cosφ+isin), φ=argz.

Выражение вида z=r(cosφ+isinφ) – тригонометрической форме комплексного числа.

Комплексные числа в тригонометрической форме можем складывать, вычитать, умножать, делить.

Пусть z₁=r₁(cosφ₁+isinφ₁), z₂=z₂ (cosφ₂+isinφ₂)

1) z₁+z₂ = (|z₁|±|z₂|)[cos(φ₂-φ₁)+isin(φ₂-φ₁)]

Схема

2) z₁-z₂ = z₁-z₂ [cos(φ₂+φ₁)+isin(φ₂+φ₁)]

3) z^h=|z|^h [coshφ+isinhφ]

Примеры:

1) (3+5i)(4-i) [17+17i]

2) (6+i)(3-i)

3) Представим числа i, 1+i в тригонометрической форме

|z| =

Информация о работе

Скачать файл

Деление комплексных чисел — Концепция

Дроби с отрицательными корнями в знаменателе или с i в знаменателе должны быть рационализированы (поскольку i представляет собой квадратный корень). При делении комплексных чисел с отрицательными корнями упростите с точки зрения мнимых чисел, а затем умножьте числитель и знаменатель на i. Когда в знаменателе стоит бином, перепишите его, используя i, а затем умножьте числитель и знаменатель на сопряженное.

деление на i комплексные числа

Деление на комплексное число или число, включающее i. Итак, всякий раз, когда мы делим число, включающее i, нам нужно рационализировать знаменатель. Помните, что i равно квадратному корню из -1, и нам не разрешено иметь квадратные корни в знаменателе, поэтому мы должны избавиться от него. Хорошо. Итак, мы собираемся вернуться к проблеме, которую мы уже знаем, как решить. 6 над корнем 8. Поэтому всякий раз, когда мы имеем дело с такой проблемой, мы должны рационализировать знаменатель. Избавьтесь от этого квадратного корня. Итак, есть два способа сделать это. Вы можете либо умножить корень 8 на корень 8 и избавиться от этого, либо то, что я обычно делаю, это то, что мне нравится иметь дело с меньшими числами, поэтому, если я могу, я сначала попытаюсь упростить этот знаменатель.
Я знаю, что 8 — это то же самое, что 4 умножить на 2. Давайте сделаем другой цвет, чтобы было видно. Так что на самом деле это на самом деле равно 6 на 2, корень 2. Итак, теперь вместо того, чтобы умножать их на корень 8, мне все еще нужно избавиться от радикала, но вместо этого я могу умножить на корень 2. Итак, мы умножаем на корень из 2, а затем [IB], чтобы получить квадратный корень, и также возводим в квадрат 2 сверху. Хорошо.
Прежде чем я умножу это, я вижу, что могу упростить это. У нас 6 вместо 2. Это отменяет, оставляя меня с 3. Хорошо? Итак, теперь у нас есть 3 корня из 2 в числителе, а затем у нас исчезла двойка. Итак, у нас есть корень 2, умноженный на корень 2. Квадратные корни. Когда вы перемножаете их вместе, они просто компенсируют друг друга, оставляя нам то, что внутри, то есть 2. Итак, в итоге мы получили 3 корня 2 на 2. Хорошо?
Такая же точная идея, когда мы имеем дело с мнимыми числами, числами, включающими i. Итак, здесь у нас есть 5 на квадратный корень из 9. Первое, что я хочу сделать, это упростить этот радикал в знаменателе, хорошо? Это квадратный корень из 9 из 3. Так что в знаменателе будет 3i. Хорошо? Итак, переписывая это, мы имеем 5 вместо 3i. 3 не представляет проблемы, поэтому мы можем оставить все как есть, но на самом деле мы хотим избавиться от этого i. Помните, что i умножить на i, я в квадрате равно -1. Итак, если мы умножим это на i в знаменателе, мы получим i в квадрате, -1. Наш квадратный корень ушел. Нам нужно умножить на 1, поэтому нам также нужен i вверху. Упрощая это, мы получили 5i в числителе больше 3i в квадрате в знаменателе. я в квадрате, -1, так что это просто становится -5i больше 3, хорошо?
Итак, как и в случае с нормальными радикалами, всякий раз, когда мы имеем дело с радикалом негатива, нам все равно нужно от него избавиться. Я считаю, что лучше всего упростить мои цифры, чтобы иметь дело с более мелкими вещами. Но главная проблема заключается в том, чтобы избавиться от этого квадратного корня в знаменателе.

Деление комплексных чисел — GeeksforGeeks

Комплексные числа — это числа с формулой a + ib, где a и b — действительные числа, а I (йота) — мнимая составляющая и представляет (-1) и часто представляются в виде прямоугольника или стандартная форма. Например, 10 + 5i — это комплексное число, в котором 10 представляет действительную часть, а 5i — мнимую часть. В зависимости от значений a и b они могут быть полностью реальными или чисто фиктивными. Когда a = 0 в a + ib, ib — вполне мнимое число, а когда b = 0, мы получаем a, строго действительное число.

Деление двух комплексных чисел

Процесс деления двух комплексных чисел немного отличается от процесса деления двух действительных чисел. Деление комплексных чисел больше похоже на концепцию рационализации знаменателя в случае дробей, включающих иррациональные числа в качестве знаменателей.

Необходимо выполнить следующие шаги:

Убедитесь, что и числитель, и числитель представлены в стандартной форме комплексных чисел, т. е. z = a + ib.
Вычисление комплексного сопряжения знаменателя. Скажем, если знаменатель равен c + id, то его сопряженный равен c − id.
Умножьте сопряженное число на оба члена дроби.
Используйте формулу разности квадратов, чтобы найти знаменатель.
Разделить полученное комплексное число на действительную и мнимую части.

Процесс деления двух комплексных чисел z ₁ = x + iy и z ₂ = a + ib показан следующим образом:

Похожие задачи

Задача 1. Решить: .

Решение:

Стандартная форма знаменателя 2i = 0 + 2i
Сопряжение знаменателя = 0 − 2i
Умножить и числитель, и знаменатель на 0 + 2i.

Задача 2. Решить: .