3.3. Производные высших порядков MathCAD 12 руководство
- Дифференцирование
- 3.1. Аналитическое дифференцирование
- 3.1.1. Аналитическое дифференцирование функции
- 3.1.2. Вычисление производной функции в точке
- 3.1.3. Определение функций пользователя через оператор дифференцирования
- 3.1.4. Дифференцирование при помощи меню
- 3.2. Численное дифференцирование
- 3.2.1. Дифференцирование в точке
- 3.2.2. Об алгоритме дифференцирования
- 3.3. Производные высших порядков
- 3.4. Частные производные
- 3.4.1. Частные производные
- 3.4.2. Примеры: градиент, дивергенция и ротор
- 3.4.3. Пример: якобиан
- 3.5. Разложение функции в ряд Тейлора
- 3.5.1. Разложение в ряд при помощи меню
- 3.5.2. Оператор разложения в ряд
Mathcad позволяет численно определять производные высших порядков, от 3-го до 5-го включительно.
Рис. 3.7. Оператор производной высшего порядка
Очевидно, что «производная» при N=0 по определению равна самой функции, при N=1 получается обычная первая производная. Листинг 3.7 демонстрирует численное и символьное вычисление второй производной функции в заданной точке. Обратите внимание, что, как и при вычислении обычной производной, необходимо перед оператором дифференцирования присвоить аргументу функции значение, для которого будет вычисляться производная.
Листинг 3.7. Пример вычисления второй производной функции
в точке
Листинг 3.8. Пример аналитического поиска второй производной функции
ПРИМЕЧАНИЕ
Убедиться в том, что символьный процессор Mathcad в последней строке листинга 3.7 дает тот же результат, что и вычислительный процессор в предыдущей строке, можно, упростив его. Для этого следует выделить полученное последнее выражение и выбрать в меню Symbolics (Символика) пункт Simplify (Упростить). После этого ниже появится еще одна строка с численным результатом выделенного выражения.
Повторимся, что численный метод предусматривает возможность вычисления производных до 5-го порядка, а символьный процессор умеет считать производные произвольного порядка (конечно, если аналитическое решение задачи в принципе существует).
Сказанное иллюстрирует листинг 3.9, в котором аналитически вычисляется шестая производная функции, а попытка численного вывода результата того же выражения приводит к ошибке.
Листинг 3.9. Численное и символьное вычисление шестой производной
Чтобы вычислить производную порядка выше 5-го численно, можно последовательно применить несколько раз оператор м-й производной (листинг 3.10), подобно тому, как производится отыскание кратных интегралов (см. разд. 4.3.4). Однако следует помнить о том, что численное определение производных высших порядков производится тем же вычислительным методом Риддера, что и для первых производных. Поскольку, как уже было сказано, для первой производной этот метод обеспечивает точность до 7—8 значащих разрядов числа, при повышении порядка производной на каждую единицу точность падает примерно на один разряд.
ВНИМАНИЕ!
Из сказанного ясно, что падение точности при численном расчете высших производных может быть очень существенно.
В частности, если попытаться определить шестую производную функции l/х, то в качестве результата будет выдан ноль, в то время как истинное значение девятой производной может быть найдено при помощи символьного процессора (листинг 3.10).
Листинг 3.10. Попытка численного поиска шестой производной функции в
точке дает неправильный результат
Нравится
Твитнуть
Производные выражения — Photomath
Исследуйте производные
Функции уже ваши друзья? Как насчет производных?
Знаете ли вы, что иногда функцию можно представить только как выражение? Ну, они могут — и угадайте, что еще? Это может облегчить поиск производной.
Давайте узнаем как!
Что значит найти производную от выражения?
Нахождение производной выражения по существу такое же, как нахождение производной функции. Иногда мы можем упростить нахождение производной, удалив $$f(x)$$ и просто найдя производную оставшегося выражения.
Производная функции — это скорость изменения этой функции по отношению к изменению переменной.
Чем больше вы знаете: нахождение первой производной функции $$f(x)$$ в точке $x_0$$ на самом деле означает нахождение наклона касательной к графику функции в точке $$x_0$$.
Чтобы упростить процесс дифференцирования, мы будем использовать правила дифференцирования, а не определение производной. У нас есть список для вас прямо здесь — и поверьте нам, он вам понадобится!
| Постоянное кратное свойство производных | $$\frac{d}{dx}\left(c\times f(x)\right)=c\times\frac{d}{dx}\left(f(x) \right)$$ |
| Правило сумм для производных | $$\frac{d}{dx}\left(f(x) + g(x)\right)=\frac{d}{dx}\left( f(x) \right)+\frac{d }{dx}\left( g(x) \right)$$ |
| Правило разности для производных | $$\frac{d}{dx}\left(f(x) — g(x)\right)=\frac{d}{dx}\left( f(x) \right)-\frac{d }{dx}\left( g(x) \right)$$ |
| Правило произведения для производных | $$\frac{d}{dx}\left(f(x)\times g(x)\right)=\frac{d}{dx}\left( f(x) \right)\times g( x)+f(x)\times\frac{d}{dx}\left( g(x) \right) $$ 9{-1}\влево(х\вправо)\вправо)}$$ |
Почему производная так полезна?
Функции бесконечно важны, а значит, и производные тоже! Поскольку они говорят нам о скорости изменения, производные очень важны для физиков, экономистов и многих других людей в нашем мире (возможно, даже больше, чем вы думаете!).
Как найти производную от выражения
Хорошо, давайте поговорим о том, как найти производную от выражения. Если вы уже научились находить производную функции, это, вероятно, покажется вам довольно знакомым: 9{2} + 3x$$ равно:
$${2}x + 3$$
Видите? Не так уж и плохо. Сделаем еще один!
Пример 2
Найдите производную выражения:
$$\frac{d}{dx}\left({\ln{x}}\times {x}\right) $$
Используйте правило дифференцирования $$\frac{d}{dx}({f}\times {g})=\frac{d}{dx}({f})\times {g}+{f}\times\frac{d} {dx}({g})$$:
$$\frac{d}{dx}{(\ln{x})}\times {x}+{\ln{x}}\times\frac{ д}{дх}{(х)}$$
Используйте $$\frac{d}{dx} (\ln{x})=\frac1x$$:
$${\frac1x}\times {x} +{\ln{x}}\times{ \frac{d}{dx}{(x)}}$$
Затем используйте $$\frac{d}{dx}(x)=1$$:
$${\frac1{x}} \times {x}+{\ln{x}}\times{1}$$
Упростим выражение:
$${1}+{\ln{x}}$$
Мы сделали это снова! Производная выражения $$\ln{x}\times x$$ равна:
$${1}+{\ln{x}}$$
Как видите, это не так уж отличается от взятия производная функции.
Резюме исследования
- Используйте правила дифференцирования.
- Найдите производную каждого члена.
- Упростите выражение.
Сделай сам!
Хотите еще немного практики? Попробуйте свои силы в этих задачах и дайте нам знать, если вы застряли:
Возьмем производную от выражения: 92}$$ Как дела? Хотите проверить свою работу? Отсканируйте проблему с помощью приложения Photomath, чтобы просмотреть подробные пошаговые инструкции по решению. Вот краткий обзор того, что вы увидите: / Есть домашнее задание по математике?
Зайдите в приложение Photomath, чтобы быстро найти пошаговые решения всех ваших математических задач.
Производные на TI-83/84
Производные на TI-83/84 Copyright 20012022 Стэн Браун, BrownMath.
com
Сводка: Ваш TI-83 или TI-84 не различает символы, но он можно найти производную в любой точке с помощью числовой процесс . Это может сильно помочь вам в проверке свою работу, и на этой странице показаны два способа сделать это.
TI-83/84 полезен для проверки вашей работы, но сначала ты должен всегда находить производную по методы исчисления . (См. свой текст исчисления.) ТИ-83/84 иногда находит производную там, где ее нет (например, производная от | x | в 0), и если вы не нашли производную себя можно обмануть.
Функция f ( x ) = − x +9 x −14 равна на графике слева. Как ТИ-83/84 может сказать нам f ′(6), что производная этой функции в точке, где x = 6?
Метод 1:
nDeriv | Перейти на главный экран. | Нажмите [ 2-й РЕЖИМ делает ВЫХОД ]. |
Вставьте функцию nDeriv . | Нажмите [ МАТЕМАТИКА ] [ ▲ ] [ ▲ ] [ ▲ ]
для выбора nDeriv . Нажимать
[ ВВОД ]. |
| Первый аргумент: функция − х +9 х −14 | [ (-) ] [ x,T,θ,n ] [ x ] [ + ] 9 [ x,T,θ,n ] [ - ] 14 |
| Второй аргумент: имя переменной x | [ , ] [ x,T,θ,n ] |
| Третий аргумент: x значение где вы хочу производную: 6 | [, ] 6 [) ] [ ВВОД ]. Появляется ответ −3. |
Метод 2: График
Вы также можете получить приближенную производную, в то время как график
отображается функция.
| График функции. | Нажмите [ Y= ], убедитесь, что никакие другие графики или графики не отображаются.
выделены и войдите в функцию. Нажмите [ ZOOM ] [ 6 ], чтобы начать графическое отображение большинства функций, или
[ ZOOM ] [ 7 ] для большинства триггерных функций. |
| Значение x , где вы хотите, чтобы производная была включена экран. | При необходимости нажмите [ WINDOW ] и отрегулируйте Xмин и Xмакс . Затем нажмите
[ ГРАФИК ]. Если ваши Xmin и Xmax подходят, но вы
не видите график, отрегулируйте Ymin и Ymax или попробуйте [ ZOOM ] [ 0 ] рассказать
калькулятор, чтобы настроить их. |
| Выберите числовое дифференцирование. | [ 2-й F4 делает CALC ] [ 6 ] выбирает dy/dx и снова отображает график. |