Как избавиться от модуля в неравенстве: Решение неравенств с модулем. Модуль раскрытие. Неравенства содержащие модуль. Неравенства с модулем примеры решения.

Новая страница 1

Меньше, меньше или равно- система; больше, больше или равно- совокупность Очевидно, что подавляющее большинство школьников знает, что  ( к сожалению, не все безупречны в выборе знака правой части ). И, как ни странно, этого достаточно, чтобы избавиться от знака модуля в любых неравенств с модулем. Таблица 2 Равносильные преобразования основных неравенств с модулем I.   II.   Докажите самостоятельно истинность утверждений этой таблицы.) Для всех сравнений  заменяется на  . И в сравнении типа «меньше», «меньше или равно» берется система, а в сравнениях типа «больше», «больше или равно» — совокупность получаемых неравенств. Это позволяет сформулировать два очень эффективных правила.  Правило «меньше, меньше или равно — система» ( ): если относительно данного модуля неравенство является неравенством вида «меньше», «меньше или равно», то замените модуль на плюс — минус подмодульное выражение и полученные неравенства рассматривайте одновременно, то есть в системе. Правило «больше, больше или равно — совокупность» ( ): если относительно данного модуля неравенство является неравенством вида «больше», «больше или равно», то замените модуль на плюс — минус плдмодульное выражение и полученные неравенства рассматривайте в совокупности. Пример 1. Решить неравенство Решение. поэтому   Первое неравенство в системе относительно  имеет вид   , а второе имеет вид  из-за знака «минус» перед модулем. Потому, что не тратя времени на переносы из левой части в правую, получаем Ответ: Пример 2. Решить неравенство Решение. Относительно любого модуля данное неравенство имеет вид . Поэтому перебрав все четыре комбинации знаков двух подмодульных выражений, имеем Ответ:  (-2; 2,4)   Естественно, читатель заметит, что примеры 1и 2 можно решить методом интервалов, исходя из геометрического смысла модуля и т. д. Но наша цель — указать на примитивность переходов к системам или совокупностям, играя знаками подмодульных выражений. Тем более, что в задачах с параметрами эта техника обеспечивает явные преимущества. Пример 3. Для любого значения параметра p решить неравенство Решение. Относительно первого модуля неравенство имеет вид , а относительно второго - . Поэтому, раскрывая первый модуль, перейдем к системе, а второй – к совокупности. Начинать можно с любого. Первый вариант освобождает от модулей.     То есть Второй вариант освобождения от модулей.   То есть Комментарий 1. Обратите внимание, что мы не тратим время на промежуточные приведения подобных членов. Дальнейшие действия зависят от знака параметра p, так как только от него зависят расположение на числовой оси (0x) точек x=0, x=6p, x=28p, x=42p: Если p<0, то 42p<6p<0; Если p=0, то 0=6p=28p=42p; Если p>0, то 0<6p<28p<42p. Поэтому быстро устанавливаем, что Если p<0, то Если p=0, то Если p>0, то Это и есть ответ неравенства . Рассмотренный пример 3 позволяет сформулировать интересный вопрос. Неравенство (1) есть частный случай неравенства Как и при решении неравенства  двумя путями освободимся от модулей в неравенстве Вариант 1: То есть                   Вариант 2: То есть   Из вариантов 1и 2 следует, что   Естественно, последняя равносильность провоцирует вопрос: «Всегда ли допустимо подобное преобразование совокупности двух систем в систему двух совокупностей?».   Задача 2. Даны четыре произвольных неравенства (1), (2), (3) и (4). Какая связь между множеством решений совокупности  и системы ?   Эта задача может стать прекрасным примером исследования на факультативных занятиях со школьниками 5 – 11-х классов на тему «Взаимосвязь множеств решений систем и совокупностей уравнений и неравенств». Расскажем два различных решения. Первое – наглядное, но не всегда быстро реализуемое. Второе решение более универсальное. Прежде чем приступить к решению, напомним два известных факта. Любое уравнение или неравенство определяет множество его решений. Поэтому сказать, что даны два неравенства (или уравнения, или то и другое), это то же самое, что сказать: даны два множества М1 и М2. Факт 1. Решить систему – означает найти все общие элементы двух множеств, то есть найти пересечение множеств М1 и М2: Факт 2. Решить совокупность – означает найти все элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств М1 и М2, то есть найти объединение множеств М1 и М2:   Использованы публикации в учебно-методической газете «Математика» за № 7 от 1-15.04.05г. ( автор В. И. Голубев)

Находить ли ОДЗ?

В уравнениях и неравенствах вида , , , ,  пересечение областей определения функций  и  называют областью допустимых значений (ОДЗ) переменной, а также ОДЗ уравнения или неравенства соответственно.

При решении уравнений (неравенств) с одной переменной, когда встает вопрос – находить ли ОДЗ, часто можно услышать категоричное «да» и не менее категоричное «нет». «Сначала нужно найти ОДЗ, а затем приступать к решению уравнения (неравенства)», — утверждают одни. «Незачем тратить время на ОДЗ, по ходу решения будем переходить к равносильному уравнению (неравенству) или к равносильной системе уравнений и неравенств или только неравенств. В конце концов, если это уравнение, то можно сделать проверку», — утверждают другие.

Так находить ли ОДЗ?

Конечно, однозначного ответа на этот вопрос не существует. Нахождение ОДЗ уравнения или неравенства не является обязательным элементом решения. В каждом конкретном примере этот вопрос решается индивидуально.

В одних случаях нахождение ОДЗ упрощает решение уравнения или неравенства (примеры 1-5), а в ряде случаев даже является необходимым этапом решения (примеры 1, 2, 4).

В других случаях (примеры 6, 7) от предварительного нахождения ОДЗ стоит отказаться, так как оно делает решение более громоздким.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.

Возведение обеих частей уравнения в квадрат не упростит, а усложнит его и не позволит избавиться от радикалов. Нужно искать другой способ решения.

Найдем ОДЗ уравнения:

Таким образом, ОДЗ содержит только одно значение , а, следовательно, корнем исходного уравнения может служить только число 4. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что  – единственный корень уравнения.

Ответ: 4.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение.

Наличие в уравнении радикалов различных степеней – второй, третьей и шестой – делает решение сложным. Поэтому, прежде всего, найдем ОДЗ уравнения:

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что  является корнем исходного уравнения.

Ответ: 2.

Пример 3. Решить неравенство .

Решение.

Конечно, можно решать это неравенство, рассматривая случаи: , , но нахождение ОДЗ сразу же упрощает это решение.

ОДЗ:

Подставляя это единственное значение  в исходное неравенство, получим ложное числовое неравенство . Следовательно, исходное неравенство не имеет решения.

Ответ: нет решения.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение.

Запишем уравнение в виде .

Уравнение вида  равносильно смешанной системе  т.е.

Конечно, здесь нахождение ОДЗ излишне.

В нашем случае получим равносильную систему  т.е.

Уравнение  равносильно совокупности  Уравнение  рациональных корней не имеет, но оно может иметь иррациональные корни, нахождение которых вызовет у учащихся затруднения. Поэтому поищем другой способ решения.

Вернемся к первоначальному уравнению, запишем его в виде .

Найдем ОДЗ: .

При  правая часть уравнения , а левая часть . Следовательно, исходное уравнение в области допустимых значений переменной х равносильно системе уравнений  решением которой является только одно значение .

Таким образом, в данном примере именно нахождение ОДЗ позволило решить исходное уравнение.

Ответ: 0.

Пример 5. Решить уравнение .

Решение.

Так как , а , то при решении исходного уравнения нужно будет избавляться от модулей (раскрывать их).

Поэтому, сначала имеет смысл найти ОДЗ уравнения:

Итак, ОДЗ:

Упростим исходное уравнение, воспользовавшись свойствами логарифмов.

,

,

.

Так как в области допустимых значений переменной х  и , то , а , тогда получим равносильное уравнение:

,

.

Учитывая, что в ОДЗ , перейдем к равносильному уравнению  и решим его, разделив обе части на 3.

Ответ: − 4,75.

Замечание.

Если не находить ОДЗ, то при решении уравнения  необходимо было бы рассмотреть четыре случая: , , , . На каждом из этих промежутков знакопостоянства выражений, стоящих под знаком модуля, нужно было бы раскрыть модули и решить полученное уравнение. Кроме того еще и выполнить проверку. Мы видим, что нахождение ОДЗ исходного уравнения значительно упрощает его решение.

При решении следующих примеров предварительно ОДЗ находить не будем, так как это сделает решение более громоздким.

Пример 6. Решить неравенство .

Решение.

Исходное неравенство запишем в виде . Учитывая, что функция  непрерывна и убывающая при , перейдем к равносильной системе неравенств:

Решением последнего неравенства, а, значит, и исходного является множество .

Ответ: .

Замечание. Если бы мы находили ОДЗ, то нужно было бы решать систему неравенств  Все эти неравенства вошли в рассматриваемую при решении систему неравенств, причем, в процессе преобразования этой системы, все неравенства, из которых и состоит ОДЗ, оказались лишними. Таким образом, в данном примере нахождение ОДЗ только сделало бы решение более громоздким.

Пример 7. Решить неравенство .

Решение.

Так как переменная х входит и в основание  логарифма, то при решении этого неравенства необходимо будет рассмотреть два случая:  и . Поэтому отдельно находить ОДЗ нецелесообразно.

Итак, представим исходное неравенство в виде  и оно будет равносильно совокупности двух систем:

Ответ: .

Операции по модулю с отрицательными числами

Автор Анна Щепанек, доктор философии

Отзыв от Rijk de Wet

Последнее обновление: 12 ноября 2022 г.

Содержание:

• Как модуль работает с отрицательными числами?
• Когда отрицательное значение имеет только делимое
• Когда отрицательное значение имеет только делитель
• Когда отрицательное значение и делителя, и делимого

Здесь мы обращаемся к неочевидному вопросу о том, как действует оператор по модулю для отрицательных номера. В частности, мы обсудим, как это работает в языках программирования.

Если вы не знакомы с модулями, воспользуйтесь нашим специальным калькулятором модулей.

Как модуль работает с отрицательными числами?

Напомним, что оператор

по модулю a mod n возвращает остаток r от деления a на n . Более формально, в теории чисел результатом оператора модуля является классов эквивалентности , т. е. весь набор чисел, дающих один и тот же остаток r при делении на n . В этом наборе мы выбираем одно число в качестве представителя. Чаще всего эту роль играет остаток от евклидова деления , который оказывается наименьшим неотрицательным числом в классе эквивалентности.

Однако другие способы определения операции по модулю иногда полезны в модульной арифметике, особенно когда используются отрицательные целые числа. (Для двух положительных чисел нет никаких сомнений в том, что наиболее полезной является версия с положительным остатком.) Почти всегда мы хотим иметь

−n < r < n , поэтому фактический выбор делается между наименьшим положительным представителем и наибольшим отрицательным. В языках программирования есть две основные реализации mod, которые выбирают знак результата в зависимости от знаков делимого a и делителя n :

• Усеченное деление возвращает r = a − n* trunc(a/n) . Таким образом, r имеет тот же знак, что и делимое и .
• Этажное деление возвращает r = a − n* floor(a/n) . Здесь r имеет тот же знак, что и делитель n .

В большинстве популярных языков программирования (таких как Java, C, C++, Python) есть отдельных функций , которые могут вычислять модуль в соответствии с обоими этими определениями. Существуют также языки, в которых доступна только одна из этих операций . В случае сомнений обратитесь к документации, прежде чем писать какой-либо код.

Теперь мы обсудим как работают эти два подхода в зависимости от того, является ли делимое или делитель (или оба) отрицательными.

Когда только делимое отрицательное

Если только делимое отрицательное , то:

• Усеченный по модулю возвращает отрицательный остаток ; и
• Floored modulo возвращает положительный остаток .

Например, давайте вычислим −9 по модулю 4 . Понятно, что у нас

-9 = 4 * (-2) - 1

и

-9 = 4 * (-3) + 3 .

Равенство в первом уравнении соответствует усеченному делению и означает, что −9 mod 4 = −1 . Дивиденд отрицателен, как и остаток.

Равенство последнего уравнения соответствует версии с полом и подразумевает, что −9 mod 4 = 3 . Делитель положительный, а значит и остаток.

Когда отрицателен только делитель

Если отрицательно только делимое, то:

• Усеченное деление возвращает положительный остаток ; и
• Floored Division возвращает отрицательный остаток .

Ответим на вопрос о 9 mod (−4) .

У нас есть 9 = (−4) * (−2) + 1 , что соответствует усеченной версии и подразумевает, что 9 mod (−4) = 1 . Дивиденды и результат положительные.

Альтернативно, 9 = (−4) * (−3) − 3 , что является версией с полом и дает 9 mod (−4) = −3 . Делитель и остаток отрицательны. См. калькулятор функции пола, если вы еще не знакомы с ним.

Когда и делитель, и делимое отрицательны

Если и делитель, и делимое отрицательны, то как усеченное деление, так и половинное деление возвращают отрицательный остаток .

Обсудим (-9) мод (-4) .

У нас есть этаж(-9/(-4)) = этаж(9/4) = 2 и trunc(-9/(-4)) = trunc(9/4) = 2 .

Следовательно, равенство (−9) = (−4) * 2 − 1 соответствует как усеченному, так и половому делению и означает, что в обоих случаях мы имеем (−9) mod (−4) = (− 9) - (-4)*2 = (-9) + 8 = -1 . Делимое, делитель и остаток отрицательны.

Анна Щепанек, доктор философии

x mod y = r

x (дивиденд)

Y (Divisor)

R (остаток)

Проверьте 36 аналогичных калькуляторов алгебры 🔡

Абсолютное уравнение неравенства подчиняются тем же правилам, что и абсолютное значение чисел . Разница в том, что у нас есть переменная в предыдущем и константа во втором.

В этой статье будет представлен краткий обзор абсолютных неравенств, а затем пошаговый метод решения абсолютных неравенств .

Наконец, есть примеры различных сценариев для лучшего понимания.

Что такое абсолютное неравенство?

Прежде чем мы научимся решать неравенства с абсолютными значениями, давайте напомним себе об абсолютном значении числа.

По определению абсолютное значение числа — это расстояние от начала координат независимо от направления. Абсолютное значение обозначается двумя вертикальными линиями, заключающими в себе число или выражение.

Например, абсолютное значение x выражается как | х | = a, откуда следует, что x = +a и -a. Теперь давайте посмотрим, что влекут за собой абсолютные неравенства значений.

Абсолютное неравенство представляет собой выражение с абсолютными функциями и знаками неравенства. Например, выражение |x + 3| > 1 — абсолютное неравенство, содержащее символ «больше».

На выбор предлагается четыре разных символа неравенства. Это меньше, чем ( < ), больше ( > ), меньше или равно ( ≤ ) и больше или равно ( ≥ ). Таким образом, абсолютное неравенство может иметь любой из этих четырех символов.

Как решать абсолютные неравенства?

Этапы решения неравенств абсолютных значений очень похожи на решение уравнений абсолютных значений. Однако есть некоторая дополнительная информация, которую необходимо учитывать при решении абсолютных неравенств.

Ниже приведены общие правила, которые необходимо учитывать при решении неравенств абсолютного значения:

• Выделить слева выражение абсолютного значения.
• Решите положительную и отрицательную версии абсолютного неравенства.
• Когда число по другую сторону знака неравенства отрицательное, мы либо заключаем все действительные числа в качестве решений, либо неравенство не имеет решения.
• Когда число на другой стороне положительное, мы продолжаем устанавливать сложное неравенство, удаляя столбцы абсолютного значения.
• Тип знака неравенства определяет формат формируемого составного неравенства. Например, если задача содержит знак больше или больше/равно, задайте составное неравенство следующего вида:

(значения в столбцах абсолютного значения) < - (число на другой стороне) ИЛИ (Значения в полосах абсолютных значений) > (Число на другой стороне).

• Аналогично, если задача содержит знак меньше или меньше/равно, составное неравенство из 3 частей составляется в следующем виде:

– (Число по другую сторону знака неравенства) < (число по другую сторону от знака неравенства) < (Число по другую сторону от знака неравенства)

 

Решите неравенство относительно x: | 5 + 5х| − 3 > 2.

Решение

Изолируйте выражение абсолютного значения, добавив 3 к обеим частям неравенства;

=> | 5 + 5х| − 3 (+ 3) > 2 (+ 3)

=> | 5 + 5х | > 5.

Теперь решите как положительную, так и отрицательную «версии» неравенства следующим образом;

Мы примем символы абсолютного значения, решив уравнение обычным способом.

=> | 5 + 5х| > 5 → 5 + 5x > 5.

=> 5 + 5_x_> 5

Вычесть 5 с обеих сторон

5 + 5x (− 5) > 5 (− 5) 5x > 0

Теперь разделим обе части на 5

5x/5 > 0/5

x  > 0,

Таким образом, x > 0 является одним из возможных решений.

Чтобы найти отрицательную версию абсолютного неравенства, умножьте число по другую сторону от знака неравенства на -1 и измените знак неравенства:

| 5 + 5х | > 5 → 5 + 5x < − 5 => 5 + 5x < -5 Вычесть 5 с обеих сторон => 5 + 5x ( −5) < −5 (− 5) => 5x < −10 => 5x/5 < −10/5 => х < −2.

x  > 0 или x  < −2 — два возможных решения неравенства. В качестве альтернативы мы можем решить | 5 + 5х | > 5 по формуле:

(Значения в полосах абсолютного значения) < – (Число на другой стороне) ИЛИ (Значения в полосах абсолютного значения) > (Число на другой стороне).

Иллюстрация:

(5 + 5x) < – 5 ИЛИ (5 + 5x) > 5

Решите приведенное выше выражение, чтобы получить;

x  < −2 или x  > 0

Пример 2

Решить |x + 4| – 6 < 9

Решение

Выделить абсолютное значение.

|х + 4| – 6 < 9 → |х + 4| < 15

Так как наше выражение абсолютного значения имеет знак меньше чем неравенство, мы задаем решение составного неравенства из 3 частей как:  

Пример 3

Решить |2x – 1| – 7 ≥ -3

Решение

Сначала изолируем переменную

|2x – 1| – 7≥-3 → |2x – 1|≥4

Мы установим составное неравенство «или» из-за того, что в нашем уравнении стоит знак больше или равно.

2 – 1≤ – 4 или 2x – 1 ≥ 4

Теперь решите неравенства;

2x-1 ≤ -4 или 2x-1 ≥ 4

2x ≤ -3 или 2x ≥ 5

x ≤ -3/2 или x ≥ 5/2

Пример 40039

.