Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа
В данном параграфе больше речь пойдет о тригонометрической форме комплексного числа. Показательная форма в практических заданиях встречается значительно реже. Рекомендую закачать и по возможности распечатать тригонометрические таблицы, методический материал можно найти на странице Математические формулы и таблицы. Без таблиц далеко не уехать.
Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в тригонометрической форме:
, где – этомодуль комплексного числа, а –аргумент комплексного числа.
Изобразим на комплексной плоскости число . Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что:
Модулем
комплексного числа называется
расстояние от начала координат до
соответствующей точки комплексной
плоскости. Попросту говоря,модуль
– это длина радиус-вектора, который на чертеже
обозначен красным цветом.
Модуль комплексного числа стандартно обозначают:или
По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: . Данная формула справедливадля любых значений «а» и «бэ».
Примечание: модуль комплексного числа представляет собой обобщение понятия модуля действительного числа, как расстояния от точки до начала координат.
Аргументом комплексного числа называетсяугол между положительной полуосью действительной оси и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа:.
Рассматриваемый принцип фактически схож с полярными координатами, где полярный радиус и полярный угол однозначно определяют точку.
Аргумент комплексного числа стандартно обозначают:или
Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента:
.
Внимание! Данная формула работает только в правой
полуплоскости! Если комплексное число
располагается не в 1-ой и не 4-ой координатной
четверти, то формула будет немного
другой. Эти случаи мы тоже разберем.
Но сначала рассмотрим простейшие примеры, когда комплексные числа располагаются на координатных осях.
Пример 7
Представить в тригонометрической форме комплексные числа: ,,,. Выполним чертёж:
На самом деле задание устное. Для наглядности перепишу тригонометрическую форму комплексного числа:
Запомним
намертво, модуль – длина (которая всегда
1)
Представим в тригонометрической форме
число
.
Найдем его модуль и аргумент. Очевидно,
что.
Формальный расчет по формуле:.
Очевидно,
что(число
лежит непосредственно на действительной
положительной полуоси). Таким образом,
число в тригонометрической форме:.
Ясно, как день, обратное проверочное действие:
2) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что. Формальный расчет по формуле:. Очевидно, что(или 90 градусов). На чертеже угол обозначен красным цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме:.
Используя таблицу значений тригонометрических функций, легко обратно получить алгебраическую форму числа (заодно выполнив проверку):
3) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль иаргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле:
. Очевидно, что (или 180 градусов). На чертеже угол обозначен синим цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме:.
Проверка:
4)
И четвёртый интересный случай. Представим
в тригонометрической форме число
.
Найдем его модуль и аргумент.
Очевидно,
что.
Формальный расчет по формуле:.
Аргумент можно записать двумя способами: Первый способ: (270 градусов), и, соответственно:. Проверка:
Однако более стандартно следующее правило: Если угол больше 180 градусов, то его записывают со знаком минус и противоположной ориентацией («прокруткой») угла: (минус 90 градусов), на чертеже угол отмечен зеленым цветом. Легко заметить,
что и– это один и тот же угол.
Таким образом, запись принимает вид:
Внимание! Ни в коем случае нельзя использовать четность косинуса, нечетность синуса и проводить дальнейшее «упрощение» записи:
Кстати, полезно вспомнить внешний вид и свойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций, справочные материалы находятся в последних параграфах страницы Графики и свойства основных элементарных функций. И комплексные числа усвоятся заметно легче!
В
оформлении простейших примеров так и
следует записывать:
«очевидно, что модуль равен… очевидно,
что аргумент равен.
..».
Это действительно очевидно и легко
решается устно.
Перейдем к рассмотрению более распространенных случаев. C модулем проблем не возникает, всегда следует использовать формулу . А вот формулы для нахождения аргумента будут разными, это зависит от того, в какой координатной четверти лежит число. При этом возможны три варианта (их полезно переписать):
1) Если (1-ая и 4-ая координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле.
2) Если (2-ая координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле.
3) Если (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле.
Пример 8
Представить в тригонометрической форме комплексные числа: ,,,.
Коль
скоро есть готовые формулы, то чертеж
выполнять не обязательно. Но есть один
момент: когда вам предложено задание
представить число в тригонометрической
форме, то чертёж лучше в любом
случае выполнить.
Представляем в комплексной форме числа и, первое и третье числа будут для самостоятельного решения.
Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.
Поскольку (случай 2), то
–вот здесь нечетностью арктангенса воспользоваться нужно. К сожалению, в таблице отсутствует значение , поэтому в подобных случаях аргумент приходится оставлять в громоздком виде:– числов тригонометрической форме.
Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.
Поскольку (случай 1), то(минус 60 градусов).
Таким образом:
–число в тригонометрической форме.
А
вот здесь, как уже отмечалось, минусы не трогаем.
Кроме забавного графического метода проверки, существует и проверка аналитическая, которая уже проводилась в Примере 7. Используем таблицу значений тригонометрических функций, при этом учитываем, что угол – это в точности табличный угол(или 300 градусов):– числов исходной алгебраической форме.
Числа ипредставьте в тригонометрической форме самостоятельно. Краткое решение и ответ в конце урока.
В конце параграфа кратко о показательной форме комплексного числа.
Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в показательной форме:
, где – это модуль комплексного числа, а– аргумент комплексного числа.
Что нужно сделать, чтобы представить комплексное число в показательной форме? Почти то же самое: выполнить чертеж, найти модуль и аргумент. И записать число в виде .
Например,
для числа
предыдущего
примера у нас найден модуль и аргумент:,.
Тогда данное число в показательной
форме запишется следующим образом:.
Число в показательной форме будет выглядеть так:
Число – так:
И т.д.
Единственный совет – не трогаем показатель экспоненты, там не нужно переставлять множители, раскрывать скобки и т.п. Комплексное число в показательной форме записывается строго по форме .
Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа
Любое комплексное число (кроме нуля) z = a + bi можно записать в тригонометрической форме: , где z – это модуль комплексного числа, а – аргумент комплексного числа
Изобразим на комплексной плоскости число z = a + bi. Для определённости расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что a > 0, b > 0:
Модулем комплексного числа z называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости.
Иначе, модуль – это длина радиус-вектора. Модуль комплексного числа z стандартно обозначают: |z| или r.
По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: z = a2 + b2 . Данная формула справедлива для любых значений «а» и «бэ».
Аргументом комплексного числа z называется угол между положительной полуосью действительной оси Re z и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: z = 0 .
Аргумент комплексного числа z стандартно обозначают: или arg z .
Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента: .
Пример 7: Представить в тригонометрической форме комплексные числа: z1 = 1, z2 = 2i, z3 = -3, z4 = -4i
Выполним чертёж:
1) Представим в тригонометрической форме число .
Найдем его модуль и аргумент.
(число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси).
Таким образом, число в тригонометрической форме:
Обратное проверочное действие:
2) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.
Таким образом, число в тригонометрической форме:
Обратно получим алгебраическую форму числа (заодно выполнив проверку):
3) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.
Таким образом, число в тригонометрической форме:
Проверка:
4) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.
Аргумент можно записать двумя способами:
Первый способ: (270 градусов), и, соответственно: .
Проверка:
Второй способ: Если угол больше 180 градусов, то его записывают со знаком минус и противоположной ориентацией («прокруткой») угла: (минус 90 градусов).
Легко заметить, что и – это один и тот же угол.
Таким образом, запись принимает вид:
Итак, как уже отмечалось, с модулем проблем не возникает, всегда следует использовать формулу . А вот формулы для нахождения аргумента будут разными, это зависит от того, в какой координатной четверти лежит число . При этом возможны три варианта:
1) Если a > 0 (1-ая и 4-ая координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле .
2) Если a< 0, b > 0 (2-ая координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле .
3) Если a< 0, b< 0 (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле .
Пример 8 Представить в тригонометрической форме комплексные числа:
Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. . Поскольку a > 0 (случай 1), то . Таким образом: – z1 число в тригонометрической форме.
Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.
Поскольку a< 0, b > 0 (случай 2), то
– число z2 в тригонометрической форме.
Есть простой способ проверки. Если выполнять чертеж на клетчатой бумаге в том масштабе, (1 ед. = 1 см), то можно взять линейку и измерить модуль в сантиметрах. Если есть транспортир, то можно непосредственно по чертежу измерить и угол.
Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. . Поскольку a< 0, b< 0 (случай 3), то . Таким образом: – z3 число в тригонометрической форме.
Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.
Поскольку a > 0 (случай 1), то (минус 60 градусов).
Таким образом:
– число z4 в тригонометрической форме.
Кроме графического метода проверки, существует и проверка аналитическая, которая уже проводилась в Примере 7. Используем таблицу значений тригонометрических функций, при этом учитываем, что угол – это в точности табличный угол (или 300 градусов):
– z4 число в исходной алгебраической форме.
Любое комплексное число (кроме нуля) z = a + bi можно записать в показательной форме: , где |z| – это модуль комплексного числа, а – аргумент комплексного числа.
Что нужно сделать, чтобы представить комплексное число в показательной форме Почти то же самое: выполнить чертеж, найти модуль и аргумент. И записать число в виде .
Например, для числа предыдущего примера у нас найден модуль и аргумент: Тогда данное число в показательной форме запишется следующим образом: .
Число в показательной форме будет выглядеть так:
Число – так:
тригонометрия — Запишите комплексное число в тригонометрической форме (домашнее задание)
спросил
Изменено 6 лет, 6 месяцев назад
Просмотрено 3к раз
$\begingroup$
Запишите комплексное число в тригонометрической форме, один раз используя градусы и один раз используя радианы.
Начните с наброска графика, чтобы помочь найти аргумент θ. (Не используйте цис-форму.) 9\circ)$$
Вот как выглядит мой отправленный ответ (это №9): http://i.imgur.com/hrrg6hg.png
Мне также нужна помощь с $9 − 40i$ (инструкции: преобразовать комплексное число в тригонометрическую форму (введите угол в градусах, округленный до двух знаков после запятой. Не используйте цис-форму.)
Я проделал те же шаги, что и в другой задаче, и получил $r=41$ и $θ= -77,32$
- тригонометрия
$\endgroup$
6 92}=\sqrt{2}$
$\endgroup$
$\begingroup$
Вы должны иметь в виду, что арктангенс всегда выдает ответ между -90 и 90, так что вам, возможно, придется добавить или вычесть 180 из ответа, чтобы получить соответствующий угол, потому что, если вы посмотрите на свой график, число появится не быть в -45.
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
Запись тригонометрических форм комплексных чисел
Загрузка.
Справка по алгебре
Посмотрите обучающие видео Даны Мозли
Бесплатные отработанные решения
Видео Calculus
Брюс освещает каждое доказательство
Загрузки данных
Наборы данных о загрузке в форме электронной таблицы
Графики. Предыдущий Следующий
ТемаФункции и их графикиПолиномиальные и рациональные функцииЭкспоненциальные и логарифмические функцииТригонометрияАналитическая тригонометрияДополнительные темы по тригонометрииСистемы уравнений и неравенствМатрицы и определителиПоследовательности, ряды и вероятностиТемы аналитической геометрии
ПодтемаПроверкиЗакон синусовЗакон косинусовВекторы на плоскостиВекторы и скалярные произведенияТригонометрическая форма комплексного числа числаНайти n-й корень вещественного числаНайти n-й корень комплексного числа
