Как методом гаусса решить систему уравнений: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

Лекция № 4. Метод Гаусса. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Рассмотрим систему m—линейных уравнений c n-неизвестными

(1)

Теорема: Если какое-либо уравнение системы умножить на произвольное число и прибавить это произведение к другому уравнению системы, оставив при этом неизменными все остальные уравнения системы, включая то, которое умножалось на число, то получим систему, равносильную исходной.

Составим расширенную матрицу системы (1) .

Строки матрицы соответствуют уравнениям системы. Умножение уравнения на число и сложение этого произведения с другим, эквивалентно умножению строки матрицы на это число и почленному сложению произведения с другой строкой матрицы. Таким образом, работа с уравнениями заменяется работой со строками матрицы.

Этапы решения:

I Этап: прямой ход заключается в том, что система (1) приводится к ступенчатому виду: , (2)

в частности, к треугольному виду: . (3)

Следует запомнить.

Другими словами, если данная система уравнений (1) после выполнения ряда элементарных преобразований приводится к треугольному виду, то это означает, что система (1) является совместной и определенной.

Замечание.

Если в процессе приведения системы (1) к ступенчатому виду появляется уравнение вида , то система несовместна.

II этап: обратный ход заключается в решении ступенчатой (треугольной) системы.

Двигаясь снизу вверх по уравнениям системы (3) находим ; затем, подставляя значение в предыдущее уравнение, находим и т. д..

Если система (1) после элементарных преобразований приводится к ступенчатой системе (2), то, перенеся члены с неизвестными , в правую часть, получим систему вида (4).

. (4)

Придаем неизвестным , произвольные значения и получаем треугольную систему.

(5)

Если система (1) после элементарных преобразований приводится к ступенчатой системе (2), то, перенеся члены с неизвестными , в правую часть, получим систему вида (4).

Замечание.

— свободные неизвестные.

— базисные неизвестные.

Из системы (5), поднимаясь снизу вверх, найдем последовательно все остальные неизвестные .

Замечание.

Так как числа могут иметь различные значения, то исходная система (1) имеет бесчисленное множество решений.

Однородная система m линейных уравнений с

n – неизвестными.

— однородная СЛАУ. (6)

Однородная система всегда совместна, т. к. , , …, образуют решение системы. Это решение называется нулевым.

Нулевое решение будет единственным решением системы (6). Либо помимо нулевого решения должно существовать бесчисленное множество ненулевых решений.

Задачи

Пример 1. Решить систему уравнений

Решение

Составляем расширенную матрицу системы и приводим ее к ступенчатому виду.

~ ~ ~

Система несовместна.

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение

Составляем расширенную матрицу системы и приводим ее к ступенчатому виду.

~ ~ ~ ~

Система совместна и определена. Двигаясь снизу вверх по уравнениям системы , находим , ; , .

Таким образом, получаем единственное решение системы .

Пример 3. Решить систему уравнений .

Решение

Составляем расширенную матрицу системы и приводим ее к ступенчатому виду.

~ ~ ~

Так как после преобразований число уравнений меньше числа неизвестных, то система неопределена.

Для решения необходимо определить базисные и свободные неизвестные.

Таким образом, и — базисные неизвестные, а и — свободные неизвестные системы.

.

. Отсюда .

Общее решение системы . Положив, например, , , получаем одно из частных решений: , , , .

Придавая свободным неизвестным произвольные значения, найдем различные решения системы.

Вычислительные методы для инженеров

Вычислительные методы для инженеров

Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. — М.: Высш. шк., 1994. — 544 с. В книге рассматриваются вычислительные методы, наиболее часто используемые в практике инженерных и научно-технических расчетов: методы решения задач линейной алгебры и нелинейных уравнений, проблема собственных значений, методы теории приближения функций, численное дифференцирование и интегрирование, поиск экстремумов функций, решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Значительное внимание уделяется особенностям реализации вычислительных алгоритмов на ЭВМ и оценке достоверности полученных результатов. Имеется большое количество примеров и геометрических иллюстраций. Для студентов и аспирантов технических вузов, а также для инженеров и научных работников, применяющих вычислительные методы. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И РЕШЕНИЕ ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧ С ПРИМЕНЕНИЕМ ЭВМ § 1.2. Основные этапы решения инженерной задачи с применением ЭВМ § 1. 3. Вычислительный эксперимент § 1.4. Дополнительные замечания Глава 2. ВВЕДЕНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНУЮ ТЕОРИЮ ПОГРЕШНОСТЕЙ § 2.1. Источники и классификация погрешностей результата численного решения задачи § 2.2. Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешности 2. Правила записи приближенных чисел. 3. Округление. § 2.3. Погрешности арифметических операций над приближенными числами § 2.4. Погрешность функции § 2.5. Особенности машинной арифметики 2. Представление целых чисел. 3. Представление вещественных чисел. 4. Арифметические операции над числами с плавающей точкой. 5. Удвоенная точность. 6. Вычисление машинного эпсилон. § 2.6. Дополнительные замечания Глава 3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ, МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ § 3.2. Обусловленность вычислительной задачи 2. Примеры плохо обусловленных задач. 3. Обусловленность задачи вычисления значения функции одной переменной. 4. Обусловленность задачи вычисления интеграла … 5. Обусловленность задачи вычисления суммы ряда. § 3.3. Вычислительные методы § 3.4. Корректность вычислительных алгоритмов § 3.5. Чувствительность вычислительных алгоритмов к ошибкам округления § 3.6. Различные подходы к анализу ошибок § 3.7. Требования, предъявляемые к вычислительным алгоритмам § 3.8. Дополнительные замечания Глава 4. МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ § 4.2. Обусловленность задачи вычисления корня § 4.3. Метод бисекции § 4.4. Метод простой итерации § 4.5. Обусловленность метода простой итерации § 4.6. Метод Ньютона § 4.7. Модификации метода Ньютона § 4.8. Дополнительные замечания Глава 5. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ § 5.2. Нормы вектора и матрицы § 5.3. Типы используемых матриц § 5.4. Обусловленность задачи решения системы линейных алгебраических уравнений § 5.5 Метод Гаусса § 5.6. Метод Гаусса и решение систем уравнений с несколькими правыми частями, обращение матриц, вычисление определителей § 5. 7. Метод Гаусса и разложение матрицы на множители. LU-разложение § 5.8. Метод Холецкого (метод квадратных корней) § 5.9. Метод прогонки § 5.10. QR-разложение матрицы. Методы вращений и отражений § 5.11. Итерационное уточнение § 5.12. Дополнительные замечания Глава 6. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ § 6.1. Метод простой итерации § 6.2. Метод Зейделя § 6.3. Метод релаксации § 6.4. Дополнительные замечания Глава 7. МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ § 7.2. Метод простой итерации § 7.3. Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений 7.4. Модификации метода Ньютона § 7.5. О некоторых подходах к решению задач локализации и отыскания решений систем нелинейных уравнений § 7.6. Дополнительные замечания Глава 8. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ § 8.2. Степенной метод § 8.3. Метод обратных итераций § 8.4. QR-алгоритм § 8.5. Дополнительные замечания Глава 9. МЕТОДЫ ОДНОМЕРНОЙ МИНИМИЗАЦИИ § 9.2. Обусловленность задачи минимизации § 9.3. Методы прямого поиска. Оптимальный пассивный поиск. Метод деления отрезка пополам. Методы Фибоначчи и золотого сечения § 9.4. Метод Ньютона и другие методы минимизация гладких функций § 9.5. Дополнительные замечания Глава 10. МЕТОДЫ МНОГОМЕРНОЙ МИНИМИЗАЦИИ § 10.1. Задача безусловной минимизации функции многих переменных § 10.2. Понятие о методах спуска. Покоординатный спуск § 10.3. Градиентный метод § 10.4. Метод Ньютона § 10.5. Метод сопряженных градиентов § 10.6. Метода минимизации без вычисления производных § 10.7. Дополнительные замечания Глава 11. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ § 11.2. Интерполяция обобщенными многочленами § 11.3. Полиномиальная интерполяция. Многочлен Лагранжа § 11.4. Погрешность интерполяции § 11.5. Интерполяция с кратными узлами § 11.6. Минимизация оценки погрешности интерполяции. Многочлены Чебышева § 11. 7. Конечные разности § 11.8. Разделенные разности § 11.9. Интерполяционный многочлен Ньютона. Схема Эйткена § 11.10. Обсуждение глобальной полиномиальной интерполяции. Понятие о кусочно-полиномиальной интерполяции § 11.11. Интерполяция сплайнами § 11.12. Понятие о дискретном преобразовании Фурье и тригонометрической интерполяции § 11.13. Метод наименьших квадратов § 11.14. Равномерное приближение функций § 11.15. Дробно-рациональные аппроксимации и вычисление элементарных функций § 11.16. Дополнительные замечания Глава 12. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ § 12.1. Простейшие формулы численного дифференцирования § 12.2. О выводе формул численного дифференцирования § 12.3. Обусловленность формул численного дифференцирования § 12.4. Дополнительные замечания Глава 13. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 13.2. Квадратурные формулы интерполяционного типа § 13.3. Квадратурные формулы Гаусса § 13.4. Апостериорные оценки погрешности. Понятие об адаптивных процедурах численного интегрирования § 13. 5. Вычисление интегралов в нерегулярных случаях § 13.6. Дополнительные замечания Глава 14. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 14.1. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка § 14.2. Численные методы решения задачи Коши. Основные понятия и определения § 14.3. Использование формулы Тейлора § 14.4. Метод Эйлера § 14.5. Модификации метода Эйлера второго порядка точности § 14.6. Методы Рунге-Кутты § 14.7. Линейные многошаговые методы. Методы Адамса § 14.8. Устойчивость численных методов решения задачи Коши § 14.9. Неявный метод Эйлера § 14.10. Решение задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений m-го порядка § 14.11. Жесткие задачи § 14.12. Дополнительные замечания Глава 15. РЕШЕНИЕ ДВУХТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ § 15.1. Краевые задачи для одномерного стационарного уравнения теплопроводности § 15.2. Метод конечных разностей: основные понятия § 15. 3. Метод конечных разностей: аппроксимации специального вида § 15.4. Понятие о проекционных и проекционно-разностных методах. Методы Ритца и Гадеркина. Метод конечных элементов § 15.5. Метод пристрелки § 15.6. Дополнительные замечания

Как решить систему линейных уравнений n переменных с использованием метода устранения Гаусса

Теперь для программы FORTRAN,

!Для использования массивов в программе
    модульные массивы
        реальные, размещаемые :: a(:,:) (b, x(:)
    end module arrays

!Для решения системы уравнений с n переменными методом исключения Гаусса
запрограммируйте gausepivot
    используйте  массивы
    неявно нет
    целое число i,j,n,m,sing,flag ::able alloc
realocable LHS(:),RHS(:), check(:,:) !Эти массивы необязательны. Только для проверки результатов
   
    write(*,*) «Укажите размер матрицы коэффициентов, т.е. количество переменных в системе линейных уравнений»
    read (*,*) n

   
    write(*,*) «Размер матрицы коэффициентов «,n
   
    open(unit=1, file=’gause.in’)
    m=n+1
    allocate (a(n,m ),x(n),b(n))
    write(*,*) «Создание расширенной матрицы:»
   
    do i=1,n
      read(unit=1,fmt=*) (a(i, j),j=1,m)
      write(*,*) (a(i,j),j=1,m)
    end do
   
    !Чтобы проверить результаты позже. Необязательно
    allocate(check(n,m)) !Чтобы сохранить значения массива a(n,m) перед их изменением
DO I = 1, N
DO J = 1, M
CHECK (I, J) = A (I, J)
END DO
END DO

CALL GAUSS (M, Sing) ! который вычисляет результаты
        if (sing==1) then
               write(*,*) «матрица коэффициентов сингулярна»
               else ! Чтобы отобразить результаты только в том случае, если матрица невырожденная
               write(*,*) «Заданное уравнение имеет множество решений в следующем порядке»
               write(*,*) (x(i),i=1,n)
        end if

    allocate (LHS(n),RHS(n)) !Чтобы проверить значения в массиве x(n), подставив их в линейное уравнение. Необязательный
    do i=1,n
        LHS(i)=0
        do j=1,m-1
            LHS(i)=x(j)*check(i,j)+LHS(i)
        end do
       
        write(*,20) «LHS строки #»,i,»=»,LHS(i)
          20 формат (a,i3,a,f20.8)
          RHS(i)=check(i,m )
          write(*,10) «Правая сторона строки #»,i,»=»,RHS(i)
          10 формат (a,i3,a,f20.8)
    end do
      
    flag=0 !Чтобы установить флаг=1, если L.H.S. не равно R.H.S.
do i = 1, n
if (abs (lhs (i) -rhs (i)). Gt.00001). Затем
флаг = 1
Выход
Конец, если
End Do

if (flag == 1) then !Чтобы написать, совпадают результаты или нет
        write(*,*) «Результаты неверны»
          else
          write(*,*) «Программа работает»

:: temp (m), eps, flag, большой, аа, det, sumax, c

eps = 1,0e-5
!
               флаг=0
             large=abs(a(i,i)) !Чтобы определить диагональный элемент каждой строки как «большой»
             do j=i+1,n
                   aa=abs(a(j,i)) ! Чтобы проверить последующие элементы в том же столбце под строкой
if (aa> большой), затем ! Чтобы проверить, является ли диагональный элемент самым большим в столбце
большой = AA
Flag = 1
IMAX = J
END END если
            end do
             !Перестановка строк
            if (flag==1) then !Поменять местами строки так, чтобы диагональный элемент каждой строки был больше, чем все элементы в том же столбце в строках ниже
         🙂
a (i, 🙂 = a (imax, 🙂
A (imax, 🙂 = Temp
End, если
do k = i+1, n ! Чтобы исключить переменную из всех последующих строк
c =а(к,я)/а(я,я) !Обратите внимание, что это значение фиксировано для данного k. (Элементарная операция)
                a(k,:)=a(k,:)-c*a(i,:) !Это значение станет равным нулю, когда a(k,i)= a(k,i) из Ряд A (K, 🙂
END DO
END DO

! Проверка на сингулярность матрицы коэффициента
! Найдите DET (A)
DET = 1,0 ! В этот момент определитель рассчитывается, просто умножая все диагональные элементы a(i,i)
DO I = 1, N
DET = DET*A (I, I)
END DO

IF (ABS (DET) ! Расчет определителя помогает нам узнать, является ли матрица единственной

. Sing = 1 !0030         do i=n,1,-1 !На этот раз мы идем от нижней строки к верхней
            sumax=0.0
            do j=i+1,n !Мы смотрим на все элементы в строке справа Диагонального
Sumax = sumax+a (i, j)*x (j)
end do
x (i) = (b (i) -sumax)/a (i, i)
end do

конец подпрограмма gauss
                       

Обмена строк объясняется еще

Обратно для рассчитания x1 Назад

Исключение Гаусса для решения системы уравнений: +x4=3 .

.. Цитата страницы Начать эссе значок-вопрос Спросите репетитора

Начать бесплатную пробную версию

Скачать PDF PDF Цитата страницы Цитировать Поделиться ссылкой Делиться

Укажите эту страницу следующим образом:

«Используйте исключение Гаусса, чтобы решить систему уравнений: x1+x2-x3-2×4=-4 , 2×1-x2+3×3+3×4=5 , x2+7×3+3×4=2 , 2×1+4×2+2×3+x4=3 eNotes Editorial , 8 февраля 2013 г., https://www.enotes.com/homework-help/gaussian-elimination-x1-x2-x3-2×4-4-2×1-x2-3×3-3×4-383287. По состоянию на 22 марта 2023 г.

Ответы экспертов

Система линейных уравнений

x1+x2-x3-2×4=-4
2×1-x2+3×3+3×4=5
x2+7×3+3×4=2
2×1+4×2+2×3+x4=3

нужно решить.

Создать расширенную матричную форму

 

`[[1,1,-1,-2|-4],[2,-1,3,3|5],[0,1,7,3| 2],[2,4,2,1|3]] `

=> `[[1,0,-8,-5|-6],[2,-1,3,3|5],[0,1,7,3|2],[2,4, 2,1|3]]`

=> `[[1,0,-8,-5|-6],[0,-1,19,13|17],[0,1,7,3 |2],[2,4,2,1|3]]`

=> `[[1,0,-8,-5|-6],[0,1,-19,-13|- 17],[0,1,7,3|2],[0,4,18,11|15]]`

=> `[[1,0,-8,-5|-6],[ 0,1,-19,-13|-17],[0,0,26,16|19],[0,4,18,11|15]]`

=> `[[1,0, -8,-5|-6],[0,1,-19,-13|-17],[0,0,1,8/13|19/26],[0,4,18,11| 15]]`

=> `[[1,0,-8,-5|-6],[0,1,-19,-13|-17],[0,0,1,8/13 |19/26],[0,0,94,63|83]]`

=> `[[1,0,-8,-5|-6],[0,1,-19,-13|-17],[0,0,1,8/13|19/26] ,[0,0,0,67/13|186/13]]`

=> `[[1,0,-8,-5|-6],[0,1,-19,-13| -17],[0,0,1,8/13|19/26],[0,0,0,1|186/67]]`

=> `[[1,0,0,-1 /13|-2/13],[0,1,-19,-13|-17],[0,0,1,8/13|19/26],[0,0,0,1|186 /67]]`

=> `[[1,0,0,0|4/67],[0,1,-19,-13|-17],[0,0,1,8/13 |19/26],[0,0,0,1|186/67]]`

=> `[[1,0,0,0|4/67],[0,1,0,-17 /13|-81/26],[0,0,1,8/13|19/26],[0,0,0,1|186/67]]`

=> `[[1,0 ,0,0|4/67],[0,1,0,0|69/134],[0,0,1,8/13|19/26],[0,0,0,1|186/67]]`

=> `[[1,0,0,0| 4/67],[0,1,0,0|69/134],[0,0,1,0|-131/134],[0,0,0,1|186/67]]`

Это дает решение системы уравнений в виде x1 = 4/67, x2 = 69/134, x3 = -131/134 и x4 = 186/67.

См. eNotes без рекламы

Запустите 48-часовую бесплатную пробную версию , чтобы получить доступ к более чем 30 000 дополнительных руководств и более чем 350 000 вопросов помощи при выполнении домашних заданий, на которые наши эксперты ответили.

Получите 48 часов бесплатного доступа

Уже зарегистрированы? Войдите здесь.

Утверждено редакцией eNotes

Математика

Последний ответ опубликован 07 сентября 2010 г. в 12:47:25.

Что означают буквы R, Q, N и Z в математике?

14 Ответы учителя

Математика

Последний ответ опубликован 07 октября 2013 г. в 20:13:27.

Как определить, является ли это уравнение линейной или нелинейной функцией?

84 Ответы педагога

Математика

Последний ответ опубликован 09 октября 2017 г.

No related posts.