Как находить медиану ряда чисел: Медиана ряда чисел

Содержание

Дистанционный репетитор — онлайн-репетиторы России и зарубежья

КАК ПРОХОДЯТ
ОНЛАЙН-ЗАНЯТИЯ?

Ученик и учитель видят и слышат
друг друга, совместно пишут на
виртуальной доске, не выходя из
дома!

КАК ВЫБРАТЬ репетитора

Выбрать репетитора самостоятельно

ИЛИ

Позвонить и Вам поможет специалист

8 (800) 333 58 91

* Звонок является бесплатным на территории РФ
** Время приема звонков с 10 до 22 по МСК

ПОДАТЬ ЗАЯВКУ

Россия +7Украина +380Австралия +61Белоруссия +375Великобритания +44Израиль +972Канада, США +1Китай +86Швейцария +41

Выбранные репетиторы

Заполните форму, и мы быстро и бесплатно подберем Вам дистанционного репетитора по Вашим пожеланиям.
Менеджер свяжется с Вами в течение 15 минут и порекомендует специалиста.

Отправляя форму, Вы принимаете Условия использования и даёте Согласие на обработку персональных данных

Вы также можете воспользоваться
расширенной формой подачи заявки

Как оплачивать и СКОЛЬКО ЭТО СТОИТ

от
800 до 5000 ₽

за 60 мин.

и зависит

ОТ ОПЫТА и
квалификации
репетитора

ОТ ПОСТАВЛЕННЫХ ЦЕЛЕЙ ОБУЧЕНИЯ
(например, подготовка к олимпиадам, ДВИ стоит дороже, чем подготовка к ЕГЭ)

ОТ ПРЕДМЕТА (например, услуги репетиторовиностранных языков дороже)

Оплата непосредственно репетитору, удобным для Вас способом

Почему я выбираю DisTTutor

БЫСТРЫЙ ПОДБОР

РЕПЕТИТОРА И
ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПОДХОД

ОПТИМАЛЬНОЕ
СООТНОШЕНИЕ ЦЕНЫ И
КАЧЕСТВА

ПРОВЕРЕНЫ ДОКУМЕНТЫ ОБ ОБРАЗОВАНИИ У ВСЕХ РЕПЕТИТОРОВ

НАДЕЖНОСТЬ И ОПЫТ.
DisTTutor на рынке с 2008 года.

ПРОВЕДЕНИЕ БЕСПЛАТНОГО, ПРОБНОГО УРОКА

ЗАМЕНА РЕПЕТИТОРА, ЕСЛИ ЭТО НЕОБХОДИМО

375562 УЧЕНИКОВ ИЗ РАЗНЫХ СТРАН МИРА
уже сделали свой выбор

И вот, что УЧЕНИКИ ГОВОРЯТ
о наших репетиторах

Владимир Александрович Кузьмин

Тренинг у Кузьмина В. А. проходил в экстремальных условиях. Мой модем совершенно не держал соединение. За время часового тренинга связь прерывалась практически постоянно. Ясно, что в таких условиях чрезвычайно непросто чему-то учить. Однако Владимир Александрович проявил удивительную выдержку и терпение. Неоднократно он перезванивал мне на сотовый телефон, чтобы дать пояснения или комментарии. Ценой больших усилий нам удалось рассмотреть три программы: ConceptDraw MINDMAP Professional Ru, GeoGebra и Ultra Flash Video FLV Converter. Владимир Александрович открыл мне курс на платформе dist-tutor.info и научил подключать и настраивать Виртуальный кабинет, порекомендовав изучать возможности этого ресурса, чтобы постепенно уходить от использования Skype.

В итоге, занятие мне очень понравилось! Спокойное объяснение материала, дружелюбный настрой, подбадривание дистанционного ученика даже в самых непростых ситуациях — вот далеко не полный перечень качеств Владимира Александровича как дистанционного педагога. Мне следует учиться у такого замечательного репетитора!

Вячеслав Юрьевич Матыкин

Чулпан Равилевна Насырова

Я очень довольна репетитором по химии. Очень хороший подход к ученику,внятно объясняет. У меня появились сдвиги, стала получать хорошие оценки по химии. Очень хороший преподаватель. Всем , кто хочет изучать химию, советую только её !!!

Алина Крякина

Надежда Васильевна Токарева

Мы занимались с Надеждой Васильевной по математике 5 класса. Занятия проходили в удобное для обоих сторон время. Если необходимо было дополнительно позаниматься во внеурочное время, Надежда Васильевна всегда шла навстречу. Ей можно было позванить, чтобы просто задать вопрос по непонятной задачке из домашнего задания. Моя дочь существенно подняла свой уровень знаний по математике и начала демонстрировать хорошие оценки. Мы очень благодарны Надежде Васильевне за помощь в этом учебном году, надеемся на продолжение отношений осенью.

Эльмира Есеноманова

Ольга Александровна Мухаметзянова

Подготовку к ЕГЭ по русскому языку мой сын начал с 10 класса. Ольга Александровна грамотный педагог, пунктуальный, ответственный человек. Она всегда старается построить занятие так, чтобы оно прошло максимально плодотворно и интересно. Нас абсолютно все устраивает в работе педагога. Сотрудничество приносит отличные результаты, и мы его продолжаем. Спасибо.

Оксана Александровна

Клиентам

Репетиторы по математике
Репетиторы по русскому языку
Репетиторы по химии
Репетиторы по биологии
Репетиторы английского языка
Репетиторы немецкого языка

Репетиторам

Регистрация
Публичная оферта
Библиотека
Бан-лист репетиторов

Партнеры

ChemSchool

PREPY. RU
Class

Золотая середина. Поиск медианного элемента потока входных чисел / Хабр

В этой статье мы рассмотрим следующую задачу: поиск и поддержание медианы среди целых чисел, которые последовательно попадают на обработку. В этом посте мы поставим задачу, разберём все необходимые вводные, предложим и оценим сложность решения.

Постановка задачи

На вход алгоритму подаётся поток целых чисел, т.е. количество чисел может быть неизвестно, но мы будем считать, что массив задан наперёд и его длина очень большая. Требуется разработать алгоритм, который определяет медиану текущего массива, т.е. считанного из исходного к данному моменту. При этом требуется, чтобы сложность такого алгоритма была

Медиана ряда чисел

Начнём с базовых понятий. Медианой называется число, стоящее в упорядоченном ряде чисел посередине. Например в ряду: 1, 2, 3, 7, 9 — тройка является медианой. Если количество чисел чётное, то за медиану принимают среднее двух стоящих в центре чисел.

Либо можно выбирать элемент под номером , если чётное и если нечетное.

Наивный подход

Давайте обсудим бейзлайновое решение, при котором медиану можно получить за .

Пусть каждое новое число из потока мы будем вставлять в массив так, чтобы массив оставался упорядоченным. Затем будем выбирать элемент из середины и добавлять его в список медиан.

medians = []
items_read = []
with open('./Median.txt', 'r') as f:
    for line in f:
        num = int(line.strip())
        for idx in range(len(items_read)):
            if num < items_read[idx]:
                items_read.insert(idx, num)
                break
        if len(items_read) % 2 == 0:
            median_pos = len(items_read) // 2
        else:
            median_pos = len(items_read) + 1 // 2
        medians.append(median_pos)

Как упоминалось выше, этот алгоритм будет иметь квадратичную сложность, поскольку для каждого из элементов потока, мы выполняем линейную работу по поиску места и вставке элемента в массив.

Улучшить этот результат нам поможет структура данных — куча.

Куча. Min-heap, max-heap

Рассмотрим кучу на примере min-heap. Min-heap — это бинарное дерево, обладающее двумя следующими свойствами:

ключи любого узла этого дерева всегда меньше, чем ключи его двух дочерних узлов,
такое дерево является полным, т.е. у него должны быть заполнены все уровни, за исключением последнего.

Пример кучи (источник)

Аналогично образом задаётся max-heap, нужно заменить «меньше» на «больше» в первом свойстве.
При решении задачи мы хотим воспользоваться операциями, которые благодаря построению кучи, могут быть выполнены быстрее, чем за линейное время.

Первая из этих операций: взятие минимума (максимума) и удаление

Работая с кучей, операцию взятия минимума можно осуществить за константное время. Поскольку минимум всегда хранится в корне дерева, то узнать его значение не составляет труда. Если же мы хотим удалить минимум и назначить на его место следующий по величине элемент, то нам потребуется вызвать метод

extract, чья временная сложность тоже меньше линейной и равна .

Метод extract внутри себя запускает следующий процесс: сначала элемент с самого последнего уровня ставится в корень дерева, затем на корне дерева стартует метод bubble_down, который уровень за уровнем (а таких всего в полном дереве) опускает новый корневой узел.
Код реализации на языке Python смотри ниже.

Вторая операция: добавление элемента

Чтобы добавить произвольный элемент в кучу требуется выставить новый элемент на правильное место, не утратив 2 свойства кучи. Для этого новый элемент добавляется на последний уровень, а затем методом bubble_up поднимается в сторону корня, пока над ним не окажется элемент меньший него или он не станет корнем.

Сложность этой операции также равна

Код, в котором мы определим необходимую функциональность с возможностью определения min и max-heap:

class Heap(object):
    def __init__(self, array, type):
        super(Heap, self).__init__()
        self.type = type
        self.data = []
        self.heapify(array)
    
    def heapify(self, array):
        for item in array:
            self.insert(item)
    def bubble_down(self, array, index=0):
        left = 2 * index + 1 
        right = 2 * index + 2
        size = len(array)
        least = index
        if self.type == 'min':
            if left < size and array[left] < array[least]:
                least = left
            if right < size and array[right] < array[least]:
                least = right
            if least != index:
                tmp_val = array[least]
                array[least] = array[index]
                array[index] = tmp_val
                self.bubble_down(array, index=least)
        else:
            if left < size and array[left] > array[least]:
                least = left
            if  right < size and array[right] > array[least]:
                least = right
            if least != index:
                tmp_val = array[least]
                array[least] = array[index]
                array[index] = tmp_val
                self.  bubble_down(array, index=least)
    
    def bubble_up(self, array, index):
        parent = (index - 1) // 2
        if self.type == 'min':
            if array[index] < array[parent] and parent >= 0:
                tmp_val = array[parent]
                array[parent] = array[index]
                array[index] = tmp_val
                self.bubble_up(array, index=parent)
        else:
            if array[index] > array[parent] and parent >= 0:
                tmp_val = array[parent]
                array[parent] = array[index]
                array[index] = tmp_val
                self.bubble_up(array, index=parent)
    def extract(self):
        root = self.data.pop(0)
        self.data.insert(0, self.data.pop(-1))
        self.bubble_down(self.data, 0)
        return root
    def insert(self, element):
        self.data.append(element)
        self.bubble_up(self.data, index=len(self.data)-1)
if __name__ == "__main__":
    a = [3,99,4,88,0,5,1,2]
    b = Heap(a, type='max')
    print(b. data)

Оптимальное решение

Теперь перейдем непосредственно к реализации алгоритма контроля медианы, основанном на использовании кучи. Мы будем использовать две кучи, одну минимальную, другую максимальную. Идея заключается в следующем: давайте разделим поток значений на верхнюю часть, содержащую большие значения и нижнюю, содержащую меньшие значения. Первую реализуем на основе min-heap, чтобы легко получать минимальный элемент, который лежит на разделе, а вторую на основе max-heap.

Всякий раз, когда мы читаем из потока очередное число, будем добавлять его в верхнюю часть, если оно больше наименьшего из этой половины и в нижнюю часть, если верно обратное. Затем, осуществив вставку, будем балансировать две части, чтобы они содержали по половине из введенных значений.

Код:

from heap import Heap
top_nums = Heap([], 'min')
bot_nums = Heap([], 'max')
medians = []
with open('./Median.txt', 'r') as f:
    for line in f:
        num = int(line. strip())
        if len(top_nums.data):
            top_smallest = top_nums.data[0]
            if num > top_smallest:
                top_nums.insert(num)
            else:
                bot_nums.insert(num)
        else:
            bot_nums.insert(num)
        while len(top_nums.data) > len(bot_nums.data):
            bot_nums.insert(top_nums.extract())
        while len(top_nums.data) + 1 < len(bot_nums.data):
            top_nums.insert(bot_nums.extract())
        medians.append(bot_nums.data[0])

Каждую итерацию внешнего цикла, мы делаем несколько шагов сложностью , посколько операции вставки и получения элемента из кучи ограничены этой сложностью. По этой причине итоговая сложность не превышает .

Заключение

В этой статье на примере задачи мы обсудили преимущества кучи по сравнению со списком. Познакомились с временной сложностью операций над этой структурой данных. Реализовали код этой структуры, необходимый для эффективного выполнения задачи по поиску медианного элемента в потоке чисел.

В преддверии старта курса «Алгоритмы и структуры данных» приглашаем всех желающих на бесплатный двухдневный интенсив по теме: Алгоритм сжатия данных — код Хаффмана.
ЗАПИСАТЬСЯ НА ИНТЕНСИВ. ДЕНЬ 1

ЗАПИСАТЬСЯ НА ИНТЕНСИВ. ДЕНЬ 2

Медиана как статистическая характеристика

Пояснительная записка

Урок на тему «Медиана как статистическая характеристика» соответствует требованиям федерального компонента государственного стандарта. Урок разработан в соответствии с программой по математике и ориентирован на использование учебника Макарычева Ю. Н. «Алгебра. 7 класс». Эта разработка может использоваться также и с другими учебниками. Согласно планированию на тему «Статистические характеристики» в 7 классе отводится два урока. Этот урок — второй. На момент проведения урока обучающиеся знакомы с понятиями среднее арифметическое, размах, мода.

Урок проводится в классе, обучающиеся которого знакомы с азами работы в электронных таблицах, поэтому в конце урока им предлагается дополнительное задание на реализацию рассмотренных на уроке задач в электронных таблицах.

Система целей к уроку

овладение новым статистическим понятием «медиана», изучение области применения этого понятия при анализе статистической информации;
развитие логического мышления, критичности мышления, закрепление навыков алгоритмической культуры, способности преодолевать трудности;
формирование представлений о моделировании практических ситуаций средствами математики;
воспитание культуры общения, умения работы в творческой группе, ответственности за результат интеллектуального труда.

Основные требования к обучающимся

уметь:

анализировать и решать статистические задачи, выбирая необходимую статистическую характеристику
оценивать результат, объяснять практическое значение результата решения задачи;
находить средние значения результатов измерений;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности для:

анализа реальных числовых данных, представленных в виде таблиц;
решения практических ситуационных задач;
понимания статистических утверждений.

Ход урока

1. Начало урока

Щадящий опрос [2].

Технология опроса.

Класс разбивается на две группы по рядам - вариантам. Учитель задаёт вопрос. На него отвечает первая группа. При этом каждый ученик дает ответ на вопрос своему соседу по парте - ученику второй группы. Затем на этот же вопрос отвечает учитель или сильный ученик. Ученики второй группы, прослушав ответ учителя, сравнивают его с ответом товарища и выставляют ему оценку или просто «+» или «-«. На следующий вопрос учителя отвечают ученики второй группы, а ребята первой их прослушивают. Теперь они в роли преподавателя и после ответа учителя, выставляют ученикам второй группы отметку. Таким образом, задав 6 вопросов, учитель добивается того, что каждый ученик в классе ответить на 3 вопроса, прослушав ответы учителя на все вопросы, оценит своего товарища по 3 вопросам. Каждый ученик при такой форме опроса выступает и в роли отвечающего, и в роли контролирующего. В конце опроса ребята выставляют друг другу оценки [1].

Вопросы для щадящего опроса.

1.Что называется средним арифметическим ряда чисел?

2. Найдите среднее арифметическое ряда чисел (задание №177 в учебнике [4]).

3. Что называется размахом ряда чисел.

4. Найдите размах ряда чисел (задание №177 в учебнике [4]).

5. Что называется модой ряда чисел?

6. Найдите моду ряда чисел (задание №177 в учебнике [4]).

Для удобства проведения опроса таблица из задания №177 может быть выведена на слайд.

№	Фамилия	Число деталей
1	Иванов	38
2	Лазарев	42
3	Ильин	36
4	Бережной	45
5	Егоров	48
6	Петров	45
7	Семенов	45
8	Лукин	42
9	Андреев	40
10	Попов	47

2. Объяснение нового материала

Одного из ученика назначают в начале урока на роль «подводящего итоги» [2], его задача выделить всё самое главное на уроке и в конце урока сформулировать эти выводы в качестве опорного конспекта по теме.

В начале объяснения нового материала используем прием «практичность теории» [2].

Предложим ученикам дать ответ на вопрос следующей задачи (пути решения задачи и ответы учащиеся обсуждают в парах, затем записывают ответы на листиках и откладывают до завершающего этапа урока).

Задача.

Семеро друзей живут вдоль шоссе, которое расположено в лесу. Расположение их домов показано на рис. 1. Они являются членами клуба туристов. Стоимость бензина оплачивается из казны клуба. В каком месте шоссе им необходимо собраться на пикник, чтобы израсходовать на путешествие минимальное количество денег на бензин? Любое место в лесу у шоссе является прекрасным местом для пикника [3].

Для решения этой задачи рассмотрим ещё одну статистическую характеристику на примере следующих задач.

Задача 1.

В таблице показан расход электроэнергии в январе жильцами девяти квартир:

Номер квартиры	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Расход электроэнергии, кВтч	85	64	78	93	72	91	72	75	82

Определить номера квартир, для которых расход электроэнергии жильцов превосходит среднее значение.

План решения.

1 .Составим упорядоченный ряд чисел: 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91, 93.

2. Определим число, которое стоит в середине ряда.

Это число — 78.

Вывод: жильцы квартир №9, №1, №6, №4 расходуют электроэнергии больше среднего значения потребления.

Задача 2.

Поставим ту же задачу только для чётного числа квартир.

Номер квартиры	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Расход электроэнергии, кВт * ч	85	64	78	93	72	91	72	75	82	83

План решения.

1 .Используем упорядоченный ряд чисел: 64, 72, 72, 75, 78, 82, 83, 85, 91, 93.

2. Определим числа, которые стоят в середине ряда.

Это числа — 78 и 82.

3. Найдем среднее арифметическое этих чисел: (78+82)/2=80.

Вывод: жильцы квартир №9, №10, №1, №6, №4 расходуют электроэнергии больше среднего значения потребления..

Делаем вывод из рассмотренных задач: новая величина, которую мы использовали, называется медианой ряда чисел (от латинского слова mediana, которое означает «среднее»).

Ответьте на вопросы:

1. Как найти медиану ряда чисел, если количество членов этого ряда нечётно?

Нужно упорядочить ряд чисел, найти число, записанное посередине — это число и называется медианой ряда чисел.

2. Как найти медиану ряда чисел, если количество членов этого ряда чётно?

Нужно упорядочить ряд, найти два числа, записанные посередине и найти их среднее арифметическое. Это и будет медианой ряда чисел.

3. Сформулируйте определение медианы ряда чисел.

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

3. Закрепление, тренировка, отработка умений

Закрепление нового понятия проводим в форме игры — тренинга, которая позволяет проделать большое число однообразных упражнений и растворить скуку однообразия одновременно [2].

Игра «Математическая эстафета» [2].

Класс делится на две команды.

Задание 1.

Упражнение № 186 [4]. Найдите медиану ряда чисел:

1 команда:

30, 32, 37, 40, 41, 42, 45, 49, 52

102, 104, 205, 207, 327, 408, 417

2 команда:

16, 18, 20, 22, 24, 26

1,2; 1,4; 2. 2; 2,6; 3,2; 3,8; 4,4; 5,6.

Задание 2.

Упражнение 187 [4]. Найдите среднее арифметическое и медиану ряда чисел.

1 команда:

3,8; 7,2; 6,4; 6,8; 7,2

2 команда:

21,6; 37,3; 16,4; 12,6

Задание 3.

В таблице показано число посетителей выставки в разные дни недели:

Дни недели	Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
Число посетителей	604	638	615	636	625	710	724

Найдите медиану указанного ряда данных. В какие дни недели посетителей выставки было больше медианы?

Оценивание «Математической эстафеты».

За верный ответ на первые два задания каждая команда получает по 1 баллу. За верный ответ на третье задание 1 балл получает команда, которая дала правильный ответ. Результаты выигрыша можно оценить отметкой активным участникам эстафеты или же всей команде одновременно. А, может, хватит и хорошей похвалы!

Работа в группах [2].

Упражнение №192 [4].

Отмечая время (с точностью до минуты), которое токари бригады затратили на обработку одной детали, получили такой ряд данных: 30, 32, 32, 38, 36, 31, 32, 38, 35, 36, 32, 40, 42, 36, 33, 35, 32, 32, 40, 38. Для полученного ряда данных найдите размах, моду и медиану. Объясните практический смысл этих статистических показателей.

При оценивании выполнения этого упражнения оценивается не только верный ответ, но и упрощение вычислений при наличии повторений некоторых чисел в ряду.

4. Повторение

Используем прием «повторяем с контролем» [2].

В течение 2 минут учащиеся продумывают контрольные вопросы по данной теме. Затем в течение 3 — 4 минут задают эти вопросы другу (идет взаимоконтроль), выставляют себе оценки.

Затем обсуждается решение задачи, поставленной в начале урока. Для обсуждения решения используется разбиение на творческие группы по желанию обучающихся, либо на группы по 4 человека либо любое другое разбиение, которое позволяет посадка детей в кабинете.

Возможный вариант решения задачи:

На шоссе нужно выбрать такую точку, чтобы сумма расстояний отточек А, Б, В, Г, Д, Е и Ж до этой точки была минимальной.
Введем координатную прямую, направив её вдоль прямой, изображающей шоссе, приняв за начало точку А, направление — в сторону точки Б, единицей масштаба будем считать 1 км. Тогда имеем следующие координаты отмеченных точек: А(0), Б(0), В(11.2), Г(19,2), Д(22,4), Е(24), Ж(25,6).
Сумма расстояний от всех точек до точки с координатой, равной медиане координат всех точек, является наименьшей. Медианой является точка Г(19,2). В этом месте друзьям целесообразно собраться на пикник.
Сумма расстояний, которую должны проехать друзья, равна 19,2 +11,2+8+0+3,2+4,8+6,4=52,8 (м)
Учащиеся сравнивают это ответ с тем ответом, который они дали для этой задачи в начале урока, делают выводы о пользе нового математического понятия.

5. Контроль

Проверочная работа (по двум вариантам).

Учащиеся записывают только ответ.

1 вариант.

Упражнение 189 [4]. В таблице показано число изделий, изготавливаемых за месяц членами бригады:

№	Фамилия	Число изделий
1	Антонов	185
2	Астафьев	194
3	Баранов	179
4	Бобков	185
5	Васильев	136
6	Егоров	158
7	Квитко	178
8	Лазарев	149
9	Осокин	156
10	Рылов	185
11	Сухов	168

Найдите медиану этого ряда данных. У кого из членов бригады выработка за месяц была больше медианы?

2 вариант.

Упражнение 190 [4]. В таблице показано, сколько акций одинаковой стоимости некоторого акционерного общества приобрели сотрудники отдела:

№	Фамилия	Число акций
1	Астахова	5
2	Бодров	4
3	Волков	10
4	Ерин	3
5	Ильин	2
6	Куликова	10
7	Лаврова	25
8	Михайлов	3
9	Муравьев	1
10	Николаева	4
11	Осипов	12
12	Павлов	6
13	Петракова	8
14	Райков	10
15	Тимофеев	2
16	Федоров	4

Найдите медиану этого ряда данных. У кого из сотрудников отдела число приобретенных акций не превосходит медиану?

6. Домашнее задание

Параграф 10, контрольные вопросы на стр. 42, №193, 188

Особое задание: реализовать задачи 187, 193 в электронных таблицах.

7. Конец урока

Итог урока подводит ученик, назначенный на роль «подводящего итоги».

Презентация.

Список литературы.

Шейман В. М. Технология работы учителя физики: Из опыта работы. — М.: МП «Новая школа», 1992.
Гин А. А. Приёмы педагогической техники. Пособие для учителя. — М.: Вита — Пресс, 2007.
Бродский Я. С. Статистика. Вероятность. Комбинаторика. — М.:ООО «Издательство Оникс», 2008.
Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра: учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений. Под ред. Теляковского С. А. — М.: Просвещение, 2008.

Среднее арифметическое. Размах. Мода. Медиана — презентация на Slide-Share.ru 🎓

Первый слайд презентации: Среднее арифметическое. Размах. Мода. Медиана

7 класс

Изображение слайда

Слайд 2

Среднее арифметическое Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы чисел на число слагаемых

Изображение слайда

Слайд 3

Задачи Найдите среднее арифметическое чисел: а) 12;18;45;13;11;9. Решение: (12 +18 +45 +13 +11 +9) : 6 = 18 б) 34;-4;-18;44;3 Решение: (12 + (- 4) + (-18) +44 +3) :5 = 7,4

Изображение слайда

Слайд 4

Размах Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел

Изображение слайда

Слайд 5

Задачи Найти размах ряда чисел: а) 69, 33, 65, 19, 56, 98. Решение: 98 – 19 = 79. б) 0,9; 0,8; 0,18; 0,999. Решение: 0,999 – 0,18 = 0,819.

Изображение слайда

Слайд 6

Мода Модой ряда чисел называется число, наиболее часто встречающееся в данном ряд у

Изображение слайда

Слайд 7

Задачи Найдите моду ряда чисел: а) 5,12,38,5,76,12,67,5,38. Решение: Мода -5. б) -7;-8;-11;0;-7;-11. Решение: Мода — -7;-11.

Изображение слайда

Слайд 8

Медиана Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине, а с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

Изображение слайда

Слайд 9

Задачи Найдите медиану ряда чисел: 11,17,44,62,3,1,61; Решение Упорядочим ряд: 1,3,11,17,44,61,63. Т.к в ряду чисел нечетное количество – 7, то медиана – 17.

Изображение слайда

Слайд 10

2) 13,64,55,32,14,6. Решение Упорядочим ряд: 6,13,14,32,55,64. Т.к число чисел в ряду нечетное число, то найдем среднее арифметическое чисел, записанных посередине: (14 + 32) :2 = 23. Значит медиана данного ряда – 23.

Изображение слайда

Слайд 11

Семен Борис Макар 166см 156см 164 см Найдите средний рост мальчиков и размах. Задача №1

Изображение слайда

Слайд 12

Задача №2 В дневнике у Ивана по математике стоят следующие оценки: 4,3,3,4,4,5,3,3,4,2,4,3. Найдите среднее арифметическое, размах и моду для ряда чисел.

Изображение слайда

Слайд 13

Записана высота (в см) пяти саженцев-трехлеток яблони сорта «Антоновка»: 147, 140, 136, 153, 134. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы? Задача №3

Изображение слайда

Слайд 14

В течение четверти Маша получила следующие отметки по литературе: одну «двойку», две «тройки», одну «четверку» и шесть «пятерок». Найдите сумму среднего арифметического и медианы ее оценок. Задача №4

Изображение слайда

Слайд 15

Задача №5 Турист 2 ч ехал на машине со скоростью 85 км в час,3ч ехал на поезде со скоростью 60 км в час и 5ч шел пешком со скоростью 5 км в час. С какой средней скоростью двигался турист?

Изображение слайда

Слайд 16: Решите самостоятельно:

1 вариант Найдите среднее арифметическое, размах, моду и медиану ряда чисел: 12,3; 17,4; 14,01; 12,03; 12,3. 2 вариант Найдите среднее арифметическое, размах, моду и медиану ряда чисел: 23,6; 13,12; 15; 23,6; 14,22.

Изображение слайда

Последний слайд презентации: Среднее арифметическое.

Размах. Мода. Медиана: Проверь!

1вариант Среднее арифметическое-13,608 Размах — 5,37 Мода — 12,3 Медиана — 12,3. 2 вариант Среднее арифметическое – 17,908 Размах – 10,48 Мода – 23,6 Медиана – 15.

Изображение слайда

Как считать среднее арифметическое, медиану и моду

Главная

Блог

В поисках средних значений: разбираемся со средним арифметическим, медианой и модой

Иногда при работе с данными нужно описать множество значений каким-то одним числом. Например, при исследовании эффективности сотрудников, уровня вовлеченности в аккаунте, KPI или времени ответа на сообщения клиентов. В таких случаях используют меры центральной тенденции. Их можно называть проще — средние значения.

Но в зависимости от вводных данных, находить среднее значение нужно по-разному. Основной набор задач закрывается с использованием среднего арифметического, медианы и моды. Но если выбрать неверный способ — выводы будут необъективны, а результаты исследования нельзя будет признать действительными. Чтобы не допустить ошибку, нужно понимать особенности разных способов нахождения средних значений.

Антон Томиленко

Cтратег, аналитик и контент-продюсер. Работает с агентством «Палиндром».

Автор статьи:

Как считать среднее арифметическое

Как найти медиану и когда ее применять

Что такое мода и где ее использовать

Как считать среднее арифметическое

Использовать среднее арифметическое стоит тогда, когда множество значений распределяются нормально ― это значит, что значения расположены симметрично относительно центра. Как выглядит нормальное распределение на графике и в таблице, можно посмотреть на примере:

Если данные распределяются как в примерах — вам повезло. Можно без лишних заморочек считать среднее арифметическое и быть уверенным, что выводы будут объективны. Однако, нормальное распределение на практике встречается крайне редко, поэтому среднее арифметическое в большинстве случаев лучше не использовать.

Как рассчитать

Сумму значений нужно поделить на их количество. Например, вы хотите узнать средний ER за 4 дня при нормальном распределении значений и без аномальных выбросов. Для этого считаем среднее арифметическое: складываем ER всех дней и делим полученное число на количество дней.

Если хотите автоматизировать вычисления и узнать среднее арифметическое для большого числа показателей — используйте Google Таблицы:

Заполните таблицу данными.
Щелкните по пустой ячейке, в которую хотите записать среднее арифметическое.
Введите «=AVERAGE(» и выделите ряд чисел, для которых нужно вычислить среднее арифметическое. Нажмите «Enter» после ввода формулы.

Когда можно не использовать

Если данные распределены ненормально, то наши расчеты не будут отражать реальную картину. На ненормальность распределения указывают:

Отсутствие симметрии в расположении значений.
Наличие ярко выраженных выбросов.

Как пример ненормального распределения (с выбросами) можно рассматривать среднее время ответа на комментарии по неделям:

Если посчитать среднее значение для такого набора данных с помощью среднего арифметического, то получится завышенное число. В итоге наши выводы будут более позитивными, чем реальное положение дел. Еще стоит учитывать, что выбросы могут не только завышать среднее значение, но и занижать его. В таком случае вы получите более скромный показатель, который не будет соответствовать реальности.

Например, в группе «Золотое Яблоко» во ВКонтакте иногда публикуют конкурсные посты. Они набирают более высокие показатели вовлеченности чем обычные публикации. Если посчитать средний ER с учетом конкурсов, мы получим 0,37%, а без учета конкурсов — только 0,29%. Аналогичная ситуация с числом комментариев. С конкурсами в среднем получаем 917 комментариев, а без конкурсов — всего лишь 503. Очевидно, что из-за розыгрышей средние показатели вовлеченности завышаются. В этом случае конкурсные посты следует исключить из анализа, чтобы объективно оценить эффективность контента в группе.

Еще часто бывает так, что данных очень много, заметны явные выбросы, но на их обработку и исключение аномальных значений не хватит ни времени, ни терпения. Тем более нет гарантий, что исключив выбросы, вы получите нормальное распределение. В таком случае лучше подсчитать средние значения, используя медиану.

Как найти медиану и когда ее применять

Если вы имеете дело с ненормальным распределением или замечаете значительные выбросы — используйте медиану. Так можно получить более адекватное среднее значение, чем при использовании среднего арифметического. Чтобы понять, как работать с медианой, рассмотрим аналогичный пример с ненормальным распределением времени ответов на комментарии.

Ниже в таблице уже введены данные из графика и рассчитано среднее время ответа с помощью среднего арифметического и медианы. Из расчетов видна наглядная разница между средним арифметическим и медианой ― она составляет 17 минут. Такое различие появляется из-за низкого темпа работы на выходных и в нестандартных ситуациях, когда к ответу на сообщения нужно относиться с особой ответственностью (события конца февраля). Подобные выбросы сильно завышают среднее арифметическое, а вот на медиану они практически не влияют. Поэтому если хотите посчитать среднее значение избегая влияния выбросов, — используйте медиану. Такие данные будут без искажений.

Как рассчитать

Разберем на примере. В аккаунте опубликовали семь постов и они набрали разное количество комментариев: 35, 105, 2, 15, 2, 31, 1. Чтобы вычислить медиану, нужно пройти два этапа:

Расположите числа в порядке возрастания. Итоговый ряд будет выглядеть так: 1, 2, 2, 15, 31, 35, 105.
Найдите середину сформированного ряда. В центре стоит число 15 — его и нужно считать медианой.

Немного сложнее найти медиану, если вы работаете с четным количеством чисел. Например, вы собрали количество лайков на последних шести постах: 32, 48, 36, 201, 52, 12. Чтобы найти медиану, выполните три действия:

Расставьте числа по возрастанию: 12, 32, 36, 48, 52, 201.
Возьмите два из них, наиболее близких к центру. В нашем случае — это 36 и 48.
Сложите два этих числа и разделите на два: (36 + 48) / 2 = 42. Результат и есть медиана.

Чтобы вычислять медиану быстрее и обрабатывать большие объемы данных — используйте Google Таблицы:

Внесите данные в таблицу.
Щелкните по свободной ячейке, в которую хотите записать медиану.
Введите формулу «=MEDIAN(» и выделите ряд чисел, для которых нужно рассчитать медиану. Нажмите «Enter», чтобы все посчиталось.

Когда можно не использовать

Если данные распределены нормально и вы не видите заметных выбросов — медиану можно не использовать. В этом случае значение среднего арифметического будет очень близким к медиане. Можете выбрать любой способ нахождения среднего, с которым вам работать проще. Результат от этого сильно не изменится.

Что такое мода и где ее использовать

Мода ― это самое популярное/часто встречающееся значение. Например, стоит задача узнать, сколько комментариев чаще всего набирают посты в аккаунте. В этом случае можно не высчитывать среднее арифметическое или медиану ― лучше и проще использовать моду.

Еще пример. Нужно узнать, в какое время аудитория чаще всего взаимодействует с публикациями. Для этого можно посчитать данные вручную или использовать готовую таблицу из LiveDune (вкладка «Вовлеченность» ― таблица «Лучшее время для поста»). По ее данным ― больше всего реакций пользователи оставляют в среду в 16 часов. Это время и есть мода. Таким образом, если вам нужно найти самое популярное значение, а не классическое среднее — проще использовать моду.

Как рассчитать

Чтобы найти наиболее часто встречающееся значение в наборе данных, нужно посмотреть, какое число встречается в ряду чаще всех. Например, для ряда 5, 4, 2, 4, 7 ― модой будет число 4.

Иногда в ряде значений встречается несколько мод. Например, ряду 7, 7, 21, 2, 5, 5 свойственны две моды — 7 и 5. В этом случае совокупность чисел называется мультимодальной. Также поиск моды можно упростить с помощью Google Таблиц:

Внесите значения в таблицу.
Щелкните по ячейке, в которую хотите записать моду.
Введите формулу «=MODE(» и выделите ряд чисел, для которых нужно вычислить моду. Нажмите «Enter».

Однако важно иметь в виду, что табличная функция выдает только самую меньшую моду. Поэтому будьте внимательны — можно упустить из виду несколько мод.

Когда использовать не стоит

Моду нет смысла использовать, если вас не просят найти самое популярное значение. Там, где надо найти классическое среднее значение, про моду лучше забыть.

Памятка по использованию

Среднее арифметическое

Как находим: сумма чисел / количество чисел.
Используем: если данные распределены нормально и нет ярких выбросов.
Не используем: если видим явные выбросы или ненормальное распределение.

Медиана

Как находим: располагаем числа в порядке возрастания и находим середину сформированного ряда.
Используем: если работаем с ненормальным распределением или видим выбросы.
Не используем: если выбросов нет и распределение нормальное.

Мода

Как находим: определяем значение, которое чаще всего встречается в ряду чисел.
Используем: если нужно найти не среднее, а самое популярное значение.
Не используем: если нужно найти классическое среднее значение.

Только важные новости в ежемесячной рассылке

Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку персональных данных.

Что нового в SMM?

Подписывайся сейчас и получи гайд аудита Instagram аккаунта

Популярные статьи

≈ 7 мин на чтение Thursday, November 29

Сравнение аккаунтов в соцсетях за 5 минут

Как за 5 минут сравнить большое количество аккаунтов конкурентов, сеть филиалов одной компании или проанализировать темпы роста одного аккаунта.

≈ 7 мин на чтение Thursday, April 8

7 отчетов Яндекс.Метрики для SMM-специалиста

В статье расскажем, с помощью каких отчетов Яндекс.Метрики можно определить эффективность продвижения в социальных сетях.

≈ 5 мин на чтение Wednesday, February 24

KPI для SMM специалиста: как установить и отслеживать выполнение

Какие бывают KPI в SMM и как отслеживать их выполнение в течение месяца.

Wednesday, June 16

5 типичных ошибок при работе со статистикой соцсетей

самые распространенные ошибки, которые допускают блогеры и smm-щики при работе со статистикой и как LiveDune поможет их избежать. Приготовьтесь внимательно читать, обещаем, будет полезно.

Маркетинговые продукты LiveDune — 7 дней бесплатно

Наши продукты помогают оптимизировать работу в соцсетях и улучшать аккаунты с помощью глубокой аналитики

Анализ своих и чужих аккаунтов по 50+ метрикам в 6 соцсетях.

Статистика аккаунтов

Оптимизация обработки сообщений: операторы, статистика, теги и др.

Директ Инстаграм

Автоматические отчеты по 6 соцсетям. Выгрузка в PDF, Excel, Google Slides.

Отчеты

Контроль за прогрессом выполнения KPI для аккаунтов Инстаграм.

Аудит Инстаграм аккаунтов с понятными выводами и советами.

Экспресс-аудит

Поможем отобрать «чистых» блогеров для эффективного сотрудничества.

Проверка блогеров

Медиана как статистическая характеристика — математика, презентации

МБОУ СОШ №33 г. Озерск Челябинская область

МЕДИАНА КАК СТАТИСТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА

7 класс

учитель математики Зинина Марина Владимировна

Номер квартиры

Расход электроэнергии

Упорядоченный ряд

64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91, 93

Номер квартиры

Расход электроэнергии

Упорядоченный ряд

64, 72, 72, 75, 78 , 82, 85, 91, 93

медиана

Номер квартиры

Расход электроэнергии

Упорядоченный ряд

64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 88, 91, 93

Номер квартиры

Расход электроэнергии

Упорядоченный ряд

64, 72, 72, 75, 78 , 82 , 85, 88, 91, 93

Среднее арифметическое этих чисел

64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 88, 91, 93

МЕДИАНОЙ упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине.

МЕДИАНОЙ упорядоченного ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

МЕДИАНОЙ произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.