Как находить производную сложной функции: Производная сложной функции, примеры решений

25.Производная сложной функции.

Для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

Производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

26.Производнаяобратной функции.

Пусть функция  имеет в точке  производную . Тогда обратная функция  имеет в соответствующей точке  производную , которую можно отыскать по формуле

(4.14)

 Доказательство.    

Дадим аргументу   приращение  , такое что  , и рассмотрим соответствующее приращение  , определяемое равенством  .

Тогда, очевидно,  ; при этом  , а из монотонности функции   следует, что  . Поскольку как функция  , так и функция   непрерывны, то условия   и   эквивалентны. Составим теперь разностное отношение для функции   и запишем для него очевидное равенство:

Теперь перейдём в этом равенстве к пределу при   и учтём, что при этом   тоже стремится к 0:

что мы и хотели доказать.       Заметим, что, очевидно, из формулы (4.14) следует, что

(4.15)

если   — функция, обратная к  .

27.Логарифмическая производная.

Отношение  называется логарифмической производной функции f(x)

Логарифмическая производная – производная от натурального логарифма модуля (абсолютной величины) – данной функции: 

Используя формулу производной сложной функции, найдем, что  (*)

Логарифмическую производную используют, например, при дифференцировании (нахождении производной или дифференциала) степенно-показательной функции.

Пример

Найдём производную функции у = х^x. Поскольку lny= xlnx, легко найти логарифмическую производную:

Теперь с помощью формулы (*) получим:

Логарифмическая производная функции имеет экономический смысл – отношение скорости изменения величины у (ее производной) к самой этой величине – темп изменения у; если темп положителен – скорость изменения увеличивается, если отрицателен –  скорость падает.

28.Производная функции, заданной неявно и параметрически.

Неявно заданная функция

Если функция задана уравнением у=ƒ(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.

Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот.

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1=0 или 2^у-х+у=0).

Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у’.

Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

Пример:

Найти производную функции у, заданную уравнением х

3+у³-3ху=0.

Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство х³+у³-3ху=0. Из полученного соотношения

3х²+3у² у’-3(1 у+х у’)=0

следует, что у²у’-ху’=у-х², т. е. у’=(у-х²)/(у²-х).

Функция, заданная параметрически

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений

где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную у’_х, считая, что функции (21.1) имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=φ(х). По правилу дифференцирования обратной функции

Функцию у=ƒ(х), определяемую параметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=φ(х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у’

х=y’_t•t’_x. С учетом равенства (21.2) получаем

Полученная формула позволяет

находить производную у’_х от функции заданной

параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

<< Пример 21.2

Пусть  

Найти у’_х.

Решение: Имеем   x’_t=3t²,   y’_t=2t.   Следовательно,   у’_х=2t/t²,   т. е. 

В этом можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у от х.

Действительно,    Тогда    Отсюда  т. е.29.Дифференциал функции, инвариантность формы 1- го дифференциала.

Дифференциал функции

Главная линейная часть приращения функции Ax в определении дифференцируемости функции

f=f(x) — f(x0)=A(x — x0)+o (x – x0), xx0

называется дифференциалом функции f(x) в точке x0 и обозначается

df(x0)=f(x0)x= Ax.

Дифференциал зависит от точки x0 и от приращения x. В каждой точке дифференциал представляет собой линейную функцию от приращения x.

Если в качестве функции рассмотреть f(x)=x , то получим dx=x, dy=Adx. Это согласуется с обозначением Лейбница  .

Геометрическая интерпретация дифференциала как приращения ординаты касательной.

Инвариантность формы первого дифференциала

Если x — независимая переменная, то dx = x — x₀ (фиксированное приращение). В этом случае имеем

df(x₀) = f’(x₀)dx.     (3)

Если x = φ(t) — дифференцируемая функция, то dx = φ’(t₀)dt. Следовательно,

т. е. первый дифференциал обладает свойством инвариантности относительно замены аргумента.

Производная сложной функции — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

Урок 60
Производная сложной
функции
Цели обучения:
10.3.1.14 — знать определение
сложной функции и находить её
производную;
10.3.1.13 — находить производные
тригонометрических функций;
Критерии оценивания

использует правила нахождения производной суммы, произведения и частного;
умеет находить производную произведения и частного;
умеет находить производную сложной функции
Умеет находить производную тригонометрических функций
Актуализация изученного материала
Фронтальная работа
у 3х 2
у х
у 2х 4
М ( 2; 3)
Составить уравнение данной касательной и
уравнение нормали к касательной
ук 3 х 3
1
11
ун х
3
3
Рассмотрим функции
f t sin t
g x x 2 x 5
2
y sin x 2 2 x 5
y f g x
Внешняя
функция
Внутренняя
функция
Примеры:
1) y 2 x 1
6
Внешняя функция
Внутренняя функция
1
2) y
sin 2 x
f t6
t 2x 1
1
2
sin x
2
sin x
y sin x
Внешняя функция
f t 2
2
Внутренняя функция
t sin x
3) y tg 2 x
4
Внешняя функция
Внутренняя функция
f tgt
t 2x
4
Определить внутреннюю и внешнюю
функции для данной сложной функции:
1) y 4 x 1
4
t 4x 1 — внутренняя функция
f t
4 — внешняя функция
Определить внутреннюю и внешнюю
функцию для данной сложной функции:
2) y sin 2 x
t 2x
— Внутренняя функция
f sin t — Внешняя функция
Определить внутреннюю и внешнюю
функцию для данной сложной функции:
1
3) y
3
x 1
t x 1
f t
3
y x 1
3
— Внутренняя функция
— Внешняя функция
Определить внутреннюю и внешнюю
функцию для данной сложной функции:
4) y cos x
2
t cos x
f t
2
y cos x
2
— Внутренняя функция
— Внешняя функция
Правило нахождения производной сложной
функции
Производная сложной функции равна производной внешней
функции на производную внутренней функции
Если h(x) = g(f(x)), тогда
h’(x) = g’(f(x))·f’(x)
1) y cos 4 x
t 4 x
y f t
f cos t
y cos t 4 x sin t 4 4 sin t
4 sin 4x
Найти производную функции:
2) y ctg 2 x
3
t 2 x
3
f ctgt
y f t
1
2
y ctgt 2 x 2 2 2
3
sin t
sin t
2
sin 2 x
3
2
Найти производную функции:
3) y sin x
2
t sin x
2
f t
y f t
sin x 2t cos x 2 sin x cos x sin 2x
y t
2
Найти производную функции:
4) y x 2 х
2
t x 2 2 х
4
f t
x
y t
4
4
y f t
2
2 х 4t 2 x 2 8t x 1
3
3
8 х 1 x 2 х
2
3

English     Русский Правила

Анализ

— Производная модуля комплексной функции $f(x,z)$, где $x \in \mathbb{R}$ и $z \in \mathbb{C}$

спросил 5 лет, 7 месяцев назад

Изменено 5 лет, 7 месяцев назад

Просмотрено 9к раз

$\begingroup$

Пусть $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ — вещественная функция, а $z \in \mathbb{C}$ — такое комплексное число, что $$ f(x)=|x \cdot z| $$ Вычислим производную от $f$

, если применить правила вывода: $$ f'(x)=\dfrac{x \cdot z}{|x \cdot z|} \cdot г $$ но это действительно неправильно $$ f(x)=|x \cdot z| = |х| \cdot |г| $$ и сейчас $$ f'(x)=\dfrac{x}{|x|} \cdot |г| $$ так какова производная от $f$?

Какова вообще производная абсолютного значения функции $|f(x,z)|$ относительно действительной переменной $x$ и $z \in \mathbb{C}$?

Спасибо.

• комплексный анализ
• анализ
• производные
• частная производная 92}}=|z|\cdot \dfrac{x}{|x|}$$

  $\endgroup$

  1

  $\begingroup$

  Интересно. Я думаю, мы пытаемся использовать цепное правило.

  Вы используете формулу $$ \frac{d}{dx} |x| = \ гидроразрыв {х} {| х |} \тег{*}$$ что верно, когда $x$ действительно и не равно нулю. Затем вы пытаетесь использовать цепное правило, подобное этому $$ \frac{d}{dx} \big|g(x)\big| = \frac{g(x)}{|g(x)|}\;g'(x) \тег{**}$$ Это нормально, если $g$ — дифференцируемая функция, значения которой ненулевые вещественные числа. Но вы пытаетесь применить его к функции $g(x) = xz$ с недействительными значениями. Не хорошо. Как я уже сказал, (*) только для действительных значений, поэтому (**) только для вещественных функций $g$.

  $\endgroup$

  3

  Комплексно-шаговая аппроксимация производной | Райбатак Дас

  29 марта 2021 г.

  питон, комплексные числа
  

  В этом посте объясняется сложное ступенчатое приближение производной — громоздко звучащий, но простой и элегантный численный метод вычисления первой производной функции с использованием сложных арифметических операций.

  Введение

  92} \end{выровнено} $$

  Сравнение мнимых частей: $$ f'(x) = \frac{1}{h} \Im[(f(x + ih)] = 2x $$

  правильно.

  Пример 2 : $f(x) = \sin(x)$. Разверните правую часть, используя тригонометрическое тождество, и используйте аппроксимации малых чисел $\sin(\theta) \приблизительно \theta$ и $\cos(\theta) \приблизительно 1$, когда $\theta \приблизительно 0$: $$ \begin{выровнено} f(x + ih) & = \sin(x + ih) \cr & = \sin(x) \cos(ih) + \cos(x) \sin(ih) \cr & \simeq \sin(x) + ih \cos(x) \end{выровнено} $$ 93} $$

  Эта функция является стандартным примером, используемым для демонстрации комплексной ступенчатой ​​производной. На приведенном ниже графике показана функция (зеленая кривая) и ее производная, вычисленная с использованием сложной ступенчатой ​​аппроксимации (оранжевая кривая), наложенная на точное аналитическое решение (пунктирная кривая). 3} $$ 93) den = (np.cos(x))**3 + (np.sin(x))**3 число = np.exp(x) * (den + 3*np.cos(x)*np.sin(x)*(np.cos(x) — np.sin(x))) возврат( число/(ден*ден) )

  Чтобы сгенерировать данные для графика, вычислите производную функции, используя оба метода в диапазоне

   x = np.linspace(-3,9*np.pi/16, np.pi/2, 100)
  y, dy, точно = [np.array([y(xval) для xval в x]) для y в (f, dfdx, fprime)]
   

  Наконец, результаты графика

   # Функция графика и производная
  импортировать matplotlib.pyplot как plt
  импортировать matplotlib как mpl
  рис, топор = plt.subplots()
  ax.plot(x, y, lw = 1.5, label = "$f(x)$")
  ax.plot(x, dy, lw = 2,5, альфа = 0,8, метка = "$f'(x)$: сложный шаг")
  ax.plot(x, точно, "k--", lw = 1, label = "$f'(x)$: точно")
  топор.легенда()
  ax.set_ylim([-5, 5])
  ax.set_xticks([-np.pi/4, 0, np.pi/4, np.pi/2])
  ax.set_xticklabels(("-$\pi$/4", "0", "$\pi$/4", "$\pi$/2"))
  ax.grid(Истина)
   

  Насколько это хорошо?

  Чтобы оценить точность этого приближения, мы можем вычислить абсолютную ошибку между комплексной ступенчатой ​​производной и точным решением. Для сравнения производная также рассчитывается с использованием конечно-разностного приближения: $$f’_{\text{fd}}(x) \simeq \frac{f(x + h/2) — f(x — h/2)}{h} $$

  Результаты показаны ниже:

  Комплексная ступенчатая аппроксимация на несколько порядков точнее конечно-разностной оценки. На следующем наборе графиков показано влияние изменения размера шага $h$ на точность двух методов.

  Аппроксимация комплексной ступенчатой ​​производной остается точной при меньших размерах шага, в то время как оценка конечной разности ухудшается. Это, казалось бы, неинтуитивное поведение аппроксимации конечной разности является результатом ошибки усечения при вычитании двух близких друг к другу чисел. По мере того, как $h$ становится меньше, два члена в числителе становятся ближе друг к другу, а старшие цифры в разности $f(x + h/2) — f(x — h/2)$ становятся равными 0. Аппроксимация комплексного шага такова: не подвержен этой ошибке усечения.

  Следующий код вычисляет аппроксимацию конечной разности и отображает абсолютную ошибку для каждой оценки. {-8}$)») ax.set_xlabel(«х») ax.grid(Истина)

  Следующий блок вычисляет производную, используя оба метода с разными размерами шага, чтобы создать окончательную панель графиков.

   # Вычислить обе аппроксимации для разных размеров шага
  шаги = [1e-6, 1e-8, 1e-12, 1e-16]
  csout = {h: np.array([csderiv(f, h)(xvals) для xvals в x])
   для ч в шагах}
  fdout = {h: np.array([fdiff(f, h)(xvals) для xvals в x])
   для ч в шагах}
  # График абсолютных ошибок для каждого размера шага
  рис, splots = plt.subplots (ncols = 4, sharey = «строка»)
  для jj, h в перечислении (шаги):
   y1, y2 = csвых[ч], fdвых[ч]
   топор = пятна [jj]
   ax.plot(x, абс(y2 - точно), "C2", lw = 1,5,
   label = "Конечная разница")
   ax.plot(x, абс(y1 - точно), "C1", lw = 1,5,
   label = "Сложный шаг")
   ax.set_yscale ("журнал")
   ax.set_xticks([-np.pi/4, 0, np.pi/4, np.pi/2])
   ax.set_xticklabels(("-$\pi$/4", "0", "$\pi$/4", "$\pi$/2"))
   ax.set_xlabel("х")
   ax.
  No related posts.