Правило неравенства: Основные правила решения неравенств — урок. Алгебра, 9 класс.

Неравенство треугольника и его сторон – определение

4.3

Средняя оценка: 4.3

Всего получено оценок: 450.

4.3

Средняя оценка: 4.3

Всего получено оценок: 450.

Любая фигура имеет некие рамки, пропорции длин сторон. В реальной жизни они помогают определить, можно ли изготовить треугольное основание определенных пропорций, насколько возможно создать линзу той или иной формы или может ли удержаться табуретка на треугольном, квадратном или любом другом основании. В теоретической геометрии пропорции, как правило, применяют для решения задач на доказательство или для определения правильности условия задачи.

Теорема о неравенстве треугольника

Именно с этой теоремы должно начинаться любое решение задачи. Но, как правило, это действие опускают. Считается, что составитель задач не может предложить условие с несуществующим треугольником.

Теорема о неравенстве сторон треугольника гласит, что каждая сторона треугольника всегда меньше или равна сумме двух других его сторон.

По факту, любая сторона треугольника всегда меньше суммы двух других его сторон. Равенство возможно, только если все три вершины треугольника лежат на одной линии. Можно ли считать такую фигуру треугольником – вопрос философов, а не математиков. Поэтому в формулировке ставится знак больше или равно.

Рис. 1. Виды треугольников

Доказать это определение можно двумя способами: через аксиому Евклида или через высоту треугольника. Последний способ более логичен, тогда как второй – короче. Какой выбрать – решает доказывающий.

Доказательство через аксиому

Существует аксиома, которая говорит, что для трех точек А, В, С не лежащих на одной прямой справедливо утверждение: АВ< ВС+АС.

Эти точки можно принять за вершины треугольника, тогда расстояния между точками это стороны треугольника.

Рис. 2. Рисунок к доказательству

В произвольном треугольнике АВС проведем высоту АН. Высота разобьет произвольный треугольник на два прямоугольных. Тогда для каждого из прямоугольных треугольников в виде неравенств запишем, что катет всегда меньше гипотенузы.

Гипотенуза всегда больше катета потому, что в треугольнике действует отношение сторон и углов. Поэтому напротив наибольшего угла всегда находится наибольшая сторона. А в треугольнике наибольшим углом всегда является угол в 90 градусов.

ВН<АВ и НС<АС

Сложим два неравенства. Для этого нужно сложить правые части неравенств и левые с сохранением знака.

Например:

6<8

1<5

6+1<8+5

7<13, как видно неравенство все еще верно. Теперь проделаем ту же операцию с соотношением сторон в треугольнике:

ВН+НС<АВ+АС

ВН+НС=ВС

Рис. 3. Рисунок к доказательству

Значит, ВС<АВ+АС, то есть сторона меньше суммы двух других сторон, что и требовалось доказать. Высоту можно провести к любой стороне и повторить аналогичное доказательство. Как видно, все просто и ясно. Самое трудное: это разобраться в сложении неравенств.

Что мы узнали?

Мы узнали о теореме неравенства треугольников. Доказали ее различными способами, а также поговорили о том, для чего в мире нужны понятия пропорций в фигурах.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

• Ариадна Калашникова

  5/5

• Антон Кривых

  4/5

• Иван Тумба

  5/5

• Dorian Gray

  5/5

• Иван Красавский

  5/5

• Михаил Колесников

  4/5

• Антон Сковскикх

  5/5

• Дмитрий Познахарёв

  5/5

• Анастасия Уманец

  4/5

Оценка статьи

4.3

Средняя оценка: 4.3

Всего получено оценок: 450.

---

А какая ваша оценка?

Неравенство треугольника / Соотношения между сторонами и углами треугольника / Справочник по геометрии 7-9 класс

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Соотношения между сторонами и углами треугольника
5. Неравенство треугольника

Теорема

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Доказательство:

Дано: АВС.

Доказать: АВВС + АС.

Доказательство:

Сделаем дополнительное построение. Отложим на продолжении стороны ВС отрезок СD, равный стороне АС.

По построению СD = АС, следовательно, АСD — равнобедренный с основанием АD, тогда 1 = 2 (углы при основании), при этом в АВD ВАD2, следовательно, ВАD1.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, значит, АВВD. При этом ВD = ВС + СD, а учитывая то, что по построению СD = АС получим, ВD = ВС + АС, поэтому АВВС + АС. Что и требовалось доказать.

Следствие

Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: АВАС+СВ, АСАВ+ВС, ВСВА+АС.

Каждое из неравенств АВАС+СВ

, АСАВ+ВС, ВСВА+АС, называется неравенством треугольника.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Теорема о сумме углов треугольника

Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

Некоторые свойства прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Уголковый отражатель

Расстояние от точки до прямой

Расстояние между параллельными прямыми

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам

Построение треугольника по трем его сторонам

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 248, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 249, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 250, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 292, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 305, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 306, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 760, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 817, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1175, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1262, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

---

Каковы свойства неравенств? (Сложение, вычитание, умножение, деление, переход)

Пример 1: Такси взимает фиксированную ставку 0,75 доллара США и, кроме того, 0,35 доллара США за милю. Джон может позволить себе потратить на поездку только 6 долларов. Составьте неравенство, представляющее сценарий Джона. Как далеко может проехать Джон, не выходя за рамки своего бюджета? Обоснуйте свой ответ.

 

Решение:

 

Пусть M обозначает количество пройденных миль.

 

Написание неравенства, 0,35M + 0,75 \( \leq \) 6

 

Где, 

 

• 0,35M здесь 0,35 на милю и означает 0,35 на милю.
• «+» означает добавление.
• 0,75 фиксированная ставка.
• ‘\( \leq \)’ означает не более.
• «6» означает деньги, которые можно потратить.

 

Не более чем’ означает, что вы не можете иметь более одного чего-либо, поэтому вам нужно иметь меньше.

 

Решение неравенства:

0,35M + 0,75 \ (\ leq \) 6

0,35M + 0,75 — 0,75 \ (\ leq \) 6 — 0,75 (подтронный 0,75 на обеих сандах).

0,35M \ (\ leq \) 5,25 (упрощенное)

\ (\ frac {0,35M} {0,35} \ leq \ frac {5,25} {0,35} \) (разделенные обе стороны с 0,35)

 

M \( \leq \) 15                                            (упрощенный)

 

Представление в числовой строке:

 

 

Джон может проехать меньше или равно 15 миль, прежде чем он достигнет своего предела в 6 долларов.

 

Проверка: 0,35M + 0,75 \( \leq \) 6 

 

0,35 \( \times \) (15) + 0,75 \( \leq \) 6    (вместо M 15 )

 

5,25 + 0,75 \( \leq \) 6               (Умноженное)

 

6 \( \leq \) 6      (                                      0005

 

Следовательно, ответ оправдан.

 

Пример 2. Компания Sue’s Party Planning Co. взимает фиксированную плату в размере 30 долларов США плюс 3,50 доллара США за человека при праздновании дня рождения. У Джозефа есть только 90 долларов, чтобы отпраздновать свой день рождения. Чтобы представить ситуацию Джозефа, создайте неравенство. Не превышая своего лимита, сколько человек Джозеф может пригласить на вечеринку по случаю своего дня рождения?

 

Решение:

 

Пусть P представляет количество людей.

 

Написание неравенства, 3,50p + 30 \( \leq \) 90

 

Где,

 

• 3,50p — это 3,50 доллара на человека.
• 30 фиксированная ставка.
• ‘\ (\ leq 90 \)’ подразумевает не более 90, чтобы потратить

Решение неравенства:

3,50p+30 \ (\ leq \) 90 0005

. 3.50р + 30 – 30 \( \leq \) 90 – 30         (вычитая по 30 с обеих сторон)

3.50p \ (\ leq \) 60 (упрощенное)

\ (\ frac {3,50p} {3,50} \ leq \ frac {60} {3.50} \) (разделенные обе стороны с 3,50)

 

p \( \leq \) 17.14 

 

Представление в числовой строке:

 

 

1 может пригласить на свой день рождения максимум 7 человек  

.

 

Пример 3. Литр апельсинового сока будет стоить вам не менее 1,50 доллара. Какое количество сока можно купить за 12 долларов?

 

Solution:

 

Let, \(x=\) quantity of juice

 

Writing the inequality, \(1.50x \leq \) 12

 

Решение неравенства:

 

 \( 1,50x \leq \) 12

 

\( \frac{1,50x}{1,50}\leq \frac{12}{1,50} \)   (обе части разделены на 1.50)

 

\(x \leq \) 8     

 

Представление в числовой строке:

 

     

Ситуация может быть представлена ​​\(x \leq \) 8. Это означает, что можно купить максимум 8 литров сока.

Правило неравенства треугольников — серия GMAT Geometry

Одним из менее распространенных, но все же необходимых для изучения правил, проверенных на GMAT, является правило «неравенства треугольника», позволяющее сделать выводы о длине третьей стороны треугольника по информации о длинах двух других сторон.

Часто это правило представлено в двух частях, но я считаю, что проще всего сжать его в одну простую часть, касающуюся суммы и разности. Вот что я имею в виду, и мы будем использовать СЦЕНАРИЙ:

Предположим, у нас есть треугольник, две стороны которого имеют длины 3 и 5:

Что мы можем сказать о длине третьей стороны? Конечно, мы не можем определить единственное окончательное значение для этой длины, но мы можем действительно ограничить диапазон .0246 . Этот диапазон представляет собой просто разницу и сумму длин двух других сторон, не включая их.

Итак, в данном случае, поскольку разность длин двух других сторон равна 2, а их сумма равна 8, мы можем с уверенностью сказать, что третья сторона этого треугольника должна иметь длину от 2 до 8, не — включительно. [Алгебраически это читается как (5-3) < x < (5+3) ИЛИ 2 < x < 8 .]

Если вы хотите, чтобы это было выражено словами:

**Длина любой стороны треугольника должна быть меньше суммы длин двух других сторон и больше разности длин двух других сторон. **

Важно отметить, что это работает для любой треугольник . Но почему мы сказали не включающие? Что ж, давайте посмотрим, что произойдет, если мы включим 8 в приведенный выше пример. Представьте себе «треугольник» с длинами 3, 5 и 8. Вы видите проблему? (Подумайте об этом, прежде чем читать следующий абзац.)

Представьте себе ветку длиной 3 дюйма и другую ветку длиной 5 дюймов. Как бы вы составили геометрическую фигуру длиной 8 дм? Вы просто соедините две ветки по прямой линии, чтобы сформировать более длинную единственную ветку длиной 8 дюймов. Было бы невозможно сформировать треугольник со стороной 8 дюймов с исходными двумя прутьями.

 

Если вы хотите сформировать треугольник из веточек 3 и 5, вам придется «сломать» более длинную ветку 8 дюймов и согнуть две ветки под углом, чтобы получить возможность получить третью сторона, гарантированно короче 8 дюймов:

Та же логика применима к другому концу диапазона (у нас не может быть треугольника 3, 5 и 2, поскольку единственный способ составить длину 5 из длин 2 и 3 будет чтобы сформировать более длинный отрезок из 5. )

Теперь, когда мы рассмотрели основы, давайте погрузимся в несколько задач, начиная с этой задачи Официального руководства:

Если k — целое число и 2 < k < 7, для скольких различных значений k существует треугольник со сторонами 2, 7 и k?
(a) One
(b) Два
(c) Три
(D) четыре
(E) Five 9000
. GMAT: одно дело знать правило, и совсем другое, когда вам задают тщательно сформулированный вопрос, проверяющий вашу способность уделять пристальное внимание деталям. Во-первых, нам говорят, что две длины треугольника равны 2 и 7. Что это означает для третьей стороны, учитывая правило неравенства треугольника? Мы знаем, что третья сторона должна иметь длину от 5 (разница между двумя сторонами) до 9.(сумма двух сторон).

Здесь вы действительно можете использовать варианты ответов в своих интересах, по крайней мере, чтобы исключить некоторые ответы. Обратите внимание, что k указано как целое число. Сколько целых чисел, как мы теперь знаем, возможно? Что ж, если k должно быть между 5 и 9 (и помните, что это не включительно), нам могут быть доступны только варианты 6, 7 и 8. Это означает максимум три возможных значения k , таким образом исключая ответы D и E.

Поскольку GMAT требует много времени, вам, возможно, придется время от времени угадывать, поэтому, если вы сможете стратегически исключить ответы, это увеличит ваши шансы на правильное угадывание.

Теперь для этой задачи задано еще одно условие, а именно, что 2 < k < 7 . Мы уже определили, что k должно быть 6, 7 или 8. Однако из этих чисел только 6 вписывается в заданный диапазон 2 < k < 7 . Это означает, что 6 — единственное допустимое значение, подходящее для k . Правильный ответ: A.

Примечание

Важно подчеркнуть, что стратегия устранения ответов не является обязательным. Мы просто представляем его как вариант, который работает здесь, потому что он полезен при решении многих задач GMAT, и его следует изучать и практиковать как можно чаще.

No related posts.