Как находить значение функции: 2. Найдите значение функции, если известно значение аргумента.а) y=2х+2, при х=1; б) y=3x−6, при х=4.

Узнаем как найти наименьшее значение функции на отрезке: правила, примеры и особенности

Исследование функций и их графиков – это тема, которой уделяется особое внимание в рамках школьной программы старших классов. Некоторые основы математического анализа – дифференцирования – включены в профильный уровень экзамена по математике. У некоторых школьников возникают проблемы с этой темой, так как они путают графики функции и производной, а также забывают алгоритмы. В этой статье будут рассмотрены основные типы заданий и способы их решения.

Что такое значение функции?

Математическая функция представляет собой особое уравнение. Оно устанавливает взаимосвязь между числами. Функция зависит от значения аргумента.

Значение функции рассчитывается по заданной формуле. Для этого следует подставить любой аргумент, который соответствует области допустимых значений, в эту формулу на место х и выполнить необходимые математические операции. Какие?

Как можно найти наименьшее значение функции, используя график функции?

Графическое изображение зависимости функции от аргумента называется графиком функции. Он строится на плоскости с определенным единичным отрезком, где по горизонтальной оси абсцисс откладывается значение переменной, или аргумента, а по вертикальной оси ординат – соответствующее ему значение функции.

Чем больше значение аргумента, тем правее он лежит на графике. И чем больше значение самой функции, тем выше находится точка.

О чем это говорит? Самым маленьким значением функции будет являться точка, которая лежит ниже всего на графике. Для того чтобы найти его на отрезке графика, нужно:

1) Найти и отметить концы этого отрезка.

2) Визуально определить, какая точка на этом отрезке лежит ниже всего.

3) В ответ записать ее числовое значение, которое можно определить, спроецировав точку на ось ординат.

Точки экстремума на графике производной. Где искать

Однако при решении задач иногда дан график не функции, а ее производной. Для того чтобы случайно не допустить глупую ошибку, лучше внимательно читать условия, так как от этого зависит, где нужно искать точки экстремума.

Итак, производная — это мгновенная скорость возрастания функции. Согласно геометрическому определению производная соответствует угловому коэффициенту касательной, которая непосредственно проведена к данной точке.

Известно, что в точках экстремума касательная параллельна оси Ox. Это значит, что ее угловой коэффициент — 0.

Из этого можно сделать вывод, что в точках экстремума производная лежит на оси абсцисс или обращается в ноль. Но кроме того, в этих точках функция меняет свое направление. То есть после периода возрастания начинает убывать, а производная, соответственно, сменяется с положительной на отрицательную. Или наоборот.

Если производная из положительной становится отрицательной — это точка максимума. Если из отрицательной становится положительной — точка минимума.

Важно: если в задании требуется указать точку минимума или максимума, то в ответ следует записать соответствующее значение по оси абсцисс. Но в случае, если требуется найти значение функции, то предварительно нужно подставить соответствующее значение аргумента в функцию и рассчитать его.

Как находить точки экстремума с помощью производной?

Рассмотренные примеры в основном относятся к заданию под номером 7 экзамена, которое подразумевает работу с графиком производной или первообразной. А вот задание 12 ЕГЭ – найти наименьшее значение функции на отрезке (иногда – наибольшее) – выполняется без каких-либо чертежей и требует базовых навыков математического анализа.

Для его выполнения нужно уметь находить точки экстремума с помощью производной. Алгоритм их нахождения таков:

• Найти производную от функции.
• Приравнять ее к нулю.
• Найти корни уравнения.
• Проверить, являются ли полученные точки точками экстремума или перегиба.

Для этого нужно начертить схему и на получившихся промежутках определить знаки производной, подставляя числа, принадлежащие отрезкам, в производную. Если при решении уравнения вы получили корни двойной кратности – это точки перегиба.

• Применив теоремы, определить какие точки являются точками минимума, а какие – максимума.

Вычисление наименьшего значения функции с применением производной

Однако, выполнив все эти действия, мы найдем значения точек минимума и максимума по оси абсцисс. Но как найти наименьшее значение функции на отрезке?

Что необходимо сделать для того, чтобы найти число, которому соответствует функция в конкретной точке? Нужно подставить в данную формулу значение аргумента.

Точки минимума и максимума соответствуют наименьшему и наибольшему значению функции на отрезке. Значит, чтобы найти значение функции, нужно рассчитать функцию, используя полученные значения х.

Важно! Если в задании требуется указать точку минимума или максимума, то в ответ следует записать соответствующее значение по оси абсцисс. Но в случае, если нужно найти значение функции, то предварительно следует подставить соответствующее значение аргумента в функцию и выполнить необходимые математические операции.

Что делать, если на данном отрезке отсутствуют точки минимума?

Но как найти наименьшее значение функции на отрезке, на котором отсутствуют точки экстремума?

Это значит, что на нем функция монотонно убывает или возрастает. Тогда в функцию нужно подставить значение крайних точек этого отрезка. Есть два пути.

1) Рассчитав производную и промежутки, на которых она положительна или отрицательна, сделать вывод о том, убывает функция на данном отрезке или возрастает.

В соответствии с ними подставить в функцию большее или меньшее значение аргумента.

2) Просто подставить в функцию обе точки и сравнить полученные значения функции.

В каких заданиях нахождение производной необязательно

Как правило, в заданиях ЕГЭ все же нужно находить производную. Есть только пара исключений.

1) Парабола.

Вершина параболы находится по формуле.

Если a < 0, то ветви параболы направлены вниз. И ее вершина является точкой максимума.

Если a > 0, то ветви параболы направлены вверх, вершина – точка минимума.

Рассчитав точку вершины параболы, следует подставить ее значение в функцию и вычислить соответствующее значение функции.

2) Функция y = tg x. Или y = ctg x.

Эти функции являются монотонно возрастающими. Поэтому, чем больше значение аргумента, тем больше значение самой функции. Далее мы рассмотрим, как найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке с примерами.

Основные типы заданий

Задание: наибольшее или наименьшее значение функции. Пример на графике.

На рисунке вы видите график производной функции f (x) на интервале [-6; 6]. В какой точке отрезка [-3; 3] f (x) принимает наименьшее значение?

Итак, для начала следует выделить указанный отрезок. На нем функция один раз принимает нулевое значение и меняет свой знак – это точка экстремума. Так как производная из отрицательной становится положительной, значит, это точка минимума функции. Этой точке соответствует значение аргумента 2.

Ответ: 2.

Продолжаем рассматривать примеры. Задание: найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Найдите наименьшее значение функции y = (x — 8) e^x-7 на отрезке [6; 8].

1. Взять производную от сложной функции.

y’ (x) = (x — 8) e^x-7 = (x — 8)’ (e^x-7) + (x — 8) (e^x-7)’ = 1 * (e^x-7) + (x — 8) (e^x-7) = (1 + x — 8) (e^x-7) = (x — 7) (e^x-7)

2. Приравнять полученную производную к нулю и решить уравнение.

y’ (x) = 0

(x — 7) (e^x-7) = 0

x — 7 = 0, или e^x-7 = 0

x = 7; e^x-7 ≠ 0, нет корней

3. Подставить в функцию значение крайних точек, а также полученные корни уравнения.

y (6) = (6 — 8) e^6-7 = -2e^-1

y (7) = (7 — 8) e^7-7 = -1 * e⁰ = -1 * 1 = -1

y (8) = (8 — 8) e^8-7 = 0 * e¹ = 0

Ответ: -1.

Итак, в этой статье была рассмотрена основная теория о том, как найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимая для успешного решения заданий ЕГЭ по профильной математике. Также элементы математического анализа применяются при решении заданий из части С экзамена, но очевидно, они представляют иной уровень сложности, и алгоритмы их решений сложно уместить в рамки одного материала.

Значения функции и точки максимума и минимума

Назад к списку

Значения функции и точки максимума и минимума

Наибольшее значение функции 

Наменьшее значение функции 

Точки max 

Точки min

 

---

Как говорил крестный отец: «Ничего личного». Только производные!

Статью Как посчитать производные? надеюсь, ты изучил, без этого дальше будет проблематично.

12 задание по статистике считается достаточно трудным, а все потому, что ребята не прочитали эту статью (joke). В большинстве случаев виной всему невнимательность.

12 задание бывает двух видов:

1. Найти точку максимума / минимума (просят найти значения «x»).
   
2. Найти наибольшее / наименьшее значение функции (просят найти значения «y»).

Как же действовать в этих случаях?

Найти точку максимума / минимума

1. Взять производную от предложенной функции.
2. Приравнять ее к нулю.
3. Найденный или найденные «х» и будут являться точками минимума или максимума.
4. Определить с помощью метода интервалов знаки и выбрать, какая точка нужна в задании.

Задания с ЕГЭ: 

Найдите точку максимума функции 

• Берем производную:

• Приравняем ее к нулю:
• Получили одно значение икса, для нахождения знаков подставим −20 слева от корня и 0 справа от корня в преобразованную производную (последняя строчка с преобразованием):

Все верно, сначала функция возрастает, затем убывает — это точка максимума!
Ответ: −15

Найдите точку минимума функции

• Преобразуем и возьмем производную: 

• Получается один корень «−2», однако не стоит забывать о «−3», она тоже будет влиять на изменение знака.

• Отлично! Сначала функция убывает, затем возрасает — это точка минимума!

Ответ: −2

Найти наибольшее / наименьшее значение функции

1. Взять производную от предложенной функции.
   
2. Приравнять ее к нулю.
   
3. Найденный «х» и будет являться точкой минимума или максимума.
   
4. Определить с помощью метода интервала знаки и выбрать, какая точка нужна в задании.
5. В таких заданиях всегда задается промежуток: иксы, найденные в пункте 3, должны входить в данный промежуток.
6. Подставить в первоначальное уравнение полученную точку максимума или минимума, получаем наибольшее или наименьшее значение функции. 

Задания с ЕГЭ: 

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−4; −1] 

• Преобразуем и возьмем производную: 
• «3» не вдходит в промежуток [−4; −1]. Значит, остается проверить «−3» — это точка максимума?

• Подходит, сначала функция возрастает, затем убывает — это точка максимума, и в ней будет наибольшее значение функции. Остается только подставить в первоначальную функцию:

Ответ: −6

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [0; 1,5π]

• Берем производную:
• Находим, чему равняется sin(x):
• Но такое невозможно! Sin(x)…
• Получается, что уравнение не имеет решения, и в таких ситуациях нужно подставлять крайние значения промежутка в первоначальное уравнение:

• Наибольшее значение функции равно «11» при точке максимума (на этом отрезке) «0».
  

Ответ: 11

Выводы:

1. 70% ошибок заключается в том, что ребята не запоминают, что в ответ на наибольшее/наименьшее значение функции нужно написать «y», а на точку максимума/минимума написать «х».
   
2. Нет решения у производной при нахождении значений функции? Не беда, подставляй крайние точки промежутка!
3. Ответ всегда может быть записан в виде числа или десятичной дроби. Нет? Тогда перерешивай пример.
4. В большинстве заданий будет получаться одна точка и наша лень проверять максимум или минимум будет оправдана. Получили одну точку — можно смело писать в ответ.
5. А вот с поиском значения функции так поступать не стоит! Проверяйте, что это нужная точка, иначе крайние значения промежутка могут оказаться больше или меньше.

Будь в курсе новых статеек, видео и легкого математического юмора.

Поиск значений функций по графикам

Пусть точка (x, y) находится на графике функции f. Тогда y — это значение функции для данного значения x.

Если (2, 5) находится на графике функции f(x), то 5 — это значение f(x) при x = 2. То есть

f(2) = 5

Найдите значение функции f(x) при x = a.

Шаг 1 :

Проведите вертикальную линию через значение ‘a’ по оси x.

Шаг 2 :

Отметьте точку пересечения линии x = a и графика f(x).

Шаг 3 :

Проведите горизонтальную линию от точки пересечения до оси Y.

Шаг 4 :

Пусть горизонтальная линия пересекает ось Y в точке ‘b’.

Значение функции f(x) при x = a равно ‘b’.

То есть

f(a) = b

Пример 1:

Используйте график f(x), показанный ниже, чтобы найти f(6).

Решение:

Нам нужно найти значение функции f(x) при x = 6.

Шаг 1:

Проведите вертикальную линию через цифру 6 по оси x.

Шаг 2 :

Отметьте точку пересечения вертикальной линии x = 6 и графика f(x).

Шаг 3 :

Проведите горизонтальную линию от точки пересечения до оси Y.

Шаг 5:

Горизонтальная линия пересекает ось Y в точке 4.

Таким образом, значение функции f(x) при x = 6 равно 4.

То есть 

f(6) = 4

Пример 2 :

Используйте график f(x), показанный ниже, чтобы найти f(9).

Решение :

Нам нужно найти значение функции f(x) при x = 9.

Шаг 1 :

Проведите вертикальную линию через 9 по оси x.

Шаг 2 :

Отметьте точку пересечения вертикальной линии x = 9 и графика f(x).

Шаг 3 :

Проведите горизонтальную линию от точки пересечения до оси Y.

Шаг 5 :

Горизонтальная линия пересекает ось Y в точке 7.

Итак, значение функции f(x) при x = 9равно 7.

То есть

f(9) = 7

Пример 3:

Используйте график f(x), показанный ниже, чтобы найти f(4).

Решение :

Нам нужно найти значение функции f(x) при x = 4.

Шаг 1 :

Проведите вертикальную линию через 4 по оси x.

Шаг 2 :

Отметьте точку пересечения вертикальной линии x = 4 и графика f(x).

Шаг 3 :

Проведите горизонтальную линию от точки пересечения до оси Y.

Шаг 5:

Горизонтальная линия пересекает ось Y в точке 7.

Таким образом, значение функции f(x) при x = 4 равно 7.

То есть 

f(4) = 7

Пример 4 :

Используйте график f(x), показанный ниже, чтобы найти f(4).

Решение :

Нам нужно найти значение функции f(x) при x = 4.

Шаг 1 :

Проведите вертикальную линию через 4 по оси x.

Шаг 2 :

Отметьте точку пересечения вертикальной линии x = 4 и графика f(x).

Шаг 3 :

Проведите горизонтальную линию от точки пересечения до оси Y.

Шаг 5:

Горизонтальная линия пересекает ось Y в точке 5.

Таким образом, значение функции f(x) при x = 4 равно 5.

То есть 

f(4) = 5

Пожалуйста, отправьте ваш отзыв на [email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

©Все права защищены. onlinemath5all.com

исчисление — как найти значение функции от первой и второй производной.

спросил 9 лет, 6 месяцев назад

Изменено 9 лет, 6 месяцев назад

Просмотрено 17 тысяч раз

$\begingroup$

Функция $f$ дважды дифференцируема, и график $f$ не имеет точек перегиба. если $f\left(6\right)=3,\, f^{\prime}\left(6\right) = -1/2,$ и $f^{\prime\prime}\left(6\ right) = -2$ Что из следующего может быть значением $f\left(7\right)$? 9{\prime}\left(a\right)\left(x-a\right)$, но это дает неверный ответ. Я также пытался приблизиться к созданию сериала о Тейлоре; но это ужасно провалилось.

Я знаю, что значение должно быть меньше $f\left(6\right)$, потому что тангенс отрицателен и вторая производная тоже отрицательна.

---

скопировал вопрос именно из pdf.

• вычисления

$\endgroup$

8

$\begingroup$

Поскольку это вопрос с несколькими вариантами ответов, в котором спрашивается только, какое значение $f(7)$ может иметь , вы должны работать над устранением возможных вариантов. Функция имеет значение $f(6) = 3$, а первая производная равна $f(6) = -\frac{1}{2}$, так что если бы не было изменения наклона на интервале ($f »(x) = 0$), функция будет иметь $f(7) = 2,5$. Однако наклон составляет 90 197, уменьшающийся на 90 198 при $x = 6$ ($f»(6) < 0$), поэтому наклон, вероятно, будет более отрицательным, чем $-\frac{1}{2}$ на интервале , оставив только 9{\prime\prime}(6) = -2$, мы знаем, что $|M| \geq 2$, что создает нижнюю границу для $|M|$.

Таким образом, любое значение $y \in \mathbb{R}$, удовлетворяющее этому уравнению, является возможным ответом, $$ \frac{3}{2} = \frac{5}{2} — 1 \leq y \leq \frac{5}{2} + 1 = \frac{7}{2} $$ Таким образом, наилучший возможный ответ действительно $2$, однако $2,5$ также находится в допустимых пределах.

edit: добавлено больше информации об определении границы ошибки Лагранжа поэтому $\frac{3}{2} \leq y \leq \frac{5}{2}$, поскольку производная не может быть больше, чем $\frac{-1}{2}$.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

В упражнении указано, что точек перегиба нет, т. е. $f»$ всегда меньше $0$. Это означает, что $f(6+a) \leq f(6) + f'(6)*(a-6)$. В наших случаях это дает нам $f(7)=f(6+1) \leq 3+ (-0,5)*1 = 2,5$ . Это означает, что $2,5$ и $2$ являются единственными возможными ответами. Но поскольку $f»$ меньше, чем $0$, производная становится еще меньше, поэтому правильным ответом является $2$.

No related posts.