Как найти детерминант матрицы 3 на 3: Найти определитель квадратной матрицы Вычисление + код

Скажем, я нахожусь в интерпретаторе python и определяю функцию следующим образом: def h(a): return a Если я хочу посмотреть на байт-код (а не на разборку с помощью dis), я обычно могу использовать…

Я создаю небольшую библиотеку матричных операций в качестве задачи программирования для себя(и для того, чтобы научиться кодировать с помощью Python), и я столкнулся с задачей вычисления. ..

Я новичок в машинном обучении с python. Мне удалось нарисовать прямую границу принятия решений для логистической регрессии, используя matplotlib. Однако я столкнулся с некоторыми трудностями при…

У меня есть файл решения OpenFOAM, полученный на HPC (кластерная компьютерная система), в котором у меня нет доступа GUI. У меня есть код Python, который работает на Python Shell из ParaView без…

Новый в python и ржавый на линейной алгебре. Однако я ищу руководство по правильному способу создания детерминанта из Матрицы в python без использования Numpy. Пожалуйста, смотрите фрагмент кода…

Python код для решения классической задачи P(n, r) Задача: вывести все перестановки n объектов, взятых r за один раз, без повторения. Я ученик Python, ищущий элегантное решение, а не пытающийся…

Я пытаюсь написать алгоритм обнаружения столкновений circle-to-line-segment, который включает в себя определение точки пересечения окружности и отрезка прямой. Отрезок линии представляет собой…

В большинстве графических библиотек, которые я видел, есть какая-то функция, которая возвращает определитель из матриц 3×3 и 4×4, но я понятия не имею, когда вам действительно нужно будет…

У меня есть основная проблема, когда я не знаю, как запустить скрипт Python из командной строки в Ubuntu без использования ключевого слова python. Итак, я поместил shebang в свой скрипт Python,…

У меня есть струна : b = ‘Can you can a can as a canner can can a can?’ Мне нужно найти все возможные начальные и конечные позиции подстроки can в строке b, независимо от случая. Я могу сделать это…

Определитель матрицы 3×3 — ChiliMath

Стандартная формула для определения определителя матрицы 3 × 3 представляет собой разбиение меньших задач определителя 2 × 2 , с которыми очень легко справиться. Если вам нужно напомнить что-то новое, посмотрите мой другой урок о том, как найти определитель 2 × 2. Предположим, нам дана квадратная матрица A, где,

Определитель матрицы A вычисляется как

Вот ключевые моменты:

• Обратите внимание, что элементы верхней строки, а именно a, b и c, служат скалярными умножителями для соответствующей матрицы 2 на 2.

• Скаляр a умножается на матрицу 2 × 2 оставшихся элементов, созданную, когда сегменты вертикальной и горизонтальной линии проходят через a.

• Тот же процесс применяется для построения матриц 2 × 2 для скалярных множителей b и c.

Определитель матрицы 3 x 3 (анимированный)

Примеры определения определителя матрицы 3 × 3

Пример 1: Найдите определитель матрицы 3 × 3 ниже.

Приведенная ниже настройка поможет вам найти соответствие между общими элементами формулы и элементами реальной проблемы.

Применяя формулу,

Пример 2: Вычислите определитель матрицы 3 × 3 ниже.

Будьте очень осторожны при замене значений в правильные места в формуле. Распространенные ошибки возникают, когда ученики становятся небрежными на начальном этапе подстановки значений.

Вдобавок убедитесь, что ваша арифметика верна.В противном случае одна ошибка в вычислении приведет к неверному ответу.

С,

наше вычисление определителя становится…

Пример 3: Найдите определитель матрицы 3 × 3 ниже.

Наличие нуля (0) в первой строке должно значительно упростить наши вычисления. Помните, что эти элементы в первой строке действуют как скалярные множители. Следовательно, умножение нуля на что-либо приведет к исчезновению всего выражения.

Вот снова настройка, показывающая соответствующее числовое значение каждой переменной в формуле.

По формуле имеем…

Возможно, вас заинтересует:

Детерминанты матрицы 2 × 2

Определитель матрицы 3×3 (общий и сокращенный метод)

Определитель матрицы 3×3 (общий и сокращенный метод)

Как мы видели в прошлых уроках, чтобы определить, что является определителем матрицы, нам нужно вернуться к нашему определению матрицы.Помните, что мы узнали, что матрица — это упорядоченный список чисел, заключенный в прямоугольную скобку. Этот список также можно назвать прямоугольным массивом, и он обеспечивает упорядоченный способ отображения «списка» информационных элементов. Если вы хотите более подробно ознакомиться с определением матрицы, вы можете вернуться к нашему уроку о нотации матриц.

Матрица описывает линейное преобразование или линейную карту, которая является своего рода транскрипцией между двумя типами алгебраических структур, такими как векторные поля. Таким образом, мы можем разрешить системы линейных уравнений, представив линейную систему в виде матрицы. Матричное представление линейной системы создается с использованием всех переменных коэффициентов, найденных в системе, и использования их в качестве элементов для построения прямоугольного массива расширенной матрицы соответствующего размера. В такой матрице результаты каждого уравнения из системы будут помещены справа от вертикальной линии, которая представляет знак равенства.

Зная это, в этом уроке основное внимание будет уделено процессу оценки определителя матрицы 3×3 и двум возможным методам, которые можно использовать.

Какой определитель матрицы

Используя знание того, что матрица представляет собой массив, содержащий информацию о линейном преобразовании, и что этот массив может быть согласован с коэффициентами каждой переменной в системе уравнений, мы можем описать функцию определителя: определитель будет масштабироваться линейное преобразование из матрицы, это позволит нам получить обратную матрицу (если она есть) и поможет в решении систем линейных уравнений, создав условия, при которых мы можем ожидать определенных результатов или характеристик от система (в зависимости от определителя и типа линейной системы, мы можем знать, можем ли мы ожидать уникального решения, более одного решения или вообще ни одного решения для системы).

Но есть условие для получения определителя матрицы, матрица должна быть квадратной матрицей, чтобы ее можно было вычислить. Следовательно, упрощенное определение состоит в том, что определитель — это значение, которое может быть вычислено из квадратной матрицы, чтобы помочь в разрешении систем линейных уравнений, связанных с такой матрицей. Определителя неквадратной матрицы не существует, математически определены только определители квадратных матриц.

Определитель матрицы можно обозначить просто как det A, det (A) или | A |.Это последнее обозначение происходит от обозначения, которое мы непосредственно применяем к матрице, определитель которой мы получаем. Другими словами, мы обычно записываем матрицы и их определители очень похожим образом:

Обратите внимание на разницу: матрица записана в прямоугольных скобках, а компоненты определителя матрицы окружены двумя прямыми линиями.

Сегодняшний урок будет сосредоточен на процессе вычисления определителя матрицы 3×3, используя подход свойств определителя матрицы, которые были кратко рассмотрены на прошлых уроках. Помните, что мы рассмотрим эту полную тему на следующем уроке, который называется: свойства детерминантов. Тем не менее, важно помнить об этих свойствах при выполнении расчетов упражнений в последнем разделе этого урока.

Как найти определитель матрицы 3×3

Существует два метода нахождения определителя матрицы 3×3: общий метод и сокращенный метод. Так же, как звучат названия каждого из них, общий метод является «формальным» методом для математического использования, следуя всем правилам и производя некоторые второстепенные вычисления определителя матрицы по пути нахождения окончательного решения.Хотя метод быстрого доступа — это более хитрый трюк, который мы можем использовать для упрощения вычислений, при этом стараясь не забыть числа, порядок, в котором они должны быть умножены, и некоторые перестановки элементов в матрице.

После того, как вы взглянете на оба метода, чтобы найти определитель матрицы 3×3, вы всегда можете выбрать тот, который вам больше всего подходит, и использовать его для своих исследований, но помните, что важно знать оба из них, на случай, если вас когда-нибудь спросят. сравнить результаты с ними.

Итак, без дальнейших задержек, давайте определим определитель матрицы 3×3 A, как показано ниже, чтобы мы могли наблюдать, как его можно вычислить обоими методами:

• Общий метод

  Общий метод получения определителя матрицы 3×3 состоит из разбиения матрицы на вторичные матрицы меньших размеров в процессе, называемом «расширением первой строки». Этот процесс использует элементы из первой строки матрицы 3×3 и использует их как множители в сумме умножений, при которой большая матрица перераспределяется.

  Давайте шаг за шагом рассмотрим, как вычислить определитель матрицы 3×3:

  1. Сначала вы берете первый элемент первой строки и умножаете его на вторичную матрицу 2×2, которая получается из элементов, оставшихся в матрице 3×3, которые не принадлежат строке или столбцу, к которому принадлежит ваш первый выбранный элемент.

     Взяв в качестве ссылки определитель матрицы 3×3, показанный в уравнении 2, мы строим первую часть результата этой операции, выбирая первый элемент первой строки и столбца (который является константой «a»), а затем умножаем его на матрица, созданная из четырех элементов, которые не принадлежат ни одной строке столбца, в котором находится «a». Умножьте «a» на полученную вторичную матрицу 2×2, и это будет первый член решения.

  2. Второй член начинается со второго элемента в верхней строке (константа «b»), сопровождаемого отрицательным знаком, который теперь умножает вторичную матрицу 2×2, которая снова получается из четырех элементов в матрице, которые не принадлежат в любой столбец строки, в которой находится «b».
  3. Повторяем первый шаг, но уже с третьим элементом из верхней строки матрицы.

  Итак, определитель матричной формулы 3×3 для общего метода:

  Уравнение 3: Уравнение для определителя матрицы 3×3 посредством общего метода

  Процесс называется расширением первой строки, потому что, как вы можете видеть в уравнении 3, все элементы из первой строки исходной матрицы 3×3 остаются основными факторами в расширении, для которого необходимо решить. Все матрицы 2×2 в раскрытии — это то, что мы называем «вторичными матрицами», и их можно легко разрешить, используя уравнение, изученное на определителе на уроке по матрице 2×2.

  Итак, принимая во внимание формулу для определителя квадратной матрицы размером 2×2, мы видим, что уравнение 3 дает:

  Уравнение 4: Уравнение для определителя матрицы 3×3 посредством общего метода (часть 2)

  На этом этапе вы, возможно, заметили, что поиск определителя матрицы, превышающей 2×2, становится долгим испытанием, но логика процесса остается той же, и поэтому сложность аналогична, единственный ключевой момент — отслеживать операции вы прорабатываете даже больше с матрицами даже большего размера, чем 3×3.

• Сокращенный метод

  Определитель метода быстрого доступа к матрице 3×3 — это хитрый трюк, который упрощает вычисление определителя большой матрицы путем прямого умножения и добавления (или вычитания) всех элементов в их необходимом виде, без необходимости пройти через матричное расширение первой строки и без необходимости оценивать детерминанты вторичных матриц.

  Весь процесс того, как оценить определитель матрицы 3×3, используя сокращенный метод, можно увидеть в уравнении ниже:

  Уравнение 5: Быстрый метод получения определителя матрицы 3×3

  Теперь давайте поясним метод быстрого доступа:

  При вычислении определителя матрицы размера nxn (в данном случае матрицы 3×3), как показано выше, обратите внимание, что мы сначала переписываем матрицу, сопровождаемую повторением двух первых столбцов, которые теперь записываются снаружи с правой стороны.

  Тогда значение определителя будет результатом вычитания между сложением произведений всех умножений вниз-вправо и умножений вниз-влево. Сказано более ясно, в общей сложности будет три полных диагонали, идущих от верхнего левого угла до нижнего правого, и еще один набор из трех полных диагоналей, идущих от верхнего правого угла до нижнего левого угла.

  Мы умножим элементы каждой диагонали вместе, а затем сложим их с результатами, полученными на других диагоналях.Есть кое-что, что нужно иметь в виду, все умножения диагоналей, идущие от верхнего левого угла к нижнему правому, имеют внутренний положительный знак, умноженный на них, в то время как все умножения диагоналей, идущие сверху справа налево, имеют внутренний отрицательный знак умножения. к ним, и поэтому при сложении результатов всех умножений будет получено вычитание, подобное тому, которое показано в уравнении 5.

  Хотя этот метод проще в применении, чем общий метод, его немного сложно объяснить из-за того, что все операции умножения и сложения выполняются одновременно, поэтому мы рекомендуем вам использовать уравнение 5 в качестве руководства и уделять пристальное внимание к видео, где демонстрируются примеры этого метода.

  В последнем разделе этого урока мы проработаем набор из трех различных матриц 3×3 и их детерминанты. Мы рекомендуем вам сравнить процессы для обоих методов, чтобы лучше понять их.

Определитель большой матрицы

Процесс оценки определителя матрицы большей размерности, чем 3×3, следует той же логике, что и то, что мы видели до сих пор. Используя общий метод на матрице A 4×4, где ее первая (верхняя) строка соответствует элементам a, b, c и d, мы вычисляем определитель матрицы следующим образом:

Мы еще раз расширили определитель на его первую строку и получили вторичные матрицы, которые в данном случае являются матрицами 3×3, каждая из которых может быть расширена и разбита на матрицы 2×2.Шаблон в процессе повторяется, вы можете продолжать работать таким образом с еще более крупными квадратными матрицами, и он всегда будет работать, но если вам больше нравится метод ярлыков, то вас ждет удовольствие, поскольку метод работает точно так же как и в случае с матрицами 3×3, он просто увеличивает количество элементов, с которыми вы работаете, но логика и перестановка точно такие же (умножение сверху слева вниз справа имеет положительный знак, умножения от верхнего правого угла до нижнего левого угла имеют внутренний отрицательный знак).

Вы взволнованы, увидев, как сокращенный метод работает с матрицами большего размера? Мы рекомендуем вам попробовать это самостоятельно, чтобы вы могли увидеть весь процесс. Вы всегда можете вернуться и решить ту же матрицу, используя общий метод, и доказать, что ваш результат верен.

Упражнения по вычислению определителя матрицы 3×3

В следующих упражнениях мы решим определитель матрицы 3×3, предоставленной в каждом случае, с помощью соответствующего метода, а в конце мы сравним полученные результаты.

Обратите внимание, что матрицы A, B и C, представленные в обоих разделах упражнений выше, абсолютно одинаковы. Это было сделано специально, чтобы вы могли сравнить результаты обоих методов и посмотреть, как они дают одинаковые значения.

Чтобы завершить этот урок, мы хотели бы порекомендовать вам эту статью о том, как вычислить определители, и другую статью о определителе квадратной матрицы, где вы найдете гораздо больше примеров, чем приведенные здесь.

Надеемся, этот урок был интересным и полезным, до встречи в следующем!

Детерминанты 3 на 3

Определитель квадратной матрицы

Определитель — это действительное число, связанное с каждой квадратной матрицей. Я еще не нашел хорошего Английское определение детерминанта. Все, что я могу найти, определяет это с точки зрения математическая формула или предлагает некоторые из ее использования. Есть даже определение определитель, который определяет его в терминах самого себя.

Определитель квадратной матрицы A обозначается как «det A» или | А |, Теперь последний выглядит как абсолютное значение A, но вам придется применить контекст.Если вертикальные линии находятся вокруг матрица, то есть определитель.

В строке ниже показаны два способа записи определителя.

Определитель матрицы 2 × 2

Определитель матрицы 2 × 2 находится во многом как операция поворота.Это произведение элементов на главной диагонали за вычетом произведение элементов от главной диагонали.

Свойства детерминантов

• Определитель — действительное число, а не матрица.
• Определитель может быть отрицательным числом.
• Он вообще не связан с абсолютным значением, за исключением того, что они оба используют вертикальные линии.
• Определитель существует только для квадратных матриц (2 × 2, 3 × 3, … n × n). Определитель матрицы 1 × 1 — это единственное значение в определителе.
• Обратная матрица будет существовать, только если определитель не равен нулю.

Расширение с использованием младших и сомножителей

Определение определителя, которое у нас есть до сих пор, относится только к матрице 2 × 2. Есть ярлык для матрица 3 × 3, но я твердо верю, что вам следует изучить способ, который будет работать для всех размеров, а не только для частный случай для матрицы 3 × 3.

Метод называется расширением с использованием миноров и сомножителей. Прежде чем мы сможем использовать их, нам нужно их определить.

Несовершеннолетние

Второстепенным для любого элемента является определитель, который получается, когда строка и столбец что элементы удалены.

Обозначение M _ij используется для обозначения минорной части элемента. в строке i и столбце j. Таким образом, M ₂₁ будет означать второстепенное значение для элемента. в строке 2, столбце 1.

Рассмотрим определитель 3 × 3, показанный ниже. Я включил заголовки, чтобы вы можете держать строки и столбцы ровными, но обычно вы не включаете те.Мы собираемся найти нескольких несовершеннолетних.

Поиск второстепенного для R

Младший — это определитель, который остается при удалении строки и столбца. элемента, для которого вы пытаетесь найти второстепенное.Это означает, что мы должны удалить строка 2 и столбец 1, а затем найдите определитель.

Как видите, второстепенное значение для строки 2 и столбца 1 — M ₂₁ = -4.

Попробуем еще.

Поиск второстепенного для R

На этот раз мы удалим строку 3 и столбец 2.

Таким образом, второстепенное значение для строки 3, столбца 2 — M ₃₂ = -5.

Матрица несовершеннолетних

Когда вы просто пытаетесь найти определитель матрицы, это перебор. Но для него есть одно чрезвычайно полезное приложение, которое даст нам практику. поиск несовершеннолетних.

Матрица миноров — это квадратная матрица, в которой каждый элемент является второстепенным. для номера в этой позиции.

Вот общая матрица миноров для определителя 3 × 3.

Найдем матрицу миноров для нашего исходного определителя. Здесь определитель.

Вот работа по поиску каждого минора в матрице миноров.

И, наконец, матрица миноров. Опять же, метки ставить не нужно для строки и столбцов, но это может вам помочь.

Кофакторы

Кофактор для любого элемента является второстепенным или противоположным второстепенным, в зависимости от того, где находится элемент в исходном определителе.Если строка и столбец элемента суммируется до четного числа, тогда сомножитель — это так же, как и несовершеннолетний. Если сумма строки и столбца элемента получается нечетной число, то сомножитель — это противоположность несовершеннолетнему.

О, ты понял? Нечетное меняет знаки, четное — тот же знак. Дежавю. Мы говорим об этом с момента раздела 3.2 о многочленах.

Знаковая диаграмма

Вместо того, чтобы складывать строку и столбец элемента, чтобы проверить, является четным или нечетным, многие люди предпочитают использовать знаковую диаграмму.Знаковая диаграмма — это либо a + или — для каждого элемента в матрице. Первый элемент (строка 1, столбец 1) является всегда а + и чередуется оттуда.

Примечание. Знак «+» не означает «положительный», а «-» — отрицательный. + Означает то же самое знак как несовершеннолетний и — означает противоположность несовершеннолетнему. Подумайте об этом дополнении и вычитание, а не положительное или отрицательное.

Вот знаковая диаграмма для определителя 2 × 2.

Вот знаковая диаграмма для определителя 3 × 3.

Матрица сомножителей

Опять же, если все, что вы пытаетесь сделать, это найти определитель, вам не нужно проделать такую ​​большую работу.

Матрица сомножителей — это матрица, найденная заменой каждого элемента матрицу ее сомножителем. Это матрица несовершеннолетних с измененными знаками по элементам в позициях -.

Расширение для поиска определителя

Вот шаги, которые необходимо выполнить, чтобы найти определитель.

1. Выберите любую строку или столбец в матрице. Неважно, какая строка или какая столбец, который вы используете, ответ будет одинаковым для любой строки. Есть несколько строк или столбцы, которые проще, чем другие, но мы вернемся к этому позже.
2. Умножить каждые элемент в этой строке или столбце по его кофактору и добавьте. В результате определитель.

Разложим нашу матрицу по первой строке.

Из диаграммы знаков мы видим, что 1 находится в положительном положении, 3 — в отрицательном положение, а 2 находится в положительном положении.Поставив + или — перед элемент, он заботится о корректировке знака при переходе от второстепенного к кофактору.

= 1 (2-15) — 3 (8-6) + 2 (20-2)
= 1 (-13) — 3 (2) + 2 (18)
= -13-6 + 36
= 17

Определитель этой матрицы равен 17.

Как я сказал ранее, на самом деле не имеет значения, какую строку или столбец вы используете.

Давайте попробуем еще раз, но на этот раз расширим вторые столбцы. Как усилие для экономии времени миноры для этого столбца (из матрицы миноров) были 2, -2 и -5. Исходные элементы были 3, 1 и 5. 3 и 5 отрицательны. позиции.

= — 3 (2) + 1 (-2) — 5 (-5) = -6-2 + 25 = 17

Раскройте любую строку или любой столбец, вы получите 17.

Но диагонали делать нельзя.Если попробовать по главной диагонали, получится

+ 1 (-13) + 1 (-2) + 2 (-11) = -13-2-22 = -37

Некоторые строки или столбцы лучше других

1. Выберите строку или столбец с наибольшим количеством нулей.
   Поскольку каждый младший или сомножитель умножается на элемент в матрице, выбор строки или столбца с большим количеством нулей означает, что вы будете умножение на множество нулей. Умножение на ноль совсем не занимает много времени. Фактически, если элемент равен нулю, вы не нужно даже найти несовершеннолетнего или кофактор.
2. Выберите строку или столбец с наибольшими числами (или переменными) в нем.
   Элементы в строке или столбце, по которым вы разворачиваете, не используются для поиска несовершеннолетние. Единственное место, где они умножаются, — это один раз в расширении. Если вы выберете строку или столбец с наименьшие числа, то каждое младшее число будет произведением большего числа.
   Если вы выберете строку или столбец, в котором есть переменные, то вы только имеют умножить на переменные один раз, во время раскрытия.

Обратная матрица (пересмотренная)

Давайте на этот раз рассмотрим наш исходный определитель как матрицу.

Найдите матрицу миноров , как описано выше.

Превратите его в матрицу сомножителей , изменив знаки на соответствующих элементы на основе знаковой диаграммы.

Найдите , присоединенное к , транспонировав матрицу сомножителей.

Чтобы транспонировать матрицу, вы переключаете строки и столбцы. То есть строки стать столбцами и столбцы становятся строками. Транспонирование матрицы можно найти с помощью TI-82. или калькулятор TI-83, введя имя матрицы и выбрав Матрица, Math, а затем вариант 2 с надстрочным символом T, например [A] ^T .

Наконец разделите сопряженную матрицу на определитель матрицы.В этой задаче определитель равен 17, поэтому мы разделим каждый элемент на 17. Результирующая матрица — , обратная исходной матрицы.

	-13/17	17.04.	17.07
	-2/17	-2/17	17. 05
	18/17	1/17	-11/17

Матрица, обратная матрице, находится путем деления сопряженной матрица по определителю матрицы.Не пытайтесь это сделать на своем калькулятор, поскольку калькулятор не позволяет разделить матрицу на скаляр. Вместо этого вам придется умножить на обратное значение определителя.

Если вы проверите это с помощью своего калькулятора, вы можете убедиться, что на самом деле обратное — это сопряженное, деленное на определитель.

Поскольку обратная величина — это присоединенный элемент, деленный на детерминант, мы можем понять, почему обратное не существует, если определитель равен нулю. Это приведет к делению на ноль, что не определено.

Детерминанты более крупного порядка

Найдем определитель системы 4х4.

Выберите строку или столбец с наибольшим количеством нулей. В данном случае это второй столбец.

Для каждого элемента исходной матрицы свой минор будет определителем 3 × 3. Придется расширить каждый из них на с использованием трех определителей 2 × 2.

Вот почему мы хотим развернуть второй столбец. Несовершеннолетние умножаются по их элементам, поэтому, если элемент в исходной матрице равен 0, он не действительно имеет значение, что такое несовершеннолетний, и мы можем сэкономить много времени, не имея найти это. Во втором столбце вам не нужно будет искать двух несовершеннолетних. потому что их соответствующий элемент во втором столбце равен нулю.

Мы действительно могли бы заполнить эти два средних младших, но поскольку они умножаются на 0, неважно, какие они. Фактически, вы могли бы так же легко пропустить их.

Теперь осталось найти два определителя 3×3.

В первом определителе 3×3, нулей нет, поэтому выберите строку или столбец с наибольшими числами. Что будет столбцом 1, поэтому разверните его по первому столбцу.

Уведомление 4 находится в положительном положении. Таблицы знаков начинаются заново с каждого новый определитель. Положение числа в исходной матрице не имеет значение, только его положение в текущей матрице.

= 4 (2-3) — 3 (1-6) + 9 (1-4) = 4 (-1) — 3 (-5) + 9 (-3 ) = -4 + 15 — 27 = -16

Рассмотрим другую матрицу 3 × 3. В этом в строке стоит 0 1 и столбец 2. Любой из них будет хорошим выбором для расширения, но поскольку в строке 1 числа немного больше, мы расширим первую строку.

= 3 (1-4) — 0 (не имеет значения) + 1 (8-3) = 3 (-3) + 1 (5) = -9 + 5 = -4

Когда вы идете искать определитель, помните, что были элементы из исходная матрица 4 × 4, умноженная на каждый из этих определителей 3 × 3. Первый — -2, второй — +2.

Определитель = -2 (-16) + 2 (-4) = 32 — 8 = 24

Худший сценарий

Чтобы найти определитель 3×3 без нулей, вы должны найти три определителя 2×2.

Чтобы найти определитель 4×4 без нулей, вам нужно найти четыре определителя 3×3, каждый из которых затем становится тремя определителями 2×2, что в сумме дает двенадцать определителей 2×2.

Чтобы найти определитель 5×5 без нулей, вам нужно найти пять определителей 4×4, каждый из которых затем становится четырьмя детерминантами 3×3, каждый из которых становится тремя детерминантами 2×2, в сумме шестидесяти определителей 2×2.

Использование калькулятора

После этой последней проблемы вы должны спросить себя, нет ли более простого пути. Ну да, есть, если в определителе нет никаких переменных. Вы можете воспользоваться калькулятором.

Обозначение, которое использует калькулятор TI-82 или TI-83, — это обозначение Det A. Итак, после входа в матрицу в одну из доступных матриц на калькуляторе, введите DET, выбрав Матрица, Математика и выбор варианта 1. Затем введите название матрицы, которую вы используете.

Вам не нужно использовать круглые скобки (если у вас нет TI-83), но вы можете, если ты хочешь найти определитель продукта «det ([A] * [B])» или определитель транспонирования «det ([A] ^T ) «как в отличие от транспонирования определителя «(det [A]) ^T» . Кстати, калькулятор не найдет транспонирование определителя, потому что в детерминант является скаляром (действительным числом) и калькулятор знает только, как найти транспонирование матрицы. Транспонирование скаляр — это то, что скаляр.

Треугольные матрицы

Вам действительно понравится находить определители этих матриц.

Верхняя треугольная матрица

Матрица, в которой все ненулевые элементы находятся либо на главной диагонали, либо над ней. То есть все ненулевые значения находятся в верхнем треугольнике. Все, что ниже диагонали это ноль.

Нижняя треугольная матрица

Матрица, в которой все ненулевые элементы находятся либо на главной диагонали, либо ниже нее.

То есть все ненулевые значения находятся в нижнем треугольнике. Все выше диагонали равно нулю.

Диагональная матрица

Матрица, в которой все ненулевые элементы находятся на главной диагонали. Все выключено главная диагональ — ноль.

Определителем треугольной или диагональной матрицы является произведение элементов по главной диагонали.

Операции с элементарными строками

Существовали три элементарные операции со строками, которые могли быть выполнены, которые возвращали бы эквивалентная система.С определителями, поскольку определитель транспонирования такой же, как и у Определитель матрицы, элементарные операции со строками также могут применяться к столбцам.

Выполняя сокращение строк (используя поворот на 1, если хотите), вы можете поместить матрицу в треугольная форма. Как только он приобретет треугольную форму, все, что вам нужно сделать, это умножить на элементы на главной диагонали, и у вас есть определитель.

Давайте рассмотрим каждую из трех элементарных операций со строками.

1. Если вы поменяете местами две строки или два столбца в определителе, результирующий определитель будет отличаются только знаком.То есть, если вы меняете местами строки или столбцы, результирующий определитель будет противоположно исходному определителю.
2. Если вы умножаете строку или столбец на ненулевую константу, определитель умножается на эту та же ненулевая константа.
3. Если вы умножите строку или столбец на ненулевую константу и добавите ее к другой строке или столбцу, при замене этой строки или столбца определитель не изменяется.

Последняя операция эквивалентна повороту на единицу!

Предупреждение, если ваша точка поворота — это число, отличное от единицы, то вы умножаете каждую строку, которую вы изменение поворотным элементом.Итак, если вы повернетесь к 3 и измените две строки, то полученный определитель будет в 3 * 3 = 9 раз больше, чем исходный определитель.

Пока вы выбираете единицу, все будет в порядке.

Вам не нужно помещать матрицу в сокращенную форму строки-эшелон или даже форму строки-эшелона. Вы можете в любой момент остановить сокращение и расширить, используя миноры и кофакторы. Что я Предлагаю это стержень там, где он есть, а затем разверните.

Нулевые детерминанты

Определитель матрицы будет равен нулю, если

1. Вся строка нулевая.
2. Две строки или столбцы равны.
3. Строка или столбец является постоянным кратным другой строке или столбцу.

Помните, что матрица обратима и невырождена тогда и только тогда, когда определитель не равен нулю. Итак, если определитель равен нулю, матрица сингулярна и не имеет обратной.

Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными

Вычисление определителя матрицы 3 × 3

Найти определитель матрицы 2 × 2 несложно, но найти определитель матрицы 3 × 3 сложнее. Один из способов — увеличить матрицу 3 × 3 повторением первых двух столбцов, получив матрицу 3 × 5. Затем мы вычисляем сумму произведений записей на каждой из трех диагоналей (от верхнего левого угла к нижнему правому) и вычитаем произведения записей на каждой из трех диагоналей (нижний левый верхний правый). Это легче понять с помощью наглядного пособия и примера.

Найдите определитель матрицы 3 × 3.

[латекс] A = \ left [\ begin {array} {ccc} {a} _ {1} & {b} _ {1} & {c} _ {1} \\ {a} _ {2} & {b} _ {2} & {c} _ {2} \\ {a} _ {3} & {b} _ {3} & {c} _ {3} \ end {array} \ right] [/ латекс]

1. Дополните [латекс] A [/ латекс] первыми двумя столбцами.

   [латекс] \ mathrm {det} \ left (A \ right) = | \ begin {array} {ccc} {a} _ {1} & {b} _ {1} & {c} _ {1} \ \ {a} _ {2} & {b} _ {2} & {c} _ {2} \\ {a} _ {3} & {b} _ {3} & {c} _ {3} \ конец {массив} | \ begin {массив} {c} {a} _ {1} \\ {a} _ {2} \\ {a} _ {3} \ end {array} \ begin {array} {c } {b} _ {1} \\ {b} _ {2} \\ {b} _ {3} \ end {array} | [/ latex]

2. С верхнего левого угла в нижний правый: умножение значений по первой диагонали. Добавьте результат к произведению записей по второй диагонали. Добавьте этот результат к произведению записей по третьей диагонали.
3. От левого нижнего угла до правого верхнего: вычтите произведение входов вверх по первой диагонали. Из этого результата вычтите произведение входов вверх по второй диагонали. Из этого результата вычтите произведение входов до третьей диагонали.

Рисунок 2

Алгебра выглядит следующим образом:

[латекс] | A | = {a} _ {1} {b} _ {2} {c} _ {3} + {b} _ {1} {c} _ {2} {a} _ {3 } + {c} _ {1} {a} _ {2} {b} _ {3} — {a} _ {3} {b} _ {2} {c} _ {1} — {b} _ {3} {c} _ {2} {a} _ {1} — {c} _ {3} {a} _ {2} {b} _ {1} [/ latex]

Пример 3: Нахождение определителя матрицы 3 × 3

Найдите определитель матрицы 3 × 3 для данного

[латекс] A = \ left [\ begin {array} {ccc} 0 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 4 & 0 & 1 \ end {array} \ right] [/ latex]

Решение

Дополните матрицу первыми двумя столбцами, а затем следуйте формуле. Таким образом,

[латекс] \ begin {array} {l} | A | = | \ begin {array} {ccc} 0 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 4 & 0 & 1 \ end {array} | \ begin {array} {c} 0 \\ 3 \\ 4 \ end {array} \ begin {array} {c} 2 \\ -1 \\ 0 \ end {array} | \ hfill \\ = 0 \ left (-1 \ right ) \ влево (1 \ вправо) +2 \ влево (1 \ вправо) \ влево (4 \ вправо) +1 \ влево (3 \ вправо) \ влево (0 \ вправо) -4 \ влево (-1 \ вправо) \ left (1 \ right) -0 \ left (1 \ right) \ left (0 \ right) -1 \ left (3 \ right) \ left (2 \ right) \ hfill \\ = 0 + 8 + 0 + 4 — 0-6 \ hfill \\ = 6 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Попробуй 2

Найдите определитель матрицы 3 × 3.

[латекс] \ mathrm {det} \ left (A \ right) = | \ begin {array} {ccc} 1 & -3 & 7 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \ end {array} | [/ latex ]

Вопросы и ответы

Можем ли мы использовать тот же метод, чтобы найти определитель большей матрицы?

Нет, этот метод работает только для [latex] 2 \ text {} \ times \ text {} 2 [/ latex] и [latex] \ text {3} \ text {} \ times \ text {} 3 [/ латексные] матрицы. Для больших матриц лучше всего использовать графическую утилиту или компьютерное программное обеспечение.

Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными

Теперь, когда мы можем найти определитель матрицы 3 × 3, мы можем применить Правило Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными .Правило Крамера простое и следует шаблону, соответствующему правилу Крамера для матриц 2 × 2. Однако по мере увеличения порядка матрицы до 3 × 3 требуется гораздо больше вычислений.

Когда мы вычисляем, что определитель равен нулю, правило Крамера не дает никаких указаний на то, что у системы нет решения или есть бесконечное количество решений. Чтобы выяснить это, мы должны выполнить устранение в системе.

Рассмотрим систему уравнений 3 × 3.

Рисунок 3

[латекс] x = \ frac {{D} _ {x}} {D}, y = \ frac {{D} _ {y}} {D}, z = \ frac {{D} _ {z} } {D}, D \ ne 0 [/ латекс]

где

Рисунок 4

Если мы записываем определитель [latex] {D} _ {x} [/ latex], мы заменяем столбец [latex] x [/ latex] на столбец констант. Если мы пишем определитель [latex] {D} _ {y} [/ latex], мы заменяем столбец [latex] y [/ latex] постоянным столбцом. Если мы пишем определитель [latex] {D} _ {z} [/ latex], мы заменяем столбец [latex] z [/ latex] постоянным столбцом. Всегда проверяйте ответ.

Пример 4: Решение системы 3 × 3 с использованием правила Крамера

Найдите решение данной системы 3 × 3, используя правило Крамера.

[латекс] \ begin {array} {c} x + y-z = 6 \\ 3x — 2y + z = -5 \\ x + 3y — 2z = 14 \ end {array} [/ latex]

Решение

Используйте правило Крамера.

[латекс] D = | \ begin {array} {ccc} 1 & 1 & -1 \\ 3 & -2 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \ end {array} |, {D} _ {x} = | \ begin { array} {ccc} 6 & 1 & -1 \\ -5 & -2 & 1 \\ 14 & 3 & -2 \ end {array} |, {D} _ {y} = | \ begin {array} {ccc} 1 & 6 & -1 \\ 3 & -5 & 1 \\ 1 & 14 & -2 \ end {array} |, {D} _ {z} = | \ begin {array} {ccc} 1 & 1 & 6 \\ 3 & -2 & -5 \\ 1 & 3 & 14 \ end {array} | [/ latex]

Затем,

[латекс] \ begin {array} {l} x = \ frac {{D} _ {x}} {D} = \ frac {-3} {- 3} = 1 \ hfill \\ y = \ frac { {D} _ {y}} {D} = \ frac {-9} {- 3} = 3 \ hfill \\ z = \ frac {{D} _ {z}} {D} = \ frac {6} {-3} = — 2 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Решение [латекс] \ left (1,3, -2 \ right) [/ latex].

Попробовать 3

Используйте правило Крамера, чтобы решить матрицу 3 × 3.

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill x — 3y + 7z = 13 \\ \ hfill x + y + z = 1 \\ \ hfill x — 2y + 3z = 4 \ end {array} [/ латекс]

Пример 5: Использование правила Крамера для решения несовместимой системы

Решите систему уравнений, используя правило Крамера.

[латекс] \ begin {array} {l} 3x — 2y = 4 \ text {} \ left (1 \ right) \\ 6x — 4y = 0 \ text {} \ left (2 \ right) \ end {массив } [/ latex]

Решение

Начнем с нахождения определителей [латекс] D, {D} _ {x}, \ text {и} {D} _ {y} [/ latex].

[латекс] D = | \ begin {array} {cc} 3 & -2 \\ 6 & -4 \ end {array} | = 3 \ left (-4 \ right) -6 \ left (-2 \ right) = 0 [/ латекс]

Мы знаем, что нулевой определитель означает, что либо система не имеет решения, либо имеет бесконечное количество решений. Чтобы узнать, какой из них, мы используем процесс исключения. Наша цель — исключить одну из переменных.

1. Умножьте уравнение (1) на [латекс] -2 [/ латекс].
2. Добавьте результат в уравнение [латекс] \ left (2 \ right) [/ latex].

[латекс] \ begin {array} \ text {} \ hfill − 6x + 4y = −8 \\ \ hfill6x − 4y = 0 \\ \ hfill \ text {_____________} \\ \ hfill 0 = 8 \ end { array} [/ latex]

Получаем уравнение [латекс] 0 = -8 [/ латекс], которое неверно.Следовательно, у системы нет решения. График системы показывает две параллельные линии.

Рисунок 5

Пример 6. Использование правила Крамера для решения зависимой системы

Решите систему с бесконечным количеством решений.

[латекс] \ begin {array} {rr} \ hfill x — 2y + 3z = 0 & \ hfill \ left (1 \ right) \\ \ hfill 3x + y — 2z = 0 & \ hfill \ left (2 \ right) \\ \ hfill 2x — 4y + 6z = 0 & \ hfill \ left (3 \ right) \ end {array} [/ latex]

Решение

Давайте сначала найдем определитель.Создайте матрицу, дополненную первыми двумя столбцами.

[латекс] | \ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill -2 & \ hfill 3 \\ \ hfill 3 & \ hfill 1 & \ hfill -2 \\ \ hfill 2 & \ hfill -4 & \ hfill 6 \ end { array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {rr} \ hfill 1 & \ hfill -2 \\ \ hfill 3 & \ hfill 1 \\ \ hfill 2 & \ hfill -4 \ end {array} | [ / латекс]

Затем,

[латекс] 1 \ влево (1 \ вправо) \ влево (6 \ вправо) + \ влево (-2 \ вправо) \ влево (-2 \ вправо) \ влево (2 \ вправо) +3 \ влево (3 \ вправо) \ влево (-4 \ вправо) -2 \ влево (1 \ вправо) \ влево (3 \ вправо) — \ влево (-4 \ вправо) \ влево (-2 \ вправо) \ влево (1 \ вправо) -6 \ влево (3 \ вправо) \ влево (-2 \ вправо) = 0 [/ латекс]

Поскольку определитель равен нулю, решения либо нет, либо существует бесконечное количество решений.Чтобы выяснить это, нам нужно провести отбор.

1. Умножьте уравнение (1) на [латекс] -2 [/ латекс] и добавьте результат к уравнению (3):

   [латекс] \ frac {\ begin {array} {r} \ hfill -2x + 4y — 6x = 0 \\ \ hfill 2x — 4y + 6z = 0 \ end {array}} {0 = 0} [/ latex ]

2. Получение ответа [latex] 0 = 0 [/ latex], утверждение, которое всегда верно, означает, что система имеет бесконечное количество решений. Изобразив систему, мы можем увидеть, что две плоскости одинаковы, и обе они пересекают третью плоскость по прямой.

Фиг.6

Определители (алгебра 2, матрицы) — Mathplanet

Определитель det (A) или | A | квадратной матрицы A — это число, кодирующее определенные свойства матрицы. Детерминанты названы по размеру матриц. В следующем примере мы покажем, как определить детерминанты второго порядка.

Пример

$$ A = \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix} $$

Определитель A (определитель второго порядка) равен

$$ det (A) = \ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix} = ad-bc $$

Определители матриц 3 × 3 называются определителями третьего порядка.Один из методов оценки детерминант третьего порядка называется разложением по минорам. Младший элемент — это определитель, формируемый при удалении строки и столбца, содержащих этот элемент.

$$ \ begin {vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {vmatrix} = a \ begin {vmatrix} e & f \\ h & i \ end { vmatrix} -b \ begin {vmatrix} d & f \\ g & i \ end {vmatrix} + c \ begin {vmatrix} d & e \\ g & h \ end {vmatrix} $$

Определители могут использоваться для определения площади треугольника, если известны координаты вершин. Если вершинами треугольников являются (a, b), (c, d) и (e, f), площадь равна

$$ A = \ frac {1} {2} \ begin {vmatrix} a & b & 1 \\ c & d & 1 \ e & f & 1 \ end {vmatrix} $$

Если A оказывается отрицательным, мы должны использовать абсолютное значение для A, чтобы иметь неотрицательное значение для нашей области.

Пример

Найдите площадь треугольника с вершинами, расположенными в точках (-2,2), (1,3) и (3,0) (этот пример также показан в нашем видео-уроке).

Подставляем координаты вершин в формулу площади

$$ A = \ frac {1} {2} \ begin {vmatrix} -2 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \ end {vmatrix} $$

и продолжается с

$$ = \ frac {1} {2} (- 2 \ begin {vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1 \ end {vmatrix} -2 \ begin {vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 1 \ end {vmatrix} +1 \ begin {vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 0 \ end {vmatrix}) = \\ \\ = \ frac {1} {2} (- 2 (3 \ cdot1-1 \ cdot 0 ) -2 (1 \ cdot 1-1 \ cdot 3) +1 (1 \ cdot 0-3 \ cdot 3)) = \\ \\ = \ frac {1} {2} (- 6 + 4-9) = \ frac {-11} {2} = — 5. 5 $$

Мы получили отрицательное значение для A, и площадь не может быть отрицательной, поэтому мы должны взять абсолютное значение для A:

$$ \ mid A \ mid = \ mid -5.5 \ mid = 5.5 \; $$

Итак, площадь треугольников составляет 5,5 квадратных единиц.

Найдите область из приведенного выше примера.

Детерминанты и правило Крамера

Линейные системы двух переменных и правило Крамера

Напомним, что матрица — это прямоугольный массив чисел, состоящий из строк и столбцов.Мы классифицируем матрицы по количеству строк n и количеству столбцов m . Например, матрица 3 × 4, читаемая как «матрица 3 на 4», состоит из 3 строк и 4 столбцов. Квадратная матрица Матрица с одинаковым количеством строк и столбцов. — матрица, в которой количество строк совпадает с количеством столбцов. В этом разделе мы обрисовываем еще один метод решения линейных систем с использованием специальных свойств квадратных матриц. Начнем с рассмотрения следующей матрицы коэффициентов 2 × 2 A ,

A = [a1b1a2b2]

Определитель Действительное число, связанное с квадратной матрицей.матрицы 2 × 2, обозначенной вертикальными линиями | A |, или более компактно как det ( A ), определяется следующим образом:

Определитель — это действительное число, которое получается вычитанием произведений значений на диагонали.

Пример 1

Вычислить: | 3−52−2 |.

Решение:

Вертикальные линии по обе стороны от матрицы показывают, что нам нужно вычислить определитель.

| 3−52−2 | = 3 (−2) −2 (−5) = — 6 + 10 = 4

Ответ: 4

Пример 2

Вычислить: | −6403 |.

Решение:

Обратите внимание, что матрица представлена ​​в виде верхнего треугольника.

| −6403 | = −6 (3) −4 (0) = — 18−0 = −18

Ответ: −18

Мы можем решать линейные системы с двумя переменными, используя определители.Начнем с общей линейной системы 2 × 2 и решим относительно y . Чтобы исключить переменную x , умножьте первое уравнение на −a2, а второе уравнение на a1.

{a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 ⇒ × (−a2) ⇒ × a1 {−a1a2x − a2b1y = −a2c1a1a2x + a1b2y = a1c2

Это приводит к эквивалентной линейной системе, в которой переменная x выстроена в линию для исключения. Теперь складывая уравнения, мы получаем

И числитель, и знаменатель очень похожи на определитель матрицы 2 × 2.На самом деле это так. Знаменатель — это определитель матрицы коэффициентов. А числитель является определителем матрицы, образованной заменой столбца, представляющего коэффициенты y , на соответствующий столбец констант. Эта специальная матрица обозначается Dy.

y = DyD = | a1c1a2c2 | | a1b1a2b2 | = a1c2 − a2c1a1b2 − a2b1

Аналогичным образом может быть получено значение x .

x = DxD = | c1b1c2b2 | | a1b1a2b2 | = c1b2 − c2b1a1b2 − a2b1

В целом, мы можем сформировать расширенную матрицу следующим образом:

{a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2 ⇔ [a1b1 | c1a2b2 | c2]

, а затем определите D, Dx и Dy, вычислив следующие детерминанты.

D = | a1b1a2b2 | Dx = | c1b1c2b2 | Dy = | a1c1a2c2 |

Решение системы в терминах определителей, описанных выше, когда D ≠ 0, называется правилом Крамера Решение независимой системы линейных уравнений, выраженное в терминах определителей ..

Правило Крамера (x, y) = (DxD, DyD)

Эта теорема названа в честь Габриэля Крамера (1704 — 1752).

Рисунок 3.2

Габриэль Крамер

Шаги решения линейной системы с двумя переменными с использованием определителей (правило Крамера) описаны в следующем примере.

Пример 3

Решите, используя правило Крамера: {2x + y = 7 3x − 2y = −7.

Решение:

Перед началом этого процесса убедитесь, что линейная система имеет стандартную форму.

Шаг 1 : Постройте расширенную матрицу и сформируйте матрицы, используемые в правиле Крамера.

{2x + y = 7 3x − 2y = −7 ⇒ [21 | 73−2 | −7]

В квадратной матрице, используемой для определения Dx, замените первый столбец матрицы коэффициентов константами.В квадратной матрице, используемой для определения Dy, замените второй столбец константами.

D = | 213−2 | Dx = | 71−7−2 | Dy = | 273−7 |

Шаг 2 : Рассчитайте детерминанты.

Dx = | 71−7−2 | = 7 (−2) — (- 7) (1) = — 14 + 7 = −7Dy = | 273−7 | = 2 (−7) −3 (7) = −14−21 = −35D = | 213−2 | = 2 (−2) −3 (1) = — 4−3 = −7

Шаг 3 : Используйте правило Крамера для вычисления x и y .

x = DxD = -7-7 = 1 и y = DyD = -35-7 = 5

Следовательно, одновременное решение (x, y) = (1,5).

Шаг 4 : Проверка необязательна; однако мы делаем это здесь для полноты картины.

Ответ: (1, 5)

Пример 4

Решите, используя правило Крамера: {3x − y = −26x + 4y = 2.

Решение:

Соответствующая расширенная матрица коэффициентов следует.

{3x − y = −26x + 4y = 2 ⇒ [3−1 | −264 | 2]

А у нас,

Dx = | −2−124 | = −8 — (- 2) = — 8 + 2 = −6Dy = | 3−262 | = 6 — (- 12) = 6 + 12 = 18D = | 3−164 | = 12 — (- 6) = 12 + 6 = 18

Используйте правило Крамера, чтобы найти решение.

x = DxD = -618 = -13 и y = DyD = 1818 = 1

Ответ: (−13,1)

Попробуй! Решите, используя правило Крамера: {5x − 3y = −7−7x + 6y = 11.

Ответ: (−1, 23)

Когда определитель матрицы коэффициентов D равен нулю, формулы правила Крамера не определены. В этом случае система либо зависима, либо несовместима в зависимости от значений Dx и Dy. Когда D = 0 и оба Dx = 0 и Dy = 0, система является зависимой. Когда D = 0 и либо Dx, либо Dy отличны от нуля, система несовместима.

Когда D = 0, Dx = 0 и Dy = 0 ⇒ Зависимая система Dx ≠ 0 или Dy ≠ 0 ⇒ Несогласованная система

Пример 5

Решите, используя правило Крамера: {x + 15y = 3 5x + y = 15.

Решение:

Соответствующая расширенная матрица следует.

{x + 15y = 3 5x + y = 15 ⇒ [115 | 351 | 15]

А имеем следующее.

Dx = | 315151 | = 3−3 = 0Dy = | 13515 | = 15−15 = 0D = | 11551 | = 1−1 = 0

Если мы попытаемся использовать правило Крамера, мы получим

x = DxD = 00 и y = DyD = 00

, оба из которых являются неопределенными количествами.Поскольку D = 0 и как Dx = 0, так и Dy = 0, мы знаем, что это зависимая система. Фактически, мы можем увидеть, что оба уравнения представляют одну и ту же линию, если мы решим относительно y .

{x + 15y = 3 5x + y = 15 ⇒ {y = −5x + 15 y = −5x + 15

Следовательно, мы можем представить все решения (x, −5x + 15), где x — действительное число.

Ответ: (x, −5x + 15)

Попробуй! Решите, используя правило Крамера: {3x − 2y = 10 6x − 4y = 12.

Ответ: Ø

Линейные системы трех переменных и правило Крамера

Рассмотрим следующую матрицу коэффициентов 3 × 3 A ,

A = [a1b1c1a2b2c2a3b3c3]

Определитель этой матрицы определяется следующим образом:

det (A) = | a1b1c1a2b2c2a3b3c3 | = a1 | b2c2b3c3 | −b1 | a2c2a3c3 | + c1 | a2b2a3b3 | = a1 (b2c3 − b3c2) −b1 (a2c3 − 9 −3 ab2) +

Здесь каждый определитель 2 × 2 называется второстепенным определителем матрицы, которая получается после удаления строки и столбца квадратной матрицы. предыдущего фактора. Обратите внимание, что факторы — это элементы в первой строке матрицы, и что они меняют знак (+ — +).

Пример 6

Рассчитать: | 1322−1305−1 |.

Решение:

Чтобы легко определить второстепенное значение каждого фактора в первой строке, мы выстраиваем первую строку и соответствующий столбец. Определитель матрицы оставшихся элементов определяет соответствующий минор.

Позаботьтесь о том, чтобы поменять знак множителей в первой строке. Далее следует разложение несовершеннолетними о первом ряду:

| 1322−1305−1 | = 1 | −135−1 | −3 | 230−1 | +2 | 2−105 | = 1 (1−15) −3 (−2−0) +2 (10−0) = 1 (−14) −3 (−2) +2 (10) = — 14 + 6 + 20 = 12

Ответ: 12

Расширение по несовершеннолетним может производиться по любой строке или любому столбцу. Знак коэффициентов, определяемый выбранной строкой или столбцом, будет чередоваться в соответствии со следующим массивом знаков.

[+ — + — + — + — +]

Поэтому, чтобы расширить второй ряд, мы будем чередовать знаки, начиная с противоположного первого элемента. Мы можем расширить предыдущий пример о второй строке, чтобы показать, что получен такой же ответ для определителя.

А можно написать,

| 1322−1305−1 | = — (2) | 325−1 | + (- 1) | 120−1 | — (3) | 1305 | = −2 (−3−10) −1 (−1−0) −3 (5−0) = — 2 (−13) −1 (−1) −3 (5) = 26 + 1−15 = 12

Обратите внимание, что мы получаем тот же ответ 12.

Пример 7

Рассчитать: | 4306122410 |.

Решение:

Расчеты упрощаются, если мы расширим третий столбец, потому что он содержит два нуля.

Далее следует расширение несовершеннолетними по поводу третьего столбца:

| 4306122410 | = 0 | 61241 | −2 | 4341 | +0 | 43612 | = 0−2 (4−12) + 0 = −2 (−8) = 16

Ответ: 16

Следует отметить, что существуют и другие методы, используемые для запоминания того, как вычислить определитель матрицы 3 × 3.Кроме того, многие современные калькуляторы и системы компьютерной алгебры могут найти определитель матриц. Предлагаем вам изучить эту обширную тему.

Мы можем решить линейные системы с тремя переменными, используя определители. Для этого мы начнем с расширенной матрицы коэффициентов,

{a1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c2z = d2a3x + b3y + c3z = d3 ⇔ [a1b1c1 | d1a2b2c2 | d2a3b3c3 | d3]

Пусть D представляет определитель матрицы коэффициентов,

D = | a1b1c1a2b2c2a3b3c3 |

Затем определите Dx, Dy и Dz, вычислив следующие определители.

Dx = | d1b1c1d2b2c2d3b3c3 | Dy = | a1d1c1a2d2c2a3d3c3 | Dz = | a1b1d1a2b2d2a3b3d3 |

Когда D ≠ 0, решение системы в терминах детерминантов, описанных выше, может быть вычислено с использованием правила Крамера:

Правило Крамера (x, y, z) = (DxD, DyD, DzD)

Используйте это для эффективного решения систем с тремя переменными.

Пример 8

Решите, используя правило Крамера: {3x + 7y − 4z = 02x + 5y − 3z = 1−5x + 2y + 4z = 8.

Решение:

Начните с определения соответствующей расширенной матрицы.

{3x + 7y − 4z = 02x + 5y − 3z = 1−5x + 2y + 4z = 8 ⇔ [37−4 | 025−3 | 1−524 | 8]

Затем вычислите определитель матрицы коэффициентов.

D = | 37−425−3−524 | = 3 | 5−324 | −7 | 2−3−54 | + (- 4) | 25−52 | = 3 (20 — (- 6)) — 7 (8−15) −4 (4 — (- 25)) = 3 (26) −7 (−7) −4 (29) = 78 + 49−116 = 11

Аналогичным образом мы можем вычислить Dx, Dy и Dz.Это оставлено как упражнение.

Dx = | 07−415−3824 | = −44Dy = | 30−421−3−584 | = 0Dz = | 370251−528 | = −33

Используя правило Крамера, мы имеем,

x = DxD = −4411 = −4 y = DyD = 011 = 0 z = DzD = −3311 = −3

Ответ: (−4,0, −3)

Если определитель матрицы коэффициентов D = 0, то система либо зависимая, либо противоречивая. Это будет зависеть от Dx, Dy и Dz. Если все они равны нулю, то система зависима.Если хотя бы один из них отличен от нуля, то он несовместим.

Когда D = 0, Dx = 0 и Dy = 0 и Dz = 0 ⇒ Зависимая система Dx ≠ 0 или Dy ≠ 0 или Dz ≠ 0 ⇒ Несогласованная система

Пример 9

Решите, используя правило Крамера: {4x − y + 3z = 521x − 4y + 18z = 7−9x + y − 9z = −8.

Решение:

Начните с определения соответствующей расширенной матрицы.

{4x − y + 3z = 521x − 4y + 18z = 7−9x + y − 9z = −8 ⇔ [4−13 | 521−418 | 7−91−9 | −8]

Затем определите определитель матрицы коэффициентов.

D = | 4−1321−418−91−9 | = 4 | −4181−9 | — (- 1) | 2118−9−9 | +3 | 21−4−91 | = 4 (36−18) +1 (−189 — (- 162)) + 3 (21−36) = 4 (18) +1 (−27) +3 (−15) = 72−27−45 = 0

Поскольку D = 0, система является либо зависимой, либо несовместимой.

Dx = | 5−137−418−81−9 | = 96

Однако, поскольку Dx отличен от нуля, мы заключаем, что система несовместима. Одновременного решения нет.

Ответ: Ø

Попробуй! Решите, используя правило Крамера: {2x + 6y + 7z = 4−3x − 4y + 5z = 125x + 10y − 3z = −13.

Ответ: (−3,12,1)

Основные выводы

• Определитель матрицы — действительное число.
• Определитель матрицы 2 × 2 получается вычитанием произведения значений на диагоналях.
• Определитель матрицы 3 × 3 получается путем расширения матрицы с использованием миноров в любой строке или столбце. При этом позаботьтесь об использовании массива знаков для определения знака коэффициентов.
• Используйте правило Крамера для эффективного определения решений линейных систем.
• Когда определитель матрицы коэффициентов равен 0, правило Крамера не применяется; система будет либо зависимой, либо непоследовательной.

Тематические упражнения

Часть A: Линейные системы с двумя переменными

Вычислить определитель.

1. | 1234 |

2. | 5324 |

3. | −13−3−2 |

4. | 743−2 |

5. | −41−30 |

6. | 95−10 |

7. | 1050 |

8. | 0350 |

9. | 04−13 |

10. | 102102 |

11. | a1b10b2 |

12. | 0b1a2b2 |

Решите, используя правило Крамера.

13. {3x − 5y = 82x − 7y = 9

14. {2x + 3y = −13x + 4y = −2

15. {2x − y = −34x + 3y = 4

16. {x + 3y = 15x − 6y = −9

17. {х + у = 16х + 3у = 2

18. {x − y = −15x + 10y = 4

19. {5x − 7y = 144x − 3y = 6

20. {9x + 5y = −97x + 2y = −7

21. {6x − 9y = 3−2x + 3y = 1

22. {3x − 9y = 32x − 6y = 2

23. {4x − 5y = 203y = −9

24. {x − y = 02x − 3y = 0

25. {2x + y = ax + y = Ь

26. {ax + y = 0by = 1

Часть B: Линейные системы с тремя переменными

Вычислить определитель.

27. | 123213132 |

28. | 251124323 |

29. | −31−13−1−2−251 |

30. | 1−15−45−1−12−3 |

31. | 3−1223−1521 |

32. | 40−33−100−52 |

33. | 0−34−30602−3 |

34. | 6−1−325284−1 |

35. | 257035004 |

36. | 210004 |

37. | a1b1c10b2c200c3 |

38. | a100a2b20a3b3c3 |

Решите, используя правило Крамера.

39. {x − y + 2z = −33x + 2y − z = 13−4x − 3y + z = −18

40. {3x + 4y − z = 104x + 6y + 7z = 92x + 3y + 5z = 3

41. {5x + y − z = 02x − 2y + z = −9−6x − 5y + 3z = −13

42. {−4x + 5y + 2z = 123x − y − z = −25x + 3y − 2z = 5

43. {x − y + z = −1−2x + 4y − 3z = 43x − 3y − 2z = 2

44. {2x + y − 4z = 72x − 3y + 2z = −44x − 5y + 2z = −5

45. {4x + 3y − 2z = 22x + 5y + 8z = −1x − y − 5z = 3

46. {x − y + z = 7x + 2y + z = 1x − 2y − 2z = 9

47. {3x − 6y + 2z = 12−5x − 2y + 3z = 47x + 3y − 4z = −6

48. {2x − y − 5z = 23x + 2y − 4z = −35x + y − 9z = 4

49. {4x + 3y − 4z = −132x + 6y − 5z = −2−2x − 3y + 3z = 5

50. {x − 2y + z = −14y − 3z = 03y − 2z = 1

51. {2x + 3y − z = −5x + 2y = 03x + 10y = 4

52. {2x − 3y − 2y = 9−3x + 4y + 4z = −13x − y − 2z = 4

53. {2x + y − 2z = −1x − y + 3z = 23x + y − z = 1

54. {3x − 8y + 9z = −2 − x + 5y − 10z = 3x − 3y + 4z = −1

55. {5x − 6y + 3z = 23x − 4y + 2z = 02x − 2y + z = 0

56. {5x + 10y − 4z = 122x + 5y + 4z = 0x + 5y − 8z = 6

57. {5x + 6y + 7z = 22y + 3z = 34z = 4

58. {x + 2z = −1−5y + 3z = 104x − 3y = 2

59. {x + y + z = ax + 2y + 2z = a + bx + 2y + 3z = a + b + c

60. {x + y + z = a + b + cx + 2y + 2z = a + 2b + 2cx + y + 2z = a + b + 2c

Часть C: Обсуждение

61. Изучите и обсудите историю детерминанта.Кто первым ввел обозначение определителя?

62. Изучите другие способы вычисления определителя матрицы 3 × 3. Привести пример.

Ответы

15. (-12,2)

17. (-13,43)

23. (54, −3)

43. (12,12, −1)

49. (12z − 4,23z + 1, z)

53. (-12,5,52)