Как найти медиану зная три стороны треугольника: Все формулы медианы треугольника

Урок геометрии в 7 классе на тему

Урок  геометрии в 7 классе:

Учитель математики Брыкина Лариса Васильевна

 

ТЕМА: ТРЕУГОЛЬНИКИ

 

Цель Обобщение  и систематизация  знаний учащихся  о треугольниках, их видах, элементах  свойствах и признаках треугольников.

Задачи :Закрепить и расширить  знания учащихся  об

·         Определении  треугольника,

·         Видах  треугольников,

·         основных и дополнительных элементах треугольников,

·         свойствах элементов треугольников и признаках равенства треугольников.

Развить умения:

·         изображать треугольники различных видов,

·         показывать на чертеже элементы треугольника,

·          делать запись с использованием символики,

·         пользоваться чертёжными инструментами,

·         Применять полученные знания при решении задач. .

Воспитать чувства коллективизма, аккуратности и пропорциональности при построении чертежей.

ОБОРУДОВАНИЕ: таблицы, раздаточный материал, блок схема. Компьютер, программное обеспечение (справочная программа, тестовый контроль, учебная программа, демонстрационная программа).

ХОД УРОКА:

 

Iчасть                          Организационно- мативационная.

IIчасть                       Актуализация пройденного материала, составление блок схемы.

 

группа1       Делает сообщение об основных элементах треугольника

Треугольником называется фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти точки попарно.
Каждый треугольник имеет основные и дополнительные элементы.
К основным элементам относятся: вершины, стороны, углы.
 Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами.

Треугольник имеет три вершины, три стороны, три угла.

Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.

Равные отрезки на чертеже обозначаются одинаковыми чёрточками.

Равные между собой углы обозначаются соответственно  дужками.

Сумма длин всех сторон треугольника называется периметром этого треугольника. Периметр обозначают буквой Р. периметр треугольника АВС: Р=АВ+ВС+СА или Р=a+b+c.

 

группа2       Делает сообщение о  дополнительных элементах треугольника Дополнительными элементами треугольника являются медиана,  биссектриса, высота и серединный перпендикуляр.
Определение. Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Определение.

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

Определение. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.

Любой треугольник имеет три биссектрисы. Биссектрисы пересекаются в одной точке.

Любой треугольник имеет три высоты. Высоты пересекаются в одной точке.

Любой треугольник имеет три медианы. Медианы пересекаются в одной точке.

Прямые, проходящие через середины сторон треугольника и перпендикулярные к этим сторонам, пересекаются в одной точке.
Эти четыре точки называются замечательными точками треугольника.

 

группа3       Делает сообщение о  видах треугольников

По длине сторон треугольники бывают трёх видов: равносторонний треугольник, равнобедренный треугольник и разносторонний треугольник.

Определение. Треугольник, у которого все три стороны равны, называется, равносторонним.

Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

Определение. Треугольник, у которого нет равных сторон, называется разносторонним.

Определение. Треугольник, у которого две стороны равны, называются равнобедренными. Равные стороны таких треугольников называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой, и высотой.

группа4       По величине углов треугольники бывают трёх видов: прямоугольный треугольник, остроугольный треугольник, тупоугольный треугольник.

Определение. Треугольник, у которого один угол прямой, называется прямоугольным треугольником. Две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами, а сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой треугольника.

Определение. Треугольник, у которого один угол тупой, называется тупоугольным треугольником.

Определение. Треугольник, у которого все углы острые, называется остроугольным треугольником.

(каждая группа сопровождает свой рассказ чертежами и краткими записями)

 

 

IIIчасть                    Класс делится на три разного уровня группы. Каждая группа работает с заданиями, определёнными в таблице в порядке следования.

Группа С	Группа В	Группа А
тестирование	отработка видов треугольника	работа со справочным материалом
практическая работа	тестирование	отработка видов треугольника
решение задач	практическая работа	построение медианы, биссектрисы, высоты

 

 

 Группа А работает со справочным материалом (повторяет, заучивает)

Справочный материал

            Треугольник.

Треугольником называется фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами. Треугольник имеет три вершины, три стороны, три угла.

Равные отрезки на чертеже обозначаются одинаковыми чёрточками.

Равные между собой углы обозначаются соответственно одной, двумя, тремя дужками.

ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

1)       По длине сторон треугольники бывают трёх видов: равносторонний треугольник, равнобедренный треугольник и разносторонний треугольник.

Определение. Треугольник, у которого все три стороны равны, называется, равносторонним.

Определение. Треугольник, у которого две стороны равны, называются равнобедренными. Равные стороны таких треугольников называются боковыми сторонами, а третья сторона —

основанием треугольника.

Определение. Треугольник, у которого нет равных сторон, называется разносторонним. Треугольник MFQ — разносторонний. У него нет равных сторон.

Сумма длин всех сторон треугольника называется периметром этого треугольника. Периметр обозначают буквой Р. периметр треугольника АВС: Р=АВ+ВС+СА или Р=a+b+c.

2)       По величине углов треугольники бывают трёх видов: прямоугольный треугольник, остроугольный треугольник, тупоугольный треугольник.

Определение. Треугольник, у которого один угол прямой, называется прямоугольным треугольником. Две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами, а сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой треугольника.

Определение. Треугольник, у которого один угол тупой, называется тупоугольным треугольником.

Определение. Треугольник, у которого все углы острые, называется остроугольным треугольником.

ВЫСОТА, МЕДИАНА И БИССЕКТРИСА ТРЕУГОЛЬНИКА.

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА

            Определение. Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

            Определение. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

            Определение. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.

Определение.

Прямые, проходящие через середины сторон треугольника и перпендикулярные к этим сторонам, называются серединными перпендикулярами.

            Замечательные точки треугольника. Любой треугольник имеет три биссектрисы. Биссектрисы пересекаются в одной точке.

            Любой треугольник имеет три высоты. Высоты пересекаются в одной точке.

            Любой треугольник имеет три медианы. Медианы пересекаются в одной точке.

Серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке. Эти четыре точки называются замечательными точками треугольника.

СВОЙСТВА РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

            Теорема. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

            Теорема. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой, и высотой.

СУММА ВНУТРЕННИХ УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА

            Теорема. Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.

            Теорема. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

 

 

Программа – алгоритм по построению медианы, высоты, биссектрисы.
Задача 1

Построение медианы треугольника.

 

1. Начерти  произвольный треугольник
2. Обозначь его АВС
3. Измерь линейкой сторону АВ
4. Раздели сторону АВ на две равные части
5. Точку деления обозначь D
6. Соедини точки С и D

СD- медиана.

Сделай построение ещё раз. Запомни.

Построение биссектрисы  треугольника.

 

1.      Построй треугольник

2.      Обозначь его MNK

3.      Транспортиром измерь угол N

4.       Раздели его на два равных угла

5.      Через точку деления и точку N проведи отрезок до стороны MK

Этот отрезок-биссектриса.

Сделай построение ещё раз. Запомни!

 

Построение высоты

 

1.      Построй треугольник

2.      Обозначь его XYZ

3.      Приложи линейку так, что бы одна её сторона совпала со стороной XY, а другая проходила через точку Z

4.      Проведи отрезок от Z  до стороны XY

Этот отрезок- высота.

Сделай построение ещё раз. Запомни!

 

Тестовый контроль с использованием компьютера.

(     отвечай «да», «нет»  )

1.       В равнобедренном треугольнике две равные стороны?

2.      Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике 180° ?

3.      Сумма  углов в разностороннем треугольнике 180° ?

4.      В любом треугольнике есть равные стороны?

5.      В равностороннем треугольнике есть две равные стороны?

6.      Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике 90° ?

7.      Высота связана с равенством углов?

8.      Биссектриса связана с углом 90°?

9.      Медиана связана с равенством отрезков?

10.  Разносторонний треугольник обязательно остроугольный?

11.  Сумма углов в прямоугольном треугольнике 180° ?

12.  Периметр — это сумма сторон треугольника?

13.  Высота связана с прямым углом?

14.  Медиана – это перпендикуляр?

15.  Если есть биссектриса, то есть равные углы?

16.  В равнобедренном треугольнике два равных угла?

17.   Катеты составляют прямой угол?

18.  Гипотенуза равна катету?

19.  Если все стороны треугольника равны, то этот треугольник прямоугольный?

20.  Периметр треугольника – это сумма углов?

 

Практическая работа по готовым чертежам.

 

21.  Измерить стороны и углы треугольника. Вычислить периметр.

АВ = _______

ВС =_______

АС =_______

ÐАВС =______

ÐВАС =______

ÐАСВ =______

Р  =_________

 

 

 

 

 

·         С помощью стрелок установить соответствие между чертежами и видами треугольников.

 

Разносторонний

 

Равносторонний

 

Равнобедренный

 

Остроугольный

 

Тупоугольный

 

Прямоугольный

 

 

 

 

 

 

·         Установите с помощью стрелок соответствие между определением и названием элемента.

 

Вычисление углов

Не откладывайте! ЗАГОВОРИТЕ на Английском!

ЗАМУЧИЛИ БОЛИ В СПИНЕ?

Александр | 2013-09-20

Виды треугольников. В следующей статье речь пойдёт о задачах на решение прямоугольного треугольника. Эти задания не связаны с нахождением сторон, синуса, косинуса, тангенса или котангенса углов, такие мы уже рассматривали.  

Сначала основная теория о треугольниках для тех, кто её подзабыл, и для всех, кто хочет повторить 😉

Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (рисунок 1).

Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным (рисунок 2).

Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным (рисунок 3).

Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают (рисунок 4).

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны (рисунок 5).

Разносторонним называется треугольник, у которого длины трёх сторон попарно различны (рисунок 6).

Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения делит каждую медиану в отношении 1:2 считая от основания медианы (этот факт следует помнить).

Высота треуголька

Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение.

 

Биссектриса треугольника

Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведённые к основанию, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный.

Вспомним ещё одну теорему.

Теорема: сумма углов треугольника равна 180 градусам

Выводы:

— если нам будут известны любые два угла в треугольнике, то мы всегда сможем найти третий угол.

— в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусам.

О следующем свойстве нужно сказать отдельно. Только с его помощью  можно будетбыстро решить задачи, где речь идёт о медиане в прямоугольном треугольнике. Сначала сам факт:

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая из

прямого угла к гипотенузе равна её половине

ОВ = 0,5АС         АО = ОС = ОВ

То есть, треугольники  АОВ и ВОС являются равнобедренными, и углы при их основаниях равны. Эти выводы (об углах) при решении ряда задач крайне необходимы.

Небольшое пояснение. Почему всё-таки медиана в данном случае равна половине гипотенузы? Здесь стоит вспомнить информацию о том, что любой треугольник построенный на диаметре окружности, вершина которого принадлежит этой окружности является прямоугольным, об этом подробно говорилось в этой статье.

Посмотрите:  АО, ОС и ОВ – это радиусы, они  у окружности равны.  И, конечно же, ОВ будет равно половине АС. Поэтому-то медиана в любом прямоугольном треугольнике проведённая к гипотенузе будет равна её половине.

С уважением, Александр

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Категория: Формулы Теория | ЕГЭ-№1ТреугольникУглы

НЕ ОТКЛАДЫВАЙ! Заговори на английском!

ДОЛОЙ обидные ошибки на ЕГЭ!!

Подготовка к ЕГЭ, онлайн-обучение с Фоксворд!

Замучили боль и скованность в мышцах спины?

*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.

Медиана треугольника в геометрии

Медиана треугольника в геометрии — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Другими словами, это линия, проведенная от угла треугольника к середине стороны, противоположной этому углу. В этом сообщении блога мы рассмотрим, что такое медианы, почему они важны и как их рассчитать.

 

Что такое медиана?

Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Другими словами, это линия, проведенная от угла треугольника к середине стороны, противоположной этому углу. Давайте рассмотрим пример:

 

В приведенном выше треугольнике мы видим, что есть три медианы: MN, соединяющая вершину M с серединой стороны BC; PQ, соединяющий вершину P с серединой стороны AC; и RS, которая соединяет вершину R с серединой стороны AB.

 

Почему медианы важны?

Медианы важны, потому что с их помощью можно найти высоту треугольника. Высота треугольника — это перпендикулярное расстояние от основания (стороны) до вершины (вершины). Высоту также можно рассматривать как длину медианы, проходящей за точку ее пересечения с основанием.

 

Как рассчитать медианы?

Медианы можно вычислить двумя способами: с помощью пропорций или с помощью алгебры. Мы кратко рассмотрим оба метода ниже.

Метод пропорций: Чтобы использовать пропорции, вам нужно найти два подобных треугольника — треугольники, у которых есть соответствующие углы с равными мерами и/или стороны с равными пропорциями. Как только вы нашли два подобных треугольника, составьте уравнение пропорции и найдите x. Это значение x будет представлять половину желаемой медианы. См. пример ниже:

 

AC/MN = AM/x AM = AC*x/MN x = AM*MN/AC медиана MN = x = 6*6/9 = 4

 

Метод алгебры: Вы также можете использовать алгебру для вычисления медианы. Для этого составьте два уравнения, используя информацию, указанную в вашем вопросе, а затем решите x, используя любой метод, который вы хотите (подстановка или исключение). См. пример ниже:

 

M находится посередине между B и C, подразумевает MB + MC = 2*AM 6 + MC = 2*4 MC = 8 — 6 MC = 2, следовательно, медиана MN = 2 единицы

 

Медиана — важное понятие в геометрии, имеющее множество практических применений. Медианы можно использовать для нахождения высот и идентификации подобных треугольников. Обязательно попрактикуйтесь в вычислении медиан, используя как пропорции, так и алгебру, чтобы вам было удобно использовать оба метода!

Каким уравнением можно найти медиану треугольника?

Чтобы найти медиану треугольника, нужно знать длины всех трех сторон треугольника. Получив эту информацию, вы можете использовать следующее уравнение: Медиана = (сторона1 + сторона2 + сторона3)/2. Например, если у вас есть треугольник со сторонами 3, 4 и 5 футов в длину, вы должны подставить эти числа в уравнение выглядит следующим образом: Медиана = (3 + 4 + 5)/2 Медиана = 12/2 Медиана = 6 футов

Вот как найти медиану треугольника!

 

Что делают медианы в геометрии?

 

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Медианы используются в геометрии для определения формы треугольника и для вычисления таких свойств, как периметр и площадь.

сторон прямоугольного треугольника равны 9,12,15. Найдите сумму квадратов медиан

Геометрия

Прачи Г.

спросил 11.10.17

гипотенуза здесь 15

Подписаться І 3

Подробнее

Отчет

3 ответа от опытных наставников

Лучший Новейшие Самый старый

Автор: Лучшие новыеСамые старые

Артур Д. ответил 11.10.17 92=56,25 (квадрат третьей медианы)

добавить квадраты медиан

117+164,25+56,25=337,5 ответ

можно использовать формулу, чтобы найти три медианы и возвести их в квадрат, чтобы проверить ответ

Голосовать за 1 Понизить

Подробнее

Отчет

Марк М. ответил 11.10.17

Репетитор

5,0 (253)

Учитель математики — высококвалифицированный специалист NCLB

Об этом репетиторе ›

Об этом репетиторе ›

Нарисуйте и подпишите схему.

Образуются три внутренних треугольника.

У одного ножки 9 и 6

У одного ножки 4,5 и 12

У одного ножки

 

Итак, вы завершили узор

Голосовать за 0 Понизить

Подробнее

Отчет

Кэрол Х. ответил 11.10.17

Репетитор

4.9 (285)

Степень магистра математики с 35-летним стажем преподавания.

Смотрите таких репетиторов

Посмотреть таких репетиторов

Медиана = 1/2 длины 3-й стороны.

м ₁ = 1/2(15) = 7 1/2

м ₂ = 1/2(9) = 4 1/2

м ₃ = 1/2(12) = 6

(7 1/2) ² + (4 1/2) ² + 6 ² = 112,5

Голосовать за 0 Понизить

Подробнее

Отчет

Все еще ищете помощи? Получите правильный ответ, быстро.

Задайте вопрос бесплатно

Получите бесплатный ответ на быстрый вопрос.
Ответы на большинство вопросов в течение 4 часов.

ИЛИ

Найдите онлайн-репетитора сейчас

Выберите эксперта и встретьтесь онлайн.