Как найти миноры: Как найти минор матрицы: формула, примеры решений

Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя

Определитель матрицы А порядка n также записывается в виде A или

det(A) и вычисляется через определители порядка n-1. Для того, чтобы ввести понятие определителя n-гопорядка и задать способ его вычисления, введем сначала понятие минора элемента матрицы.

Минором элемента aij матрицы А n-го порядка называется определитель матрицы (n-1) порядка, которая получается из матрицы А после вычеркивания в А ее i-йстроки и j-гостолбца. Минор элемента aij обозначается Мij. При этом определитель матрицы первого порядка считается равным единственному элементу этой матрицы.

Это определение проще всего освоить для определителей 2 и 3 порядка. Пример 3.5. Выписать миноры элементов матриц:

В первом определителе, после вычеркивания первой строки и первого столбца сразу получаем: М11=11, так как оставшееся после вычеркивания единственное число можно рассматривать как определитель первого порядка. Аналогично получаем М12 =4, М21 =7, М22 =3. Для второго определителя М11=1, М12=17, М21 =5, М22= -13. Для последнего определителя придется вычислять определители второго порядка, которые будут оставаться после вычеркивания строки и столбца определителя. Так,

Аналогично вычисляются миноры всех остальных элементов:

Приведенный пример показывает, что отыскание миноров элементов определителей третьего порядка сводится к правильному вычеркиванию столбца и строки, а затем – к вычислению определителей второго порядка. То же самое надо делать и для вычисления миноров элементов определителей более высоких порядков.

Задача 3.4. Вычислить миноры всех элементов определителей:

Для отыскания определителя произвольного порядка нужно еще понятие алгебраического дополнения элемента определителя.

34

Алгебраическим дополнением элемента аij определителя называется ми-

нор этого элемента, если сумма мест элемента (i+j) четная, и минор этого элемента с противоположным знаком, если сумма мест элемента (i+j) – не-

четная. Алгебраическое дополнение элемента аij обозначается Аij. Таким образом, Аij = (-1)i+j Мij.

Пример 3.6. Найти алгебраические дополнения всех элементов определителей из предыдущего примера.

Поскольку миноры элементов были выписаны, получаем: для элементов

первого определителя: А11=М11=11, А12= -М12= -4, А21= — М21= -7, А22=М22=3; для элементов второго определителя: А11=М11=1, А12= -М12= -17, А21= — М21= -5,

А22=М22= -13; для элементов третьего определителя: А11=М11= -12, А12=

-М12=24, А13= М13= -12, А21= -М21=24, А22=М22= -48, А23= -М23=24, А31= М31= -12, А32= М32=24, А33= М33= -12.

Задача 3.5. Найдите алгебраические дополнения всех элементов определителей:

Рекомендация. Убедитесь, что второй определитель получился после перестановки местами первых двух строк первого определителя, и сравните вычисленные алгебраические дополнения соответствующих элементов в одинаковых строчках этих двух определителей.

Задача 3.6. Для определителей задачи 3.5. сосчитайте суммы

S1 = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 S2 = a21 A21 + a22 A22 + a23 A23

и сравните их с суммами

Предостережение. Для каждого определителя все шесть сумм, которые надо вычислить в этой задаче, должны получиться одинаковыми. Проверьте результаты еще раз, если этого не получилось.

Задача 3.7. Для определителей задачи 3.5 сосчитайте суммы:

S12 = a21 A11 + a22 A12 + a23 A13 , S13 = a31 A11 + a32 A12 + a33 A13 .

Указание. Эти суммы отличаются от суммы S1 в задаче 3.6 только тем, что в каждом слагаемом алгебраическое дополнение элемента первой строки умножается на соответствующий элемент второй строки в S12 и третьей строки в S13. Сосчитайте аналогичные суммы с алгебраическими элементами других строк и столбцов определителей. Убедитесь, что все они равны нулю.

Задача 3.8. Сосчитайте суммы аналогичные S1, S2, Z1, Z2, S12, S21, Z12, Z21 для первого определителя в задаче 3.4. или для любого другого определителя второго порядка. Сравните результаты и обдумайте их.

Результаты задач 3.5.-3.8. заставляют внимательно отнестись к суммам произведений алгебраических дополнений элементов на соответствующие элементы строк (столбцов). Ведь не случайно они совпадают! Наверняка это свойство может пригодиться. Попытайтесь убедиться, что оно верно всегда.

35

Определителем матрицы А n-го порядка называется сумма произведе-

ний всех элементов любой строки (или любого столбца) этой матрицы на их алгебраические дополнения. Формально это значит, что

A = ai1 Ai1 + ai2 Ai 2 +… + ain Ain = a1 j A1 j + a2 j A2 j +… + anj Anj

где i и j могут принимать любые значения 1,2,…,n.

Объяснение. Можно доказать, что независимо от выбора номера строки или столбца сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения всегда равна одному и то же числу. Доказательство этого утверждения в общем случае опущено. Для определителей второго и третьего порядка оно проверялось в задачах 3.4., 3.6. и 3.8.

Приведенные записи A по элементам i-й строки называются соответ-

ственно разложениями определителя по i-й строке и по j-му столбцу. Пример 3.7. Найти определитель третьего порядка:

Выберем i=1. Тогда

A = 3A11 + 7 A12 + 2A13

После вычисления алгебраических дополнений

получаем теперь

A = 3×4 +7 ×(−24) + 2×(−28) =12 −168 −56 = −212

Немного проще тот же результат получится, если воспользоваться i =3. Так как а33=0 потребуются только два алгебраические дополнения:

Поэтому

A = 6×(−38) +16 = −228 +16 = −212.

Таким образом, результат вычисления не зависит от выбора i и j.

В задача 3.6. вычисления сумм S1, S2, S3 означало отыскание определителя третьего порядка разложением по столбцам определителя, а вычисления сумм Z1, Z2, Z3 – отыскание того же определителя разложением по строкам. Проверьте, что при решении этой задачи все результаты действительно получились одинаковыми.

Задача 3.9. Убедитесь, что для определителей второго порядка приведенное определение дает прежний результат a22 a11 − a12 a21 при разложении по

любой строке или столбцу определителя.

Указание. Выпишите сначала все алгебраические дополнения элементов для произвольного определителя второго порядка, а затем подставляйте их в разложения по строкам и по столбцам.

36

Пример 3.8. Вычислить определители:

Вычислим первый определитель разложением по первой строке. Для этого сосчитаем сначала алгебраические дополнения всех элементов этой строки. Имеем:

Теперь разложение по первой строке дает: A =7×31-9×76-3×53=217-684-

159 = -626

Тот же самый результат должен получиться при разложении по любому столбцу. Так, разложением по второму столбцу находим: A = 9А21+5А22-4А23,

где

Поэтому после подстановки получаем: A = -9×76+5×50-4×48= -684+250-

192 = -626

Совпадение результатов вычислений, полученных с помощью двух разных разложений, можно считать доказательством отсутствия ошибок.

Для вычисления второго определителя воспользуемся разложением по второму столбцу, так как в нем два элемента равны нулю. Получаем

A = 5A22 − A42 и

Вычисление первого из этих алгебраических дополнений как определителя третьего порядка разложением по последнему столбцу дает:

Для проверки вычислим его и разложением по последней строке:

Оставшийся определитель также сосчитаем разложением по последней строке:

Теперь подстановка дает: A = 5 ×14 −171 = −101.

37

Сайт-визитка

ИДЗ-1.1, задача 1.1 

Для данного определителя Δ найти миноры и алгебраические дополнения
элементов ai2, а3j. Вычислить определитель Δ а) разложив его по 
элементам i-строки, б) разложив его по элементам j-го столбца, 
в) получив предварительно нули в i-й строке



1. Вычислим минор ai2, разложив его по последней строке



2. Вычислим минор a3j, разложив его по последней строке



3. Вычислим алгебраическое дополнение ai2

4. Вычислим алгебраическое дополнение a3j

5. Вычислим определитель, разложив его по элементам i-й строки


6.  Вычислим четыре минора которые понадобятся нам при вычислении определителя



7. Вычислим определитель пользуясь полученными данными


8. Вычислим определитель, разложив его по элементам j-го столбца


9. Вычислим четыре минора которые понадобятся нам при вычислении определителя



10. Вычислим определитель пользуясь полученными данными


11. Вычислим определитель, получив нули i-й строке

Умножим четвертый столбец на 8 и вычтем его из столбца 1

Умножим четвертый столбец на -3 и вычтем его из столбца 2

Умножим четвертый столбец на -2 и вычтем его из столбца 3

Мы получили матрицу с нулевой строкой. Ее определитель можно
найти через минор нашей матрицы

Общий определитель равен определителю минора, умноженному на коэффициент

Миноры и кофакторы — определение, формула, применение, примеры, часто задаваемые вопросы

Миноры и кофакторы могут быть вычислены для каждого из элементов матрицы. Минор элемента равен определителю остальных элементов матрицы после исключения строки и столбца, содержащего данный элемент. Кофактор элемента можно рассчитать по минору элемента. Кофактор элемента равен произведению минора элемента и -1 степени значений позиции строки и столбца элемента.

Кофактор элемента = (-1) ^{i + j} × минор элемента

Здесь i и j — позиционные значения строки и столбца элемента. Давайте узнаем больше о минорах и кофакторах, а также об их применении, с помощью примеров и часто задаваемых вопросов.

Что такое миноры и кофакторы?

Миноры и кофакторы определены для каждого элемента матрицы. Минор элемента матрицы равен определителю остальных элементов матрицы, полученному после удаления строки и столбца, содержащих данный элемент в матрице. Кофактор элемента матрицы получается путем умножения минора элемента с -1 на показатель степени (степень) суммы i ^-й -й ряд и j ^-й -й столбец, содержащий элемент.

A = \(\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i \end{bmatrix}\)

Минор a = \(\begin{bmatrix}e&f\\h&i \end{bmatrix}\)

Минор первого элемента первой строки вышеуказанной матрицы A был получен после игнорирования первой строки и первого столбца вышеуказанной матрицы и формирования новой матрицы. Далее, кофактор элемента а получается путем умножения минора на (-1) в степени строки значения позиции и столбца элемента а.

Кофактор a = (-1) ^{i + j} × Минор a

Кофактор a = (-1) ^{1 + 1} × \(\begin{bmatrix}e&f\\h&i \end{bmatrix }\)

Минор и кофактор матрицы — это простые числовые значения, которые получаются после взятия определителя остальных элементов данной матрицы.

Сравнение миноров и кофакторов

Кофактор получается из минора элемента матрицы. Кофактор равен произведению минора элемента матрицы и -1 степени суммы позиционного значения строки и столбца, содержащего элемент. Числовое значение минора или кофактора элемента матрицы равно, но отличается только знаком, который зависит от (-1) ^{я + я} .

Кофактор элемента = (-1) ^{i + j} × Минор элемента

Здесь i и j — позиционные значения и относятся к строке и столбцу, которым принадлежит элемент. Минор и кофактор элемента матрицы могут иметь одинаковый или разный знак. Минор используется только для нахождения определителя матрицы, а кофактор используется для нахождения сопряженной и обратной матрицы.

Применение миноров и кофакторов

Миноры и кофакторы полезны для нахождения сопряженной и обратной матрицы. Сопряженная матрица равна перестановке сомножителей элементов данной матрицы. Обратная матрица равна сопряженной матрице, деленной на определитель матрицы. Далее определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой строки или столбца матрицы с их соответствующими кофакторами.

Давайте узнаем о применении миноров и кофакторов для нахождения определителя, сопряженной и обратной матрицы.

Определитель матрицы

Определитель матрицы представляет собой суммарное значение и рассчитывается с использованием элементов матрицы. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов определенной строки или столбца с их соответствующими сомножителями. Определитель матрицы определен только для квадратных матриц. Определитель матрицы A обозначается как |A|.

\(A = \left[\begin{массив}{ccc}
а_{11} и а_{12} и а_{13} \\
а_{21} и а_{22} и а_{23} \\ 9{1 + 3} \left|\begin{matrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}\right|\)

Примыкание к матрице

сопряженную матрицу 3 x 3 можно получить, выполнив два простых шага. Сначала нам нужно найти матрицу сомножителей данной матрицы, а затем выполняется транспонирование этой матрицы сомножителей для получения сопряженной матрицы. Для матрицы вида A = \(\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32 }&a_{33}\end{pmatrix}\), матрица кофакторов A = \(\begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_ {23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}\). Далее нам нужно транспонировать эту кофакторную матрицу, чтобы получить сопряженную матрицу.

Adj A = транспонирование матрицы кофакторов = транспонирование \(\begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_ {31}&A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}\) =\(\begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{ 32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{pmatrix}\)

Обратная матрица

Обратная матрица может быть вычислена путем деления сопряженной матрицы на определитель матрица. Для матрицы A ее обратная A ^{-1 9{1 + 3} \left|\begin{matrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}\right|\)}

Adj A = Транспонировать Co- Матрица факторов = транспонирование \(\begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{ 33}\end{pmatrix}\) =\(\begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_ {23}&A_{33}\end{pmatrix}\)

A ^-1 = \(\dfrac{1}{|A|}\). \(\begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{ pматрица}\)

☛ Связанные темы

• Минор матрицы
• Матрица кофакторов
• Сопряженная матрица
• Определитель матрицы
• Обратная матрица

Часто задаваемые вопросы о минорах и кофакторах

Что такое миноры и кофакторы?

Миноры и кофакторы являются репрезентативными значениями каждого из элементов матрицы. Минор получается путем взятия определителя элементов, оставшихся после исключения строки и столбца определенного элемента. Кофактор получается из минора и равен произведению минора элемента с -1 на показатель степени суммы значений позиций строки и столбца.

Как найти миноры и кофакторы?

Для каждого элемента можно вычислить минор и кофакторы. Минор элемента равен определителю матрицы, оставшейся после исключения строки и столбца, содержащего элемент. Кофактор элемента равен произведению минора элемента и -1 степени строки и столбца элемента.

Кофактор элемента = (-1) ^{i + j} × минор элемента

Какая формула для миноров и кофакторов?

Формула для минора и кофактора элемента: Кофактор элемента = (-1) ^{i + j} × Минор элемента. Здесь i и j — позиционное значение строки и столбца элемента.

Миноры и кофакторы — одно и то же?

Миноры и кофакторы разные, и кофактор можно получить из минора элемента. Кофактор элемента равен произведению минора элемента и -1 степени строки и столбца элемента.

Каков порядок миноров и кофакторов?

Миноры и кофакторы не имеют порядка. Миноры и кофакторы представляют собой простые числовые значения, которые вычисляются из определителя.

В чем разница между минорами и кофакторами?

Миноры и кофакторы отличаются знаком значения. Кофактор можно вычислить по минору матрицы. Кофактор равен произведению минора элемента и -1 сумме строки и столбца элемента.

Для чего используются миноры и кофакторы?

Миноры и кофакторы полезны для определителя матрицы, примыкания к матрице и обратной матрицы.

Как найти миноры матрицы nxn?

Найти минор матрицы \(n \times n\) легко, и шаги почти такие же, как поиск определителя. Это первый шаг, чтобы найти матрицу кофакторов. Мы начнем в этой статье с общей формы нахождения минора, как найти минор матрицы \(2\times 2\), \(3\times 3\) и \(4\times 4\) , где каждый раздел заканчивается примером.

Каковы миноры матрицы

Пусть \(A\) будет \(n \times n\) матрицей. В частности:

Минор \(M_{i,j}\) матрицы \(A\) является определителем \(n-1 \times n-1\) подматрица \(A\), где удаляются \(i\)-я строка и \(j\)-й столбец. В математической записи мы получим

Нахождение всех миноров матрицы \(A\) и объединение их вместе в новую матрицу называется матрицей миноров , которую мы будем обозначать как \(M\):

В итоге это почти то же самое, что вычисление определителя. Разница лишь в том, что нам нужно удалить одну строку и один столбец. Мы сделаем несколько примеров в следующих разделах для большей ясности.

Как найти миноры матрицы 2×2?

Мы начнем с поиска миноров матрицы \(2\times 2\). Итак, пусть \(A\) будет матрицей \(2\times 2\). В частности:

Для каждого минора \(M_{1,1}\), \(M_{1,2}\), \(M_{2,1}\) и \ (M_{2,2}\), нам нужно найти его определитель подматрицы \(1\times 1\) матрицы \(A\). Но матрица \(1\times 1\) — это один элемент. Следовательно, мы можем переписать миноры как:

\begin{equation*} M_{1,1} = a_{2,2}, \quad M_{1,2} = a_{2,1}, \quad M_{2,1} = a_{1 ,2}, \quad \text{and} \quad M_{2,2} = a_{1,1} \end{equation*} и это приводит к следующей матрице миноров \(M\)

Пример.

Как найти миноры матрицы 3×3?

Теперь нам нужно произвести дополнительные вычисления, так как у нас есть 9 определителей. А именно, пусть \(A\) будет матрицей

Тогда матрица миноров \(A\) равна

\[ M = \begin{bmatrix}\begin{array}{ccc} M_{1,1} & M_{1, 2} & M_{1,3} \\ M_{2,1} & M_{2,2} & M_{2,3} \\ M_{3,1} & M_{3,2} & M_{3 ,3} \end{массив} \end{bmatrix} \] \[ \quad = \begin{bmatrix}\begin{array}{ccc} \begin{vmatrix} a_{2,2} & a_{2,3 }\\ a_{3,2} & a_{3,3}\\ \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{2,1} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,3}\\ \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{2,1} & a_{2,2}\\ a_{3,1} & a_{3,2}\\ \end{vmatrix} \\\\ \begin{vmatrix} a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{3,2}& a_{3,3}\\ \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,3}\\ a_{3,1}& a_{3,3}\\ \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{1, 1} & a_{1,2}\\ a_{3,1}& a_{3,2}\\ \end{vmatrix} \\\\ \begin{vmatrix} a_{1,2} & a_{1 ,3}\\ a_{2,2}& a_{2,3}\\ \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a _{1,1} & a_{1,3}\\ a_{2,1}& a_{2,3}\\ \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{ 1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2}\\ \end{vmatrix} \end{массив} \end{bmatrix} \]

Пример.

Как найти миноры матрицы 4×4?

В предыдущих разделах мы видели, что найти минор — это довольно простое и прямолинейное вычисление. Чтобы решить матрицу \(4\times 4\), нам нужно вычислить 16 определителей подматриц \(3\times 3\). Это очень много вычислений! Обычно это делают компьютеры, но здесь мы дадим несколько вычислений, как найти миноры матрицы \(4 \times 4\).

\[ A = \begin{bmatrix}\begin{array}{cccc} 3 & -1 & 6 & 2 \\ 2 & 5 & 7 & 4 \\ 1 & -3 & 1 & 9 \\ 4 & 1 & 3 & 7 \end{array}\end{bmatrix} \] Приведем пример для вычисления миноров \(M_{1,1}\) и \(M_{4,2}\). \[ M_{1,1} = \begin{vmatrix} 5 & 7 & 4\\ -3 & 1 & 9\\ 1 & 3 & 7 \end{vmatrix} = 5 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 9\\ 3 и 7 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 7 и 4\\ 3 и 7 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 7 и 4\\ 1 и 9\end{vmatrix} \] \[= 5 \cdot (-20) + 3 \cdot 37 + 1 \cdot 59 = 70\] \[ M_{4,2} = \begin{vmatrix} 3 & 6 & 2 \\ 2 & 7 & 4 \\ 1 & 1 & 9 \\ \end{vmatrix} = 3 \cdot \begin{vmatrix} 7 & 4 \\ 1 & 9 \\ \end{vmatrix} – 2 \cdot \ begin{vmatrix} 6 & 2 \\ 1 & 9 \\ \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 2 \\ 7 & 4 \\ \end{vmatrix} \] \[= 3\ cdot 59 – 2 \cdot 52 + 1 \cdot 14 = 83 \]

Заключение

Нахождение миноров матрицы может быть сделано легко и быстро для матриц \(2 \times 2\) и \(3 \times 3 \), но большее значение увеличит сложность вычислений.