Как найти модуль числа примеры: Как найти модуль и аргумент комплексного числа: онлайн, примеры

Содержание

Модуль числа | Образовательная социальная сеть

Модуль числа

Цель:

изучение понятия модуля,

применение определения модуля при выполнении задач.

Задачи:

развивать умение применять теоретический материал при решении практических задач;

развивать интерес к математике через поиск примеров по данной теме;

расширить математический кругозор;

приобрести навыки исследовательской работы.

Считаю, что выбранная тема является актуальной:

Задачи, связанные с абсолютной величиной, часто встречаются на математических олимпиадах и вступительных экзаменах.

Понятие модуля широко применяется в различных разделах школьного курса математики.

Это понятие является одним из основных понятий элементарной математики. Осмысленное владение модулем позволяет воспринимать алгебру и геометрию, как единое целое. “Расстояние между точками” позволяет оценивать правильность найденных решений ряда уравнений, содержащих модуль, строить графики функций.

В ходе работы я использовала следующие методы:

Исследование литературы по теме.

Проведение поиска задач по теме.

Основная часть

Существенной характеристикой числа является понятие его абсолютной величины (модуля).

Модулем числа называют расстояние от точки, изображающей число на координатной прямой до начала отсчета.

В различных учебниках первоначальное понятие модуля вводится по-разному: как расстояние от точки, изображающей число, до начала отсчёта (Математика. Н.Я. Виленкин), как длина вектора (Математика. П.М. Эрдниев), как число “без знака” (Математика. Г.В. Дорофеев) и др.

В архитектуре – это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике – это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например, модуль зацепления, модуль упругости и т. п.

Понятие модуля

Модуль (modulus) в переводе с латинского языка означает “мера, размер”.

Модуль числа а обозначают | а |. Этот термин “модуль” ввёл в 1806 г. французский математик Жорж Аргон.

Геометрический смысл модуля

Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).

Модуль числа 5 равен 5, так как точка В(5) удалена от начала отсчета на 5 единичных отрезков. Пишут: |5| = 5.

Расстояние точки М(-6) от начала отсчета О равно 6 единичным отрезкам. Число 6 называют модулем числа -6.

Пишут: |-6| = 6.

Модуль числа не может быть отрицательным. Для положительного числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу. Противоположные числа имеют равные модули.

|-а| = |а|

Модуль числа 0 равен 0, так как точка с координатой 0 совпадает с началом отсчета О, т.е. удалена от нее на 0 единичных отрезков.

|0| = 0

Так как модуль числа – это расстояние, он никогда не будет отрицательным.

Изучая понятие модуля, я рассмотрела доказательство следующей теоремы:

Абсолютная величина действительного числа a ≠ 0 равна большему из двух чисел a или -a.

Доказательство:

Если число a положительно, то -a отрицательно, т.е. –a

Например, число 5 положительно, тогда -5 – отрицательно и -5

В этом случае |a| = a, т.е. |a| совпадает с большим из двух чисел a и -a.

Если a отрицательно, тогда -a положительно и a

Для нахождения модуля числа можно использовать следующую блок-схему.

Отработка алгоритма. Допустим, необходимо найти модуль чисел -3 и 7.

В учебниках приводятся различные упражнения с использованием модуля числа. Вот некоторые из них:

Запишите число, противоположное данному: 4; -4; +3; -3; -6,3; 6,3.

2. Найдите модуль каждого из чисел: |- 6 |, | 9 |, | — 5 |, | 0 |, |0,8 |.

3. Найти расстояние от М(-7) и N(6) до начала отчета на координатной прямой.

При решении задач, содержащих модуль числа, основным приемом является раскрытие знака модуля в соответствии с его свойствами.

В некоторых случаях модуль раскрывается однозначно.

Например: |x2 + y2| = x2 + y2, так как выражение под знаком модуля неотрицательно при любых х и у. Или |–z2 – 1| = z2 + 1, так как выражение под модулем отрицательно при любых z.

Уравнения, содержащие знак модуля, решаются следующими способами:

алгебраический,

графический,

последовательное раскрытие модулей,

метод интервалов.

Рассмотрим некоторые примеры решения уравнений и неравенств, содержащих знак модуля.

Решить уравнение: |x| = 3. Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно трём. Это точки 3 и -3. Значит, у уравнения |x| = 3 есть два решения:

x = 3 и x = -3.

Решить уравнение: |x — 3| = 4.

Это уравнение можно прочитать так: расстояние от точки до точки равно 4. С помощью графического метода можно определить, что уравнение имеет два решения: — 1 и 7.

Решить неравенство: |x + 7|

Можно прочитать как: расстояние от точки до точки меньше четырёх. Ответ: (-11; -3).

Решить неравенство: |10 — x| ≥ 7.

Расстояние от точки 10 до точки х больше или равно семи.

Ответ: (-∞; 3]U [17, +∞)

Рассматривая модуль числа, я познакомилась с функцией y = |x|, графиком которой является ломаная линия, состоящая из двух лучей, являющихся биссектрисами I и II координатных четвертей.

Действительно,

Для x ≥ 0 имеем y = x.

Для x

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате работы я:

повторила школьный материал по данной теме,

изучила решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля,

научилась строить график функции вида y = |x|,

Так как изучение модуля числа продолжается в старших классах, где рассматриваются свойства модуля, а также задачи различного уровня сложности, исследование данной темы будет продолжено. В следующем году я проведу исследование задач различного уровня сложности, а также олимпиадные и экзаменационные задачи.

Модуль числа. 6 класс — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Тема урока : «Модуль числа»

2. Знаете ли вы, …

1.Что такое координатная прямая?
2.Что называют координатой точки на
прямой?
3.Какие числа называются
противоположными?
4.Как обозначается число, противоположное
числу а?
5.Какие числа называют целыми?
Устный счёт:
1.Даны числа: -9; 12; 3/5; -4,6; 9; 6,08;
-3/5; 0,001; 123; -12; 0.
• Назовите отрицательные,
положительные, натуральные,
дробные, целые числа.
• Назовите числа, противоположные
данным числам.
2.Каким числом будет число –а, если:
• а – отрицательное;
• а = 0;
• а – положительное число.

Запишите число
противоположное данному:
7
–
4
–(–
5)
–
–7
4
5
-3
+(–
6)
-6
–(–
2)
+
2
-9
–
(+9)
–(–(–
-8

5. Упражнения

1. На координатной прямой отмечены
точки М (-7), К(6), В(-6), С(-0,5),
Д(0,5) Какие из них имеют
противоположные координаты?

6. Упражнения

2.Найти расстояние от М(-7) и К(6)
до начала отсчета на координатной
прямой.

7. Упражнения

4.Найдите числа, если на
координатной прямой они находятся
на расстоянии:
а) 6 единиц от числа 0,
б) на 10 единиц от числа -4
Из истории математики
Модуль
Модуль числа
числа аа
обозначают
обозначают |а|.
|а|.
Этот
Этот термин
термин
«модуль»
«модуль»
ввел
ввел вв 1806году
1806году
французский
французский
математик
математик Жорж
Жорж Аргон.
Аргон.

9. Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а)

0
А(а)
а единиц

10.

Модуль положительного числа равен самому числу. Модуль нуля равен нулю.А(7)
0
7 единиц
│7│=7
│1,5│= 1,5
│0│ = 0

11. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.

0
А(- 7)
7 единиц
│- 7│= 7
│- 1,5│ = 1,5

12. Противоположные числа имеют равные модули.

│5│ = 5
│
│
-5
5 единиц
│- 5│ = 5
0
5
5 единиц
Модуль не может быть
отрицательным числом!

13. Прикольно!

Представь, что модуль –
это баня, а знак «минус»
— грязь.
Оказываясь под знаком
модуля, отрицательное
число «моется» и
выходит без знака
«минус» — чистым.
В бане могут «мыться»
(т.е. стоять под знаком
модуля) как
положительные, так и
отрицательные числа.

14. Найдите модуль каждого из чисел:

12
• │12│=
7,08
• │7,08│=
6,32
• │- 6,32│=
0
• │0│=
72
• │ -72│=

15. Найдите значение выражения

│- 8│+│- 2│=
│- 5│-│ 2│= 10
│- 8│∙│ — 3│= 3
│- 27│:│-9│= 24
3

16.

Решение уравнений│х — а│ — расстояние от а до х
Решите уравнение.
│х │ = 4
х
-4
Ответ.
0
4
Х=-4 и х=4

17. Примеры решений уравнений.

│Х- 2│ = 5
2
-3
-5
Ответ.
Х=-3 и Х=7
7
5

18. Решите уравнения

│х│ = 25
│х — 12│ = 6
│х — 3│ = 0
│х│ = — 7,5
х = 25 и х = 25
х = 18 и х = 6
х = 3 и х = -3
Корней нет

19. Поняли?

А теперь…

20. Самостоятельная работа

Вариант 1
Найдите модуль числа:
— 23; 0,34; — 2/3; 2 3/4.
Запишите числа, модуль которых равен:
4; 0, 23; 3/7; 3 1/4.
Вариант 2
Найдите модуль числа:
52; — 1, 24; — 4 2/3; 3/4.
Запишите числа, модуль которых равен:
9; 0,56; 2 5/7; 1/8.

21. Проверка

Вариант 1
1. |- 23|=23; |0,34|= 0,34; |2/3|= 2/3; |23/4|=23/4.
2. 4 =|-4|=|4|; 0,23=|-0, 23|=|0,23|;
3/7 = |- 3/7|=|3/7|; 3 1/4 = |-3 1/4|=| 3 1/4 |
Вариант 2
1. |52 | = 52; | -1,24| = 1, 24; |- 4 2/3| = 4 2/3;
|3/4 | = 3/4
2.

9 = | -9 | = | 9 |;
0,56 = |- 0, 56 | = | 0,56 |;
2 5/7 = | -2 5/7 | = | 2 5/7 |; 1/8 = | -1/8 | = | 1/8 |
СПАСИБО ЗА
ВНИМАНИЕ!!!

English Русский Правила

б мод м . Сначала мы воспользуемся наивным подходом, а затем посмотрим, как мы можем его усовершенствовать.

Сначала уменьшите по модулю m . Это означает, что нужно найти число a1 так, чтобы 0 <= a1 < m и a = a1 mod m . Затем несколько раз в цикле умножьте на a1 и снова уменьшите mod m . Таким образом, в псевдокоде:

 a1 = сокращенный мод m
р = 1
for(int i = 1; i <= b; i++) {
    р *= а1
    p = p приведенный по модулю m
}

Делая это, мы избегаем чисел больше 955 мод 221

. Во-первых, 5 это уже уменьшенный мод 221 .

1 * 5 = 5 мод 221
5 * 5 = 25 мод 221
25 * 5 = 125 мод 221
125 * 5 = 183 мод 221
183 * 5 = 31 мод 221
31 * 5 = 155 мод 221
155 * 5 = 112 мод 221
112 * 5 = 118 мод 221
118 * 5 = 148 по модулю 221
148 * 5 = 77 мод 221
77 * 5 = 164 мод 221
164 * 5 = 157 мод 221
157 * 5 = 122 мод 221
122 * 5 = 168 мод 221
168 * 5 = 177 мод 221
177 * 5 = 1 мод 221
1 * 5 = 5 мод 221
5 * 5 = 25 мод 221
25 * 5 = 125 мод 221
125 * 5 = 183 мод 221
183 * 5 = 31 мод 221
31 * 5 = 155 мод 221
155 * 5 = 112 мод 221
112 * 5 = 118 мод 221
118 * 5 = 148 мод 221
148 * 5 = 77 мод 221
77 * 5 = 164 мод 221
164 * 5 = 157 мод 221
157 * 5 = 122 мод 221
122 * 5 = 168 мод 221
168 * 5 = 177 мод 221
177 * 5 = 1 мод 221
1 * 5 = 5 мод 221
5 * 5 = 25 мод 221
25 * 5 = 125 мод 221
125 * 5 = 183 мод 221
183 * 5 = 31 мод 221
31 * 5 = 155 мод 221
155 * 5 = 112 мод 221
112 * 5 = 118 по модулю 221
118 * 5 = 148 мод 221
148 * 5 = 77 мод 221
77 * 5 = 164 мод 221
164 * 5 = 157 мод 221
157 * 5 = 122 мод 221
122 * 5 = 168 мод 221
168 * 5 = 177 мод 221
177 * 5 = 1 мод 221
1 * 5 = 5 мод 221
5 * 5 = 25 мод 221

Теперь мы можем улучшить это, используя возведение в степень путем возведения в квадрат; это известный трюк, в котором мы уменьшаем возведение в степень до требуемого только log b умножений вместо b . Обратите внимание, что с алгоритмом, который я описал выше, возведением в степень путем возведения в квадрат улучшения, вы получите двоичный метод справа налево.

 a1 = уменьшенный мод m
р = 1
в то время как (b > 0) {
 если (b нечетно) {
 р *= а1
 p = p приведенный по модулю m
 }
 б / = 2
 a1 = (a1 * a1) приведенный по модулю m
}
 92 mod 221  и т. д.
 Приведенный выше алгоритм формализует эту идею.
 Как найти модуль комплексного числа 
 Как найти модуль комплексного числа  
  Как найти модуль комплексного числа ?  
 Пусть z = a + ib — комплексное число.
 Модуль или абсолютное значение z, обозначаемое | г | определяется как
 Модуль свойств комплексных чисел 

  Свойство 1 : 
 Модуль суммы двух комплексных чисел всегда меньше или равен сумме их модулей.
 Приведенное выше неравенство может быть немедленно распространено по индукции на любое конечное число комплексных чисел, т. е. для любых n комплексных чисел z ₁ , z ₂ , z ₃ , …, z _n
 |z ₁ + z ₂ + z ₃ + … + zn | ≤ | я ₁ | + | я ₂ | + … + | я _н |
  Свойство 2 : 
 Модуль разности двух комплексных чисел всегда больше или равен разности их модулей.
  Свойство 3 : 
 Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей.
  Свойство 4 : 
 Модуль отношения двух комплексных чисел равен отношению их модулей.
 Давайте рассмотрим несколько примеров, основанных на вышеуказанной концепции. 
  Пример 1: 
 Найдите модуль следующего комплексного числа
 − 2 + 4i
  Решение: 
 Пусть z =  -2 + 4i
5 |z| =  √(-2 + 4i) 
 |z| = √ (-2) ² + 4 ²
 = √4 + 16
 = √20
, разлагая число внутри радикала, мы получаем
 = √ (2 ⋅ 2)
   =  2√5
  Пример 2 : 
 Найдите модуль следующего комплексного числа
 2 − 3i 
  Решение: 
 Пусть z = 2 − 3i
 |z| =  √(2 - 3i)
 |z| = √2 ² + (-3) ²
 = √4 + 9
 = √13
  Пример 3: 
 Найти модуль следующего комплекса
-3-2I 33333353333333333535353535353535353535353535353535353535353335333533353333333353333333333333333333333333533333533333333353333353335333533333533333333н
  Решение: 
 Пусть z =  − 3 − 2i
 |z| =  √(− 3 − 2i)
 |z| =  √(-3) ² + (-2) ²
 = √9 + 4
 = √13
  Пример 4: 
 Найти модуль следующего комплекса №
 4 + 3I 
 334.
 Пусть z =  4 + 3i
 |z| =  √(4 + 3i)
 |z| =  √4 ²  + 3 ²
   =  √16 + 9
   =  √25
0005
 =  √5
 Давайте рассмотрим следующий пример «Как найти модуль комплексного числа».
  Пример 5: 
 Найдите модуль или абсолютное значение
 [(1 + 3i) (1 - 2i)] / (3 + 4i)
  Решение: 
3 |[ ) (1 - 2i)] / (3 + 4i) | =  |(1 + 3i) (1 - 2i)| / |3 + 4i|
   =  |(1 + 3i)| |(1 - 2i)| / |3 + 4i|
   =  √(1 ²  + 3 ² ) √(1 ²  + (-2) ²)/√3 ²+ 4 ²
 = (√ (1+ 9)  √ (1+ 4))/√ (9+ 16)
 = (√10  √ (9+ 16)
 = (√10  a 5)/√25
 = √50/√25 = 5√2/5 = √2 
 Связанные темы 
 Свойства комплексов
 Добавить и подчитывать комплексы
 Как найти модле и модле. аргумент комплексного числа 
 Мы надеемся, что после изучения вышеизложенного учащиеся поняли "Как найти модуль комплексного числа".
No related posts.