Примеры решения типовых задач
Пример 1. Доказать .
Решение: Рассмотрим величину:
.
Пусть – произвольное число, выберем ; тогда если , то , следовательно, .
Таким образом, по определению, .
Пример 2. Вычислить .
Решение. Используя свойства предлов функций, получим:
.
Пример 3. Вычислить .
Решение.
.
Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо в числителе и в знаменателе выделить множитель, равный нулю при предельном значении , и сократить на него.
Пример 4. Вычислить .
Решение. Подставляя
предельное значение в числитель и знаменатель, получаем,
что оба выражения обращаются при этом
в нуль.
.
Таким образом, имеем:
.
Пример 5. Вычислить
Решение. Имеет место неопределенность вида . Так как является корнем многочленов из числителя и знаменателя, то выделяется как сомножитель в числителе и знаменателе.
.
Чтобы раскрыть неопределенность вида , в которой числитель или знаменатель содержит иррациональность, следует соответствующим образом избавиться от нее (например, умножить на сопряженное выражение или ввести новую переменную).
Пример 6. Вычислить .
Решение. Подставляя
предельное значение в числитель и знаменатель, получаем
неопределенность вида
.
Знаменатель представляет собой «сумму
кубов», поэтому при разложении его на
множители получаем:
.
.
Пример 7. Вычислить
Решение. Имеет место неопределенность вида . Произведем замену Тогда при имеем
Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо числитель и знаменатель разделить на самую высокую степень , а затем перейти к пределу.
Пример 8. Вычислить .
Решение. Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия можно либо разделить числитель и знаменатель на наибольшую степень переменной x и, учитывая, что величина обратная бесконечно большой величине есть бесконечно малая величина, раскрыть исходную неопределенность, либо вынести переменную в наибольшей степени в числителе и знаменателе дроби и сократить на наибольшую степень.
.
Пример 9. Вычислить .
Решение. Имеем неопределенность вида . Раскрываем ее аналогично тому, как это сделано в примере 8.
.
Пример 10. Вычислить .
Решение. Имеем неопределенность вида . Раскрываем ее аналогично тому, как это сделано в примере 8.
.
Пример 11. Вычислить
Решение. Имеем неопределенность вида . Избавимся от нее следующим образом: разделим числитель и знаменатель на степень с наивысшим основанием, т.е. на . Затем воспользуемся равенством если
Пример 12. Вычислить .
Решение. Очевидно, что при и . Поэтому имеем неопределенность вида . Далее получаем:
.
Неопределенности
вида возникают, как
правило, либо при исследовании разности
двух дробей (в этом случае рекомендуется
приводить дроби к общему знаменателю),
либо при рассмотрении разности
иррациональных выражений (для избавления
от иррациональностей следует преобразовать
исходное выражение либо к разности
квадратов, либо к сумме или разности
кубов).
Пример 13. Вычислить .
Решение. В данном случае имеем неопределенность . Приведем дроби к общему знаменателю:
Пример 14. Вычислить .
Решение. В данном случае, чтобы раскрыть неопределенность , необходимо умножить и разделить рассматриваемое выражение на «сопряженное», чтобы прийти к разности квадратов. Для таким «сопряженным» является . Таким образом, получаем:
.
Таким образом, мы попали в ситуацию, разобранную при решении примера 12. Проведем соответствующие преобразования в знаменателе:
.
При вычислении пределов, содержащих тригонометрические функции, полезно использовать «первый замечательный предел» .
Пример 15. Вычислить .
Решение. Очевидно,
что при
, и
.
Чтобы применить первый замечательный
предел, необходимо получить в знаменателе
выражение, совпадающие с аргументом
синуса.
Для этого числитель и знаменатель
умножаем на число 4:
.
Пример 16. Вычислить .
Решение. Знаменатель разложим на множители как разность квадратов, а в числителе воспользуемся формулой :
.
Пример 17. Вычислить .
Решение. В данном случае, чтобы раскрыть неопределенность , можно воспользоваться формулой :
В примерах с неопределенностью выражение, стоящее под знаком предела представляет собой показательно–степенную функцию. Неопределенность устраняется при помощи выделения «второго замечательного предела» .
Пример 18. Вычислить .
Решение. Имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся вторым замечательным пределом:
.
Найти предел функции
.
Решение. Имеем неопределенность вида , преобразуем ее к неопределенности вида . Пользуясь свойствами логарифмов: и , получим:
.
Далее
.
Пример 20. Найти предел функции .
Решение. В данном примере при выяснении вида неопределенности видим, что таковой не имеется. Имеем , тогда .
Пример 21. Найти предел функции .
Решение. Имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся вторым замечательным пределом :
.
Пример 22. Найти предел функции .
Решение. Выделим в числителе, выражение вида , а в знаменателе – . Затем воспользуемся следующим равенствами и :
.
Урок по теме «Комплексные числа и операции над ними»
Урок по теме «Комплексные числа и операции над ними» 2часа
Цель урока: расширить и закрепить знания учащихся над понятием комплексного числа и действий над ним.
Задачи урока.
Образовательные:
Расширить понятие комплексного числа.
Отработать и проверить знания учащихся при выполнении действий в алгебраической форме комплексного числа.
Рассмотреть геометрическую интерпретацию комплексных чисел.
Развивающие:
Развивать мышление в процессе выполнения практических заданий.
Развивать пространственные представления.
Воспитывающие:
Воспитывать культуру записей в тетради.
Воспитывать аккуратность, усидчивость, внимательность в процессе прослушивания лекции.
Тип урока: комбинированный.
Ход урока
Организационный момент.
— проверка д/р
2. Устный счет
— Что такое «комплексное число»
— чему равен квадрат мнимой «1»
— какие числа называются сопряженными
— чему равно произведение сопряженных чисел
— для чего нужны комплексные числа (для решения квадратных ур-ний с отр. дискриминантом)
Решить квадратное уравнение
Вычислим дискриминант:
Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!
По известным формулам получаем два корня:
– сопряженные комплексные корни
Таким образом, уравнение имеет два сопряженных комплексных корня: ,
3. Операции с комплексными числами
Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.
Сложение комплексных чисел
Пример 1
Сложить два комплексных числа ,
Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:
Вычитание комплексных чисел
Пример 2
Найти разности комплексных чисел и , если ,
Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:
Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части.
Просто действительная часть – составная: . Для наглядности ответ можно переписать так: .
Умножение комплексных чисел
Пример 3
Найти произведение комплексных чисел ,
Очевидно, что произведение следует записать так:
Что напрашивается? Напрашивается раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Так и нужно сделать! Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что и быть внимательным.
Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.
Я распишу подробно:
Деление комплексных чисел
Пример 4
Даны комплексные числа , . Найти частное .
Составим частное:
Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.
Вспоминаем бородатую формулу и смотрим на наш знаменатель: .
В знаменателе уже есть , поэтому сопряженным выражением в данном случае является , то есть
Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на , и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число :
Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой (помним, что и не путаемся в знаках!!!).
Распишу подробно:
Пример 5
Возвести в степень комплексные числа , ,
Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.
Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:
Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень:
Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:
Пример 6 Возвести в степень комплексные числа ,
Решение:
Пример 7
Найти корни уравнения и разложить квадратный двучлен на множители.
Решение:
,
Разложим квадратный двучлен на множители:
Пример 8
Вычислить: (2+3i)(3−i)
Решение:
(2+3i)(3−i)=6−2i+9i−3i2=6+7i+3=9+7i.(2+3i)(3−i)=6−2i+9i−3i2=6+7i+3=9+7i
Пример 9 Найти частное , если .
Решение.
.
Пример 10 Вычислить а) , б) .
Решение. а) .
б) . Запомним:
4. Геометрическое изображение комплексных чисел.
Комплексные числа изображают точками плоскости по следующему правилу: a + bi = M (a; b) (рис.1).
Рисунок 1
Пример. Постройте точки, изображающие комплексные числа:
1; — i; — 1 + i; 2 – 3i (рис.
3).
Рисунок 3
5. Работа в парах
Постройте на комплексной плоскости следующие
комплексные числа: , , , ,
, , ,
6. Домашнее задание
Дома учащимся предлагается выполнить задание
показать на плоскости три примера комплексных чисел (на каждый вид)
7. Подведение итогов урока
Что нового мы сегодня узнали
Трудная это тема: работа с комплексными числами
Оценка всех за работу у доски / работу на карточках (1 урок)
и работу группы (2 урок).
Вопрос Видео: Доказательство свойств присоединенной матрицы квадратной матрицы порядка 𝑛.
Стенограмма видео
Верно или неверно: если 𝐴 задано
квадратная матрица порядка 𝑛, то 𝐴, умноженное на присоединенную матрицу 𝐴, равно
к сопряженному 𝐴, умноженному на 𝐴, равен определителю 𝐴, умноженному
на 𝐼, где 𝐼 — единичная матрица порядка 𝑛.
Начнем с того, что если сингулярна, т. е. определитель 𝐴 равен нулю, то инверсия 𝐴 не существует. И мы еще вернемся к этому делу чуть позже. Если, с другой стороны, 𝑛-by-𝑛 матрица невырождена, а это означает, что существует обратная ей матрица, то показать, является ли данное утверждение истинно или ложно, мы можем использовать теорему о том, что для неособого 𝑛-by-𝑛 матрица 𝐴, обратная 𝐴 — это 𝐴 отрицательная — является сопряженной к 𝐴 разделить на определитель 𝐴. И напомним, что сопряжение матрица 𝐴 является транспонированной матрицей ее сомножителей.
Итак, давайте предположим, что обратное значение
наша матрица существует. Тогда это означает, что
определитель отличен от нуля. Чтобы показать, является ли это утверждение
правда или ложь, давайте возьмем наше определение, обратное 𝐴, и умножим на
слева матрицей 𝐴.
Теперь мы знаем, что для любого
невырожденная матрица 𝑛 на 𝑛, 𝐴, умноженная на ее обратную, является тождеством
матрица. Итак, теперь с левой стороны мы
имеют единичную матрицу 𝑛-by-𝑛. А теперь, поскольку определитель
матрица 𝐴 является скалярной, на нее можно умножить. И это дает нам определитель
𝐴, умноженное на единичную матрицу, равно 𝐴, умноженному на ее сопряженное. И это показывает, что наш первый
утверждение 𝐴 сопряженное 𝐴 действительно равно определителю 𝐴, умноженному на 𝐼
для невырожденной матрицы 𝐴.
Теперь, если мы снова начнем с нашего
формулу обратной к 𝐴 и умножить это время справа на наше
матрица 𝐴, мы снова имеем единичную матрицу слева, так как 𝐴 обратная 𝐴 является
единичная матрица. И снова умножая на
определитель 𝐴, что мы можем сделать, поскольку это скаляр, у нас есть определитель
𝐴, умноженное на единичную матрицу, равно сопряженному 𝐴, умноженному на
𝐴.
И поэтому можно сказать, что наш второй
выражение верно и для невырожденной матрицы. Все данное выражение
поэтому верно для невырожденной матрицы 𝐴.
Мы до сих пор не знаем, данное утверждение истинно или ложно, если наша матрица 𝐴 вырождена. Вот когда определитель равен нулю. Итак, записывая наше заявление снова, используя немного другое обозначение для определителя просто для ясности, и теперь предположим, что мы берем определитель каждого из наших выражений, мы можем использовать теорему что для 𝑛-by-𝑛 матриц 𝐴 и 𝐵 определитель произведения 𝐴𝐵 равен к определителю матрицы 𝐴, умноженному на определитель матрицы 𝐵. Тогда наше первое выражение определитель 𝐴, умноженный на определитель сопряженного 𝐴. И аналогично для нашего второго выражение, а справа оставляем наше выражение как есть.
Теперь, если 𝐴 — сингулярная матрица,
то обратного не существует и определитель равен нулю.
Тогда в наших первых двух выражениях
мы умножаем на ноль. И все, что умножается на ноль,
равен нулю. С правой стороны мы
умножение единичной матрицы на ноль, что дает нам нулевую матрицу. И определитель нуля
матрица равна нулю. И так левая рука, середина
член, а правый член равны нулю. Это означает, что для единичного
матрица, где определитель равен нулю, то данное утверждение также
истинный. Следовательно, 𝐴, умноженное на сопряженное 𝐴
равен присоединенному 𝐴, умноженному на 𝐴 равен определителю 𝐴, умноженному
на 𝐼 верно для любой квадратной матрицы 𝐴 порядка 𝑛.
сопряженный оператор умножения в коммутативной алгебре
спросил
Изменено 6 лет, 4 месяца назад
Просмотрено 1к раз
$\begingroup$
Дэн Попеску задал мне следующий вопрос, и так как я не эксперт, то кидаю его вопрос в МО.
Предположим, что $A$ — конечномерное векторное пространство над упорядоченным полем $k$ с $\operatorname{char}(k) = 0$, снабженное:
- коммутативно-ассоциативным $k$-линейным умножением $\цирк\\,$;
- положительно определенный скалярный продукт $\langle \cdot , \cdot \rangle \\,$.
Для каждого $a \in A$ пусть $L_a \colon A \to A \colon x \mapsto a \circ x$. Это линейный оператор на $A$; рассмотрим сопряженный оператор относительно данный внутренний продукт: 9* у$.
Вопрос Попеску следующий:
Есть ли имя для этой операции $\star$? Изучалось ли это в литературе? Известно ли что-нибудь об алгебраических свойствах или тождествах, включающих $\star$ (возможно, также включающих другие данные $\circ$ и $\langle \cdot , \cdot \rangle$)?
- ак.коммутативная-алгебра
- ра.кольца-и-алгебры
- линейная-алгебра
- внутренний продукт
- ссылка-запрос
$\endgroup$
$\begingroup$
В случае $k=\mathbb{C}$ вы описываете конечномерную H*-алгебру .
\ast$ единственна, или, другими словами, $\ast$ является инволюцией. Каждая H*-алгебра есть прямая сумма собственной алгебры и алгебры, в которой $a \circ b=0$ для всех $a$ и $b$.
Существует изящная структурная теорема Уоррена Эмброуза (см. http://www.jstor.org/stable/1990182), показывающая, что правильные H*-алгебры всегда являются прямыми суммами полных матричных алгебр. В частности, коммутативные H*-алгебры являются прямыми суммами 1-мерных алгебр и, следовательно, точно соответствуют ортогональному базису их несущего пространства!
Не знаю, как насчет других полей $k$, но доказательство Амброуза в основном сводится к тщательному анализу идемпотентов, который можно повторить для других полей $k$. 9*$ принадлежать $L_A$ означает, что $A$ замкнута относительно присоединенной операции, т. е. является алгеброй фон Неймана.
$\endgroup$
3
$\begingroup$
Эта операция широко
изучался для нужд (взвешенных)
теория автоматов.