Задачи по теме «Объёмы» с ответами от ФИПИ
Задачи по теме «Объёмы» с ответами от ФИПИ- ЕГЭ по математике
15 задач по теме «Объёмы» из открытого банка заданий ФИПИ для подготовки к ЕГЭ по базовой математике.
Ответы прилагаются.
| 1) Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами 80 см × 30 см × 40 см. Сколько литров составляет объём аквариума? В одном литре 1000 кубических сантиметров. |
| 2) Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:3, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью, равен 5. |
| 3) Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 8 и 5, а объём параллелепипеда равен 280. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда. |
4) Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. |
| 5) Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2, а высота этой призмы равна 4. Найдите объём призмы АВСА1В1С1 |
| 6) Объём конуса равен 24π, а его высота равна 8. Найдите радиус основания конуса. |
| 7) Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h= 80 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое больше, чем у первого? Ответ дайте в сантиметрах. |
| 8) В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 12 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров. |
9) Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 2 и 6, а второго — 6 и 4. Во сколько раз объём второго цилиндра больше объёма первого? |
| 10) Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 3 и 2, а второго — 2 и 3. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго? |
| 11) В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 1,4 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров. |
| 12) Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 2 и 5, а второго — 5 и 6. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого |
| 13) Даны два шара с радиусами 5 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего? |
14) В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объём сосуда 120 мл. Чему равен объём налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах. |
| 15) Объём конуса равен 25π, а его высота равна 3. Найдите радиус основания конуса |
Ответы:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
96 |
320 |
262 |
9 |
12 |
3 |
20 |
6000 |
6 |
1. |
2000 |
3 |
125 |
15 |
5 |
5Связанные страницы:
Досрочные варианты ЕГЭ 2020 по математике от ФИПИ
Рекомендации по подготовке к ЕГЭ-2020 по математике от ФИПИ
ЕГЭ по математике — задачи на движение
Карточки по решению квадратных неравенств
Сайт PRO OGE
Цилиндр — Умскул Учебник
На этой странице вы узнаете
- Как вода в кружке иллюстрирует сечение цилиндра?
- Как лист бумаги превратить в цилиндр?
Что общего у джентльмена 19 века, Вилли Вонка из «Чарли и шоколадная фабрика», Шерлока Холмса в экранизации «Безобразная невеста» и некоторых сценических костюмов? Цилиндр! О нем, вернее о фигуре цилиндра и поговорим в статье.
Понятие цилиндраСейчас мы говорим про мужской головной убор, который был популярен в 19 веке и стал достаточно узнаваем в массовой культуре.
Оказывается, в математике также существует цилиндр. И они похожи по форме.
Цилиндр — тело вращения, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон.
Возможно, для уточнения некоторых терминов вам захочется заглянуть в статью «Тела вращения».
Если посмотреть на форму шляпы, то она действительно будет похожа на геометрическую фигуру. Встретить цилиндр можно и в наше время. Обычная кружка является цилиндром.
Прямая, вокруг которой мы крутили прямоугольник, чтобы получить цилиндр, — это ось цилиндра.
Также, как у Земли есть ось вращения, она есть и у цилиндра.
Наша кружка стоит на круглом дне. Это дно, как и самый верх кружки, будут называться основаниями цилиндра.
Снова посмотрим на стенки кружки. В цилиндре эта поверхность будет называться цилиндрической поверхностью. Ее также могут называть боковой поверхностью цилиндра.
Представим, что наша кружка раскрашена вертикальными линиями.
Эти линии будут лежать на цилиндрической поверхности и перпендикулярны основаниям. У них есть название:
Образующая цилиндра — отрезок, соединяющий точки окружностей основания и перпендикулярный плоскостям оснований.
Все образующие, — а в цилиндре их очень-очень много, —лежат только на цилиндрической поверхности. Эта поверхность и состоит из множества образующих.
Узнаем ширину кружки. Для этого нужно измерить радиус дна. Этот же радиус будет радиусом основания, а в цилиндре он называется радиусом цилиндра.
Теперь найдем высоту кружки. Для этого нужно измерить расстояние от дна до самого верха кружки.
В математике это будет расстоянием между плоскостями, а ищется оно как длина перпендикуляра, опущенного из одной плоскости на другую. Подробнее про это можно прочесть в статье «Расстояния между фигурами».
Высота цилиндра — перпендикуляр, опущенный из плоскости одного основания на плоскость второго основания.
Рассмотрим, какими свойствами обладает цилиндр.
Свойство 1. Основания цилиндра равны и параллельны.
Это всегда два равных круга, лежащих в параллельных плоскостях.
Свойство 2. Образующие цилиндра равны и параллельны.
Поскольку все образующие перпендикулярны основаниям, то они параллельны между собой по свойству прямой и перпендикулярной ей плоскости. Подробнее про это свойство можно прочесть в статье «Углы в пространстве».
А равны они потому, что являются перпендикуляром к основаниям, то есть равны высоте цилиндра.
Свойство 3. Сечение цилиндра, проходящее через ось цилиндра, является прямоугольником. Такое сечение в цилиндре будет называться осевым сечением цилиндра.
Например, если разрезать тортик по диаметру, то место среза как раз будет прямоугольником.
Подробности про сечения фигур можно найти в статье «Сечения».
Свойство 4. Сечение цилиндра, проходящее параллельно оси цилиндра и перпендикулярно его основаниям, будет являться прямоугольником.
Свойство 5. Сечение цилиндра, перпендикулярное оси цилиндра, является кругом с радиусом, равным радиусу цилиндра. Такое сечение в цилиндре называется перпендикулярным сечением цилиндра.
| Как вода в кружке иллюстрирует сечение цилиндра? Если налить в кружку воду, то ее поверхность примет круглую форму. При этом совершенно без разницы, сколько воды наливать: поверхность останется кругом. Поскольку поверхность воды параллельна дну кружки, то есть основаниям цилиндра, то она является перпендикулярным сечением цилиндра. Этим опытом можно подтвердить свойство 5. |
Заметим, что все вышеописанные свойства относятся к прямому цилиндру.
Цилиндр также может быть наклонным. В этом случае ось цилиндра и его образующие не будут перпендикулярны основаниям.
Если мы разрежем поверхность цилиндра по одной из его образующих и как бы “развернем” ее, у нас получится прямоугольник.
Это также легко увидеть, если вспомнить художников с тубусами. Тубус имеет форму цилиндра, и свернутый прямоугольный лист принимает такую же форму.
Развертка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра, а вторая — длине окружности его основания.
| Как лист бумаги превратить в цилиндр? Поскольку развертка боковой поверхности цилиндра — это прямоугольник, то любой лист бумаги можно превратить в цилиндр. Для этого достаточно скрутить его в трубочку. При этом чем тоньше будет трубочка, тем меньше будет радиус цилиндра. |
А если это прямоугольник, то мы знаем, как найти его площадь. Нам нужно умножить его длину на высоту. Так мы получаем площадь боковой поверхности цилиндра.
2H\)
В этой формуле R — радиус цилиндра, Н — высота.
Часто формулу объема можно применить для решения жизненных задач. Например, чтобы найти объем детали, погруженной в воду.
Пример 1. В цилиндрическом сосуде налито 1650 см3 жидкости. В этот сосуд опустили деталь. При этом уровень жидкости увеличился в 1,2 раза. Найдите объем детали. Ответ выразите в см3.
Решение.
Шаг 1. Выразим высоту жидкости в первый и второй раз. Пусть вначале уровень жидкости был равен х, значит после того, как в нее опустили деталь, он стал равен 1,2х.
Шаг 2. Вспомним физику и заметим, что объем жидкости в сосуде после того, как в него опустили деталь, будет равен сумме объемов жидкости и детали: V = Vж + Vд.
Шаг 3. С помощью объема жидкости выразим площадь основания сосуда:
Vж = Sосн.H
1650 = Sосн.
x
\(S_{осн} = \frac{1650}{x}\)
Шаг 4. Подставим площадь основания в формулу объема жидкости после того, как в нее опустили деталь:
\(V = S_{осн.}H = \frac{1650}{x} * 1,2x = 1980\)
Шаг 5. Тогда объем детали будет равен:
Vд = V — Vж
Vд = 1980 — 1650 =330
Ответ: 330 см3
Фактчек- Цилиндр — тело вращения, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. Цилиндр может быть прямым и наклонным. В наклонном цилиндре ось не перпендикулярна основаниям цилиндра.
- Цилиндр состоит из двух оснований и цилиндрической поверхности (боковой поверхности цилиндра). Основания имеют форму кругов, равны между собой и лежат в параллельных плоскостях. Развертка боковой поверхности имеет форму прямоугольника.
- Образующая цилиндра — отрезок, соединяющий точки окружностей основания и перпендикулярный плоскостям оснований.
В прямом цилиндре образующая равна высоте цилиндра. Образующие равны и параллельны друг другу, а также образуют боковую поверхность цилиндра. - Осевое сечение цилиндра проходит через его ось и является прямоугольником. Любое сечение, параллельное осевому, также будет являться прямоугольником. Перпендикулярное сечение проходит перпендикулярно оси цилиндра и параллельно его основаниям. Перпендикулярное сечение имеет форму круга.
В прямом цилиндре образующая равна высоте цилиндра. Образующие равны и параллельны друг другу, а также образуют боковую поверхность цилиндра. Задание 1.
Что такое образующая цилиндра?
- Ось вращения, с помощью которой получен цилиндр.
- Диаметр оснований цилиндра.
- Любой перпендикуляр, проведенный от одного основания к другому.
- Отрезок, соединяющий точки окружности основания.
Задание 2.
Площадь боковой поверхности цилиндра равняется 44. Его радиус равен 8. Найдите высоту цилиндра.
- 2,75
- 5,5
- \(2,75 \pi\)
- 2
Задание 3.
Площадь основания цилиндра равна 16. Его высота равна 4. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
- 64
- \(64 \pi\)
- 32
- \(32 \pi\)
Задание 4.
Объем цилиндра равен 28, а его высота равняется 7. Найдите диаметр основания.
- 4
- 2
- 16
- 8
Ответы: 1. – 4 2. – 1 3. – 2 4. – 1
Расчет объема по частям — математические модули Ohlone Biotechnology
- Введение
- Решение задач с частями и объемом
- Другие способы выражения концентрации
- Решения
Часть раствора представляет собой одну часть конечного раствора. Части могут иметь любые единицы измерения, но единицы измерения должны быть одинаковыми во всей задаче. В этом контексте части представляют собой соотношение объемов или масс различных компонентов в растворе.
Это распространенный способ выражения соотношений в различных контекстах.
Например, при приготовлении вы делаете рис, смешивая 2 части воды с 1 частью сырого риса. Это означает, что независимо от того, сколько риса вы готовите, вам нужно смешать 2 единицы воды с 1 единицей риса. Если вам нужно приготовить больше риса, вы можете увеличить объем сырого риса, который вы используете, но также необходимо увеличить объем воды, чтобы сохранить соотношение.
В большинстве задач мы будем знать объем (или массу) нашего окончательного решения и соотношение частей, но должны будем определить, сколько каждого компонента использовать.
- Вам потребуется 120 мл раствора, состоящего из 3 частей изопропилового спирта и 2 частей воды. Сколько каждого из них вам нужно смешать, чтобы конечный раствор имел правильную концентрацию? (Примечание: мы не будем использовать C 1 V 1 = C 2 V 2 ).
Чтобы решить задачу, зная конечный объем и соотношение частей:
- Определите, на сколько частей делится конечный объем.
В нашем примере у нас есть 3 части изопропилового спирта + 2 части воды = всего 5 частей.
- Разделите общий объем на общее количество частей, чтобы получить объем каждой части.120 мл ÷ 5 частей = 24 мл каждая часть
- Умножьте только что рассчитанный объем на каждую часть, чтобы определить общий объем каждой части:
24 мл · 3 = 72 мл изопропилового спирта
24 мл · 2 = 48 мл воды
Проверка понимания #1: Проблемы с частями и объемами
Ответьте на следующие вопросы, используя метод, описанный выше.
- Вам потребуется 144 мл раствора, состоящего из 2 частей уксусной кислоты и 4 частей воды. Сколько каждого из них вам нужно смешать, чтобы конечный раствор имел правильную концентрацию?
- Вам потребуется 1,5 л раствора, состоящего из 1 части ТРИС-буфера и 3 частей воды. Сколько каждого из них вам нужно смешать, чтобы конечный раствор имел правильную концентрацию?
- Вам потребуется 150 мкл раствора, состоящего из 4 частей воды, 3 частей хлороформа и 1 части фенола. Сколько каждого из них вам нужно смешать, чтобы конечный раствор имел правильную концентрацию?
Сколько каждого из них вам нужно смешать, чтобы конечный раствор имел правильную концентрацию?Существуют и другие способы выражения решений. Некоторые концентрации растворов выражаются в частях на миллион или частях на миллиард. Возможно, вы слышали о частицах смога, измеряемых в «частях на миллиард».
- Частей на миллион (ppm) : это количество частей растворенного вещества, содержащихся в одном миллионе единиц раствора. Его часто обозначают аббревиатурой ppm. Например, раствор, содержащий 10 частей на миллион этилового спирта, будет содержать 10 частей этилового спирта на каждый миллион частей общего объема.
- Части на миллиард (ppb) : Это количество частей растворенного вещества, которое содержится в каждом миллиарде единиц всего раствора.
Ответы на проверку понимания #1: Задачи «Части-объем»
- 48 мл уксусной кислоты
96 мл H 2 O
1125 мл H 2 O- ≈75 мкл H 2 O
56 мкл хлороформа
19 мкл фенола
Как измерить объем вещей в повседневной жизни
- Объем помещения можно измерить с помощью простых математических формул.
- Варианты базовой формулы позволяют быстро определить объем любого пространства, от цилиндра до контейнера с наклонными сторонами.
- Понимание того, как измерять объем, имеет практическое применение — на кухне, на заднем дворе и т. д.
Вы переезжаете или, может быть, у вас просто много вещей, и вам нужно арендовать контейнер для хранения, но вы не представляете, сколько места вам нужно. Продолжайте читать, потому что понимание принципов объема может помочь вам найти правильный ответ.
Необходимость расчета требований к объему памяти — это лишь один пример, иллюстрирующий важность понимания объема в реальном мире. Другой случай может быть, когда вам нужно добавить нужное количество химикатов в бассейн на заднем дворе. Или, может быть, вы предпринимаете авантюрный шаг и варите собственное пиво — объем играет ключевую роль! Во многих повседневных делах, таких как знание количества воды, которое вы выпиваете в день, или выпекание торта, вычисление объема может сделать выполнение ваших задач безболезненным.
Ниже мы объясним, как измерить объем, используя простые математические формулы.
Как измерить объем
«Объем — это мера трехмерного пространства, занятого материей или окруженного поверхностью», согласно данным Управления мер и весов США Национального института стандартов и технологий. Проще говоря, это количество жидкости или газа, которое займет определенное пространство.
Обычно измеряется в кубических единицах, стандартной единицей объема является кубический метр. В зависимости от того, что вы измеряете, вы можете разбить его на меньший кубический дециметр, известный как литр, и кубический сантиметр, более известный как миллилитр.
… для контейнера с прямыми сторонами
Базовая формула для определения объема, например вместимости прямоугольного контейнера, равна длина x ширина x глубина . Выполняя расчеты, не забудьте выразить все размеры в одной и той же единице, поэтому независимо от того, решите ли вы использовать дюймы или футы, вы получите правильное конечное число, которое затем можно будет преобразовать в кубические метры.
В примере с контейнером для хранения подумайте о своей гостиной. Вы можете измерить длину х ширину х глубину вашей гостиной, чтобы найти ее объем. Средняя гостиная имеет размеры 15 на 10 футов и высоту девять футов. Это доходит до объема 1350 кубических футов. При переводе в более стандартные кубические метры вы должны знать, что один кубический метр равен 35,3147 кубических футов. Итак, 1350 кубических футов равняется 38,23 кубических метра.
♾️ Познакомьтесь с удивительной математикой повседневной жизни
- Удивительная математика внутри кубика Рубика
- Как с помощью математики построить идеальный костер
- Математика может помочь грузовым кораблям заглянуть в будущее
И с одного кубика метр равен 1000 литров, ваша гостиная содержит 38 230 литров, что составляет около 10 100 галлонов (если вы хотите заполнить свою гостиную жидкостью)! Теперь вы знаете объем своего пространства и можете лучше понять, сколько места для хранения вам нужно арендовать, чтобы разместить всю эту мебель.
При выполнении этого вычисления вы используете простое уравнение, поэтому вам не нужно беспокоиться о порядке функций; вы просто перемножаете три цифры вместе в любом порядке.
ElementalImaging//Getty Images
… для контейнера с наклонными сторонами
Если у вас есть контейнер с наклонными сторонами, вы можете использовать формулу высота по вертикали x половина суммы площади верхней и нижней части площадь . Напомним, что площадь, двумерная фигура, равна 9.0054 длина х ширина поверхности. В этом случае помните о своем порядке действий; вычислить площади, сложить их вместе, а затем разделить это число пополам. Наконец, умножьте свой ответ на высоту по вертикали.
… для цилиндра
А в случае цилиндра с прямыми стенками — удобного для определения количества стирального порошка, которое нужно добавить в стиральную машину — используйте следующую формулу: 0,7854 x диаметр x диаметр x высота .
Знаете ли вы? Это тома некоторых знакомых вещей:
Озеро Онтарио: 1 638 трлн литров воды или 432,8 трлн галлонов
Олимпийский бассейн: 2,5 млн литров воды или 660 000 галлонов
Ванна: 235 литров воды или 62 галлона
Кровь в среднем человеческом теле: 5 литров , или 1,3 галлона
Пустой желудок взрослого человека: 80 миллилитров или 2,7 жидких унций
Средняя чашка кофе: 266 миллилитров или 9 жидких унций
Понимание различных способов измерения объема, например, для напитков, которые можно продавать на унции, литр или пинту — может помочь вам быстро принять решение при принятии решения о покупке. Это может гарантировать, что ваша одежда будет правильно выстирана, ваши химикаты для бассейна или гидромассажной ванны будут правильно добавлены, или — когда придет время хранить все ваши ценности — у вас будет достаточно места.
Прежде чем уйти
- Как раскрасить комнату с помощью математики
- Математика доказывает, что футбол становится скучным
- Математика идеального пузыря
Тим Ньюкомб
Северо-Запад.