Как найти область определения по графику: Как найти область определения функции?

Урок «Нахождение свойств функции по формуле и по графику», ФГОС

У р о к 6.
Нахождение свойств функции
по формуле и по графику

Цели: обобщить и систематизировать знания учащихся о свойствах функции; продолжить формирование умения находить свойства функции по их формуле или графику.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Определите, какие из функций, изображенных на рисунках, обладают следующими свойствами:

а) имеют область определения [–3; 3];

б) имеют область значений [–2; 2];

в) имеют два нуля;

г) принимают только отрицательные значения;

д) являются возрастающими;

е) являются убывающими.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

III. Формирование умений и навыков.

Все задания, которые будут выполнять учащиеся на этом уроке, можно разбить на две группы. В первую группу войдут задания на перечисление свойств функции по ее графику. Во второй группе будут задания на нахождение свойств функции по задающим их формулам. После выполнения каждой группы заданий необходимо, чтобы учащиеся сделали выводы: как найти свойства функции в том или ином случае, то есть по графику или по формуле.

Упражнения:

1-я г р у п п а.

Функции у = f (х) и у = g (х) заданы своими графиками:

Перечислите свойства функций и сформулируйте вывод о том, как могут быть найдены свойства любой функции по ее графику.

2-я г р у п п а.

1. Найдите нули функции (если они существуют):

а) у = –3х + 1,8; в) у = ;

б) у = ; г) у = 16 х2.

2. № 43 (а).

3. Какие из следующих функций: у = 5х – 1, у = х2, у = , у = ,
у = –x , у = | х |, у = –, у = 7, у = х3 –

а) являются возрастающими;

б) являются убывающими?

Учащиеся уже формулировали выводы о том, как по формуле можно найти область определения и область значений функции. Теперь они должны сделать выводы о нахождении других свойств функций.

В ы в о д 1. Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции, заданной формулой, необходимо сравнить эту формулу с нулем и решить полученные неравенства.

Важно, чтобы учащиеся поняли, что имеющихся у них сейчас знаний недостаточно для определения промежутков возрастания и убывания произвольной функции. Следует сообщить им, что в десятом классе они смогут делать это. Пока же учащиеся должны уметь находить промежутки возрастания и убывания элементарных функций.

Однако следует показать учащимся, как с помощью логических рассуждений можно доказать, что заданная функция является возрастающей или убывающей. Для этого нужно выполнить № 51.

а) у = 5x + .

Областью определения функции служат все неотрицательные числа. Чем больше мы будем брать значение аргумента, тем больше будут значения выражений 5х и , значит, больше будет их сумма. Таким образом, функция у = 5x + является возрастающей.

б) у = –x + .

Аналогично показывается, что данная функция является убывающей.

В классе с высоким уровнем подготовки можно выполнить № 42.

а) у = .

Найдем область определения функции:

Значит, D (у): [–6; –5) (–5; +∞).

Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение:

;

;

х + 6 = х2;

х2 – х – 6 = 0, откуда х = –2, х = 3.

Проверкой убеждаемся, что х = –2 не является корнем уравнения. Число 3 является корнем уравнения и входит в область определения функции, значит, х = 3 – нуль данной функции.

IV. Итоги урока.

П и с ь м е н н ы й т е с т.

«+» – согласен с утверждением,

«–» – не согласен с утверждением.

1) Если какая-то функция задана формулой, содержащей х в знаменателе дроби, то областью определения этой функции не может быть множество всех чисел.

2) Областью определения функции у = | х | являются все неотрицательные числа.

3) Существуют функции, областью значений которых являются все отрицательные числа.

4) Областью значений любой линейной функции является множество всех чисел.

5) Чтобы найти нули функции у = f (х), нужно найти f (0).

6) Функция обратная пропорциональность не имеет нулей.

7) Существуют линейные функции, которые принимают только положительные значения.

8) Для нахождения отрицательных значений функции нужно найти все ее значения при х < 0.

9) Если k > 0, то линейная функция у = kx + b является возрастающей.

10) Если k < 0, то функция у = является убывающей.

Ключ: – – + – – + + – + – .

Домашнее задание: № 40, № 43 (б), № 48.

Д о п о л н и т е л ь н о: № 42 (б), № 51 (в).

Лекция №6

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости (связи) между элементами двух множеств.

Пусть даны два непустых множества X и Y. Соответствие f, которое каждому элементу x X сопоставляет один и только один элемент у Y, называется функцией и записывается у = f(x), x X или f : X Y.

Говорят еще, что функция f отображает множество X на множество Y.

Рис. 1.

Например, соответствия f и g, изображенные на рисунке 1 а и б, являются функциями, а на рисунке 1 в и г — нет. В случае в — не каждому элементу xX соответствует элемент уY. В случае

г не соблюдается условие однозначности.

Отношение R называется функциональным, если из u следует. Функциональное отношение называется функцией.

Определение 1. Пусть и – произвольные множества действительных чисел. Если на множестве задано отображение , при котором каждому соответствует действительное число , то говорят, что на множестве определена действительная функция действительной переменной . Множество называется областью определения, а множество – множеством значений числовой функции .

Определим арифметические операции над функциями.

Определение 2. Пусть функции и определены на множестве . Суммой называют функцию, значение которой для каждого равно сумме значений функций и для этого значения :

.

Аналогично вводится понятие разности

функций:

.

Произведением функций и называют такую функцию на множестве , что

.

Если функция задана на множестве и не обращается на нем в нуль, то через обозначают такую функцию на , что

.

Функцию называют частным функций и и обозначают . Таким образом, .

Понятия суммы, разности, произведения и частного функций применяют и в том случае, когда данные функции имеют различную область определения. В этом случае их рассматривают на пересечении областей определения.

Пример 1. Пусть функция ставит в соответствие каждому числу из отрезка число , а функция ставит в соответствие каждому числу из отрезка число . Найдем сумму этих функций.

Решение. Имеем . Функция ставит в соответствие каждому числу число .

Задать функцию – значит указать закон, по которому каждому значению аргумента из области определения ставится в соответствие значение зависимой переменной из области значений функции.

Наиболее часто используются три способа задания функции: аналитический, табличный и графический. Аналитический состоит в том, что с помощью формулы устанавливается алгоритм вычисления значения функции для каждого из значений аргумента , областью определения функции в этом случае считается множество значений аргумента, при которых данная формула имеет смысл.

Пример 2. Найти область определения функции

.

Решение. Это выражение имеет числовое значение, если , и . Иными словами, для нахождения области определения надо исключить из корни уравнений , и .

Решая эти уравнения, получаем корни: -2, 8, 1, 2 и записываем область определения данной функции

.

В некоторых случаях функция задается на различных числовых множествах разными выражениями, например

или (функция Дирихле)

На практике часто удобным оказывается табличный способ задания функций, например, при экспериментальных измерениях, социологических опросах, при составлении отчетов банковской деятельности и т.д. На табличном способе задания, хранения и обработки информации основаны базы данных. В общем случае таблица имеет вид (табл. 1):

Таблица 1

Она позволяет находить значения функции для выбранных значений аргумента. Таким образом, таблица не задает функции, поскольку для задания функции надо знать ее значения для всех , а не только для некоторых. Существуют методы, позволяющие по такой таблице подбирать выражение , разумеется, с определенной точностью.

При графическом способе соответствие между аргументом и функцией задается посредством графика.

Определение 3. Графиком функции называется множество пар

.

Каждая пара состоит из двух чисел, а потому может быть изображена точкой на координатной плоскости. Следовательно, график числовой функции может быть наглядно изображен множеством точек координатной плоскости.

Обычно графиком функции является некоторая линия. Однако, не всякое множество точек плоскости является графиком некоторой функции. Из определения функции следует, что каждому значению соответствует только одно значение , а потому прямая, параллельная оси ординат, может пересекать график функции не более чем в одной точке. Например, окружность не является графиком какой-либо функции, так как прямые, параллельные оси ординат, могут пересекать ее в двух точках; полуокружность на рис. 2,

а является графиком функции , а полуокружность на рис. 2, б – графиком функции .

Рис. 2

На практике строят не графики функций, а эскизы таких графиков. Для этого обычно составляют таблицу значений функции для некоторых значений аргумента, наносят на плоскость соответствующие точки и соединяют их линией. При этом предполагается, что график функции является достаточно плавной линией, а найденные точки достаточно точно показывают ход изменения функции. Если эти предположения не выполняются, то построенный график будет сильно отличаться от истинного.

Пример 3. Построим график функции .

Решение. Составляем таблицу значений функции для с шагом 1 (табл.2)

Таблица 2

	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
	0,10	0,16	0,42	2,86	2,86	0,42	0,16	0,10

Н аносим полученные точки на плоскость и соединяем их плавной непрерывной линией. Получаем график, изображенный на рис. 3, а. Заметим, что этот график значительно отличается от истинного (рис. 3, б) в связи с большим значением шага таблицы.

Рис. 3

Не всякий график изображается непрерывной линией, например график функции

имеет один разрыв (рис. 4), а график функции — целая часть числа – имеет бесконечное число разрывов (рис. 5).

Рис. 4 Рис. 5

Встречаются функции, графики которых невозможно изобразить. Примером такой функции является функция Дирихле, определенная выше. Так как на сколь угодно малом отрезке числовой прямой имеются как рациональные, так и иррациональные точки, то график функции Дирихле не является линией. Он состоит из точек оси абсцисс с иррациональными абсциссами и точек прямой с рациональными абсциссами. Построить такой график невозможно.

Пусть известны графики заданных на функций и . Чтобы построить график функции , достаточно для каждого сложить ординаты графиков этих функций. Чтобы построить график функции , достаточно для каждого перемножить ординаты графиков функций и . При этом обращается в нуль, если хотя бы одна из функций , обращается в нуль в данной точке. График функции строят, деля на ординаты графика функции . При этом в точках, где обращается в нуль, функция не определена. Обычно около этих точек график функции неограниченно удаляется от оси абсцисс.

Пример 4. Построим график функции .

Решение. Строим график функции . Прибавляя 1 к ординатам этого графика, получаем график функции . Выполняя деление числа 6 на ординаты последнего графика, получаем ординаты графика функции . Перемножая найденные ординаты и ординаты графика функции , получаем искомый график. На рис. 6 изображено последовательное построение графика функции .

Рис. 6

На практике применяются приборы, автоматически записывающие ход изменения некоторых величин с течением времени (осциллографы, термографы, сейсмографы и т.д.). Они задают графики этих величин как функции времени. Следует иметь в виду, однако, что это задание является лишь приближенным, так как получающаяся линия имеет некоторую толщину, и потому значение , соответствующее данному значению , определяется по графику лишь приближенно.

Определение 4. Пусть числовая функция задана на множестве , а функция – на множестве , и пусть . Тогда существует отображение множества в , задаваемое формулой . Это отображение является числовой функцией, заданной на множестве , и называется суперпозицией (композицией) функций или сложной функцией.

Для математического анализа наиболее существенным является случай, когда функции и заданы своими выражениями и . В этом случае выражение функции получается следующим образом: в выражении каждое вхождение буквы заменяется выражением .

Пример 5. Найдем выражение для суперпозиций и , где , .

Решение. Заменяя в выражении каждое вхождение буквы на , получаем выражение для функции . Таким же образом получаем выражение для функции .

Может случиться, что множество значений выражения, задающего функцию , не является подмножеством области определения функции . Тогда выражение, полученное подстановкой выражения для в выражение для , определяет функцию лишь для тех , при которых .

Пример 6. Найдем область определения функции , если , .

Решение. Так как имеет значение лишь при , то искомая область определения функции задается неравенством . Из него находим, что .

Как найти домен на графике

1. Как найти домен на графике:

Домены — это уникальные имена, которые идентифицируют веб-сайты в Интернете. Они используются для направления пользователей на определенные веб-страницы и могут рассматриваться как адрес веб-сайта. Доменное имя должно быть уникальным и может быть зарегистрировано у регистратора доменных имен. После регистрации доменного имени его можно использовать для создания веб-сайта или адреса электронной почты. Чтобы найти область определения графа, нужно сначала определить функцию, представленную графом. Это можно сделать, найдя уравнение графика. Как только уравнение найдено, область можно определить, решив x. Домен представляет собой набор всех значений x, для которых уравнение дает реальное значение y.

-Чтобы найти домен графа, начните с поиска пересечений по оси x.

Домен — это набор всех значений x, для которых график дает допустимое значение y. Чтобы найти домен графа, начните с поиска пересечений по оси x. Это даст вам набор всех значений x, для которых график дает значение y, равное 0. Доменом графика будут все действительные числа, кроме этих пересечений x.

-Точка пересечения с осью абсцисс – это пересечение графика с осью абсцисс.

Домен — это набор всех значений x, для которых функция выдает допустимое значение y. Точка пересечения с абсциссой — это пересечение графика с осью абсцисс. Это означает, что точка пересечения по оси x является точкой, в которой график меняется с положительного на отрицательный или наоборот.

-Чтобы найти точку пересечения с осью y, найдите, где график пересекает ось y.

Домен — это набор всех значений x, для которых функция выдает допустимое значение y. Другими словами, это набор всех значений x, для которых график функции появится на координатной плоскости. Чтобы найти точку пересечения с осью y, найдите, где график пересекает ось y. Точка пересечения с осью y — это точка пересечения графика функции с осью y.

-Домен — это все значения x, в которых определен график.

Домен в математике — это набор всех возможных входных значений (значений x) для функции. Выходные значения функции (y-значения) зависят от входных значений. Например, областью определения функции f(x) = x2 являются все действительные числа, потому что любое действительное число можно подставить в f(x), и f(x) выдаст действительное число. Область определения функции может быть ограничена определением функции. Например, функция g(x) = 1/x определена только для значений x, которые не равны 0, потому что g(0) будет выводить неопределенное значение.

-Чтобы найти диапазон, найдите все значения y, для которых определен график.

Домен — это набор всех значений x, для которых функция выдает допустимое значение y. Чтобы найти диапазон, найдите все значения y, где определен график. Диапазон — это набор всех значений y, которые производит функция.

Пожалуйста, внимательно прочитайте этот отказ от ответственности перед тем, как начать пользоваться услугой. Используя эту услугу, вы подтверждаете, что вы полностью согласны и принимаете содержание этого заявления об отказе от ответственности. Вы можете отказаться от использования сервиса, если не согласны с данным отказом от ответственности. Этот документ создается автоматически на основе общедоступного контента в Интернете, захваченного Платформой машинного обучения для ИИ. Авторские права на информацию в этом документе, такую ​​как веб-страницы, изображения и данные, принадлежат их соответствующим авторам и издателям. Такой автоматически сгенерированный контент не отражает точку зрения или мнение Alibaba Cloud. Вы несете ответственность за определение законности, точности, подлинности, практичности и полноты содержания. Мы рекомендуем вам проконсультироваться со специалистом, если у вас есть какие-либо сомнения по этому поводу. Alibaba Cloud не несет ответственности за любые последствия использования вами контента без проверки. Если у вас есть отзывы или вы обнаружите, что в этом документе используется некоторый контент, в отношении которого у вас есть права и интересы, свяжитесь с нами по этой ссылке: https://www.alibabacloud. com/campaign/contact-us-feedback. Мы будем решать вопрос в соответствии с соответствующими правилами.

Домен и диапазон — Расширенные функции

Домен и диапазон

Что такое Домен и Диапазон ?

Определение домена и диапазона такое же, как указано выше, но я перефразирую эти определения своими словами.

Домен — это просто разрешения, которые применяются к оси X графика, что означает, что Домен указывает, где график может лежать на оси X, а где нет.

Диапазон, с другой стороны, аналогичен домену, за исключением того, что разрешения применяются к оси Y графика, указывая, где график может лежать на оси Y, а где нет. 95 также используют один и тот же домен и диапазон, то есть {XER} и {YER}.

Пока нет преобразования, все четные функции будут иметь один и тот же домен и диапазон, а все нечетные функции будут иметь один и тот же домен и диапазон. Об этом говорилось в главе 1 учебника.

Рациональные функции

В отличие от четных и нечетных функций, рациональные функции отличаются тем, что они обладают свойством, известным как ограничение . Функция, показанная на изображении выше (f(x)=1/x), является обратной функцией. Эта функция содержит два асимптоты, — линии, которых функция никогда не касается.

Поскольку эта функция содержит асимптоты по осям x и y, необходимо изменить область определения и диапазон, чтобы указать, что существуют определенные точки, в которых функция не должна быть построена. Эта процедура выполняется путем добавления символа «такой, что» (|) после утверждения, что x или y является элементом всех действительных чисел. После добавления символа используется символ «не равно», чтобы указать, что на графике не может быть точек в этой конкретной области. Наконец, значение асимптоты помещается после символов.

{XER|X≠0}
{YER|Y≠0}

Тригонометрические функции

Тригонометрические функции имеют комбинацию домена и диапазона от четных и нечетных функций, а также рациональных функций.