Умножить комплексное число на комплексное число: Сложение, умножение и деление комплексных чисел

10. Операции над комплексными числами

Алгебраическую операцию сложения на множестве можно задать следующим образом:

.

Сложение комплексных чисел ассоциативно, т. е. и коммутативно, т. е. . Сумма чисел , поэтому число является противоположным числу , тем самым определена операция вычитания .

Учитывая, что через обозначен корень уравнения , т. е. или , можно определить умножение комплексных чисел:

.

Умножение также ассоциативно и коммутативно. Произведение нескольких сомножителей вычисляется как последовательное умножение. Натуральная степень комплексного числа может быть найдена при помощи формулы бинома Ньютона. Поскольку , , , , , при возведении в любую натуральную степень , надо найти остаток от деления на 4 и возвести в степень, равную этому остатку.

Чтобы определить деление комплексных чисел, нужно определить число обратное числу . Для действительного числа обратным будет число .

Выражение запишем в стандартной форме. Для этого умножим числитель и знаменатель на комплексное число :

,

Где .

Значит, для любого ненулевого комплексного числа существует обратное. Таким образом, операция деления определена как произведение делимого на число, обратное делителю.

Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел, любое действительное число можно записать в виде .

Число называется Сопряженным числу и обозначается .

Сумма и произведение сопряженных чисел являются числами действительными:

;

.

Число называется модулем или абсолютной величиной комплексного числа . Очевидно, что .

Свойства сопряжения:

;

.

Каждому комплексному числу поставим в соответствие точку плоскости, координатами которой в прямоугольной системе координат являются числа и .

Рис. 3.1.

Тогда каждой точке плоскости будет соответствовать единственное комплексное число . В результате получается взаимно однозначное соответствие между множеством комплексных чисел

C и множеством точек плоскости, которое позволяет отождествить произвольное комплексное число с точкой плоскости, имеющей в выбранной системе координат координаты . При этом точки горизонтальной координатной оси изображают действительные числа и поэтому эту ось называют Действительной осью, а по вертикальной оси откладываются мнимые части комплексных чисел, поэтому вертикальная ось называется Мнимой осью.

Расстояние от точки до начала координат есть действительное неотрицательное число , которое называется модулем комплексного числа и обозначается . Угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором точки называется аргументом и обозначается . Для числа 0 аргумент не определен, для остальных комплексных чисел аргумент определяется с точностью до целых кратных , при этом положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

Пусть . Из рис. 3.1 ясно, что модуль числа находится по формуле . Аргумент числа определяется из равенств , .

Отсюда:

(3. 1)

Запись числа в виде (3.1) называется тригонометрической формой комплексного числа.

Если воспользоваться формулой Эйлера,

(3.2)

То от тригонометрической формы записи комплексного числа (3.2) несложно перейти к его показательной форме записи:

.

Пусть и ‑ сопряженные числа. Если , то . Геометрически и являются точками, симметричными относительно действительной оси (рис. 3.2). Отсюда вытекают равенства .

 

Перемножать и делить комплексные числа удобнее, если они представлены в тригонометрической форме:

(3.3)

В показательной форме:

При умножении комплексных чисел их аргументы складываются, а модули перемножаются. Это правило верно для любого числа сомножителей.

Аналогично,

(3.4)

При выполнении деления комплексных чисел в тригонометрической форме их аргументы вычитаются, а модули нужно разделить.

< Предыдущая		Следующая >

Математика: Справ. материалы

Математика: Справ. материалы

Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся.— 2-е изд.— М.: Просвещение, 1990.— 416 с. В книге дано краткое изложение основных разделов школьных курсов алгебры и качал анализа, геометрии. Книга окажет помощь в систематизации и обобщении знаний по математике. Предыдущее издание вышло в 1988 году. Оглавление ГЛАВА I. ЧИСЛА 3. Деление с остатком. 4. Признаки делимости. 5. Разложение натурального числа на простые множители. 6. Наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел. 7. Наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел. 8. Употребление букв в алгебре. Переменные. § 2. Рациональные числа 11. Приведение дробей к общему знаменателю. 12. Арифметические действия над обыкновенными дробями. 13. Десятичные дроби. 14. Арифметические действия над десятичными дробями. 15. Проценты. 16. Обращение обыкновенной дроби в бесконечную десятичную периодическую дробь. 17. Обращение бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь. 18. Координатная прямая. 19. Множество рациональных чисел. § 3. Действительные числа § 4. Комплексные числа ГЛАВА II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 6. Целые рациональные выражения 52. Многочлены. Приведение многочленов к стандартному виду. § 7. Дробные рациональные выражения Глава III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ § 9. Свойства функций § 10. Виды функций 95. Обратная функция. График обратной функции. 96. Логарифмическая функция. 96. Определение тригонометрических функций. § 11. Преобразования графиков ГЛАВА IV. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 12. Преобразование выражений, содержащих переменную под знаком логарифма § 13. Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений ГЛАВА V. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ § 14. Уравнения с одной переменной § 15. Уравнения с двумя переменными § 16. Системы уравнений Глава VI. НЕРАВЕНСТВА § 17. Решение неравенств с переменной § 18. Доказательство неравенств ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 19. Числовые последовательности § 20. Предел функции § 21. Производная и ее применения § 22. Первообразная и интеграл ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ § 1. О строении курса геометрии § 2. Основные свойства простейших геометрических фигур § 3. Геометрические построения на плоскости § 4. Четырехугольники § 5. Многоугольники § 6. Решение треугольников 34. Теорема косинусов. Теорема синусов. § 7. Площади плоских фигур 38. Площади подобных фигур. ГЛАВА II. Прямые и плоскости в пространстве § 8. Аксиомы стереометрии и некоторые следствия из них § 9. Параллельность прямых и плоскостей § 10. Перпендикулярность прямых и плоскостей 45. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. ГЛАВА III. ТЕЛА В ПРОСТРАНСТВЕ § 11. Многогранники § 12. Тела вращения § 13. Изображение пространственных фигур на плоскости § 14. Объемы тел § 15. Площади поверхностей тел ГЛАВА IV. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ § 16. Координаты на плоскости и в пространстве § 17. Уравнения фигур на плоскости § 18. Уравнения фигур в пространстве ГЛАВА V. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР § 19. Движение § 20. Подобие фигур ГЛАВА VI. ВЕКТОРЫ § 21. Введение понятия вектора § 22. Операции над векторами ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И СООТНОШЕНИЯ I. Основные законы алгебры ГЕОМЕТРИЯ

Понимание того, почему сложное умножение работает – BetterExplained

Смотреть на мнимые числа как на вращения было одним из моих любимых ага моментов:

i, квадратный корень из -1, это число в другом измерении! Как только это щелкнет, мы можем использовать умножение, чтобы «объединить» повороты двух комплексных чисел:

Йоуза, меня это когда-нибудь поразило: складывать углы без синуса и косинуса! К сожалению, у меня не было интуитивного понимания , почему это сработало. Давайте исправим это!

Скучное объяснение: Как?

Вот распространенное объяснение того, почему сложное умножение складывает углы. Сначала запишите комплексные числа в виде полярных координат (радиус и угол):

Затем возьмите произведение, сгруппируйте по действительным/мнимым частям:

Наконец, обратите внимание, как это соответствует сумме синуса и косинуса угла. формулы:

Вот и все! Что это такое? Вы не мыслите интуитивно с точки зрения синуса и косинуса? Жаль, математика подтвердилась!

…

Еще здесь? Хороший. Проблема в том, что мы потеряли магию: это все равно, что сказать, что два стихотворения похожи, потому что мы проанализировали распределение букв. Точно, но неудовлетворительно!

Мне нравится синус так же, как и всем остальным, но подробности приходят после , видя щелчок взаимосвязи.

Веселье Объяснение: Почему!

Какова наша цель? Ах да, чтобы увидеть , почему , мы можем перемножить два комплексных числа и сложить углы.

Сначала разберемся, что делает умножение:

• Обычное умножение («умножить на 2») увеличивает число (делает его больше или меньше)
• Воображаемое умножение («умноженное на i») поворачивает вас на 90 градусов

А что, если объединить эффекты в комплексное число? Умножение на (2 + i) означает «удвоить число — о, добавить перпендикулярное вращение».

Краткий пример: $4 \cdot (3+i) = 4 \cdot 3 + 4 \cdot i = 12 + 4i$

То есть берем наш оригинал (4), делаем его в 3 раза больше (4 * 3) и затем добавить эффект вращения (+4i). Опять же, если бы нам нужно было только вращение, мы бы умножили на «i». Если бы нам нужно было только масштабирование, мы бы умножили его на 3. Комплексное число (a + bi) имеет оба эффекта.

Визуализация комплексного умножения

Это было легко — действительное число (4), умноженное на комплексное (3+i). Как насчет двух комплексных чисел («треугольников»), например $(3 + 4i) \cdot (2 + 3i)$?

Теперь мы говорим! Я вижу это как «Сделайте масштабированную версию нашего исходного треугольника (умножить на 2) и добавьте масштабированный/повернутый треугольник (умножьте на 3i)». Конечная конечная точка — это новое комплексное число.

Но… Я люблю альтернативные объяснения! Вот еще:

Вместо того, чтобы группировать умножение треугольником, мы анализируем каждую часть ФОЛЬГИ (первую, внешнюю, внутреннюю, последнюю). Добавление каждого компонента ведет нас по пути и заканчивается в одном и том же месте!

А как же углы?

Ах да, углы. Похоже, мы складываем углы, но можем ли мы быть уверены?

Капитан Геометрия спешит на помощь! О, как я скучал по тебе с 9й класс. Находится ли результат (пунктирная синяя линия) под тем же углом, что и при наложении треугольников друг на друга?

В обычном случае мы начинаем с треугольника (3 + 4i) и плюхаем на другой (2 + 3i), чтобы получить объединенный угол.

После умножения мы начинаем с масштабированного треугольника (2x) и плюхаемся на другой масштабированный треугольник (x3i). Несмотря на то, что он больше, подобные треугольники имеют одинаковые углы — они просто больше (но не спрашивайте о его размере, хорошо?).

Мы увеличили исходный треугольник (без изменения угла) и «плюхнули» другой масштабированный треугольник (без изменения угла), так что результат тот же! Мне нравится видеть, как все это объединяется — мы масштабируемся, разворачиваемся и бум — мы находимся под общим углом. Речь идет не о «мнимых числах» — это способ объединения треугольников без тригонометрии!

Побочные эффекты могут включать масштабирование

Обратите внимание, как мы делаем увеличенные копии исходного треугольника и складываем их вместе. Каково изменение размера по сравнению с нашим исходным синим треугольником?

Ну, давайте назовем нашу исходную длину «x». Что бы это ни было, в итоге мы получим новый треугольник, наложенный сверху, с размером 2x + 3x (в общем случае a + bi). А по Пифагору (обожаю этого джентльмена) «настоящее» расстояние равно

То есть мы берем исходное расстояние (x) и масштабируем его на 92 = 1$), то расстояние не изменится!

Несколько мыслей

Я не ненавижу строгие доказательства — я ненавижу притворяться, что они полезны, когда на самом деле это не так. Доказательства преследуют две цели:

• Показать , что результат верен. Это для математиков, представляющих результаты — студенты редко сомневаются в достоверности фактов на уроках математики.
• Показать , почему результат верен.

Настоящее, удовлетворительное понимание приходит от игры с аналогиями и примерами, а не от чтения чистых, минималистских доказательств (особенно тех, которые обращаются к формулам сложения синуса и косинуса!).

Поля хорошо сказал: «Когда вы убедились, что теорема верна, вы начинаете ее доказывать».

Счастливая математика.

Интуитивная арифметика с комплексными числами

Понимание того, почему сложное умножение работает

Интуитивное руководство по углам, градусам и радианам

Интуитивное понимание формулы Эйлера

Интерактивное руководство по преобразованию Фурье

Интуитивное руководство по свертке

Интуитивное понимание синусоидальных волн

Интуитивное руководство по линейной алгебре

Интуиция программиста для умножения матриц

Мнимое умножение против мнимых показателей

Интуитивное руководство по гиперболическим функциям

Умножение и деление комплексных чисел | Колледж Алгебра |

Умножение комплексных чисел

Умножение комплексных чисел очень похоже на умножение биномов. Основное отличие состоит в том, что мы работаем с реальной и мнимой частями отдельно.

Пример 4. Умножение комплексного числа на вещественное число

Рис. 5

Начнем с умножения комплексного числа на вещественное число. Мы распределяем действительное число так же, как и биномиальное. Так, например,

Как: Даны комплексное число и действительное число, умножьте их, чтобы найти произведение.

1. Используйте свойство дистрибутива.
2. Упростить.

Пример 5. Умножение комплексного числа на действительное число

Найти продукт

4(2+5i)4\левый(2+5i\правый)4(2+5i)

.

Решение

Распределить 4.

{4(2+5i)=(4⋅2)+(4⋅5i)=8+20i\begin{cases}4\left(2+5i\right)= \left(4\cdot 2\right)+\left(4\cdot 5i\right)\qquad \\ =8+20i\qquad \end{case}{4(2+5i)=(4⋅2)+ (4⋅5i)=8+20i​

Попробуйте 4

Найдите продукт

−4(2+6i)-4\влево(2+6i\вправо)−4(2+6i)

. Решение

Умножение комплексных чисел 9{2}=-1i2=−1

, имеем

(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd\left(a+bi\right)\left(c+di\right)=ac+adi+bci-bd(a+bi) (c+di)=ac+adi+bci-bd

Для упрощения мы объединяем действительные части и объединяем мнимые части.

(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i\left(a+bi\right)\left(c+di\right)=\left(ac-bd\ вправо)+\влево(ad+bc\right)i(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i

Как сделать: Даны два комплексных числа, умножьте их, чтобы найти произведение.

1. Используйте свойство распределения или метод FOIL.
2. Упростить.

Пример 6. Умножение комплексного числа на комплексное число

Умножение

(4+3i)(2−5i)\влево(4+3i\вправо)\влево(2 — 5i\вправо)(4+3i) (2−5i)

.

Решение

Использование

(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i\left(a+bi\right)\left(c+di\right)= \left(ac-bd\right)+\left(ad+bc\right)i(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

{(4+3i )(2−5i)=(4⋅2−3⋅(−5))+(4⋅(−5)+3⋅2)i=(8+15)+(−20+6)i=23− 14i\begin{cases}\left(4+3i\right)\left(2 — 5i\right)=\left(4\cdot 2 — 3\cdot \left(-5\right)\right)+\left (4\cdot \left(-5\right)+3\cdot 2\right)i\qquad \\ \text{ }=\left(8+15\right)+\left(-20+6\right) i\qquad \\ \text{ }=23 — 14i\qquad \end{case}⎩

⎨

⎧​(4+3i)(2−5i)=(4⋅2−3⋅(−5))+(4⋅(−5)+3⋅2)i=(8+15) +(−20+6)i =23−14i​

Попробуйте 5

Умножение

(3−4i)(2+3i)\влево(3 — 4i\вправо)\влево(2+3i\вправо)(3−4i)(2+3i)

. Решение

Деление комплексных чисел

Деление двух комплексных чисел сложнее, чем сложение, вычитание и умножение, потому что мы не можем делить на мнимое число, а это означает, что у любой дроби должен быть действительный знаменатель. Нам нужно найти член, на который мы можем умножить числитель и знаменатель, который исключит мнимую часть знаменателя, чтобы мы получили действительное число в качестве знаменателя. Этот термин называется комплексное сопряжение знаменателя, которое находится при изменении знака мнимой части комплексного числа. Другими словами, комплексное сопряжение

a+bia+bia+bi

равно

a−bia-bia−bi

.

Обратите внимание, что комплексно-сопряженные числа имеют обратную связь: комплексно-сопряженное число

a+bia+bia+bi

равно

a-bia-bia-bi

, а комплексно-сопряженное число

a-bia- биа-би

это

a+bia+bia+bi

. Кроме того, когда квадратное уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексные решения, решения всегда комплексно сопряжены друг другу.

Предположим, мы хотим разделить

c+dic+dic+di

на

a+bia+bia+bi

, где ни a , ни b не равны нулю. Сначала запишем деление в виде дроби, затем найдем комплексно-сопряженную часть знаменателя и умножим.

c+dia+bi где a≠0 и b≠0\frac{c+di}{a+bi}\text{, где }a\ne 0\text{ и }b\ne 0a+bic+di​, где a=0 и b=0

Умножьте числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное число знаменателя.

(c+di)(a+bi)⋅(a−bi)(a−bi)=(c+di)(a−bi)(a+bi)(a−bi)\frac{\left( c+di\right)}{\left(a+bi\right)}\cdot\frac{\left(a-bi\right)}{\left(a-bi\right)}=\frac{\left (с+ди\право)\влево(а-би\право)}{\ влево(а+би\право)\влево(а-би\право)}(а+би)(с+ди)​⋅( а-би)(а-би)=(а+би)(а-би)(с+ди)(а-би)​ 9{2}}\qquad \end{cases}{=a2-abi+abi-b2(-1)ca-cbi+adi-bd(-1)​=a2+b2(ca+bd)+(ad-cb )i​​

Общее примечание: Комплексное сопряжение

Комплексное сопряжение комплексного числа

a+bia+bia+bi

равно

a-bia-bia-bi

. Его находят изменением знака мнимой части комплексного числа. Действительная часть числа остается неизменной.

• Когда комплексное число умножается на его комплексно-сопряженное, результатом является действительное число.
• Когда комплексное число добавляется к его комплексно-сопряженному, результатом является действительное число.

Пример 7. Нахождение комплексно-сопряженных чисел

Найдите комплексно-сопряженные числа каждого числа.

1. 2+i52+i\sqrt{5}2+i5

   ​

2. −12i-\frac{1}{2}i−21​i

Решение

1. Номер уже имеет вид

   a+bia+bia+bi

   . Комплексное сопряжение равно

   a-bia-bia-bi

   , или

   2−i52-i\sqrt{5}2−i5

   ​

   .
2. Мы можем переписать это число в виде

   a+bia+bia+bi

   как

   0−12i0-\frac{1}{2}i0−21​i

   . Комплексное сопряжение равно

   a−bia-bia−bi

   , или

   0+12i0+\frac{1}{2}i0+21​i

   . Это можно записать просто как

   12i\frac{1}{2}i21​i

   .

Как: Имея два комплексных числа, разделить одно на другое.

1. Запишите задачу на деление в виде дроби.
2. Определите комплексное сопряжение знаменателя.
3. Умножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженную часть знаменателя.
4. Упростить.
Пример 8: Деление комплексных чисел )(4−i)

.

Решение

Начнем с записи задачи в виде дроби.

(2+5i)(4−i)\frac{\left(2+5i\right)}{\left(4-i\right)}(4−i)(2+5i)​

Затем умножаем числитель и знаменатель на комплексное сопряжение знаменателя.

(2+5i)(4−i)⋅(4+i)(4+i)\frac{\left(2+5i\right)}{\left(4-i\right)}\cdot \ frac{\left(4+i\right)}{\left(4+i\right)}(4−i)(2+5i)​⋅(4+i)(4+i)​

Чтобы умножить два комплексных числа, мы расширяем произведение, как если бы мы делали это с многочленами (процесс, обычно называемый FOIL). {2}=-1\qquad \\ \text{ }=\frac{3+22i}{17 }\qquad & \qquad \\ \text{ }=\frac{3}{17}+\frac{22}{17}i\qquad & \text{Разделить действительную и мнимую части}.\qquad \end{cases }⎩ 9{2}-3xf(x)=2×2−3x

. Вычислить

f(8−i)f\left(8-i\right)f(8−i)

. Решение

Пример 10. Замена мнимого числа в рациональной функции

Пусть

f(x)=2+xx+3f\left(x\right)=\frac{2+x}{x+3}f (х)=х+32+х​

. Вычислить

f(10i)f\left(10i\right)f(10i)

.

Решение

Замените

x=10ix=10ix=10i

и упростите.

{2+10i10i+3Подставить 10i вместо x.2+10i3+10iПереписать знаменатель в стандартной форме.2+10i3+10i⋅3−10i3−10iПодготовиться к умножению числителя и знаменателя на комплексно-сопряженное число20 знаменателя+6. 30i−100i29−30i+30i−100i2Умножить, используя свойство распределения или метод FOIL. {2}}{9{2}.\qquad \\ \frac{106+10i}{109}\qquad & \text{Simplify}.\qquad \\ \frac{106}{109}+\frac{10}{109}i\ qquad & \text{Разделить действительную и мнимую части}.\qquad \end{cases}⎩

⎨

⎧​10i+32+10i​3+10i2+10i​3+10i2+10i​⋅3−10i3 −10i​9−30i+30i−100i26−20i+30i−100i2​9−30i+30i−100(−1)6−20i+30i−100(−1)​109106+10i​109106​+10910​i Замените x на 10i. Перепишите знаменатель в стандартной форме. Подготовьтесь к умножению числителя и знаменателя на комплексно-сопряженное число знаменателя. Умножьте, используя дистрибутивное свойство или метод FOIL. Подставьте -1 вместо i2. Упростите. .​ 9{19}i19

Каждый из них в конечном итоге приведет к ответу, который мы получили выше, но может потребовать несколько дополнительных шагов, чем наш предыдущий метод.

Лицензии и атрибуты

Лицензионный контент CC, конкретное авторство

• Колледж Алгебра.

  No related posts.