В этом уроке мы кратко рассмотрим, что такое обратная матрица, как найти обратную матрицу $3\times 3$ и формулу обратной матрицы $3\times 3$ матрица. Мы рассмотрим пару примеров и несколько практических задач, которые вы можете попробовать!
Что такое обратная матрица?
В матричной алгебре матрица , обратная , играет ту же роль, что и обратная в системах счисления. Обратная матрица — это матрица, на которую мы можем умножить другую матрицу, чтобы получить 9{– 1} $.
Мультипликативная обратная (обратная) в системе счисления и обратная матрица в матрицах играют одну и ту же роль. Кроме того, единичная матрица ($I$) (в области матриц) играет ту же роль, что и число один ($1$).
Как найти обратную матрицу 3 x 3
Итак, как найти обратную матрицу $ 3 x 3 $?
Чтобы найти обратную матрицу, мы можем использовать формулу, которая требует выполнения нескольких пунктов перед ее использованием.
Чтобы матрица имела обратную , она должна удовлетворять $ 2 $ условиям:
- Матрица должна быть квадратной матрицей (количество строк должно быть равно количеству столбцов).
- Определитель матрицы (это скалярное значение матрицы из нескольких операций над ее элементами) не должен быть $ 0 $.
Помните, что не все квадратные матрицы имеют обратную. Матрица, определитель которой равен $0$, не равна обратимая (не имеет обратной) и известна как сингулярная матрица .
Подробнее о сингулярных матрицах читайте здесь!
Формула обратной матрицы $ 3 \times 3 $ довольно запутанная! Тем не менее, давайте займемся этим !!
Формула обратной матрицы 3 x 3
Рассмотрим матрицу $ 3 \times 3 $, показанную ниже:
$ A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & я \end {bmatrix} $ 9{ – 1 } = \frac{ 1 }{ det ( A ) } \begin{bmatrix} { (ei – fh) } & { – (bi – ch) } & {(bf – ce)} \\ { – ( di- fg) } & { (ai – cg)} & { – (af – cd)} \\ { (dh – eg)} & { – (ah – bg)} & {(ae – bd)} \end {bmatrix} $
Где $ det( A ) $ – определитель матрицы $ 3\times 3 $, заданной как:
$ det(A) = a(ei – fh) – b(di – fg ) + c(dh – например) $
Круто!
Круто!
Но не волнуйтесь, после проработки нескольких вопросов, это придет к вам само собой!
Давайте вычислим обратную матрицу $ 3 \times 3 $ ( Matrix $ C $ ), показанную ниже:
$ C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ { – 1 } & 2 & { – 1 } \end {bmatrix} $
Прежде чем вычислять обратное, мы должны проверить условия $ 2 $, описанные выше.
{ – 1} = \frac{ 1 }{ det( C ) } \begin{bmatrix} { ( ei – fh ) } & { – ( bi – ch ) } & { ( bf – ce ) } \\ { – ( di – fg ) } & { (ai – cg ) } & { – ( af – cd ) } \\ { ( dh – eg ) } & { – (ah – bg ) } & { ( ae – bd ) } \end {bmatrix} $ 9{ – 1 } = \begin{bmatrix} { – \frac{ 6 }{ 8 } } & { \frac{ 4 }{ 8 } } & { – \frac{ 2 }{ 8 } }\\ { \frac{ 2 }{ 8 } } & { 0 } & { \ frac { 2 }{ 8 } } \\ { \ frac { 10 }{8} } & { – \ frac { 4 }{ 8 } } & { – \ frac { 2 }{ 8 } } \end{bmatrix} $
Примечание: Мы умножили скалярную константу $ \frac{ 1 }{ 8 } $ на каждый элемент матрицы. Это скалярное умножение матрицы.
Сократим дроби и запишем окончательный ответ: 9{ – 1 } = \begin{bmatrix} { – \frac{ 3 }{ 4 } } & { \frac{ 1 }{ 2 } } & {- \frac{ 1 }{ 4 } } \\ { \frac{ 1 }{ 4 } } & 0 & { \ frac { 1 }{ 4 } } \\ { \ frac { 5 }{ 4 } } & {- \ frac { 1 }{ 2 } } & {- \ frac { 1 }{ 4 }} \end {bmatrix} $
Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы углубить наше понимание! Пример 1 end{bmatrix} $, найдите $A^{ – 1 }$.
9{ – 1 } = \begin{bmatrix} \frac{ 1 }{ 14 } & – \frac{ 2 }{ 7 } & \frac{ 5 }{ 28 } \\ \frac{ 1 }{ 7 } & -\ frac{ 4 }{ 7 } & -\ frac{ 1 }{ 7 } \\ \frac{ 3 }{ 14 } & \frac{ 1 }{ 7 } & \frac{ 1 }{ 28 } \end {bmatrix} $
Дано $ A= \begin{bmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end {bmatrix} $ и $ B= \ begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & { – 2 } & 2 \end {bmatrix}$, проверьте, является ли матрица $B$ обратной матрице $A$.
Решение
Чтобы матрица $ B $ была обратной матрице $, A $, умножение матриц между этими двумя матрицами должно привести к единичной матрице (единичная матрица $ 3 x 3 $). Если да, то $B$ является инверсией $A$.
Проверим:
$ A\times B= \begin{bmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end {bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 2 \end {bmatrix} $
$ =\begin{bmatrix} { (2)(1) + (2)(0) + (1)(1) } & { (2)(0) + (2)(1) + (1) (-2) } & { (2) (1) + (2) (0) + (1) (2) } \\ { (0) (1) + (1) (0) + (0) (1) ) } & { (0) (0) + (1) (1) + (0) (-2) } & { (0) (1) + (1) (0) + (0) (2) } \ \ { (1) (1) + (2) (0) + (1) (1)} & { (1) (0) + (2) (1) + (1) (-2) } & {( 1)(1) + (2)(0) + (1)(2) } \end {bmatrix} $
$ = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix} $
Это не $ 3 \times 3 $ 9{ – 1 }$ для матрицы $A$, показанной ниже:
$ A = \begin{bmatrix} 1 & – 9 & 1 \\ – 3 & – 1 & 9 \end{bmatrix} $
$ D = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -4 & 1 \end{bmatrix} $
Ответы
- Эта матрица не имеет обратной , потому что определитель этой матрицы равен $ 0 $!
Напомним, что определитель не может быть равен $0$, чтобы матрица имела обратную.
Проверим значение определителя:$ | К | = 0( 2 – 2 ) – 2( – 3 – 3 ) + ( – 1 )( 6 + 6 ) $
$ | К | = 0( 0 ) – 2 ( – 6 ) – 1( 12 ) $
$ | К | = 12 – 12 $
$ | К | = 0 $Поскольку определитель равен $ 0 $, эта матрица будет , а не иметь обратную!
- Если вы внимательно посмотрите на эту матрицу, то увидите, что это , а не квадратная матрица !. Это матрица $ 2 \× 3 $ ($ 2 $ строк и $ 3 $ столбцов). Напомним, что мы не можем найти обратное число , не являющееся квадратом 9.{ – 1 } = \begin{bmatrix} – \frac{ 1 }{ 6 } & 6 & \ frac{ 4 }{ 3 } \\ 0 & 1 & 0 \\ \ frac{ 1 }{ 6 } & – 2 & – \frac{ 1 }{ 3 } \end {bmatrix} $
Проверим значение определителя:код гольф — найти обратную матрицу 3 на 3 в квадратную матрицу:
$$\mathbf{M} = \begin{pmatrix}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{pmatrix}$$ 9T = \begin{pmatrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\end{pmatrix}$$
И \$\det(\mathbf{ M})\$ является определителем \$\mathbf{M}\$:
$$\det(\mathbf{M}) = a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh -eg)$$
Пример сработал
Например, допустим, что ввод 0, -3, -2, 1, -4, -2, -3, 4, 1 .