Функция f принимает два входа, $x$ и $y$, и возвращает одно число, которое мы называем $z$. Если провести координатные оси $x$-$y$-$z$ стандартным образом, ось $z$ представляет высоту, и это ключ к построению графика $f(x,y)$. Если вы выберете точку $(x,y)$ на плоскости $xy$, то $z=f(x,y)$ представляет собой высоту графика в этой точке. Например, вот график простой функции $g(x,y)=1$. Независимо от того, какие значения вы выберете для $x$ и $y$, функция $g$ всегда будет возвращать («высоту») единицу.
Загрузка апплета
Горизонтальная плоскость. График функции $g(x,y)=1$ представляет собой горизонтальную плоскость высотой 1.
Подробнее об апплете.
График функции одной переменной $g(x)$ представляет собой линия с наклоном 1 через начало координат. Можете ли вы представить, что график ее обобщения на две переменные, функция $g(x,y)=x+y$, будет выглядеть? Это будет не линия, а плоскость. Этот график не будет иметь постоянную высоту, равную единице, но вы сможете сделать некоторые наблюдения:
- Если $y=-x$, то $g(x,y)=0$.
- Если $x$ и $y$ оба положительны, то $g(x,y) > 0$.
- Если $x$ и $y$ оба отрицательны, то $g(x,y)
- Если вы зафиксируете $x$ или $y$ и увеличите другую переменную, функция будет увеличиваться с наклоном, равным единице.
Можете ли вы увидеть, правда ли это на графике?
Загрузка апплета
Наклонная плоскость. График функции $g(x,y)=x+y$ представляет собой наклонную плоскость.
Дополнительная информация об апплете.
Обратите внимание на то, что ось $z$ идет от -2 до 2, что означает, что «высота» равна нулю на середине прямоугольника, а не внизу.
Дополнительная информация об апплете.
Можно, конечно, строить графики всевозможных функций. Некоторые из наиболее интересных включают тригонометрические функции, такие как $f(x,y)=\sin(xy)$.
График тригонометрической функции. График $f(x,y)=\sin(xy)$ довольно сложен.
Дополнительная информация об апплете.
Исчисление I – общие графики
Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания
Уведомление для мобильных устройств
Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т.
е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 1.10: Общие графики
Цель этого раздела — убедиться, что вы знакомы с графиками многих основных функций, с которыми вы можете столкнуться в классе исчисления.
Пример 1. График \(\displaystyle y = — \frac{2}{5}x + 3\).
Показать решение
Это линия в форме пересечения склона
\[у = мх + б\]
В этом случае линия имеет точку пересечения \(y\) \(\left(0,b\right)\) и наклон \(m\). Напомним, что наклон можно представить как
\[m = \frac{{{\rm{подъем}}}}{{{\rm{run}}}}\]
Обратите внимание, что если наклон отрицательный, мы склонны думать о подъеме как о падении.
Наклон позволяет нам получить вторую точку на линии. Как только у нас есть точка на линии и наклон, мы двигаемся вправо на
В этом случае мы знаем, что \(\left(0,3\right)\) — это точка на линии, а наклон равен \( — \frac{2}{5}\). Итак, начиная с \(\left(0,3\right)\) мы переместим 5 вправо ( т. е. \(0 \to 5\)) и вниз 2 ( т.е. \(3 \to 1\)) чтобы получить \(\left(5,1\right)\) в качестве второй точки на линии . Когда у нас есть две точки на линии, все, что нам нужно сделать, это нанести две точки и соединить их линией.
Вот эскиз этой линии.
Пример 2. График \(f\left( x \right) = \left| x \right|\).
Показать решение
На самом деле в этой проблеме нет ничего, кроме напоминания о том, что такое абсолютное значение.
Напомним, что функция абсолютного значения определяется как 92} + 2\влево( 1 \вправо) + 3 = 4\конец{выравнивание*}\]
Итак, вершина этой параболы равна \(\left(1,4\right)\).
Мы также можем определить, в каком направлении открывается парабола, по знаку \(a\). Если \(а\) положителен, парабола открывается вверх, а если \(а\) отрицателен, парабола открывается вниз. В нашем случае парабола раскрывается вниз.
Теперь, поскольку вершина находится над осью \(x\) и парабола направлена вниз, мы знаем, что у нас будут пересечения \(x\) ( 92} — 6у + 5\).
Показать решение
Большинство людей выходят из класса алгебры, способного работать с функциями в форме \(y = f(x)\). Однако многие функции, с которыми вам придется иметь дело в классе исчисления, имеют форму \(x = f(y)\), и с ними можно легко работать только в этой форме. Итак, вам нужно привыкнуть работать с функциями в таком виде.
Прелесть таких функций в том, что если вы можете работать с функциями в форме \(y = f(x)\), то вы можете работать и с функциями в форме \(x = f(y)\) даже если вы не так хорошо знакомы с ними. 92} + по + с\]
Это общая форма параболы такого типа, и это будет парабола, открывающаяся влево или вправо в зависимости от знака \(a\). \(y\)-координата вершины задается \(y = — \frac{b}{{2a}}\), и мы находим \(x\)-координату, подставляя ее в уравнение. Итак, вы можете видеть, что это очень похоже на тот тип параболы, с которым вы уже привыкли иметь дело.
Теперь вернемся к примеру. Наша функция представляет собой параболу, которая открывается вправо (\(a\) положительна) и имеет вершину в точке \(\left(-4,3\right)\). Вершина находится слева от оси \(y\) и открывается вправо, поэтому нам понадобятся \(y\)-перехваты ( 92}\]
Когда круги имеют такую форму, мы можем легко определить центр \(\left(h, k\right)\) и радиус \(r\).
{2}}}{92}}} = 1\)
Итак, что все это значит? Во-первых, обратите внимание, что один из членов положительный, а другой отрицательный.
Это определит, в каком направлении открываются две части гиперболы. Если член \(x\) положителен, гипербола открывается влево и вправо. Точно так же, если член \(y\) положителен, парабола раскрывается вверх и вниз.
Оба имеют одинаковый «центр». Обратите внимание, что гиперболы на самом деле не имеют центра в том смысле, что у кругов и эллипсов есть центры. Центр является отправной точкой при построении графика гиперболы. Он говорит нам, как добраться до вершин и как настроить асимптоты.
Асимптоты гиперболы — это две линии, пересекающиеся в центре и имеющие указанные выше наклоны. По мере удаления от центра график будет все ближе и ближе к асимптотам.
9{ — Икс}}\).Показать решение
На самом деле в этой проблеме нет ничего особенного, кроме как убедиться, что обе эти экспоненты где-то изображены на графике.
Они оба будут появляться с некоторой регулярностью в последующих разделах, и потребуется их поведение, когда \(x\) достигает плюс и минус бесконечности, и на этом графике мы можем ясно увидеть это поведение.
3}\).
Показать решение
Опять же, в этом нет ничего особенного, кроме как убедиться, что это было где-то нарисовано, чтобы мы могли сказать, что сделали это.
Пример 12. График \(y = \cos\left( x \right)\).
В этом нет ничего особенного. Вот график для \( — 4\pi \le x \le 4\pi \).
Здесь также отметим, что мы можем положить все значения \(x\) в косинус (что не будет иметь место для большинства триггерных функций), так что доменом будут все действительные числа. Также обратите внимание, что
\[ — 1 \le \cos \left( x \right) \le 1\]
Важно отметить, что косинус никогда не будет больше 1 или меньше -1. Иногда это будет полезно на уроках математического анализа. В целом можно сказать, что
\[ — R \le R\cos \left( {\omega \,x} \right) \le R\]
Пример 13.
График \(y = \sin\left( x \right)\).
Показать решение
Как и в случае с предыдущей задачей, здесь практически нечего делать, кроме как изобразить ее. Вот график для \( — 4\pi \le x \le 4\pi \).
Из этого графика видно, что синус имеет тот же диапазон, что и косинус. В целом
\[ — R \le R\sin \left( {\omega \,x} \right) \le R\]
Как и косинус, сам синус никогда не будет больше 1 и никогда не будет меньше -1. Также областью определения синуса являются все действительные числа.
Пример 14. График \(y = \tan \left( x \right)\).
Показать решение
В случае тангенса мы должны быть осторожны при подстановке \(x\), так как тангенс не существует везде, где косинус равен нулю (помните, что \(\tan x = \frac{{\sin x}} {{\cos х}}\)).
Тангенс не будет существовать на
\[x = \cdots , — \frac{{5\pi}}{2}, — \frac{{3\pi}}{2}, — \frac{\pi }{2},\frac{\ pi }{2},\frac{{3\pi }}{2},\frac{{5\pi }}{2}, \ldots \]
и график будет иметь асимптоты в этих точках. Вот график касательной на диапазоне \( — \frac{{5\pi }}{2} < x < \frac{{5\pi }}{2}\).
Пример 15. График \(y = \sec \left( x \right)\).
Показать решение
Как и в случае с тангенсом, нам придется избегать \(x\), для которых косинус равен нулю (помните, что \(\sec x = \frac{1}{{\cos x}}\)). Секант не будет существовать по адресу
\[x = \cdots , — \frac{{5\pi}}{2}, — \frac{{3\pi}}{2}, — \frac{\pi }{2},\frac{\ pi }{2},\frac{{3\pi }}{2},\frac{{5\pi }}{2}, \ldots \]
9{1}/{}_{\pm 1}=\pm 1\), поэтому мы получаем следующие диапазоны для секущей.