Графики функций y 2 x 2: Построение графика функции онлайн

2 \to \R$ таким же образом. График представляет собой набор точек $(x,y,f(x,y))$ для всех $(x,y)$ в области определения $f$. Когда часто называют это график $z=f(x,y)$, так как мы считаем, что точки лежат в $xyz$-пространство. Вы можете не найти это формальное определение особенно информативным, но мы можем показать, что график $f(x,y)$ является поверхностью.

Функция f принимает два входа, $x$ и $y$, и возвращает одно число, которое мы называем $z$. Если провести координатные оси $x$-$y$-$z$ стандартным образом, ось $z$ представляет высоту, и это ключ к построению графика $f(x,y)$. Если вы выберете точку $(x,y)$ на плоскости $xy$, то $z=f(x,y)$ представляет собой высоту графика в этой точке. Например, вот график простой функции $g(x,y)=1$. Независимо от того, какие значения вы выберете для $x$ и $y$, функция $g$ всегда будет возвращать («высоту») единицу.

Загрузка апплета

Горизонтальная плоскость. График функции $g(x,y)=1$ представляет собой горизонтальную плоскость высотой 1.

Подробнее об апплете.

График функции одной переменной $g(x)$ представляет собой линия с наклоном 1 через начало координат. Можете ли вы представить, что график ее обобщения на две переменные, функция $g(x,y)=x+y$, будет выглядеть? Это будет не линия, а плоскость. Этот график не будет иметь постоянную высоту, равную единице, но вы сможете сделать некоторые наблюдения:

  • Если $y=-x$, то $g(x,y)=0$.
  • Если $x$ и $y$ оба положительны, то $g(x,y) > 0$.
  • Если $x$ и $y$ оба отрицательны, то $g(x,y)
  • Если вы зафиксируете $x$ или $y$ и увеличите другую переменную, функция будет увеличиваться с наклоном, равным единице.

Можете ли вы увидеть, правда ли это на графике?

Загрузка апплета

Наклонная плоскость. График функции $g(x,y)=x+y$ представляет собой наклонную плоскость.

Дополнительная информация об апплете.

Обратите внимание на то, что ось $z$ идет от -2 до 2, что означает, что «высота» равна нулю на середине прямоугольника, а не внизу.

Наклоны плоскости трудно визуализировать, так как ось $z$ масштабируется иначе, чем оси $x$ и $y$. Если мы масштабируем все оси с одинаковым масштабом, мы получаем более точную картина того, насколько крутой самолет. На приведенном ниже графике, если вы посмотрите на любой из краев графика (вдоль которого фиксируется одна из переменных), можно лучше увидеть, что высота (направление $z$) увеличивается с наклоном на единицу. 92$ называется эллиптическим параболоидом.

Дополнительная информация об апплете.

Можно, конечно, строить графики всевозможных функций. Некоторые из наиболее интересных включают тригонометрические функции, такие как $f(x,y)=\sin(xy)$.

График тригонометрической функции. График $f(x,y)=\sin(xy)$ довольно сложен.

Дополнительная информация об апплете.

Исчисление I – общие графики

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Уведомление для мобильных устройств

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1.10: Общие графики

Цель этого раздела — убедиться, что вы знакомы с графиками многих основных функций, с которыми вы можете столкнуться в классе исчисления.

Пример 1. График \(\displaystyle y = — \frac{2}{5}x + 3\).

Показать решение

Это линия в форме пересечения склона

\[у = мх + б\]

В этом случае линия имеет точку пересечения \(y\) \(\left(0,b\right)\) и наклон \(m\). Напомним, что наклон можно представить как

\[m = \frac{{{\rm{подъем}}}}{{{\rm{run}}}}\]

Обратите внимание, что если наклон отрицательный, мы склонны думать о подъеме как о падении.

Наклон позволяет нам получить вторую точку на линии. Как только у нас есть точка на линии и наклон, мы двигаемся вправо на

, пробегаем и вверх/вниз на , поднимаемся на в зависимости от знака. Это будет вторая точка на линии.

В этом случае мы знаем, что \(\left(0,3\right)\) — это точка на линии, а наклон равен \( — \frac{2}{5}\). Итак, начиная с \(\left(0,3\right)\) мы переместим 5 вправо ( т. е. \(0 \to 5\)) и вниз 2 ( т.е. \(3 \to 1\)) чтобы получить \(\left(5,1\right)\) в качестве второй точки на линии . Когда у нас есть две точки на линии, все, что нам нужно сделать, это нанести две точки и соединить их линией.

Вот эскиз этой линии.

Пример 2. График \(f\left( x \right) = \left| x \right|\).

Показать решение

На самом деле в этой проблеме нет ничего, кроме напоминания о том, что такое абсолютное значение. Напомним, что функция абсолютного значения определяется как 92} + 2\влево( 1 \вправо) + 3 = 4\конец{выравнивание*}\]

Итак, вершина этой параболы равна \(\left(1,4\right)\).

Мы также можем определить, в каком направлении открывается парабола, по знаку \(a\). Если \(а\) положителен, парабола открывается вверх, а если \(а\) отрицателен, парабола открывается вниз. В нашем случае парабола раскрывается вниз.

Теперь, поскольку вершина находится над осью \(x\) и парабола направлена ​​вниз, мы знаем, что у нас будут пересечения \(x\) ( 92} — 6у + 5\).

Показать решение

Большинство людей выходят из класса алгебры, способного работать с функциями в форме \(y = f(x)\). Однако многие функции, с которыми вам придется иметь дело в классе исчисления, имеют форму \(x = f(y)\), и с ними можно легко работать только в этой форме. Итак, вам нужно привыкнуть работать с функциями в таком виде.

Прелесть таких функций в том, что если вы можете работать с функциями в форме \(y = f(x)\), то вы можете работать и с функциями в форме \(x = f(y)\) даже если вы не так хорошо знакомы с ними. 92} + по + с\]

Это общая форма параболы такого типа, и это будет парабола, открывающаяся влево или вправо в зависимости от знака \(a\). \(y\)-координата вершины задается \(y = — \frac{b}{{2a}}\), и мы находим \(x\)-координату, подставляя ее в уравнение. Итак, вы можете видеть, что это очень похоже на тот тип параболы, с которым вы уже привыкли иметь дело.

Теперь вернемся к примеру. Наша функция представляет собой параболу, которая открывается вправо (\(a\) положительна) и имеет вершину в точке \(\left(-4,3\right)\). Вершина находится слева от оси \(y\) и открывается вправо, поэтому нам понадобятся \(y\)-перехваты ( 92}\]

Когда круги имеют такую ​​форму, мы можем легко определить центр \(\left(h, k\right)\) и радиус \(r\). {2}}}{92}}} = 1\)       Центр \(\влево(ч, к\вправо)\) \(\влево(ч, к\вправо)\)       Открывается Открывается вправо и влево Открывается вверх и вниз       Вершины \(a\) единиц справа и слева от центра \(b\) единиц вверх и вниз от центра  

    Наклон асимптоты \(\displaystyle \pm \frac{b}{a}\) \(\displaystyle \pm \frac{b}{a}\)

Итак, что все это значит? Во-первых, обратите внимание, что один из членов положительный, а другой отрицательный. Это определит, в каком направлении открываются две части гиперболы. Если член \(x\) положителен, гипербола открывается влево и вправо. Точно так же, если член \(y\) положителен, парабола раскрывается вверх и вниз.

Оба имеют одинаковый «центр». Обратите внимание, что гиперболы на самом деле не имеют центра в том смысле, что у кругов и эллипсов есть центры. Центр является отправной точкой при построении графика гиперболы. Он говорит нам, как добраться до вершин и как настроить асимптоты.

Асимптоты гиперболы — это две линии, пересекающиеся в центре и имеющие указанные выше наклоны. По мере удаления от центра график будет все ближе и ближе к асимптотам.

9{ — Икс}}\).

Показать решение

На самом деле в этой проблеме нет ничего особенного, кроме как убедиться, что обе эти экспоненты где-то изображены на графике.

Они оба будут появляться с некоторой регулярностью в последующих разделах, и потребуется их поведение, когда \(x\) достигает плюс и минус бесконечности, и на этом графике мы можем ясно увидеть это поведение. 3}\).

Показать решение

Опять же, в этом нет ничего особенного, кроме как убедиться, что это было где-то нарисовано, чтобы мы могли сказать, что сделали это.

Пример 12. График \(y = \cos\left( x \right)\).

Показать решение

В этом нет ничего особенного. Вот график для \( — 4\pi \le x \le 4\pi \).

Здесь также отметим, что мы можем положить все значения \(x\) в косинус (что не будет иметь место для большинства триггерных функций), так что доменом будут все действительные числа. Также обратите внимание, что

\[ — 1 \le \cos \left( x \right) \le 1\]

Важно отметить, что косинус никогда не будет больше 1 или меньше -1. Иногда это будет полезно на уроках математического анализа. В целом можно сказать, что

\[ — R \le R\cos \left( {\omega \,x} \right) \le R\]

Пример 13. График \(y = \sin\left( x \right)\).

Показать решение

Как и в случае с предыдущей задачей, здесь практически нечего делать, кроме как изобразить ее. Вот график для \( — 4\pi \le x \le 4\pi \).

Из этого графика видно, что синус имеет тот же диапазон, что и косинус. В целом

\[ — R \le R\sin \left( {\omega \,x} \right) \le R\]

Как и косинус, сам синус никогда не будет больше 1 и никогда не будет меньше -1. Также областью определения синуса являются все действительные числа.

Пример 14. График \(y = \tan \left( x \right)\).

Показать решение

В случае тангенса мы должны быть осторожны при подстановке \(x\), так как тангенс не существует везде, где косинус равен нулю (помните, что \(\tan x = \frac{{\sin x}} {{\cos х}}\)). Тангенс не будет существовать на

\[x = \cdots , — \frac{{5\pi}}{2}, — \frac{{3\pi}}{2}, — \frac{\pi }{2},\frac{\ pi }{2},\frac{{3\pi }}{2},\frac{{5\pi }}{2}, \ldots \]

и график будет иметь асимптоты в этих точках. Вот график касательной на диапазоне \( — \frac{{5\pi }}{2} < x < \frac{{5\pi }}{2}\).

Пример 15. График \(y = \sec \left( x \right)\).

Показать решение

Как и в случае с тангенсом, нам придется избегать \(x\), для которых косинус равен нулю (помните, что \(\sec x = \frac{1}{{\cos x}}\)). Секант не будет существовать по адресу

\[x = \cdots , — \frac{{5\pi}}{2}, — \frac{{3\pi}}{2}, — \frac{\pi }{2},\frac{\ pi }{2},\frac{{3\pi }}{2},\frac{{5\pi }}{2}, \ldots \] 9{1}/{}_{\pm 1}=\pm 1\), поэтому мы получаем следующие диапазоны для секущей.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *