Примеры решения сложных интегралов с ответами
Алгоритм решения сложных интеграловСложными являются интегралы, которые нельзя вычислить, используя таблицу интегралов.
Сложные интегралы вычисляются методом введения дополнительной переменной. Этот приём позволяет преобразовать подынтегральную функцию к виду, характерному для табличных интегралов.
При вычислении сложных интегралов также применяются свойства интеграла и таблица основных интегралов.
– постоянная величина
Примеры решений сложных интегралов
Пример 1
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи подстановки
Решение
Найдём dx:
Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки :
Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:
Перейдём к переменной , для этого из подстановки выразим через :
В итоге получим:
Преобразуем полученный результат с учётом, что
Считая, что , получим
Индекс можно обозначить через
Окончательно, получим:
Ответ
Пример 2
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи подстановки
Решение
Найдём dx:
Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки :
Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:
Перейдём к переменной , для этого из подстановки выразим через :
В итоге получим:
Ответ
Пример 3
Задача
Вычислить интеграл от дроби:
Решение
Ответ
Пример 4
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи тригонометрической подстановки
Решение
Найдём dx:
Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки :
Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:
Интеграл вида относится к табличным и равен:
Поэтому:
Перейдём к переменной , для этого из подстановки выразим через :
В итоге получим:
Ответ
Пример 5
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи тригонометрической подстановки
Решение
Найдём dx:
Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки :
Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:
Интеграл вида относится к табличным и равен:
Поэтому:
Перейдём к переменной , для этого из подстановки выразим через :
В итоге получим:
Ответ
Пример 6
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи подстановки
Решение
Найдём dx:
Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки :
Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:
Перейдём к переменной , для этого из подстановки выразим через :
В итоге получим:
Т.
к. , то
Ответ
Пример 7
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи подстановки
Решение
Найдём dx:
Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки :
=
Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:
=
Перейдём к от к переменной :
Ответ
Пример 8
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи подстановки
Решение
Выразим подынтегральную функцию через переменную :
Разделим обе части равенства на :
В правой части равенства заменим на :
Переходя к переменной , получаем:
Ответ
Пример 9
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи подстановки
Решение
Выразим подынтегральную функцию через переменную :
Переходя к переменной , и учитывая, что получаем:
Ответ
Пример 10
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи подстановки
Решение
Выразим подынтегральную функцию через переменную :
Переходя к переменной , и учитывая, что получаем:
Ответ
Средняя оценка 4 / 5.
Количество оценок: 4
Поставьте вашу оценку
Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!
Позвольте нам стать лучше!
Расскажите, как нам стать лучше?
10838
Закажите помощь с работой
Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке
Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке
Приемы взятия сложных интегралов – Dmitri Nesteruk
Интегралы, что может быть веселее? Ну, возможно не для всех, но все же, я уже давно ничего не постил такого сугубо математического, так что попробую. Этот пост – про то как брать «сложные» интегралы. Этот пост подразумевает что читатель учился таки в школе и знает тривиальные подходы (например, интегрирование по частям). В посте мы будем обсуждать только интегралы Римана, а не интегралы Лебега-Стилтьеса, Ито, Скорохода и так далее (хотя я бы с удовольствием, чесслово).
Весь этот пост — маленькая выборка рецептов или «паттернов» которые можно взять в копилку и потом применять.
Пост рекомендуется читать на high-DPI дисплее дабы предотвратить глазное кровотечение. Я предупредил.
Переход к полярным координатам
Начнем с немного избитого метода — перехода к полярным координатам. Примечательно, что переход к полярным координатам можно применять даже там где, казалось бы, речь о декартовых координатах не идет вообще. Например, неопределенный интеграл Гаусса не имеет аналитического решения, а вот определенный интеграл .
Доказать это можно вот как: сначала, чтобы применить преобразование координат, мы вводим две переменные интегрирования и так что
Декартовы координаты можно выразить через полярные вот так:
Интегрирование от до в декартовой системе координат — это то же, что интегрирование от до и от до .
В результате получим следующее:
Этот же подход может применять и в 3-х измерениях с использованим сферических координат .
Геометрические интерпретации
Вообще, «скатывание в геометрию» порой приносит плоды.
Вот например допустим вам надо посчитать
Уверен, многие из вас знают что у этого интеграла есть аналитическое решение , поэтому посчитать определенный интеграл не составляет труда. Но на самом деле, этот интеграл можно посчитать даже без этого знания.
Представьте круг с радиусом с центром . Длина дуги этого круга с центральным углом равна , а если круг единичный – то просто . Тогда
где — это произвольная переменная интегрирования.
При таком раскладе, подынтегральное выражение равно , но мы можем его усложнить, например
Далее, делаем подстановку
Тем самым, получаем
Допустим что . Тогда , а поскольку отмеряет нам ровно четверть круга (длина всего единичного круга ), мы моментально получаем результат
По аналогии с этим результатом можно получить и другие, разбивая круг на разное количество отрезков, например
и так далее.
Разбиение диапазона интегрирования
Допустим вам надо посчитать
Для взятия этого интеграла, разобъем диапазон интегрирования на два, т.к. .
Займемся сначала первым интегралом, т.е. . Сделаем подстановку . Получим
То есть внезапно оказалось, что поставленная переменная выполняет такую же функцию что и . Другими словами, а это значит что мы автоматически получаем значение искомого интеграла:
Разбиениe на четное и нечетное
Вот нужно вам например посчитать
Давайте сделаем несколько замен:
Теперь нам нужно посчитать , и вот тут начинается самое интересное. Мы переписываем как сумму четной и нечетной функции:
Многие спросят «а так вообще можно?» — на самом деле да, и вот почему. Возьмите и воткните в определение выше вместо . Вы получите
благодаря свойствам четности и нечетности функций.
Следовательно, мы можем выразить четную и нечетную сторону функции как
и
Так-то. Соответственно, наш интеграл можно переписать как
Как видно выше, нечетная функция пропала полностью, осталась только четная сторона, т.к.
Ладно, вам уже наверное надоело ждать сути этого примера. Так вот, у нас есть формула , дайвате воткнем в эту формулу . Мы получим
Но мы-то знаем, что — четная функция, поэтому можно переписать как
Это какое-то месиво и непонятно что с ним делать. Но с другой стороны посмотрите, у нас в формуле присутствует . Давайте вспомним, что и мы получим
Ну вот и всё — наша страшная дробь выше уже совсем не страшная т.к. числитель и знаменатель равны, а это значит что
а сам интеграл теперь легко посчитать:
Хотите ещё?
Я на самом деле понял, что по объему для одного поста вполне достаточно.
Сорри если что написал не так — я по-русски прочитал ровно нуль математических книг (чего и вам советую), так что терминология может страдать.
Существует еще вагон разных трюков, так что, если интересно, советую глянуть соответствующую литературу. Удачи! ■
Rate this:
Like this:
Like Loading…
можем ли мы использовать бессрочную интеграцию на $1/z$ (комплекс)
спросил
Изменено 4 года, 1 месяц назад
Просмотрено 260 раз
$\begingroup$
Я как раз изучаю на своем курсе в колледже интегральную теорему Коши. Мы узнали, что $\oint_c \frac{dz}{z} = 2\pi i$, где c — единичная окружность, ориентированная против часовой стрелки. Мне интересно, что произойдет, если это не замкнутый цикл.
{it}}$ и это оценивается как $\frac{\pi}{2} i$
Я понимаю, что есть что-то вроде разрыва графика ln(z) на линии вдоль вещественной оси, идущей слева от начала координат. По существу, значения ln(z). По существу, ln(z) прыгает на $-2\pi i$, когда пересекает эту ось в направлении против часовой стрелки.
Есть ли сингулярность вдоль всей линии действительной оси, начинающейся в начале координат и движущейся влево? Или я не понимаю условия неопределенного интегрирования по отношению к функции 1/z?
- комплексно-интеграционный
$\endgroup$
2
$\begingroup$
$\ln(z)$ не имеет разрыва. Однако он многозначен, поэтому, если вы хотите сделать из него настоящую функцию в какой-либо области, вам нужно выбрать одно из множества возможных значений для каждой точки. Это не может быть выполнено непрерывным образом на всей комплексной плоскости, поэтому стандартная «максимальная область» для использования — это комплексная плоскость за вычетом неположительных действительных чисел (это называется «разрезом ответвления»).
Вас особенно интересует домен, который пересекает неположительные действительные числа, поэтому вы должны рассматривать его как подмножество некоторого другого «максимального» домена.
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя адрес электронной почты и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почтаТребуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
Вычисление неопределенного интеграла с помощью комплексного анализа
спросил
Изменено 6 лет, 7 месяцев назад
Просмотрено 1к раз
