Как найти последовательность чисел: определения, формулы и примеры решения

виды числовых последовательностей и примеры 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

Тема 9.

Последовательности.

Давай выпишем натуральные четные числа 2, 4, 6 ,8, ….

Очевидно, что следующее число равно 10, далее 12, на десятом месте будет 20, на сотом – 200 и т.д. То есть для любого натурального числа n можем указать соответствующее ему положительное четное число, равное 2n Рассмотрим еще одну последовательность, выпишем положительные дроби, числитель которых на единицу меньше знаменателя:

12;23;34;45…

То есть для каждого натурального числа n можно указать соответствующую ему дробь: nn+1. Значит, на шестом месте будет дробь 67, на двадцатом — 2021, на сотом — 100101 и т.д.

Числа, которые образуют последовательность называют членами данной последовательности.

Число, которое стоит на первом месте – первый член, на втором – второй член и т. д.

Члены последовательности обозначают a₁, a₂, a₃ …

Член, номер которого n, обозначают a _{и называют n-ым членом последовательности.}

Саму последовательность обозначают: an или cn.

Последовательности бывают конечными и бесконечными.

Все предыдущие последовательности, которые мы рассмотрели – бесконечные, а, например, последовательность нечетных двузначных чисел: 11, 13, 15, … 99 – это конечная последовательность.

Любую последовательность можно задать числами или формулой. Например, положительных четных чисел можно задать формулой a_n = 2n, а последовательность положительных нечетных чисел можно задать a_n = 2n + 1.

Рассмотрим последовательность, которая задана формулой c_n = 5n — n

². Найдем первые пять членов этой последовательности:

c1=5∙1-12=4

c2=5∙2-22=6

c3=5∙3-32=6

c4=5∙4-42=4

c5=5∙5-52=0

4; 6; 6; 4; 0; …

Пусть следующая последовательность задана формулой: x_n = (-1)ⁿ ∙ 5, тогда все члены последовательности с четными номерами будут равны 5, а с нечетными номерами будут равны (-5). То есть последовательность будет выглядеть так -5; 5; -5; 5;…

Рассмотрим еще одну последовательность, первый член которой равен 3, а каждый следующий член равен квадрату предыдущего, то есть

a1=3,an+1=an2

Найдем несколько членов этой последовательности:

a2=32=9

a3=92=81

a4=812=6561

Пусть следующая последовательность задана формулой bn=n2-n. Найдем пятый и одиннадцатый члены этой последовательности. Получим:

b5=52-5=25-5=20

b11=112-11=121-11=110.

Видно, что мы можем найти любой член последовательности по заданной формуле.

Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько), называют рекуррентной.

Выпишем последовательность натуральных чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 2 и запишем рекуррентную формулу этой последовательности. Получим:

5; 8; 11; 14;…

То есть an=3n+2

Пусть задана последовательность cn=n2+2n. Число 168 является членом данной последовательности. Необходимо найти номер данного члена?

Итак, cn=168=n2+2n.

Решим уравнение:

n2+2n=168

n2+2n-168=0

n1=-14,n2=12

Так как n – это порядковый номер члена последовательности, то он может быть только натуральным числом, значит, n = 12. Следовательно, число 168 – это двенадцатый член нашей последовательности.

a12=168.

Поиск последовательности чисел в списке MS EXCEL

history 24 октября 2021 г.

Группы статей
• Последовательности Чисел

file_download Файл примера

Пусть дана некая числовая последовательность, значения которой содержатся в отдельной строке или столбце. Будем искать в столбце с данными повтор такой последовательности.

На картинке выше Искомая последовательность размещена в строке 7 и выделена зеленым (шесть чисел). Поиск производится в столбце В, начиная с ячейки В11. На картинке показана найденная последовательность, которая также выделена зеленым для наглядности.

Найти последовательность можно разными способами, в статье приведено их 2. 

Примечание: Приведенные в статье формулы будут работать во всех версиях MS EXCEL — EXCEL 365, Excel 2021/2019/2016/2013/2010/2007 и Excel 97–2003.

В 11-й строке (с этой строки начинается список) выведем первые 10 значений из списка. Это можно сделать формулой массиваТРАНСП() или простыми формулами.  

Совет: О транспонировании строк подробно написано в этом разделе https://excel2.ru/gruppy-statey/transponirovanie. В этих статьях показано как можно транспонировать диапазоны и без формул массива.

Чтобы ввести функцию ТРАНСП()

• выделите диапазон ячеек С11:L11,
• затем в Строке формул введите =ТРАНСП(B11:B20),
• нажмите CTRL+SHIFT+ENTER. 

После копирования указанных ячеек вниз (также нужно сначала выделить диапазон С11:L11 и протянуть вниз с помощью Маркера заполнения. В итоге будет сформирован массив чисел как на рисунке выше. В строке 12 будут размещены значения из списка, начиная со второго, в строке 13, начиная с третьего и т.д.

Теперь займемся построчным сравнением. В способе 1 это реализовано замысловатой формулой =НЕ(СУММПРОИЗВ(—(СМЕЩ(C11;;;;$A$8)<>СМЕЩ($C$8;;;;$A$8)))) в столбце N.

Разберем подробнее. Так как длина исходной последовательности может быть произвольной, то нам нужно «вырезать» из диапазона С8:L8 только те ячейки, которые содержат значения последовательности, а не пустые ячейки. Это сделано формулой СМЕЩ($C$8;;;;$A$8), где в А8 содержится длина последовательности. О функции СМЕЩ() читайте здесь.

Аналогично формируется диапазон для сравнения СМЕЩ(C11;;;;$A$8). Обратите внимание на отсутствие знаков $ абсолютной адресации. Т.к. этот диапазон должен изменяться при копировании формулы вниз (в отличие от первого диапазона).

Идем дальше — посмотрим на выражение (СМЕЩ(C11;;;;$A$8)<>СМЕЩ($C$8;;;;$A$8)). Для первого сравнения (строка 11 и исходная последовательность) это выражение даст {ИСТИНА;ИСТИНА;ИСТИНА;ИСТИНА;ИСТИНА;ИСТИНА}, т.е. ни одно из значений не совпало (этот массив можно получить выделив в Строке формул это выражение и нажать F9). Оно и понятно, исходная последовательность 5; 6; 11; 6; 8; 1 ничего не имеет общего со значениями 11-й строки 1; 2; 34; 5; 6; 11 (если сравнивать поэлементно).

Совсем другое дело, если сравнивать со строкой 14. Выражение вернет {ЛОЖЬ;ЛОЖЬ;ЛОЖЬ;ЛОЖЬ;ЛОЖЬ;ЛОЖЬ}, что означает, что первый элемент исходной последовательности (5) равен значению из ячейки С14, второй (6) равно значению из ячейки D14, и т. д.

Затем подвергаем полученный массив преобразованию с помощью двойной смены знака (—), при этом ЛОЖЬ будет переведена в число 0, а ИСТИНА — в 1 (так устроен EXCEL: он хранит ИСТИНА как 1, а ЛОЖЬ как 0). Вместо двукратного умножения на -1, можно было прибавить 0 или возвести в степень 1. Любое математическое действие со значениями логического типа данных будет преобразовывать их в число 0 или 1.

Функция СУММПРОИЗВ() просто сложит все 0 или 1. В результате получим 0 только если все значения попарно равны между собой. Можно вместо СУММПРОИЗВ() использовать функцию СУММ(), но тогда нам пришлось бы вводить ее как формулу массива.

Наконец, функция НЕ() переводит числовые значения в логический тип данных, изменяя на противоположное значение: 0 — будет переведен в ИСТИНА, а любое другое число в ЛОЖЬ. Можно обойтись и без этой функции, тогда будет выведено число от 0 (все значения совпали) до 6 (ни одно не совпало). 

Формула в ячейке N8 =ПОИСКПОЗ(ИСТИНА;N11:N55;0) вернет номер позиции первой ячейки со значением ИСТИНА (их может быть несколько, об этом ниже). Начиная с этой позиции списка будет располагаться искомая последовательность. Ее можно выделить условным форматированием.

Чтобы настроить Условное форматирование нам потребуется написать простое правило =И($A11>=$N$8;$A11<$N$8+$A$8).

Вариантов написания формулы для поиска последовательности множество, например, формула =(СУММПРОИЗВ(—(СМЕЩ(C11;;;;$A$8)=СМЕЩ($C$8;;;;$A$8))))=$A$8, которая вернет ИСТИНА в тех же строках, что и предыдущая формула.

На листе «все найденные» приведен поиск сразу всех вхождений последовательности.

Для реализации этого решения добавлено несколько формул:

• используйте формулу =СУММПРОИЗВ(—N11:N55) чтобы найти общее количество исходных последовательностей в списке (ячейка О6)
• формулы в столбце О: =СЧЁТЕСЛИ($N$11:N11;ИСТИНА), будут показывать сколько последовательностей найдено в строках выше.
• в ячейке О7 (серая ячейка) для удобства сформирован выпадающий список, это реализовано формулой =СМЕЩ($A$11;;;$O$6). Если, например, найдено 3 совпадения, то будет сформирован список 1; 2; 3. Выбирая нужный повтор в списке будут подсвечены соответствующие найденные последовательности.
• если кому не удобно пользоваться выпадающим списком можно нажимать на элемент управления Счетчик.

В этой статье разжеваны все формулы, если и теперь не все понятно, то нужно почитать статьи на нашем сайте excel2.ru, на которые ведут ссылки в этой статье.

На листе Вариант2 приведено другое решение этой задачи (подсвечивается только первая найденная последовательность).

В этом варианте нет формулы массива ТРАНСП(). Исходный список многократно повторяется начиная со строки 14 и ниже (при этом последовательно отбрасывается первое значение из предыдущей строки и производится смещение всего списка на 1 позицию влево). Такой подход позволяет сравнивать исходный список (столбец D с зелеными ячейками) со столбцами значений, вырезанными из исходного списка.

При увеличении длины исходного списка соответственно растет количество столбцов в этих строках. При большой длине списка это не удобно.

Количество совпавших значений выводится в строке 11. Если это число совпадений равно длине искомой последовательности, то это значение подсвечивается красным. Найденная позиция отображается в строке 13.

Вариантов решения этой задачи множество, поэтому если будете решать самостоятельно, то наверняка придете к другому варианту решения.

4.5: Как кодировать последовательность чисел

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

9704

• Кристофер Лири и Ларс Кристиансен
• SUNY Geneseo и Университет Осло через OpenSUNY 91 = 10\), поэтому 10 должно быть кодовым числом. Но ваша идея о кодировании объектов как экспонент действительно была хорошей, и мы можем сохранить ее, если просто согласимся с тем, что всякий раз, когда мы хотим закодировать конечную последовательность чисел \(a_1, a_2, \ldots, a_k\), мы будем использовать показатели степени \(a_1 + 1, a_2 + 1, \ldots, a_k + 1\), которые заботятся об этих надоедливых нулях. Кроме того, при декодировании мы автоматически вычтем единицу из каждого показателя степени, так что вам никогда не придется об этом думать. (Эй, вот почему нам, авторам, платят большие деньги!)

  Идея состоит в том, что последовательность \(k\) натуральных чисел должна быть закодирована произведением первых \(k\) простых чисел, возведенных в ненулевые степени. Таким образом, пустая последовательность будет, естественно, закодирована произведением первых 0 простых чисел, возведенных в некоторую степень. Другими словами, кодом пустой последовательности будет число 1. Сделаем это более формальным:

  .

  Определение 4.

  \text{th}\) простое число для \(k \geq 1\). Таким образом, \(p \left( 0 \right) = 1\), \(p \left( 1 \right) = 2\), \(p \left( 2 \right) = 3\) и так далее. Мы часто будем писать \(p_i\) вместо \(p \left( i \right)\). 9\text{th}\) простое число.

  Мы будем писать \(\langle a_1, a_2, \ldots, a_k \rangle\), а не \(\langle \left( a_1, a_2, \ldots, a_k \right) \rangle\).

  Было бы бессмысленно кодировать последовательности, не имея возможности их декодировать, и следующие функции, которые мы определим, позволят нам это сделать. Но прежде чем добраться до этого, нам нужно признать, что мы будем зависеть от Фундаментальной теоремы арифметики, которая утверждает, что каждое положительное целое число, большее единицы, может быть выражено ровно одним способом (с точностью до порядка) как произведение простых чисел. Доказательство этой теоремы (впервые доказанное Евклидом) нетривиально и выходит за рамки этой книги, но, безусловно, заслуживает внимания. Но мы с радостью вспомним, что теорема верна, и будем свободно ею пользоваться.

  Есть, однако, неприятная деталь, с которой нам нужно разобраться, и мы могли бы разобраться с ней сейчас.

  Наши функции декодирования должны быть тотальными функциями, под которыми мы подразумеваем, что каждая из функций будет иметь область определения \(\mathbb{N}\). Но множество натуральных чисел — это не код последовательностей, и нам нужно выяснить, как обращаться с такими числами. Чтобы сделать определения разумными и избавить нас от дальнейших трудностей позже, мы начнем с определения набора чисел, которые являются кодами. 9{< \mathbb{N}} \right) a = \langle s \rangle \}\). Будем называть \(С\) набор из кодовых чисел.

  Обратите внимание, что легко проверить, является ли \(a \in C\). Все, что нам нужно сделать, это разложить \(a\) и посмотреть, является ли \(a = 1\) или \(a\) произведением первых нескольких простых чисел.

  Теперь мы можем заняться расшифровкой:

  Определение 4.5.5.

  Функция \(| \cdot | : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\) определяется как

  \[| а | = \begin{case} \begin{array}{ll} k & \text{if} \: a \in C \: \text{and} \: a = \langle a_1, a_2, \ldots, a_k \rangle \\ 0 & \text{иначе} \end{массив} \end{случаи}\]

  Если \(a\) является кодовым числом, мы будем говорить, что \(| a |\) является -й длиной \(a\) . {a_k + 1}\), то \ (| а | = 0\). Но мы не будем говорить о длине такого числа.

  Обратите внимание на разницу между \(| a |\) и \(| \langle a \rangle |\). См. упражнение 2.

  Определение 4.5.6.

  Для каждого \(i \in \mathbb{N}\) с \(i \geq 1\) пусть \(\left( \cdot \right)_i\) будет функция с областью определения \(\mathbb{ N}\) и кодовый домен \(\mathbb{N}\), определенный как

  \[\left( a \right)_i = \begin{cases} \begin{array}{ll} a_i & \text{if} \: a \in C \: \text{and} \: a = \langle a_1, a_2, \ldots, a_k \rangle \: \text{and} \: 1 \leq i \leq k \\ 0 & \ текст{иначе} \end{массив} \end{cases}\]

  Скептически настроенный (и зоркий) читатель заметит здесь еще одну маленькую деталь. Рассмотрим число \(а = 10\). Мы договорились, что 10 не кодирует последовательность, и, таким образом, определение 4.5.5 говорит нам, что \(| 10 | = 0\). Однако, если мы воспользуемся нашей функцией декодирования, которую мы только что определили, возможно, ищем седьмой член последовательности, и подставим входные данные 10, мы найдем \(\left( 10 \right)_7 = 0\). Это немного раздражает, так как случайный наблюдатель может подумать, что 10 должен кодировать последовательность длины 0, но помимо раздражения авторов, этот побочный эффект нас совершенно не обеспокоит. 9\хмуриться 73500 = 0\).

  Введенные выше функции позволяют кодировать конечные последовательности и, по заданному кодовому числу \(a\), декодировать их. Другими словами, если \(a \in C\) и \(a = \langle a_1, \ldots, a_k \rangle\), то для каждого \i\), такого что \(1 \leq i \leq | a |\), \(\left( a \right)_i = a_i\).

  На данный момент мы создали все необходимые нам кодирующие устройства. Независимо от того, приближаемся ли мы к неполноте с помощью формул или вычислений, мы сможем кодировать и декодировать объекты и последовательности объектов. Мы построили инфраструктуру. В главах 5 и 6 мы будем применять кодирование к формулам, а в главе 7 мы используем кодирование для вычислений. Оба пути ведут нас к неполноте. 9\нахмуриться 42\)

• Найдите число \(a\) такое, что \(| a | \neq | \langle a \rangle |\) или докажите, что такого \(a\) не существует. Затем найдите число \(b\) такое, что \(| b | = | \langle b \rangle |\), или докажите, что такого \(b\) не существует.

---

Эта страница под названием 4.5: Как закодировать последовательность чисел распространяется по лицензии CC BY-NC-SA 4.0, автором, ремиксом и/или куратором выступили Кристофер Лири и Ларс Кристиансен (OpenSUNY) с использованием исходного контента, который был отредактировано в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх
• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Кристофер Лири и Ларс Кристиансен

   Лицензия

   СС BY-NC-SA

   Версия лицензии

   4,0

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   1. source@https://milneopentextbooks. org/a-friendly-introduction-to-mathematical-logic

рекурсия — Найти формулу для последовательности чисел

спросил 10 лет, 1 месяц назад

Изменено 2 года, 10 месяцев назад

Просмотрено 19 тысяч раз

$\begingroup$

Последовательность начинается с $n=1$: $\{1, 4, 13, 40, 121, 364… \}$.

Найдите явную формулу, которая генерирует эти числа.

Большое спасибо!

• последовательности и серии
• рекурсия

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Хорошей техникой для решения таких задач является вычисление различий между последовательными терминами.

No related posts.