Примеры на пределы функций
Продолжаем изучать правила раскрытия неопределенностей в пределах. Сегодня рассмотрим 5 примеров и проанализируем ход вычислений.
Пример 6. Вычислить предел последовательности:
Решение: При подстановке бесконечности получим неопределенность вида бесконечность поделить на бесконечность (∞/∞).
Раскрыть особенность возможно двумя способами: по правилу Лопиталя или выделением множителей, которые вносят наибольший вклад в числителе и знаменателе дроби.
По правилу Лопиталя получим
По второй методике предел последовательности равен
Значения совпадают, как первая схема так и вторая не тяжелые для применения.
Однако часто в одних задачах требуют вычислить предел последовательности по правилу Лопиталя.
В других наоборот – не используя правило Лопиталя найти предел.
Пример 7. Вычислить предел последовательности:
Решение: Имеем разницу двух корней, которые при подстановке переменной дают особенность вида бесконечность минус бесконечность (∞-∞).
Для устранения особенности умножим и разделим корневую зависимость на сопряженное выражение (сумму корней). В результате придем к разности квадратов в числителе.
Повторная подстановка дает особенность вида бесконечность разделить на бесконечность.
Чтобы избавиться от особенности выделяем доминантные множители в числителе и знаменателе и оцениваем, что в итоге перевешивает (доминирует).
Получили, что в числителе старший степень чем в знаменателе, поэтому предел стремится к бесконечности. Но важно еще выяснить к плюс бесконечности или к минус бесконечности. Для этого следует проанализировать вклад слагаемых в скобках.
Пример 8. Найти предел функции:
Решение: При подстановке единицы получаем особенность вида ноль разделить на ноль {0/0}.
Для ее раскрытия разницу корней в числителе умножим на сумму корней, чтобы избавиться от иррациональности. На ту же сумму корней следует умножить знаменатель, чтобы манипуляциями не изменить значение предела.
Далее анализируем знаменатель – он содержит полином, который в свою очередь имеет в разложении множитель (x-1) (как особенность).
Разложим полином на простые множители и заменим ими соответствующую часть дроби.
Далее упрощаем числитель и знаменатель на общий множитель (x-1), и методом подстановки находим предел функции, что осталась.
Пример 9. Найти предел функции:
Решение: В заданиях, где переменная стремится к нулю и имеем дробь, содержащий логарифмы или тригонометрические функции следует искать возможность получить первую замечательный предел, следствия второго и первого лимита или сочетание обоих вариантов. Этот пример сочетает все возможное, что может Вас ждать на практике.
Простая подстановка показывает, что имеем лимит с неопределенностью вида {0/0}. Для устранения неопределенности и возведения сперва логарифма к виду ln(1+y)/y, делим и умножаем на sin(3x). Чтобы этот же синус в числителе свести под некую формулу, разделим и умножим на (3x).
∞. А это означает, что имеем дело со вторым замечательным пределом.
Для устранения особенности в скобках и показателе выделим выражения, содержащие (x-1). После этого делаем замену переменных, t=x-1, при этом новая переменная стремится к нулю. Далее в показателе выделяем множитель, который является обратно пропорциональным к слагаемому в дужках (1/4t), это даст нам экспоненту.
Все, что останется множителем в показателе даст степень экспоненты в предельном переходе (12).
Хорошо проанализируйте приведенный пример, он на самом деле не такой тяжелый, если внимательно разобраться.
В новых публикациях Вы получите ответы на другие вопросы, которые могли у Вас возникнуть в связи с тем, что рассмотрено всего 5 примеров.
Математика: Справ. материалы
Математика: Справ. материалы
ОглавлениеГЛАВА I. ЧИСЛА3. Деление с остатком. 4. Признаки делимости. 5. Разложение натурального числа на простые множители. 6. Наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел. 8. Употребление букв в алгебре. Переменные. § 2. Рациональные числа 11. Приведение дробей к общему знаменателю. 12. Арифметические действия над обыкновенными дробями. 13. Десятичные дроби. 14. Арифметические действия над десятичными дробями. 15. Проценты. 16. Обращение обыкновенной дроби в бесконечную десятичную периодическую дробь.  17. Обращение бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь. 18. Координатная прямая. 19. Множество рациональных чисел. § 3. Действительные числа § 4. Комплексные числа ГЛАВА II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 6. Целые рациональные выражения 52. Многочлены. Приведение многочленов к стандартному виду. § 7. Дробные рациональные выражения Глава III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ § 9. Свойства функций § 10. Виды функций 95. Обратная функция. График обратной функции. 96. Логарифмическая функция. 96. Определение тригонометрических функций. § 11. Преобразования графиков ГЛАВА IV. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 12. Преобразование выражений, содержащих переменную под знаком логарифма § 13. Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений ГЛАВА V. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ § 14. Уравнения с одной переменной § 15. Уравнения с двумя переменными § 16. Системы уравнений Глава VI.  НЕРАВЕНСТВА§ 17. Решение неравенств с переменной § 18. Доказательство неравенств ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 19. Числовые последовательности § 20. Предел функции § 21. Производная и ее применения § 22. Первообразная и интеграл ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ § 2. Основные свойства простейших геометрических фигур § 3. Геометрические построения на плоскости § 4. Четырехугольники § 5. Многоугольники § 6. Решение треугольников 34. Теорема косинусов. Теорема синусов. § 7. Площади плоских фигур 38. Площади подобных фигур. ГЛАВА II. Прямые и плоскости в пространстве § 8. Аксиомы стереометрии и некоторые следствия из них § 9. Параллельность прямых и плоскостей § 10. Перпендикулярность прямых и плоскостей 45. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. ГЛАВА III. ТЕЛА В ПРОСТРАНСТВЕ § 11. Многогранники § 12. Тела вращения § 13. Изображение пространственных фигур на плоскости § 14.  Объемы тел§ 15. Площади поверхностей тел ГЛАВА IV. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ § 16. Координаты на плоскости и в пространстве § 17. Уравнения фигур на плоскости § 18. Уравнения фигур в пространстве ГЛАВА V. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР § 19. Движение § 20. Подобие фигур ГЛАВА VI. ВЕКТОРЫ § 21. Введение понятия вектора § 22. Операции над векторами ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И СООТНОШЕНИЯ I. Основные законы алгебры ГЕОМЕТРИЯ |
А., Мордкович А. Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся.— 2-е изд.— М.: Просвещение, 1990.— 416 с.
Предел Y
Предел Y| ДА ПРЕДЕЛ |
ДА ПРЕДЕЛ :
Те из вас, кто изучает дифференциальное исчисление, уже встречались с пределами , и вы, вероятно, нацарапали пару бороздок на голове, пытаясь понять, что же означает предел. Ну, в названии все сказано.
Когда мы оцениваем предел, такой как предел, поскольку x приближается к a для f ( x ), мы ищем y
И, конечно, с F ( x ) — это всего лишь псевдоним для Y , когда мы находим предел как x . для , мы расследуем что происходит с y -значение на кривой в точке, где x приближается к 2. Рабочее слово здесь приближается к !!Поскольку деление на 0 в нашей системе счисления не определено, и
когда x = -2 , значение 2 не является элементом в наборе домена f .
Вот почему мы берем предел — слева и справа — изучение y значений связанных
с x значений закрыть на 2. Для текущей функции нам пришлось бы разделить лимит на два отдельных лимита.
Мы бы нашли и
В таком случае левый предел становится равным , а правый предел становится равным , поэтому предела нет , поскольку предел слева должен равняться пределу справа, чтобы предел существовал, а бесконечность не накладывает никаких ограничений на кривую — не так ли? Если вы получите, нет предела.
(См. изображений в конце статьи.)
Давайте рассмотрим более интересную функцию.
Рассмотрим: .
Мы можем переписать функцию как
Очевидно, что x = 3 не является элементом области определения этой функции, поэтому найдем предел в 3.
Как вы, вероятно, узнали на первом уроке по ограничениям, обычно с такой дробью мы множим, отменяем и заменяем — но у нас есть 
Другой проблемный ребенок из этой семьи, с которым вы встретитесь, — это неопределенная форма числа , которую также можно объяснить как 1, 0 или . Француз по имени л’Опиталь позаботится об обеих неопределенных формах позже в этом курсе или в начале следующего. До тех пор используйте алгебраические методы, чтобы найти их пределы.
Когда х = 3, только знаменатель = 0 здесь и так х = 3 является вертикальной асимптотой этой функции. А как насчет х = 3?? Это делает и числитель, и знаменатель равными 0, таким образом, он создает дыру в графе . Мы знаем, что x -значение отверстия равно 3, но что такое y -значение ? Его можно найти, взяв предел f ( x ) как x приближается к 3.
Когда мы факторизуем, отменяем и заменяем 3 на x , мы получаем 1/6, таким образом, отверстие на этой кривой встречается в точке (3, 1/6) .
Кстати, если вас попросят построить график этой функции, вы можете построить график функции , а затем вставить отверстие в точке (3, 1/6).
Это отверстие известно как съемная несплошность или съемный прыжок , так как отсутствует только одна точка. Таким образом, мы могли бы сделать эту функцию непрерывной при x = 3 , установив, что f (3) = 1/6 . Разрыв, который возникает в x = 3 , однако, является бесконечным разрывом , иначе известным как вертикальная асимптота . Нет никакого способа заполнить созданный здесь пробел.
Когда мы исследуем пределы в бесконечности , мы смотрим на поведение y -значения на крайних значениях x — другими словами, как, — 9 ведет ли себя график при приближении x | бесконечность |. Обычно, если у нас есть рациональная функция (дроль), чтобы найти предел, когда x приближается к бесконечности, мы делим каждый член дроби на наивысшую степень числа 9.
0005 x в дроби, а затем установите x равным бесконечности. Конечно, что-либо, деленное на бесконечность = 0 , поэтому члены, имеющие любую степень x в знаменателе, будут = 0 и не повлияют на результирующий предел.
Например: если , делим все на х 2 .
Как видите, результат, как только мы делаем x = , это 3/ 5 . Таким образом, когда мы начертим эту функцию, она будет иметь горизонтальную асимптоту при y = 3/5. Y -Value будет приближаться к 3/5 AS x Станет чрезвычайно большим (подходы) или чрезвычайно небольшие (подходы), и с
Как только вы начнете изучать производные, вы столкнетесь со специальным пределом, известным как Коэффициент Ньютона (который на самом деле должен быть известен как Коэффициент Декарта ), который позволит вам оценить наклон касательной в любой точке вдоль заданная кривая.
Я рассмотрю эту тему в своей следующей статье.
П.С. Если вам интересно, почему мы называем дроби рациональные числа вам нужно только посмотреть на первые 5 букв слова рациональное чтобы понять логику.
изображения асимптот и пределов на
ТТТ
(Индекс размышлений MathRoom)
( весь контент © Служба обучения MathRoom; 2004 — ).
Оценка предела — методы, сопряженные, законы, решаемый пример и часто задаваемые вопросы
Предел — это основная теория исчисления и анализа. Предел функции в точке x ее области определения — это значение, к которому функция приближается по мере того, как ее аргумент приближается к $x$. Другими словами, говорят, что функция имеет предел L в точке $x$, если можно сделать функцию произвольно близкой к $L$, выбирая значение все ближе и ближе к $x$.
Обратите внимание, что фактические значения не имеют отношения к значению предела. Математически предел функции представляется как:
$\lim_{x \to k} f(x) = L$
Предел функции читается как «Предел $f(x)$ при приближении $x$ к $k$ равен $L$».
Оценка пределов означает определение значения, к которому функция приближается в определенной точке. При оценке пределов мы сначала проверяем, является ли функция непрерывной. Если мы обнаруживаем, что предел непрерывен в точке, где мы его оцениваем, мы просто подставляем значение и решаем функцию.
В этой статье мы обсудим, как найти предел функции, используя различные методы оценки. 92 — y — 20}{y — 5} = \lim_{y \to 5} \dfrac{(y — 5)(y + 4)}{y — 5}$
$\Rightarrow \lim_{y \ to 5}( y + 4)$
$\Rightarrow 9$
Предел заменой
Предел определяется как приближение значения функции по мере приближения переменной внутри этой функции к заданному значению. Предположим, у нас есть предел $\lim_{x \to k}f(x)$. Представляет собой значение $f(x)$, когда $x$ ближе к $k$, но не точно равно $k$. Правило подстановки определяет предел, просто заменяя $x$ на $k$. Математически это правило определяется как: 92 + 47y + 1} = 2$
Оценка предела путем рационализации
Давайте узнаем, как найти предельное исчисление путем рационализации. Мы можем найти предел некоторой функции с помощью некоторых рационализирующих приемов. В методе рационализации мы рационализируем числитель функции. Рационализация числителя означает умножение числителя и знаменателя на сопряженное число числителя. Например, $\sqrt{x} +7$ сопряжено с $\sqrt{x} -7$.
Оцените следующий предел путем рационализации: 9{+}$» учитывает только те значения $x$, которые меньше или больше $k$ соответственно.
Сопряжения
Если вы попытаетесь заменить и получите $\dfrac{0}{0}$ (0, деленное на 0), а выражение содержит квадратный корень, то рационализируйте выражение, как вы рационализируете в алгебре. То есть умножьте числитель и знаменатель на сопряженную часть, которая содержит в себе квадратный корень.
Давайте научимся находить предел с помощью метода сопряженных чисел на примере:
Оцените следующий предел, используя правило сопряжения:
$\lim_{y \to 0} \dfrac{\sqrt{1+y} — 1}{y}$
Решение:
Поскольку прямая замена дает неопределенной формы $\dfrac{0}{0}$, умножим и числитель, и знаменатель на сопряженный числитель $\sqrt{1+y}+1$:
$\lim_{y \to 0} \ dfrac {\ sqrt {1 + y} -1} {y} = \ lim_ {y \ to 0} \ dfrac {(\ sqrt {1 + y} -1) — \ sqrt {1 + y} +1} { y(\sqrt{1+y}+1)}$
$\Rightarrow \lim_{y \to 0} \dfrac{\sqrt{1+y}-1}{y(\sqrt{1+y} +1)}$
$\Rightarrow \lim_{y \to 0} \dfrac{y}{y(\sqrt{1+y}+1)}$
$k = \dfrac{1}{2}$
Законы предела
Ниже приведены законы предела:
Предположение: $c$ постоянна и $\lim_{x \to a}f(x)$ и $\lim_{x \to a}k(x)$ существует
$\lim_{x \to a}k = k$ — Предел вычитания равен вычитанию пределов.
$\lim_{x \to k}x = k$ — Приближается предел линейной функции равносогнутой к числу $x$. 9n$, где $n$ — натуральное число.
$\lim_{x \to k} \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{k}$, где $n$ — целое положительное число, а если $n$ четное, мы предполагаем что $k > 0$.
$\lim_{x \to k} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim{x \to k} f(x)}$, где $n$ — натуральное число, и если $n$ четно, то мы предполагаем, что $\lim_{x \to k}f(x) > 0$.
$\lim_{x \to k}ck(x) = c \lim_{x \to k} f(x)$.
$\lim_{x \to a}[f(x) + k(x)] = \lim_{x \to a}f(x) + \lim_{x \to a}k(x) $- Лимит добавления равен сумме лимитов.
$\lim_{x \to a}[f(x) — k(x)] = \lim_{x \to a}f(x) — \lim_{x \to a}k(x) $- Предел вычитания равен вычитанию пределов.