Выборочная средняя
Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака Х извлечена выборка объёма n.
Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.
Если все значения признака выборки объёмаn различны, то .
Если же значения признака имеют соответственно частоты, то.
Замечание. Выборочная
средняя, найденная по данным одной
выборки, есть, очевидно, определённое
число. Если же извлекать другие выборки
того же объёма из той же генеральной
совокупности, то выборочная средняя
будет изменяться от выборки к выборке.
Таким образом, выборочную среднюю можно
рассматривать как случайную величину,
а, следовательно, можно говорить о
распределениях выборочной средней и о
числовых характеристиках этого
распределения (его называют выборочным),
в частности, о математическом ожидании
и дисперсии выборочного распределения.
Для того, чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения , вводят сводную характеристику – выборочную дисперсию.
Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения.
Если все значения признака выборки объёмаn различны, то
.
Если значения признака имеют соответственно частоты, причём, то
.
Легко «исправить» выборочную дисперсию так, чтобы её математическое ожидание было равно генеральной дисперсии. Достаточно для этого умножить на дробь. Сделав это, получим исправленную дисперсию, которую обычно обозначают через:
.
Исправленная дисперсия является, несмещённой оценкой генеральной дисперсии.
Итак, в качестве оценки генеральной дисперсии принимают исправленную дисперсию .
Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака выборочной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой – средним квадратическим отклонением.
Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартным) называют квадратный корень из выборочной дисперсии: .
Для оценки же среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют «исправленное» среднее квадратическое отклонение, которое равно квадратному корню из исправленной дисперсии: .
Замечание. Сравнивая формулы и, видим, что они отличаются лишь знаменателями. Очевидно, при достаточно больших значениях n объёма выборки выборочная и исправленная дисперсии различаются мало. На практике пользуются исправленной дисперсией, если примерно n<30.
Пример 1. Среди свиноматок хозяйства было выбрано 64 свиноматки, данные по опоросам среди которых следующие:
8; 10; 6; 10; 8; 5; 11; 7; 10;
6; 9; 7; 8; 7; 9;11; 8; 9; 10; 8; 7; 8; 11; 8; 7; 10; 8; 8; 5; 11; 8;
10; 12; 7; 5; 7; 9; 7; 10; 5; 8; 9; 7; 12; 8; 9; 6; 7; 8; 7; 11; 8;
6; 7; 9; 10.
Определим среднее выборочное число поросят в пометах 64 свиноматок и вычислим показатели вариации для этой выборки. Предварительно рассчитаем вспомогательные величины в табл. 1.
Таблица 1.
Подставляя найденные величины в формулы, имеем:
Выборочная средняя числа поросят в опоросах:
поросят;
Выборочная дисперсия числа поросят:
.
Выборочное cреднее квадратическое отклонение числа поросят в опоросах:
поросят.
Исправленная выборочная дисперсия числа поросят:
.
Исправленное cреднее квадратическое отклонение числа поросят в опоросах:
поросят.
Итак, нами найдены следующие точечные оценки по данной выборке:
точечная оценка среднего числа поросят в опоросах для генеральной совокупности (то есть по всему хозяйству): 8,25 поросят;
точечная оценка
среднего квадратического отклонения
числа поросят в генеральной совокупности:
1,86 поросят.
Средняя выборочная — Энциклопедия по экономике
Среднее выборочных средних ц = 400 г. [c.88]Средние квадраты 72 Средняя выборочная 44 [c.305]
Пример. Требуется установить точность определения среднего выборочного значения срока службы, если задано, что о=833 ч =5. [c.35]
Для оценки величины рассеивания средних выборочных относительно математического ожидания генеральной совокупности в случае нормального распределения случайной величины х можно применить формулу [c.49]
Единственное отличие в том, что на карты наносятся фактические размеры и нужно вычислять среднее выборочное значение. Принципы, заложенные в контрольных картах, имеют гораздо более широкое применение, чем простой выборочный контроль результатов производства. Общая и особая причины непостоянства могут быть найдены в любых измерениях, проводящихся в течение некоторого периода времени, а контрольные карты позволяют различать их в любых условиях. Это особенно полезно при отслеживании качества обслуживания, где нельзя проводить точные и регулярные измерения.
Метод может применяться и в административной работе для оценки производительности. О применении контрольных карт с однократными, нежели выборочными, данными рассказывается в Приложении 2.
[c.261]
В данной главе речь идет о выборочной средней, выборочной дисперсии, выборочных коэффициентах связи, корреляции, регрессии. Мы будем обозначать выборочные величины теми же буквами, что и соответствующие им оценки генеральной совокупности, со значком над буквой. См. [11, 18, 27, 35]. [c.161]
Если просто нужно проверить, равна ли генеральная средняя выборочной средней, гипотеза формулируется следующим образом [c.241]
Таким образом, для нахождения генеральных числовых характеристик необходим анализ всей генеральной совокупности. В силу того, что в реальности практически всегда имеют дело с выборками, приходится находить оценки указанных выше генеральных характеристик — выборочные числовые характеристики выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение.
При первом способе средние величины и доли, полученные в результате исследования выборочной совокупности, переносятся на генеральную. Если известна численность единиц этой совокупности, то можно найти общий объем признака. Например, если средняя выборочная урожайность зерновых равна 20 ц/га, а предельная ошибка выборки + 1,5 ц/га, при известной посевной площади в 20 000 га можно установить ожидаемые пределы валового сбора (ВС) зерновых от 18,5 -20 000 = 37 тыс. т до 21,5 -20 000 = 43 тыс. т с вероятностью, принятой при расчете предельной ошибки. [c.28]
Применяя метод непрерывной выборки, необходимо соблюдать некоторые меры предосторожности. При низком уровне качества в ходе производственного процесса метод непрерывной выборки обязывает переходить к сплошному контролю. Высокий уровень качества необходимо поддерживать в ходе производственного процесса. При методе непрерывной выборки есть риск ошибочно пропустить дефектные изделия, особенно если средний уровень качества в ходе процесса подвержен резким колебаниям, нестабилен.
Они определяют лишь гарантированную с вероятностью а меру расхождения с выборочной средней экспертной оценки значимости и генеральной экспертной средней. Проблема же оценки погрешности самой генеральной средней экспертной величины уровня значимости относительно его истинного значения лежит в совершенно иной плоскости. Она заключается в сопоставлении генеральной средней с реальным относительным приростом полезности продукта, обусловленным тем или иным относительным изменением соответствующего единичного показателя. Но это возвращает весь оценочный процесс к определению функции полезности продукции, без знания которой все суждения о величине pi остаются догадками. [c.59]
На карту арифметических значений наносят значения выборочного среднего арифметического [c.160]
О — фактические значения средней арифметической выборочной х значения параметра х [c.
162]
Чаще всего применяют карту средних арифметических значений и выборочных средних квадратических отклонений (карта х/а ). В ней помещаются отдельные графики средних арифметических значений х и выборочных средних квадратических отклонений G. Границы регулирования параметра с устанавливаются расчетом по формуле [c.163]
Границы регулирования устанавливают на основе несмещенной оценки выборочного среднего значения дефектов из 30 выборок, произведенных при нормальном ходе процесса [5] [c.167]
Чаще всего оценки состояния процесса делаются на основе кумулятивных сумм выборочного среднего арифметического значения параметра (ГОСТ 20427-75). [c.167]
По выборочным средним х. ..хт принимается одна из двух гипотез гипотеза Но — процесс находится в налаженном состоянии гипотеза Н, — процесс находится в разлаженном состоянии, при котором значение параметра х равно а = ао Sai, где GI = а/л/и 8 = (3 — а0)/ сг — нормированное предельно допустимое смещение среднего значения контролируемого параметра х.
[c.168]
Вычисляется выборочное среднее х на основе проведенных измерений. [c.185]
В соответствии о избранно вероятностью невыхода относительной ошибки за установленные пределы избирается мера абсолютной ошибки хроноряда. Мерой абсолютной ошибки хроноряда является число ошибок средней выборочной (нормированное значение критерия Оттэюдента) — . где о/- избранный уровень значимости [c.26]
Несмещенная (unbiased) означает свойство, состоящее в том, что математическое ожидание оценки (средняя выборочного распределения) равно параметру генеральной совокупности, т.е. в результате осуществления множества выборок для определения оценки одни выборочные показатели будут больше параметра генеральной совокупности, другие меньше, но среднее значение будет равно параметру генеральной совокупности. Напротив, при смещенной оценке среднее значение будет больше или меньше параметра генеральной совокупности. [c.228]
Уолш Дж., Келлер Г. Контрольные карты для средних выборочных значений.
— Сб. Статистические методы управления качеством. — М. Изд-во стандартов, 1971.
[c.146]
Произведем несколько случайных выборок объемом п из совокупности и вычислим выборочные ин-терквартильные размахи. Отсюда получим средний выборочный интерквартильныи размах по формуле [c.108]
Средний выборочный интерквартильныи размах = А X среднее квадратическое отклонение совокупности, то есть [c.108]
Существуют таблицы, позволяющие получить грубую оценку точности процесса на основе одной выборки размера п, взятой из управляемого процесса. Вычисляют интерквартильный размах выборки и на основе таблиц определяют при соответствующем уровне значимости процент совокупности, характеристики которого лежат в пределах свойств одиночной выборки. Если метод не позволяет с достаточной ясностью установить, что процесс может обеспечить некоторые требования к соблюдению технических условий, то он дополняется методом среднего выборочного интерквартильного размаха. [c.110]
Для построения контрольной карты необходимо сделать достаточное количество измерений, чтобы получить точную картину распределения.
Выборки разумного объема (от 4 до 6) производятся через одинаковые интервалы времени и, когда число выборок достигнет двадцати, вычисляются интерквартильный размах (w) и средняя (х) каждой выборки. Далее вычисляется межгрупповая средняя X и средний выборочный интерквартильный размах (05).
[c.119]
На этой стадии известны следующие факторы п — объем выборки X — межгрупповая средняя ш— средний выборочный интерквартильный размах. Если достоверно, что двадцать выборок представляют наилучшую торговую практику, что средний уровень не слишком высок и не слишком низок, что изменчивость процесса не очень велика и что в период, к которому относится производство выборки, не произошло изменений условий процесса, тогда с помощью стандартных таблиц на карты средних и карты интерквартиль-ных размахов могут быть нанесены контрольные пределы. Используется следующая процедура. [c.119]
Если используются карты интерквартильных раз-махов, то находится средний выборочный интерквар-тильный размах w и контрольные пределы устанавливаются путем умножения на постоянную D, которая зависит от объема выборки и заданной вероятности, подобно постоянной А для карт средних.
[c.120]
Стандартные таблицы, приводимые в спецификациях Британского стандарта для пределов контрольных карт средних значений выборки х и для контрольных карт средних выборочных интерквартильных раз-махов w, показаны в табл. 7.3 . [c.120]
Следует заметить, что на карте интерквартильных размахов в отличие от карты средних значений контрольные пределы не симметричны относительно среднего выборочного интерквартильного размаха w. [c.121]
Если нет экономии, но тем не менее необходимо использовать более точный процесс, чем требуется, то неэкономично использовать для управления процессом метод нормальных контрольных пределов. Поэтому в таких случаях принято модифицировать контрольные пределы путем расширения их до такого положения, когда переналадка процесса осуществляется, если процесс дает 0,1% брака в 39 выборках из 40. Это будут ожидаемые пределы отклонения процесса от средней или За— пределы. Нужно устанавливать новые контрольные пределы на 30 ниже верхнего предела допуска по техническим условиям и соответственно выше нижнего.
Модифицированные контрольные пределы вводятся только тогда, когда известны могущие возникнуть изменения типа и размера изделий и если они происходят в результате постепенного сдвига процесса. Поскольку модифицированные контрольные пределы шире нормальных, они не вводятся, если допуски по техническим условиям меньше, чем Lw, где L есть множитель, зависящий от объема выборки п, а и> — средний выборочный интерквартильный размах.
[c.126]
Эбразуем теперь следующие величины, рассчитанные как отклонения эт средних выборочных значений [c.148]
Единственное, в чем авторы эмпирических работ обнаруживают поч ти полное единодушие, — это в обсуждении проблемы смещения. Здеа вырисовываются три основных результата. Обыкновенный метод на меньших квадратов в общем случае демонстрирует для конечных выбо рок большее смещение оценок, чем все другие рассмотренные нам методы. Состоятельные оценки для конечных выборок тоже оказывают ся смещенными, однако средние выборочных распределений обычно не значимо отличаются от истинных значений.
Изменения смещений npi различных состоятельных процедурах оценивания не столь велики i оказываются не столь систематическими, чтобы можно было отдат предпочтение одному методу перед другим. Есть, однако, один момент в отношении которого различные свидетельства о свойствах обыкновен ного метода наименьших квадратов согласуются не полностью. В ис следовании 1962 г. Квандт показал, что при наличии существенно] мультиколлинеарности между экзогенными переменными обыкновен ный метод наименьших квадратов приводит почти постоянно к мень
[c.410]
Предполагается, что контролируемые параметры продукции имеют нормальное распределение. При контроле выборочное среднее х сравнивается с приемочной границей А. Если х не превышает А, то партия признается годной. В противном случае она бракуется. Возможно сравнение и с нижней и с верхней контрольными границами Если заданы и нижняя и иерхняя границы, то должно выполняться условие Тнметодов контроля по количественному признаку х метод, к — метод, М — метод [20].
[c.184]
Уровень колеблемости показателей по НГДУ определяют с помощью среднеквадратичного отклонения, дисперсии и коэффициента вариации. Так, степень колеблемости уровня производительности труда по выборочной совокупности НГДУ по отношению к среднему показателю можно оценить с помощью среднеквадратичного отклонения в абсолютных единицах а и коэффициента вариации V в процентах по формулам [c.86]
Полученные для выборочной совокупности НГДУ уравнения регрессии (20) — (22) могут точно не совпадать с истинной зависимостью, характерной для генеральной совокупности НГДУ. Поэтому необходимо найти доверительный интервал Д, в котором с определенной вероятностью будет находиться расчетная величина производительности труда. Для среднего значения производительности труда у величину доверительного интервала при заданной доверительной вероятности, являющейся минимальной, рассчитывают по формуле [c.89]
Зная величину Эу для каждого фактора, можно оценить возможный рост (падение) производительности труда за счет изменения отдельных факторов.
Так, если нам известно, что изменение дебита скважин на 1 % приводит к изменению производительности труда на k %, то, зная величину изменения указанного фактора в планируемом периоде, можно рассчитать ожидаемый уровень производительности труда. Так как уравнения регрессии (20) — (22) выражают зависимость производительности труда от основных факторов не по каждому НГДУ, а в среднем по выборочной совокупности их, то прогнозируемые значения производительности труда целесообразно рассчитывать по формулам (20) — (22) лишь в отраслевом масштабе для отдельных групп НГДУ с растущей, стабильной или падающей добычей.
[c.145]
Sample Mean Formula — Что такое Sample Mean Formula? Примеры
Среднее значение выборки представляет собой меру центра данных. Среднее значение любой совокупности оценивается с использованием выборочного среднего. Во многих ситуациях и случаях от нас требуется оценить, что делает вся популяция или какие факторы присутствуют в популяции, не опрашивая всех в популяции.
В таких случаях полезно среднее значение выборки. Среднее значение, найденное в выборке, называется средним значением выборки. рассчитанное таким образом выборочное среднее используется для нахождения дисперсии и, следовательно, стандартного отклонения. Давайте посмотрим на образец формулы среднего и ее применения в следующих разделах.
Что такое примерная формула среднего значения?
Формула выборочного среднего используется для расчета среднего значения заданных выборочных данных. Иногда необходимо рассчитать среднее значение выборочных терминов, а не выражать их с помощью фактических терминов. Формула выборочного среднего может быть выражена как отношение суммы терминов к количеству терминов. т. е.
Образец формулы среднего
Образец формулы среднего записывается как
Образец среднего = (Сумма членов) ÷ (Количество членов) =\(\dfrac{∑x_i}{n}\) =\(\dfrac{(x_1 + x_2 + x_3+⋯+x_n)}{n}\)
Где,
- \(∑x_i\) = сумма слагаемых
- n = количество терминов
Давайте посмотрим на примеры применения формулы среднего значения в разделе ниже.
Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?
Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.
Забронировать бесплатный пробный урок
Примеры формулы выборочного среднего
Пример 1: Найти выборочное среднее 60, 57, 109, 50.
Решение:
Сумма членов = 60 + 57 + 109 + 50 = 276
Количество терминов = 4
Используя формулу выборочного среднего,
среднее значение = (сумма терминов)/(количество терминов)
среднее значение = 276/4 = 69
Ответ: Среднее значение выборки 60, 57, 109, 50 равно 69.
Пример 2: Пять друзей ростом 110, 115, 109, 112 и 114 единиц соответственно. Найдите их выборочную среднюю высоту.
Решение:
Найти: Средняя высота выборки
Сумма всех высот = 110 + 115 + 109 + 112 + 114 = 560
Количество человек = 5
Используя формулу выборочного среднего,
среднее значение = (сумма терминов)/(количество терминов)
среднее = 560/5
= 112 единиц
Ответ: Примерный средний рост пяти друзей составляет 112 единиц.
Пример 3: Пять детей имеют разные временные интервалы для выполнения домашнего задания 30 минут, 60 минут, 45 минут, 40 минут и 90 минут соответственно. Найдите их выборочное среднее время.
Решение:
Найти: Среднее время выборки
Сумма всех временных интервалов = 30 + 40 + 45 + 60 + 90 = 265
Количество детей = 5
Используя формулу выборочного среднего,
среднее значение = (сумма терминов)/(количество терминов)
среднее = 265/5
= 53 минуты
Ответ: Среднее время выборки пяти детей составляет 53 минуты.
Часто задаваемые вопросы по формуле выборочного среднего
Как рассчитать выборочное среднее с помощью формулы выборочного среднего?
Общая формула для расчета выборочного среднего значения имеет вид x̄ = ( Σ xi ) / n. Здесь x̄ представляет среднее значение выборки, xi относится ко всем значениям выборки X, а n обозначает количество терминов выборки в наборе данных. При расчете среднего значения выборки можно учитывать следующие этапы:
- Добавить общее количество элементов образца
- Разделите общее количество образцов на количество образцов.
- Полученный результат является средним значением выборки.
Что означает n в образце формулы среднего значения?
Общая формула выборочного среднего для расчета выборочного среднего выражается как x̄ = ( Σ xi ) ÷ n. Здесь x̄ обозначает среднее значение выборки или среднее значение выборки, xi относится ко всем значениям выборки X, а «n» обозначает количество терминов выборки в данных данных.
Как суммировать элементы выборки с помощью формулы среднего значения выборки?
Чтобы суммировать элементы выборки или получить суммарное значение всех элементов выборки, мы следуем следующему шаблону:
\(∑x_i = (x_1 + x_2 + x_3+⋯+x_n)\).
Параметр | Описание | Пример | ||
1. | Переменная | Свойство, которое изменяется измеримым образом между
предметов в выборке. | Масса семян фасоли принцессы Phaseolus vulgaris (в: Samuels, ML 1991. Статистика для наук о жизни. Макмиллан). | |
2. | Образец | Набор отдельных наблюдений, выбранных указанная процедура. В большинстве случаев объем выборки определяется количеством предметов (т. е. каждый измеряется только один раз). | Образец из 25 семян принцессы фасоли, выбранных случайным образом. от всей продукции пахотного поля. | ВЕС (мг) |
3. | Выборочное среднее | Сумма всех наблюдений в выборке, разделенная на
размер образца, N . | Среднее значение выборки Это происходит от населения, общего производства поле, которое следует нормальному распределению и имеет среднее значение = 500 мг. | |
4. | Сумма квадратов , | Квадрат расстояния между каждой точкой данных ( Y и ) и выборочное среднее, суммированное для всех N точек данных. | Пример суммы квадратов
| |
5. | Дисперсия , по сравнению с , | Дисперсия нормально распределенной совокупности равна
описывается средним значением Н квадраты отклонений от среднего. | Выборочная дисперсия v = СС / ( Н — 1) = 12,928 | |
6. | Стандартное отклонение выборки , | Описывает разброс данных о среднем значении. это равно квадратному корню из дисперсии. Для большого размера выборки = , а стандартное отклонение выборки приближается к стандартное отклонение населения, («сигма»). Тогда это свойство нормальное распределение, согласно которому 95% наблюдений будут лежать в пределах стандарта 1,960 отклонения от среднего и 99% в пределах . | Стандартное отклонение образца с = = 113,7 мг | |
7. | Нормальное распределение | Колоколообразное частотное распределение непрерывного
переменная. Формула нормального распределения содержит два параметра:
среднее значение, определяющее его местоположение, и стандартное отклонение, определяющее форму
симметричного «колокола». Это распределение обычно возникает в природе, когда
мириады независимых сил, сами по себе подверженные вариациям, объединяются
аддитивно, чтобы произвести центральную тенденцию. Многие параметрические статистики
основанный на нормальном распределении из-за этого, а также его свойство
описывающих как местоположение (среднее), так и дисперсию (стандартное отклонение)
данные. Поскольку дисперсия измеряется в квадратах отклонений от среднего значения,
его можно разделить между источниками, что позволяет проверять статистические данные.
модели. | | |
8. | Стандартная ошибка среднего, | Описывает неопределенность из-за ошибки выборки в
среднее значение данных. Он рассчитывается путем деления стандартного отклонения на
квадратный корень из размера выборки ( ), поэтому он становится меньше по мере увеличения размера выборки.
больше. Другими словами, при очень большом N выборочное среднее
приближается к среднему значению населения. Если случайные выборки N измерений
были взяты из любой популяции (не обязательно нормальной) со средним значением и стандартным отклонением , среднее значение выборочного распределения будет равно среднему значению генеральной совокупности . | Стандартная ошибка среднего | |
9. | Доверительный интервал для | Независимо от основного распределения данных,
выборочные средние из повторяющихся случайных выборок размером n будут иметь распределение
это приблизилось к норме для больших n , при 95% средних значений выборки. Имея только одно выборочное среднее и стандартную ошибку SE , они, тем не менее, могут быть
взятые как наилучшие оценки параметрического среднего м и стандартное отклонение выборочных средних. Тогда можно вычислить 95%
доверительные интервалы для at (для больших размеров выборки). Для небольших размеров выборки 95%
доверительные интервалы для вычисляются при . | ||