Как найти точки экстремума: Как найти экстремум (точки минимума и максимума) функции

Как найти точки экстремума на графике и прибыльно торговать

Экстремумы на ценовых графиках финансовых рынков, что это такое и как его определять. Для чего это нужно вы узнаете изучив данный материал.

Благодаря знанию точек экстремумов вы научитесь прогнозировать точки разворота и выбирать места для установки защитных ордеров. Вы познакомитесь с несколькими главными видами экстремумов и увидите, что зависит от очередности свечей в некоторых конфигурациях.

Содержание

Обучение — как найти точки экстремума на графике.

Подробное описание как найти точки экстремума на графике

Когда цена достигла своего максимума, еще немного пошла вверх и развернулась, оставшись на прежнем уровне. Такое состояние рынка будет называться «могильным камнем». Если цена взлетает до максимума, а потом после развертывания возвратилась к исходам, то это «однодневный перелом». Классический анализ, не считает, что здесь будет присутствовать разворот, хотя японцы были уверены в этом раньше. Если раньше была прибыльная позиция, то есть смысл ее зафиксировать, а в случае пребывания вне рынка можно подумать об открытии. Цена после однодневного перелома будет дальше двигаться в выбранном направлении, но трейдер сможет оценить ситуацию и зафиксировать ее горизонтальным уровнем и нужно считать, что цена вернется к нему.

Похожие ситуации имеют дело с рельсами, поглощением и проникновением за линии. В некоторых случаях бывают двухдневные переломы. Разворот цены происходит за два дня.

Смотрите ниже на картинке графика точка экстремума свечного паттерна “рельсы”

Как происходит разворот в точке экстремума

Как иногда происходит разворот? Структура: цена достигает максимума, разворачивается и идет вниз. Из трех свечей, центральная имеет максимум и минимум, которые выше двух соседних. Такую ситуацию можно назвать экстремумы 1-го порядка. Эта ситуация может повториться на дне (максимум и минимум будут ниже двух соседних свеч).

Иногда свеча после минимумов/максимумов не разворачивается (Хорами). Свечная конфигурация или рыночное состояние получается неравновесным, следует ждать еще одной свечи, которая сформирует нужный разворот. Это будет экстремум второго порядка. Между первым баром и баром разворота находиться один небольшой бар, который мешает увидеть экстремум первого порядка.  Здесь важно не то, как размещены бары, а то как они движутся.

Фрактал Билла Уильямса

На вершине рынка бар должен иметь просто максимум из двух свечей слева и двух справа. Минимумы не актуальны. Внизу главное, чтобы минимумы слева и справа от центрального бара были больше его.

Нетипичных экстремумов есть несколько, на них не стоит обращать особого внимания. Нам удалось выяснить как происходят развороты, а они определяют как формировать уровни поддержки и сопротивления.

У всех перечисленных экстремумов есть нечто общее – цена достигла своего пика и развернулась, пройдя расстояние равное последнему взлету. Если увидеть такую ситуацию на рынке, то через подобный пик можно провести уровень, который будет определять нашу работу. В таких случаях будет известно где устанавливать стоп лосс и защитные ордера. При открытии длинной позиции нужно покупать возле уровня поддержки, а стоп лосс ниже этого уровня. При открытии короткой позиции продажа будет идти возле уровня сопротивления. Стоп лосс за уровнем сопротивления. Насколько выше или ниже устанавливаются эти пункты, зависит от индивидуального подхода.

Важно: выработать свой системный подход к ситуации на рынке.

Стратегия торговли по уровням определения точек экстремумов на графике

Стратегия заключается в следующем: после того как мы определили точки экстремумов на графике, определяем зоны уровней. Важно понимать, что на рынке нет понятия уровень тик в тик, цена всегда будет дышать. Поэтому нужно учиться определять зоны этих уровней, как выделено голубым цветом на картинке:

Зоны уровней определяем по телам свечей формирования точек экстремума. На картинке определены точки экстремумов под номерами. На данной ситуации 1 экстремум после формирования был пробит ценой, что уже показало о развороте локального тренда.

После того, как цена пробила 1 точку, ждём первого подхода цены к зоне уровня, где смело можно с коротким стопом входить в позицию на продажу, там же и формируется вторая точка экстремума. Тейк профит ставим обычно 1 к 3 риска, чтобы математическое ожидание превышало наш риск минимум в три раза.

Далее формируется третья точка экстремума, где определяется зонга уровня следующая. При первом подходе к зоне уровня третьей точки, входим в позицию на покупку. Стоп ставим за уровень точки экстремума. Профит забираем при подходе зоны уровня 1 и 2 точек экстремумов. 

Обратите внимание, что третий вход в позицию мы делаем только после формирования 4 точки экстремума и пробития зоны уровня третьей точки на подходе к этой зоне уровня. Суть заключается в одном: чаще всего первый подход цены к зоне уровня, цена делает отскок что мы и используем в данной стратегии торговли.

Важно: старайтесь делать входы по тренду, тогда положительных сделок будет больше, что математически сыграет на вас в прибыль.             

Вас заинтересовала торговая стратегия? Тогда оставьте комментарий к этой статье, чтобы я записал более подробно на видео. Если вы не совсем понимаете как найти точки экстремума и остались вопросы, заходите в наш чат телеграмм.

Рекомендую прочитать по этой же теме

Точки экстремумов функции, алгебра в 10 классе, нахождение точек, урок и презентация

Дата публикации: 09 апреля 2017.

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

---

Скачать:Нахождение точек экстремумов функций (PDF)

---

Что будем изучать:
1. Введение.
2. Точки минимума и максимума.
3. Экстремум функции.
4. Как вычислять экстремумы?

5. Примеры.

Введение в экстремумы функций

Ребята, давайте посмотрим на график некоторой функции:

Заметит, что поведение нашей функции y=f (x) во многом определяется двумя точками x1 и x2. Давайте внимательно посмотрим на график функции в этих точках и около них. До точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и сразу после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1 функция опять перегибается, и после этого — опять возрастает. Точки x1 и x2 пока так и будем называть точками перегиба. Давайте проведем касательные в этих точках:

Касательные в наших точках параллельны оси абсцисс, а значит, угловой коэффициент касательной равен нулю. Это значит, что и производная нашей функции в этих точках равна нулю.

Посмотрим на график вот такой функции:

Касательные в точках x2 и x1 провести невозможно. Значит, производной в этих точках не существует.

Теперь посмотрим опять на наши точки на двух графиках. Точка x2 — это точка, в которой функция достигает наибольшего значения в некоторой области (рядом с точкой x2). Точка x1 — это точка, в которой функция достигает своего наименьшего значения в некоторой области (рядом с точкой x1).

Точки минимума и максимума

Определение: Точку x= x0 называют точкой минимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≥ f(x0).

Определение: Точку x=x0 называют точкой максимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≤ f(x0).

Ребята, а что такое окрестность?

Определение: Окрестность точки — множество точек, содержащее нашу точку, и близкие к ней.

Окрестность мы можем задавать сами. Например, для точки x=2, мы можем определить окрестность в виде точек 1 и 3.

Вернемся к нашим графикам, посмотрим на точку x2, она больше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению — это точка максимума.

Теперь посмотрим на точку x1, она меньше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению — это точка минимума.

Ребята, давайте введем обозначения:

y_min — точка минимума,
y_max — точка максимума.

Важно! Ребята, не путайте точки максимума и минимума с наименьшим и наибольшим значение функции. Наименьшее и наибольшее значения ищутся на всей области определения заданной функции, а точки минимума и максимума в некоторой окрестности.

Экстремумы функции

Для точек минимума и максимума есть общей термин – точки экстремума.

Экстремум (лат. extremum – крайний) – максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума.

Соответственно, если достигается минимум – точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум – точкой максимума.

Как же искать экстремумы функции?

Давайте вернемся к нашим графикам. В наших точках производная либо обращается в нуль (на первом графике), либо не существует (на втором графике).

Тогда можно сделать важное утверждение: Если функция y= f(x) имеет экстремум в точке x=x0, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю называются стационарными.

Точки, в которых производной функции не существует, называются критическими.

Как вычислять экстремумы?

Ребята, давайте опять вернемся к первому графику функции:

Анализируя этот график, мы говорили: до точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1 у функции опять перегибается, и после этого функция опять возрастает.

На основании таких рассуждений, можно сделать вывод, что функция в точках экстремума меняет характер монотонности, а значит и производная функция меняет знак. Вспомним: если функция убывает, то производная меньше либо равно нулю, а если функция возрастает, то производная больше либо равна нулю.

Обобщим полученные знания утверждением:

Теорема: Достаточное условие экстремума: пусть функция y=f(x) непрерывна на некотором промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x= x0. Тогда:

• Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x x0 выполняется f’(x)>0, то точка x0 – точка минимума функции y= f(x).
• Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x 0, а при x> x0 выполняется f’(x)Если у этой точки существует такая окрестность, в которой и слева и справа от точки x0 знаки производной одинаковы, то в точке x0 экстремума нет.

Для решении задач запомните такие правила: Если знаки производных определены то:

Алгоритм исследования непрерывной функции y= f(x) на монотонность и экстремумы:

• Найти производную y’.
• Найти стационарные(производная равна нулю) и критические точки (производная не существует).
• Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.
• По указанным выше утверждениям сделать вывод о характере точек экстремума.

Примеры нахождения точки экстремумов

1) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 7+ 12*x — x³

Решение: Наша функция непрерывна, тогда воспользуемся нашим алгоритмом:
а) y’= 12 — 3x²,
б) y’= 0, при x= ±2,
в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:
г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
Точка x= -2 — точка минимума функции, точка x= 2 — точка максимума функции.
Ответ: x= -2 — точка минимума функции, x= 2 — точка максимума функции.

2) Найти точки экстремума функции и определить их характер.

Решение: Наша функция непрерывна. Воспользуемся нашим алгоритмом:
а) б) в точке x= 2 производная не существует, т.к. на нуль делить нельзя, Область определения функции: [2; +∞], в этой точки экстремума нет, т.к. окрестность точки не определена. Найдем значения, в которой производная равна нулю: в) Отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной: г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
Точка x= 3 — точка минимума функции.
Ответ: x= 3 — точка минимума функции.

3) Найти точки экстремума функции y= x — 2cos(x) и определить их характер, при -π ≤ x ≤ π.

Решение: Наша функция непрерывна, воспользуемся нашим алгоритмом:
а) y’= 1 + 2sin(x),
б) найдем значения в которой производная равна нулю: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
т. к. -π ≤ x ≤ π, то: x= -π/6, -5π/6,
в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной: г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
Точка x= -5π/6 — точка максимума функции.
Точка x= -π/6 — точка минимума функции.
Ответ: x= -5π/6 — точка максимума функции, x= -π/6 — точка минимума функции.

4) Найти точки экстремума функции и определить их характер:

Решение: Наша функция имеет разрыв только в одной точке x= 0. Воспользуемся алгоритмом:
а) б) найдем значения в которой производная равна нулю: y’= 0 при x= ±2,
в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:
г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
Точка x= -2 точка минимума функции.
Точка x= 2 — точка минимума функции.
В точке x= 0 функция не существует.
Ответ: x= ±2 — точки минимума функции.

Задачи для самостоятельного решения

а) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 5x³ — 15x — 5.
б) Найти точки экстремума функции и определить их характер:
в) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 2sin(x) — x при π ≤ x ≤ 3π.
г) Найти точки экстремума функции и определить их характер:

Экстремум (локальный и абсолютный) | Brilliant Math & Science Wiki

Содержание

• Глобальные экстремумы
• Локальные экстремумы
• Дифференцируемые функции
• Смотрите также

Точка xxx является абсолютным максимумом или минимумом функции fff в интервале [a, b][a, \, b][a,b], если f(x)≥f(x′)f(x) \ge f(x’)f(x)≥f(x’) для всех x′∈[a, b]x’ \in [a, \, b]x′∈[a,b] или если f( x)≤f(x′)f(x) \le f(x’)f(x)≤f(x′) для всех x′∈[a, b]x’ \in [a, \, b] x′∈[a,b]. Точка ххх это строгий (или уникальный) абсолютный максимум или минимум, если это единственная точка, удовлетворяющая таким ограничениям. Аналогичные определения справедливы для интервалов [a, ∞)[a, \, \infty)[a,∞), (−∞, b](-\infty, \, b](−∞,b] и (−∞ , ∞)(-\infty, \, \infty)(−∞,∞). Интервал обычно выбирается как область определения fff.

Абсолютный максимум и абсолютный минимум функции

Может не существовать абсолютного максимума или минимума, если область неограничена ни в положительном, ни в отрицательном направлении, или если функция не является непрерывной. Если функция не непрерывна (но ограничена), все равно будет существовать супремум или инфимум, но не обязательно могут существовать абсолютные экстремумы. Если функция непрерывна и ограничена, а интервал замкнут, то должны существовать абсолютный максимум и абсолютный минимум.

Если функция не является непрерывной, то она может иметь абсолютные экстремумы в любых точках разрыва. Как правило, абсолютные экстремумы будут полезны только для функций с не более чем конечным числом точек разрыва. Абсолютные экстремумы можно найти, рассматривая эти точки вместе со следующим методом для непрерывных частей функции.

Если функция непрерывна, то абсолютные экстремумы могут быть определены следующим методом. Для функции fff и интервала [a, b][a, \, b][a,b],

1. Определить все критические точки fff в интервале [a, b][a, \, b][a,b].
2. Определите значение fff в каждой из его критических точек.
3. Определите значение fff на каждой из конечных точек.

Точки, соответствующие наибольшим значениям fff, являются абсолютным максимумом (максимумами), а точки, соответствующие наименьшим значениям fff, являются абсолютным минимумом (минимумами). Остальные значения могут быть локальными экстремумами.

Определить абсолютные максимумы и минимумы следующей функции в интервале [−32,72]:\left[-\tfrac{3}{2}, \tfrac{7}{2}\right]:[−23​, 27​]: 93 &\ x > 2. \end{cases}f(x)=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​1−(x+1)22×3−(x−2)23−(x−2)3​ x<0 0≤x≤1 12.​

---

Функция имеет критические точки при x=-1x = -1x=-1, x=0x = 0x=0, x=1x = 1x=1 и x=2x = 2x=2. Он имеет конечные точки x=-32x = -\tfrac{3}{2}x=-23​ и x=72x = \tfrac{7}{2}x=27​.

Максимальное значение возможно только при x=−1x = -1x=−1, x=1x = 1x=1 и x=2x = 2x=2. Поскольку f(−1)=1f(-1) = 1f(−1)=1, f(1)=2f(1) = 2f(1)=2 и f(2)=3f(2) = 3f (2)=3, абсолютные максимумы расположены при (2, 3)\boxed{(2, \, 3)}(2,3)​.

Единственными возможными вариантами минимального значения являются x=−32x = -\tfrac{3}{2}x=−23​, x=0x = 0x=0, x=1x = 1x=1 и x=72x = \tfrac{7}{2}x=27​. Поскольку f(−32)=34f\left(-\tfrac{3}{2}\right) = \tfrac{3}{4}f(−23​)=43​, f(0)=0f(0 ) = 0f(0)=0, f(1)=2f(1) = 2f(1)=2 и f(72)=−38f\left(\tfrac{7}{2}\right) = — \tfrac{3}{8}f(27​)=−83​, абсолютные минимумы расположены в точках (72,−38)\boxed{\left(\tfrac{7}{2}, -\tfrac{3 {8}\справа)}(27​,−83​)​. □_\квадрат□​

Локальные максимумы функции Локальные минимумы функции

Точка xxx является локальным максимумом или минимумом функции, если она является абсолютным максимумом или минимумом значения функции в интервале (x−c, x+c)(x — c, \, x + c)( x−c,x+c) для некоторого достаточно малого значения ccc.

При определении абсолютного максимума или минимума функции можно найти множество локальных экстремумов.

Для функции fff и интервала [a, b][a, \, b][a,b] локальные экстремумы могут быть точками разрыва, точками недифференцируемости или точками, в которых производная имеет значение 000 Однако ни одна из этих точек не обязательно является локальным экстремумом, поэтому локальное поведение функции необходимо исследовать для каждой точки. То есть для заданной точки xxx значения функции в интервале (x−c, x+c)(x − c, \, x + c)(x−c,x+c) должны быть проверены для достаточно малых коп.

До (a	После (a>x a > x a>x)	Экстремум?
f(a)	f(a)>f(x)f(a) > f(x) )f(a)>f(x)	Нет
f(a)	f(a)	Максимум
f(a)>f(x)f(a) > f(x)f( а)>f(x)	f(a)	Нет
f(a)>f(x)f(a) > f(x)f(a)>f(x)	f(a)>f(x)f(a) > f(x)f(a)>f(x)	Минимум

Если функция дважды дифференцируема в точке xxx, то доступен более простой метод.

3 &\ x > 2. \end{cases}f(x)=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​1−(x+1)22×3−(x−2)23−(x−2)3​ x<0 0≤x≤1 12.​

---

Из графика видно, что функция возрастает до x=−1x = -1x=−1, уменьшается между x=−1x = -1x=−1 и x=0x = 0x=0, возрастает от x=0x = от 0x=0 до x=2x = 2x=2 и уменьшается после x=2x = 2x=2. Локальные максимумы расположены при x=-1x = -1x=-1 и x=2x = 2x=2. Локальные минимумы расположены при x=0x = 0x=0, а конечная точка при x=72. х = \фракция{7}{2} .x=27​. □_\квадрат□​

Чему равна сумма всех локальных экстремумов функции f(x)=∣x∣?f(x)=\lvert x \rvert?f(x)=∣x∣?

---

Заметим, что f(x)=-xf(x)=-xf(x)=-x для x<0,x<0,x<0, f(x)=0f(x)=0f(x) =0 для x=0,x=0,x=0 и f(x)=xf(x)=xf(x)=x для x>0.x>0.x>0. Тогда f′(x)=-1<0f'(x)=-1<0f'(x)=-1<0 для x<0x<0x<0 и f′(x)=1>0f'(x )=1>0f′(x)=1>0 для x>0,x>0,x>0, что означает, что функция убывает до x=0x = 0x=0 и возрастает после x=0x = 0x=0 . Таким образом, f(x)f(x)f(x) имеет локальный минимум при x=0.x=0.x=0. Поскольку значение этого локального минимума равно f(0)=0,f(0)=0,f(0)=0, сумма всех локальных экстремумов равна 0,0,0. □ _\квадрат □​ 92-3\cdot(-4K)=4k(k+3)\le 0,4D​=(−2k)2−3⋅(−4K)=4k(k+3)≤0.

Следовательно, диапазон kkk, при котором f(x)f(x)f(x) не имеет экстремумов, равен

−3≤k≤0. □-3\le k \le 0. \ _\square−3≤k≤0. □​

3 4 5 6 7 8 Бесконечно много

График справа изображает функцию f(x)=∣cos⁡x+0,5∣\color{darkred}{f(x)} = |\cos x + 0,5|f(x)=∣cosx+0,5∣ в интервале 0≤x≤10\color{darkred}0 \leq \color{darkred}x \leq \color{darkred}{10} 0≤x≤10.

Сколько локальных экстремумов имеет функция f(x)f(x) f(x), если ее область определения ограничена 0≤x≤10?{\color{darkred}0 \leq \color{darkred}x \ leq \color{darkred}{10}}?0≤x≤10?

Предположим, что рассматриваемая функция непрерывна и дифференцируема на интервале. Затем есть несколько способов определения экстремумов. Все локальные экстремумы — это точки, в которых производная равна нулю (хотя производная может быть равна нулю, а точка не быть локальным экстремумом). Хотя они все еще могут быть конечными точками (в зависимости от рассматриваемого интервала), абсолютные экстремумы также могут быть определены с помощью нескольких сокращений. Это производные тесты.

Первый тест производной
Предположим, что fff — функция с действительным знаком, а [a, b][a, \, b][a,b] — интервал, на котором fff определена и дифференцируема. Тогда, если ccc является критической точкой fff в [a, b][a, \, b][a,b],

1. , если f′(x)>0f'(x) > 0f′(x) >0 для всех xcx > cx>c, тогда f(c)f(c) f(c) – максимальное значение fff в интервале [a, b];[a, \, b];[a,b];
2. , если f′(x)<0f'(x) < 0f′(x)<0 для всех x0f'(x) > 0f′(x)>0 для всех x>cx > cx>c, то f(c)f(c)f(c) является минимальным значением fff в интервале [a, b].[a, \, b].[a,b ].

Проще говоря, точка — это максимум функции, если функция возрастает до него и убывает после него. И наоборот, точка является минимумом, если функция убывает до и возрастает после нее.

Второй тест производной
Предположим, что fff — функция с действительным знаком, а [a, b][a, \, b][a,b] — интервал, на котором fff определена и дважды дифференцируема. Тогда, если ccc является критической точкой fff в [a, b][a, \, b][a,b],

1. , если f′′(x)<0f''(x) < 0f′′(x)<0 для всех xxx в [a, b][a, \, b][a,b], то f(c )f(c)f(c) – максимальное значение fff в интервале [a, b];[a, \, b];[a,b];
2. , если f′′(x)>0f’’(x) > 0f′′(x)>0 для всех xxx в [a, b][a, \, b][a,b], то f(c )f(c)f(c) — минимальное значение fff в интервале [a, b].[a, \, b].[a,b].

Проще говоря, точка — это максимум функции, если функция вогнута вниз, и точка — это минимум функции, если функция вогнута вверх. 92-6=6(х+1)(х-1).f'(х)=6х2-6=6(х+1)(х-1). Пусть f′(x)=0,f'(x)=0,f′(x)=0, тогда x=−1,x=-1,x=−1 или x=1.x=1. х=1. Затем проверка знака f'(x)f'(x)f'(x) вокруг x=-1x=-1x=-1 и x=1x=1x=1 говорит нам, что f'(x)>0f’ (x)>0f′(x)>0 при x<−1,x<-1,x<−1, f′(x)<0f'(x)<0f′(x)<0 при −1< x<1,-10f'(x)>0f′(x)>0 для x>1. x>1.x>1 . Это означает, что f(x)f(x)f(x) имеет локальный максимум при x=-1x=-1x=-1 и локальный минимум при x=1.x=1.x=1.

92.f′(x)=3(x−1)2. Пусть f′(x)=0,f'(x)=0,f′(x)=0, тогда x=1.x=1.x=1. Затем проверка знака f′(x)f’(x)f′(x) вокруг x=1x=1x=1 говорит нам, что f′(x)>0f’(x)>0f′(x)>0 для x<1x<1x<1 и f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0 для x>1.x>1.x>1. Это означает, что f(x)f(x)f(x) не имеет локальных экстремумов, а наклон функции никогда не меняет знак.

Следовательно, количество локальных экстремумов равно 0. □ _\квадрат □​

Цитировать как: Экстремумы (локальные и абсолютные). Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/extrema/

Секундные производные и далее — Экстремальные точки и как их найти

Предыдущий Следующий

Максимальное значение функции f  ( x ) = — x ² -1 IS y = -1:

Максимальное значение функции F ( x ) = COS x — Y = 1:

33333343333018 годы. также называемые экстремумами , это места, где функция принимает экстремальное значение , то есть значение, которое особенно мало или особенно велико по сравнению с другими близкими значениями функции. Экстремумы выглядят как вершины холмов и подошвы долин. Время отправиться в поход.

Существует два типа крайних точек: минимум (долины) и максимум (холмы).

Экстремальные точки могут быть локальными или глобальными , но об этом мы поговорим позже.

Нам нужно определить минимальное и максимальное значения без на интервале бит.

минимальное значение функции — это y -значение функции, которое является таким же низким или ниже, чем другие значения функции поблизости. Минимум выглядит долиной:

Минимум во множественном числе равен минимуму .

Проблема выборки

Минимальное значение функции F ( x ) = x ² + 1 — y = 1:

Проблема выборки

. f  ( x ) = cos x равно y = -1:

Функция может иметь несколько минимумов.

Пример задачи

Функция, показанная ниже, имеет два минимума: y = 0 и y = 1.

Функция может иметь бесконечно много минимумов.

Пример задачи

Функция, изображенная на графике, имеет бесконечно много минимумов:

Функция может вообще не иметь минимумов.

Пример задачи

Функция f  ( x ) = — x ² не имеет минимумов, так как для каждого значения функции рядом есть меньшие значения:

Будьте осторожны: Существует разница между минимумом функции (значение y ) и тем, где этот минимум встречается (значение x ).

Задача выборки

Минимальное значение функции F ( x ) = x ² + 1 — y = 1, и этот минимум происходит в x = 0:

7777777777777777777 гг.

Пример задачи

Функция f  ( x ) = cos x имеет только одно минимальное значение, y = -1. Однако это минимальное значение встречается в бесконечном количестве мест, например, x = π + 2 n π для каждого целого числа n :

Функция может иметь несколько максимумов.

Пример задачи

Функция, изображенная на графике, имеет два максимума: y = 2 и y = 3.

Функция может иметь бесконечно много максимумов.

Пример задачи

Функция, изображенная на графике, имеет бесконечно много максимумов:

Функция может вообще не иметь максимумов.

Пример задачи

Функция f  ( x ) = x ² не имеет максимума, так как для каждого значения функции рядом есть большие значения:

900 — это разница между максимумом функции (значение и ) и тем, где этот максимум встречается (значение x -значение).

Пример задачи

Максимальное значение функции f  ( x ) = — x ²  – 1 равно y = -1, и этот максимум приходится на 0:7 0 x

Пример задачи

Функция f  ( x ) = cos x имеет только одно максимальное значение, y = 1. Однако это максимальное значение встречается в бесконечном количестве мест, например, в . х = 2π n для каждого целого числа n :

• Поиск и классификация экстремальных точек

  Оставайтесь стильными, Сан-Диего. Если у нас есть функция f , определенная на всей прямой, любые экстремумы должны встречаться в критических точках, поскольку это единственные точки, в которых мы можем иметь пик или впадину:

  Любые другие точка не может быть экстремальной, потому что функция вот-вот станет больше или меньше:

  Если у нас есть функция, определенная на замкнутом интервале, на концах этого интервала также будут экстремальные точки:

  Следовательно, мы знаем, как найти все интересные точки (т. крайняя):

  • Найти все критические точки.
      
  • Если вы смотрите на функцию на замкнутом интервале, укажите конечные точки интервала.

  На данный момент у нас есть все места где крайние точки может случиться . Однако критическая точка не обязательно должна быть максимальной или минимальной.

  После нахождения всех значений x , где могут встречаться экстремальные точки, нам все равно нужно проверить каждое значение x , чтобы увидеть, действительно ли оно является экстремальной точкой, и если да, то какого типа (максимальное или минимальное).

  Есть три способа определить, является ли каждая найденная возможная крайняя точка максимумом, минимумом или ни тем, ни другим. Увы, первый способ, хотя и самый простой, обычно не принимается в качестве ответа на экзаменах. Тем не менее, это может быть хорошим способом проверить свою работу.

  • Воспользуйтесь графическим калькулятором, чтобы построить график функции вблизи возможного экстремума. Затем используйте свои глаза, чтобы увидеть, что это за точка.
      
  • Используйте тест первой производной
      
  • Используйте тест второй производной

  Эта математика пригодится для оптимизации, которая представляет собой искусство классификации экстремальных точек, но с большим количеством текстовых задач, наложенных сверху.

• Первый тест производной

  Пример задачи

  1. Ниже приведен график функции f с минимумом при x = x ₀ . Определите знак производной f ‘ для каждого помеченного x значения.
     
  2. Ниже приведен график функции f с максимумом при x = x ₀ . Определите знак производной f ‘ для каждого помеченного x значения.
     

  Минимум, при условии, что он не находится в конечной точке интервала, обычно выглядит так:

  Производная равна нулю (или не определена) в месте минимума:

  Поскольку функция должна уменьшаться до минимума, а затем возрастать от минимума, производная отрицательна влево и положительна влево справа от места, где встречается минимум:

  Мы можем использовать числовую линию для отслеживания знака f  ‘ следующим образом:

  Максимум, если предположить, что он не находится в конечной точке интервала, обычно выглядит так:

  Производная равна нулю (или не определена) в месте максимума:

  Поскольку функция должна возрастать до максимума, а затем убывать от максимума, производная положительна влево и отрицательна влево справа от места, где встречается максимум:

  Мы можем использовать числовую линию для отслеживания знака f  ‘ следующим образом:

  Если у нас нет графика функции, мы Можно пойти и наоборот: сначала мы делаем числовую линию и используем ее, чтобы определить, является ли критическая точка f — максимум, минимум или ни то, ни другое. Мы находим знак f ‘ немного левее критической точки и немного правее критической точки.

  Но если мы столкнемся с чем-то подобным, критическая точка не будет ни минимальной, ни максимальной: мин или макс или ни то, ни другое.

• Тест второй производной

  Примеры задач

  • Предположим, что f определено и дважды дифференцируемо на всей прямой. Около минимума функции f f вогнута вверх или вогнута вниз?
      
  • Предположим, что f определено и дважды дифференцируемо на всей прямой. Около максимума функции f f вогнута вверх или вогнута вниз?

  Минимум f обычно встречается на дне чаши с правой стороной вверх:

  Наличие чаши с правой стороной вверх означает, что f здесь вогнуто.

  Максимум f обычно встречается в верхней части перевернутой чаши:

  Наличие перевернутой чаши означает, что f здесь вогнуто вниз.

  Тест второй производной говорит:

  • Если f вогнуто вокруг критической точки, эта критическая точка является минимальной.
      
  • Если f имеет вогнутую форму вокруг критической точки, эта критическая точка является максимальной.

  Это верно, потому что если f вогнуто вокруг критической точки, f выглядит так:

  Такая критическая точка должна быть минимальной. С другой стороны, если f вогнуто вокруг критической точки, то f выглядит так:

  Такая критическая точка должна быть максимальной.

  Будьте осторожны: Если f  » равно нулю в критической точке, мы не можем использовать критерий второй производной, потому что мы не знаем вогнутости f вокруг критической точки.

  Be Осторожно: Иногда с этим тестом возникает путаница, потому что люди думают, что функция вогнутости вверх должна соответствовать максимуму. Вот почему картинки полезны. Если мы вспомним, как выглядит функция вогнутости , все будет в порядке.

  Есть хороший вопрос, который сейчас возникает у большинства людей: если вам не говорят, что использовать, как вы узнаете, использовать ли тест первой производной или тест второй производной?0017

  Хорошая новость в том, что часто это не имеет значения. Когда можно использовать и тест первой производной, и тест второй производной, они дадут один и тот же ответ.

  Другая хорошая новость заключается в том, что обычно вы можете выполнить любой тест, который проще. Иногда нахождение второй производной не приносит удовольствия, как, например, в случае с функцией

  . Первая производная равна

  , и хотя мы могли бы найти вторую производную, это некрасиво, и мы не хотим заморачиваться. В этом случае, вероятно, имеет смысл подставить пару чисел и посмотреть, что делает знак первой производной. Иногда проверка второй производной вообще не работает (если f  » равно 0 в критической точке), и в этом случае нам нужно использовать тест первой производной.

  С другой стороны, иногда вы можете видеть, что вторая производная действительно хороша. Возьмем функцию

  f ( x ) = x ² + 4 x + 1.

  Первая производная —

  F ‘( x ) = 2 x + 4

  и ( x ) = 2 x + 4

  ‘ ( x ) = 2 x + 4
  ‘( x ) = 2 x + 4
  ‘ ( x ) = 2 x + 4
  ‘( x ) = 2 x + 4 производная

  f  «( x ) = 2,

  , что всегда положительно. Поэтому f всегда вогнуты вверх, поэтому любая критическая точка должна быть минимальной. Второй производный тест для этого — кусок пирога.

  No related posts.

  Добавить комментарий Отменить ответ

  Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

  Комментарий *

  Имя *

  Email *

  Сайт

f»(x)f»(x)f»(x)	Экстремум?
Положительный	Минимум
Отрицательный	Максимум