Теория вероятностей
Теория вероятностей
ОглавлениеГлава 1. ВведениеПРЕДИСЛОВИЕ 1.  Теория вероятностей: 1.2. Краткие исторические сведения Глава 2. Основные понятия теории вероятностей 2.1. Событие. Вероятность события 2.2. Непосредственный подсчет вероятностей 2.3. Частота, или статистическая вероятность, события 2.4. Случайная величина 2.5. Практически невозможные и практически достоверные события. Принцип практической универсальности Глава 3. Основные теоремы теории вероятностей 3.1. Назначение основных теорем. Сумма и произведение событий 3.2. Теорема сложения вероятностей 3.3. Теорема умножения вероятностей 3.4. Формула полной вероятности 3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) Глава 4. Повторение опытов 4.1. Частная теорема о повторении опытов 4.2. Общая теорема о повторении опытов Глава 5. Случайные величины и их законы распределения 5.1. Ряд распределения. Многоугольник распределения 5.2. Функция распределения 5.3. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок 5.  4. Плотность распределения5.5. Числовые характеристики случайных величин. Их роль и назначение 5.6. Характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана) 5.7. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратичное отклонение 5.8. Закон равномерной плотности 5.9. Закон Пуассона Глава 6. Нормальный закон распределения 6.1. Нормальный закон распределения и его параметры 6.2. Моменты нормального распределения 6.3. Вероятность попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону, на заданный участок. Нормальная функция распределения 6.4. Вероятное (срединное) отклонение Глава 7. Определение законов распределения случайных величин на основе опытных данных 7.1. Основные задачи математической статистики 7.2. Простая статистическая совокупность. Статистическая функция распределения 7.4 Числовые характеристики статистического распределения 7.5. Выравнивание статистических рядов 7.6. Критерии согласия Глава 8.  Системы случайных величин8.1. Понятие о системе случайных величин 8.2. Функция распределения системы двух случайных величин 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин 8.4. Законы распределения отдельных величин, входящих в систему. Условные законы распределения 8.5 Зависимые и независимые случайные величины 8.6. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции 8.7. Система произвольного числа случайных величин 8.8. Числовые характеристики системы нескольких случайных величин Глава 9. Нормальный закон распределении дли системы случайных величин 9.1. Нормальный закон на плоскости 9.2 Эллипсы рассеивания. Приведение нормального закона к каноническому виду 9.3. Вероятность попадания в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания 9.4. Вероятность попадания в эллипс рассеивания 9.5. Вероятность попадания в область произвольной формы 9.6. Нормальный закон в пространстве трех измерений.  Общая запись нормального закона для системы произвольного числа случайных величинГлава 10. Числовые характеристики функций случайных величин 10.1. Математическое ожидание функции. Дисперсия функции 10.2. Теоремы о числовых характеристиках 10.3. Применения теорем о числовых характеристиках Глава 11. Линеаризация функций 11.1. Метод линеаризации функций случайных аргументов 11.2. Линеаризация функции одного случайного аргумента 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов Глава 12. Законы распределения функций случайных аргументов 12.1. Закон распределения монотонной функции одного случайного аргумента 12.2. Закон распределения линейной функции от аргумента, подчиненного нормальному закону 12.3. Закон распределения немонотонной функции одного случайного аргумента 12.4. Закон распределения функции двух случайных величин 12.5. Закон распределения суммы двух случайных величин.  Композиция законов распределения12.6. Композиция нормальных законов 12.7. Линейные функции от нормально распределенных аргументов 12.8. Композиция нормальных законов на плоскости Глава 13. Предельные теоремы теории вероятностей 13.1. Закон больших чисел и центральная предельная теорема 13.2. Неравенство Чебышева 13.3. Закон больших чисел (теорема Чебышева) 13.4. Обобщенная теорема Чебышева. Теорема Маркова 13.5. Следствия закона больших чисел: теоремы Бернулли и Пуассона 13.6. Массовые случайные явления и центральная предельная теорема 13.7. Характеристические функции 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых 13.9. Формулы, выражающие центральную предельную теорему и встречающиеся при ее практическом применении Глава 14. Обработка опытов 14.1. Особенности обработки ограниченного числа опытов. Оценки дли неизвестных параметров закона распределения 14.2. Оценки для математического ожидания и дисперсии 14.  3. Доверительный интервал. Доверительная вероятность14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону 14.5. Оценка вероятности по частоте 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов Глава 15. Основные понятия теории случайных функций 15.1. Понятие о случайной функции 15.2. Понятие о случайной функции как расширение понятия о системе случайных величин. Закон распределения случайной функции 15.3. Характеристики случайных функций 15.4. Определение характеристик случайной функции из опыта 15.5. Методы определения характеристик преобразованных случайных функций по характеристикам исходных случайных функций 15.6. Линейные и нелинейные операторы. Оператор динамической системы 15.7. Линейные преобразования случайных функций 15.7.1. Интеграл от случайной функции 15.  7.2. Производная от случайной функции15.8. Сложение случайных функций 15.9. Комплексные случайные функции Глава 16. Канонические разложения случайных функций 16.1. Идея метода канонических разложений. Представление случайной функции в виде суммы элементарных случайных функций 16.2. Каноническое разложение случайной функции 16.3. Линейные преобразования случайных функций, заданных каноническими разложениями Глава 17. Стационарные случайные функции 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий 17.3. Спектральное разложение стационарной случайной функции на бесконечном участке времени. Спектральная плотность стационарной случайной функции 17.4. Спектральное разложение случайной функции в комплексной форме 17.5. Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной системой 17.6. Применения теории стационарных случайных процессов к решению задач, связанных с анализом и синтезом динамических систем 17.  17.8. Определение характеристик эргодической стационарной случайной функции по одной реализации Глава 18. Основные понятия теории информации 18.1. Предмет и задачи теории информации 18.2. Энтропия как мера степени неопределенности состояния физической системы 18.3. Энтропия сложной системы. Теорема сложения энтропий 18.4. Условная энтропия. Объединение зависимых систем 18.5. Энтропия и информация 18.6. Частная информация о системе, содержащаяся в сообщении о событии. Частная информация о событии, содержащаяся в сообщении о другом событии 18.7. Энтропия и информация для систем с непрерывным множеством состояний 18.8. Задачи кодирования сообщений. Код Шеннона-Фэно 18.9. Передача информации с искажениями. Пропускная способность канала с помехами Глава 19. Элементы теории массового обслуживания 19.1. Предмет теории массового обслуживания 19.2. Случайный процесс со счетным множеством состояний 19.  3. Поток событий. Простейший поток и его свойства19.4 Нестационарный пуассоновский поток 19.5. Поток с ограниченным последействием (поток Пальма) 19.6. Время обслуживания 19.7. Марковский случайный процесс 19.8. Система массового обслуживания с отказами. Уравнения Эрланга 19.9. Установившийся режим обслуживания. Формулы Эрланга 19.10. Система массового обслуживания с ожиданием 19.11. Система смешанного типа с ограничением по длине очереди Приложения Таблица 1 Значения нормальной функции распределения Таблица 2. Значения экспоненциальной функции Таблица 3. Значения нормальной функции Таблица 4. Значения “хи-квадрат” в зависимости от r и p Таблица 5. Значения удовлетворяющие равенству Таблица 6. Таблица двоичных логарифмов целых чисел от 1 до 100 Таблица 8. Значения распределение Пуассона |
Метрология и стандартизация
Поможем написать любую работу на аналогичную тему
Реферат
Метрология и стандартизация
От 250 руб
Контрольная работа
Метрология и стандартизация
От 250 руб
Курсовая работа
Метрология и стандартизация
От 700 руб
Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Узнать стоимость
Метроло́гия — наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности.
Предметом метрологии является извлечение количественной информации о свойствах объектов с заданной точностью и достоверностью; нормативная база для этого — метрологические стандарты.
Метрология состоит из трёх основных разделов:
- Теоретическая или фундаментальная — рассматривает общие теоретические проблемы (разработка теории и проблем измерений физических величин, их единиц, методов измерений).
- Прикладная — изучает вопросы практического применения разработок теоретической метрологии. В её ведении находятся все вопросы метрологического обеспечения.
- Законодательная — устанавливает обязательные технические и юридические требования по применению единиц физической величины, методов и средств измерений.
Стандартиза́ция — деятельность по разработке, опубликованию и применению стандартов, по установлению норм, правил и характеристик в целях обеспечения безопасности продукции, работ и услуг для окружающей среды, жизни, здоровья и имущества, технической и информационной совместимости, взаимозаменяемости и качества продукции, работ и услуг в соответствии с уровнем развития науки, техники и технологии, единства измерений, экономии всех видов ресурсов, безопасности хозяйственных объектов с учётом риска возникновения природных и техногенных катастроф и других чрезвычайных ситуаций, обороноспособности и мобилизационной готовности страны.
Стандартизация направлена на достижение оптимальной степени упорядочения в определенной области посредством установления положений для всеобщего и многократного применения в отношении реально существующих или потенциальных задач.
За реализацию норм стандартизации отвечают органы стандартизации, наделенные законным правом руководить разработкой и утверждать нормативные документы и другие правила, придавая им статус стандартов.
В области промышленности стандартизация ведет к снижению себестоимости продукции, поскольку:
- позволяет экономить время и средства за счет применения уже разработанных типовых ситуаций и объектов;
- повышает надежность изделия или результатов расчетов, поскольку применяемые технические решения уже неоднократно проверены на практике;
- упрощает ремонт и обслуживание изделий, так как стандартные узлы и детали — взаимозаменяемые (при условии, что сборка осуществлялась без пригоночных операций).
На нашем сайте предоставлены учебные материалы для студентов, по метрологии и стандартизации. Суммарно около
Внимание!
Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.
Расчет стоимостиГарантииОтзывы
Что такое доверительный интервал и как его рассчитать?
Что такое доверительный интервал?
Доверительный интервал в статистике относится к вероятности того, что параметр совокупности будет находиться между набором значений в течение определенного количества раз. Аналитики часто используют доверительные интервалы, которые содержат 95% или 99% ожидаемых наблюдений. Таким образом, если точечная оценка получена на основе статистической модели 10,00 с 95% доверительным интервалом 9,50–10,50, можно сделать вывод, что существует 95% вероятность того, что истинное значение попадает в этот диапазон.
Статистики и другие аналитики используют доверительные интервалы, чтобы понять статистическую значимость своих оценок, выводов или прогнозов. Если доверительный интервал содержит нулевое значение (или какую-либо другую нулевую гипотезу), то нельзя удовлетворительно заявить, что результат данных, полученных в результате тестирования или экспериментов, следует отнести к конкретной причине, а не к случайности.
Основные выводы
- Доверительный интервал показывает вероятность того, что параметр окажется между парой значений около среднего.
- Доверительные интервалы измеряют степень неопределенности или уверенности в методе выборки.
- Они также используются при проверке гипотез и регрессионном анализе.
- Статистики часто используют p-значения в сочетании с доверительными интервалами для оценки статистической значимости.
- Они чаще всего строятся с использованием доверительной вероятности 95% или 99%.
Понимание доверительных интервалов
Доверительные интервалы измеряют степень неопределенности или уверенности в методе выборки.
Они могут принимать любое количество пределов вероятности, наиболее распространенным из которых является уровень достоверности 95% или 99%. Доверительные интервалы определяются с использованием статистических методов, таких как t-критерий.
Статистики используют доверительные интервалы для измерения неопределенности выборочной переменной. Например, исследователь случайным образом выбирает разные образцы из одной и той же совокупности и вычисляет доверительный интервал для каждой выборки, чтобы увидеть, как он может представлять истинное значение переменной совокупности. Результирующие наборы данных все разные; некоторые интервалы включают параметр истинной популяции, а другие нет.
Доверительный интервал — это диапазон значений, ограниченный выше и ниже среднего статистического значения, который, вероятно, будет содержать неизвестный параметр генеральной совокупности. Уровень достоверности относится к проценту вероятности или уверенности в том, что доверительный интервал будет содержать истинный параметр генеральной совокупности, когда вы делаете случайную выборку много раз.
Или, говоря простым языком, «мы на 99% уверены (уровень достоверности), что большинство этих выборок (доверительные интервалы) содержат истинный параметр совокупности».
Самое большое заблуждение относительно доверительных интервалов заключается в том, что они представляют собой процент данных из данной выборки, которые находятся между верхней и нижней границами. Например, можно ошибочно интерпретировать вышеупомянутый 99% доверительный интервал от 70 до 78 дюймов как указание на то, что 99% данных в случайной выборке попадают между этими числами. Это неверно, хотя для такого определения существует отдельный метод статистического анализа. Для этого необходимо определить среднее значение и стандартное отклонение выборки и нанести эти цифры на кривую нормального распределения.
Доверительный интервал и уровень достоверности взаимосвязаны, но это не одно и то же.
Расчет доверительного интервала
Предположим, группа исследователей изучает рост баскетболистов средней школы.
Исследователи берут случайную выборку из населения и устанавливают средний рост 74 дюйма.
Среднее значение 74 дюйма является точечной оценкой среднего значения населения. Точечная оценка сама по себе имеет ограниченную полезность, поскольку она не раскрывает неопределенность, связанную с оценкой; у вас нет четкого представления о том, насколько далеко это 74-дюймовое среднее значение выборки может быть от среднего значения генеральной совокупности. Чего не хватает, так это степени неопределенности в этой единственной выборке.
Доверительные интервалы предоставляют больше информации, чем точечные оценки. Установив 95% доверительный интервал, используя среднее значение выборки и стандартное отклонение и предполагая нормальное распределение, представленное кривой нормального распределения, исследователи получают верхнюю и нижнюю границы, которые содержат истинное среднее значение в 95% случаев.
Предположим, что интервал составляет от 72 дюймов до 76 дюймов. Если исследователи возьмут 100 случайных выборок из популяции баскетболистов средней школы в целом, среднее значение должно быть между 72 и 76 дюймами за 9 лет.
5 таких образцов.
Если исследователям нужна еще большая уверенность, они могут расширить интервал до 99% достоверности. Это неизменно создает более широкий диапазон, поскольку освобождает место для большего количества выборочных средних. Если они установят 99% доверительный интервал между 70 и 78 дюймами, они могут ожидать, что 99 из 100 оцененных образцов будут содержать среднее значение между этими числами.
С другой стороны, уровень достоверности 90% означает, что мы ожидаем, что 90% интервальных оценок будут включать параметр генеральной совокупности и так далее.
Что показывает доверительный интервал?
Доверительный интервал — это диапазон значений, ограниченный выше и ниже среднего статистического значения, который, вероятно, будет содержать неизвестный параметр генеральной совокупности. Уровень достоверности относится к проценту вероятности или уверенности в том, что доверительный интервал будет содержать истинный параметр генеральной совокупности, когда вы делаете случайную выборку много раз.
Для чего используются доверительные интервалы?
Статистики используют доверительные интервалы для измерения неопределенности выборочной переменной. Например, исследователь случайным образом выбирает разные образцы из одной и той же совокупности и вычисляет доверительный интервал для каждой выборки, чтобы увидеть, как он может представлять истинное значение переменной совокупности. Результирующие наборы данных все разные, где некоторые интервалы включают истинный параметр совокупности, а другие нет.
Какое распространенное заблуждение о доверительных интервалах?
Самое большое заблуждение относительно доверительных интервалов состоит в том, что они представляют собой процент данных из данной выборки, которые находятся между верхней и нижней границами. Другими словами, было бы неверным предполагать, что доверительный интервал 99 % означает, что 99 % данных в случайной выборке попадают в эти пределы. На самом деле это означает, что можно быть на 99% уверенным, что диапазон будет содержать среднее значение генеральной совокупности.
Что такое Т-тест?
Доверительные интервалы определяются с использованием статистических методов, таких как t-критерий. Стьюдентный тест — это тип логической статистики, используемый для определения того, существует ли значительная разница между средними значениями двух групп, которая может быть связана с определенными функциями. Для расчета t-критерия требуются три значения ключевых данных. Они включают разницу между средними значениями из каждого набора данных (называемую средней разницей), стандартное отклонение каждой группы и количество значений данных в каждой группе.
Как вы интерпретируете P-значения и доверительный интервал?
Значение p — это статистическое измерение, используемое для проверки гипотезы на основе наблюдаемых данных, которое измеряет вероятность получения наблюдаемых результатов при условии, что нулевая гипотеза верна. Как правило, значение p менее 0,05 считается статистически значимым, и в этом случае нулевую гипотезу следует отклонить.
Это может в некоторой степени соответствовать вероятности того, что значение нулевой гипотезы (которое часто равно нулю) содержится в 95% доверительный интервал.
Практический результат
Доверительные интервалы позволяют аналитикам понять вероятность того, что результаты статистического анализа являются реальными или случайными. При попытке сделать выводы или прогнозы на основе выборки данных будет некоторая неопределенность в отношении того, действительно ли результаты такого анализа соответствуют изучаемой популяции в реальном мире. Доверительный интервал отображает вероятный диапазон, в пределах которого должно находиться истинное значение.
Доверительные интервалы — Средства обучения статистике
Что такое доверительный интервал?
Доверительный интервал — это диапазон измерения, который показывает, насколько точным является измерение. Для большинства программ лечения хронических заболеваний и травм рассматриваемым показателем является пропорция или показатель (процент жителей Нью-Йорка, которые регулярно занимаются спортом, или уровень заболеваемости раком легких).
Доверительные интервалы часто можно увидеть в новостях, когда публикуются результаты опросов. Это пример из Associate Press от 19 октября.96:
Последний опрос ABC News-Washington Post показал, что 56 процентов отдают предпочтение Клинтон, а 39 процентов проголосовали бы за Доула. Телефонный опрос ABC News-Washington Post среди 1014 взрослых был проведен 8-10 марта и имел погрешность плюс-минус 3,5 процентных пункта. (выделено мной).
Хотя это и не указано, представленная здесь погрешность, вероятно, представляет собой 95-процентный доверительный интервал. Проще говоря, это означает, что существует 95-процентный шанс, что за Боба Доула проголосуют от 35,5 до 42,5 процента избирателей (39 процентов плюс-минус 3,5 процента). И наоборот, существует 5-процентная вероятность того, что менее 35,5 процента избирателей или более 42,5 процента избирателей проголосуют за Боба Доула.
Точное статистическое определение 95-процентного доверительного интервала состоит в том, что если бы опрос по телефону проводился 100 раз, то в 95-кратном размере процент респондентов, поддерживающих Боба Доула, оказался бы в пределах расчетного доверительного интервала, а пятикратный процент, поддерживающий Доула, был бы выше или ниже диапазона доверительных интервалов.
Вместо 95-процентных доверительных интервалов можно также использовать доверительные интервалы, основанные на различных уровнях значимости, например, 90-процентном или 99-процентном. Уровень значимости — это статистический показатель того, насколько вы готовы ошибаться. При 95-процентном доверительном интервале у вас есть 5-процентный шанс ошибиться. При 90-процентном доверительном интервале у вас есть 10-процентная вероятность ошибиться. 99-процентный доверительный интервал будет шире, чем 95-процентный доверительный интервал (например, плюс-минус 4,5 процента вместо 3,5 процента). А 90-процентный доверительный интервал будет уже (например, плюс-минус 2,5 процента).
О чем говорит доверительный интервал?
Доверительный интервал говорит вам больше, чем просто возможный диапазон вокруг оценки. Это также говорит вам о том, насколько стабильна оценка. Стабильная оценка – это оценка, которая была бы близка к тому же значению, если бы опрос был повторен. Нестабильная оценка — это оценка, которая будет варьироваться от одной выборки к другой.
Более широкие доверительные интервалы по отношению к самой оценке указывают на нестабильность. Например, если 5 процентов избирателей не определились, но погрешность вашего опроса составляет плюс-минус 3,5 процента, то оценка относительно нестабильна. В одной выборке избирателей 2% могут сказать, что они не определились, а в следующей выборке 8% не определились. Это в четыре раза больше неопределившихся избирателей, но оба значения все еще находятся в пределах погрешности исходной выборки опроса.
С другой стороны, узкие доверительные интервалы по отношению к точечной оценке говорят о том, что расчетное значение относительно стабильно; что повторные опросы дадут примерно такие же результаты.
Как рассчитываются доверительные интервалы?
Доверительные интервалы рассчитываются на основе стандартной ошибки измерения. Для выборочных обследований, таких как президентский телефонный опрос, стандартная ошибка представляет собой расчет, который показывает, насколько хорошо опрос (выборочная оценка) может быть использован для аппроксимации истинного значения (параметра населения), т.