Пример 1. Показать, что линейная функция обратима. Найти обратную к ней функцию.
Функция принимает каждое свое значение только при одном значении аргумента, поскольку линейное уравнениеимеет только один корень (рис.6). Значит, эта функция имеет обратную функцию , которая определена на , так как — множеством значений функции (рис.7). Обратная функция произвольному числу ставит в соответствие число , которое определяется условием (рис.7). Выразив из этого равенства , получаем . Значит, для каждого имеем , то есть .
Обозначив аргумент обратной функции буквой х, а зависимую переменную буквой , то есть, поменяв переменные местами, получим . Итак, обратной функцией к линейной функции будет функция , которая также является линейной.
Замечание.
При решении задач можно обозначать
произвольное значение аргумента обратной
функции буквой
,
а не
,
как это для ясности сделано в разобранных
примерах.
Пусть обратимая функция, заданная формулой. На основании определения обратной функции можно сформулировать порядок действий для нахождения функции, обратной к функции .
Из равенства выразить через , то есть решить уравнение относительно неизвестной .
В полученной формуле обратной функции обозначить аргумент функции буквой х, а зависимую переменную — буквой , то есть, поменять переменные местами.
Теорема. Если функция является возрастающей (или убывающей), то она обратима.
Пусть
для определенности функция является возрастающей. Возьмем два
различных значения аргумента, меньшее
обозначим через
,
большее — через
,
то есть
.
Из этого неравенства в силу определения
возрастающей функции следует, что
,
а значит
.
Поэтому разным значениям аргумента
соответствуют разные значения функции
и, следовательно, функция обратима.
Отметим, что любая линейная функция обратима, если , поскольку является либо возрастающей, либо убывающей функцией, в зависимости от знака коэффициента . Обратима также возрастающая функция .
Если функция задана формулой и нам неизвестен ее график, то определить, будет ли функция обратимой можно только путем исследования количества корней уравнения . Если при некотором значении их два или более, то функция не является обратимой.
Если известен график обратимой функции, то график обратной функции можно построить путем преобразования графика функции . Следующая теорема определяет вид этого преобразования.
Теорема. График функции и график обратной к ней функции симметричны относительно прямой .
Пусть
точка с координатами принадлежит графику функции
,
то есть
.
Тогда, по определению обратной функции
.
Докажем, что точки и симметричны относительно прямой . Для определенности рассмотрим случай, когда точка лежит в первом координатном угле и . Проведем через точки и прямые, перпендикулярные осям координат (рис.8). Прямоугольник является квадратом, так как имеет равные смежные стороны:. Вершины квадрата , точки и , имеют координаты и , соответственно, и, значит, принадлежат прямой (рис.9). Поскольку диагонали квадрата перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, то точки и симметричны относительно диагонали , а, следовательно, и относительно прямой .
Таким
образом, мы доказали, что точка плоскости,
симметричная точке графика функции относительно прямой
,
принадлежат графику обратной функции
.
Аналогично доказывается, что верно и
обратное утверждение: точка, симметричная
точке графика обратной функции относительно прямой
,
принадлежат графику функции
.
Идентификация функций из графиков
Для многих функций мы можем получить графики. Но не каждый график будет представлять функцию. Следующий тест поможет нам определить, является ли данный график функцией или нет.
Проверка вертикальной линии
Это инструмент, который можно использовать для проверки того, представляет ли данный график функцию или нет.
Ниже приведены шаги проверки вертикальной линии:
Шаг 1:
Проведите вертикальную линию в любом месте на данном графике.
Шаг 2 :
Нам нужно проверить, пересекает ли вертикальная линия, проведенная на графике, график не более чем в одной точке.
Шаг 3 :
Если вертикальная линия пересекает график не более чем в одной точке, то данный график представляет собой функцию.
Если вертикальная линия пересекает график более чем в одной точке, то данный график не представляет функцию.
Внимание! :
Для некоторых графиков вертикальная линия будет пересекать график в одной точке в одном месте и более чем в одной точке в другом месте.
В приведенной выше ситуации график не будет представлять функцию.
Ключевое понятие:
График представляет функцию, только если каждая вертикальная линия пересекает график не более чем в одной точке.
Пример 1 :
Используйте тест вертикальной линии, чтобы определить, представляет ли приведенный ниже график функцию.
Решение:
Данный график не представляет функцию, так как вертикальная линия пересекает график в двух точках P и Q.
Пример 2 :
Используйте тест вертикальной линии, чтобы определить, представляет ли приведенный ниже график функцию.
Решение:
Данный график представляет собой функцию, так как любая вертикальная линия пересекает график не более чем в одной точке P. функция.
Решение:
Данный график не представляет функцию, так как вертикальная линия пересекает график в двух точках A и B.
Пример 4 :
Используйте тест вертикальной линии, чтобы определить, представляет ли приведенный ниже график функцию.
Решение:
Данный график представляет собой функцию, поскольку он удовлетворяет критерию вертикальной линии.
Пожалуйста, отправьте ваш отзыв на [email protected]
Мы всегда ценим ваши отзывы.
©Все права защищены. onlinemath5all.com
- Домашняя страница
- Сб Математическая практика
- SAT Math Worksheets
- Laws of Exponents
- PEMDAS Rule
- BODMAS rule
- GEMDAS Order of Operations
- Math Calculators
- Transformations of Functions
- Order of rotational symmetry
- Lines of symmetry
- Compound Angles
- Трюки с количественными способностями
- SOHCAHTOA
- Таблица тригонометрических соотношений
- Словесные задачи
- Сокращения таблицы умножения
- 10 -е решение CBSE
- PSAT Math Preparation
- Политика конфиденциальности
- около США
- Связаться с США
- Математика
Написать уравнение полинома на основе.
380 практических тестов
Вопрос дня
Карточки
Learn by ConceptPrecalculus Help » Полиномиальные функции » Графики полиномиальных функций » Напишите уравнение полиномиальной функции на основе ее графика
Каким может быть уравнение для этого графика?
Возможные ответы:
Объяснение:
Этот график имеет нули на 3, -2 и -4,5. Это означает, что , , и . С этим последним корнем легче работать, если мы рассмотрим его как и упростим до . Кроме того, это отрицательный многочлен, потому что он убывает, увеличивается, уменьшается, а не наоборот.
Наше уравнение получается в результате умножения , в результате чего получается .
Сообщить об ошибке
Запишите квадратичную функцию для графика:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Потому что нет X-Intercepts, используйте форму, где вершина, SO, в том, что дает
Отчет о ошибке
004
Запишите квадратичную функцию для графика:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Метод 1:
Х-пересечения равны .
Эти значения были бы получены, если бы исходный квадратичный коэффициент был разложен на множители или преобразован в FOIL, а коэффициенты были установлены равными нулю.
Для , . За , . Эти уравнения определяют результирующие факторы и результирующую функцию; .
Умножение множителей и упрощение,
.
Ответ: .
Способ 2:
Используйте форму , где вершина.
это , значит , .
Ответ:
Отчет о ошибке
Напишите уравнение для полинома на этом графике:
Возможные ответы:
.0148
Правильный ответ:
Объяснение:
Нули этого полинома равны .
Это означает, что коэффициенты равны нулю, когда эти значения подставляются вместо x.
умножить обе стороны на 2
так что один множитель равен
умножить обе стороны на 3
так что один множитель равен
так что один множитель равен
три фактора
Отчет о ошибке
Напишите уравнение для полинома, показанного на этом графике:
Возможные ответы:
Правильный ответ:667 Объяснение:
Нули этого многочлена равны . Это означает, что множители равны нулю, когда эти значения подставлены.
Один множитель равен
Один множитель равен
Третий множитель эквивалентен . Установить равным 0 и умножить на 2:
Умножьте эти три фактора:
График отрицательный, так как он идет вниз, затем вверх, затем вниз, поэтому мы должны поменять местами все знаки: уравнение для многочлена на графике:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Нули многочлена равны .