Как построить график модуль в модуле: Модуль в модуле. Графический метод

Построение графиков функций, содержащих знак модуля

Цель урока: получение более широких знаний о модуле числа, различных способах решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины.

Задачи урока: использование различных методов исследования: теоретический и практический (решение задач), а так же исследовательский, расширение познавательного интереса к изучению алгебры, углубление знаний по теории модуля и решение задач, выходящих за пределы школьных учебников.

Оборудование: мультимедийное оборудование, компьютер, классная доска, планшет, творческие тетради, копировальная бумага.

1. Организационный момент.

2. Вступительное слово учителя.

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово, которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках.

В архитектуре — это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике — это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и т.п.

Модуль объемного сжатия (в физике) — отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

3. Повторение

Чтобы глубоко изучать данную тему, нужно вспомнить простейшие определения, которые нам будут необходимы. Вопросы:

1. Что называется уравнением? (Уравнение – это равенство, содержащее переменные.)
2. Что называется уравнением с модулем? (Уравнение с модулем – это уравнение, содержащее переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля). Привести пример уравнения с модулем, используя планшет.)
3. Что значит решить уравнение? (Решить уравнение – это значит, найти все его корни, или доказать, что корней нет. Привести пример уравнения, используя планшет).
4. Используя планшет, изобразить график функции y=x, y=-x, y=x+2, y=2x.

В математике модуль имеет несколько значений, но сегодня мы поработаем с одним из них.

Модуль — абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой. Любое число можно изобразить точкой на координатной прямой. Расстояние этой точкой от начала отсчёта на этой прямой равно положительному числу или нулю, если точка совпадает с началом отсчёта числовой прямой. Вопросы:

1. Что называется модулем данного числа? (Расстояние точки, изображающей данное число на числовой прямой от начала этой прямой, называется модулем данного числа. )

2. Как обозначается модуль? (Модуль некоторого числа а обозначается |а| .)

Геометрический смысл модуля удобно использовать при решении некоторых уравнений.

Работа у доски.

Решим уравнение |х-6| = 9. Если число 6 мы изобразим точкой А (рисунок 1), то по определению модуля следует, что точка х стоит от точки А

на 9 единиц. Но на числовой прямой таких точек две. Одна имеет координату х = 6 + 9 = 15, а вторая имеет координату

х = 6-9 = -3.

Следовательно, данное уравнение имеет два решения: х = 15 и х = -3.

Объяснение нового материала.

Теоремы, доказательства, следствия.

При решении уравнений, содержащих несколько выражений со знаком модуля, удобнее пользоваться алгебраическим определением модуля.

Определение. Модуль числа а или абсолютная величина числа а равна а, если а больше или равно нулю и равна -а, если а меньше нуля:

Из определения следует, что для любого действительного числа а, |а|≥0.

4. Объяснение нового материала

.

Теорема 1. Абсолютная величина действительного числа а≠0 равна большему из двух чисел а или -а.

Доказательство:

1. Если число а положительно, то -а отрицательно, т. е. -а < 0 < а. Отсюда следует, что -а < а. Например, число 7 положительно, тогда -7 — отрицательно и -7< 0 < 7 отсюда -7 < 7. В этом случае |а| = а, т. е. |а| совпадает с большим из двух чисел а и — а.

2. Если а отрицательно, тогда -а положительно и а < — а, т. е. большим числом является -а. По определению, в этом случае, |а| = -а — снова, равно большему из двух чисел -а и а.

Следствие 1. Из теоремы следует, что |-а| = |а|.

В самом деле, как |-а|, так и |а

| равны большему из чисел -а и а, а значит, равны между собой

Следствие 2. Для любого действительного числа а справедливы неравенства а≤|а|, -а≤|а|.

Умножая второе равенство -а≤|а|, на -1 (при этом знак неравенства изменится на противоположный), мы получим следующие неравенства: а≤|а|, а≥-|а|, справедливые для любого действительного числа а. Объединяя последние два неравенства в одно, получаем:

-|а|≤а≤|а|.

Работа у доски.

Решим уравнение |2х-12|+|6х+48|=160. Найдем корни (нули) каждого выражения, содержащего знак модуля: 2х-12=0, х=6; 6х+48=0, х= -8.

Найденные значения х разбивают числовую прямую на три промежутка:

х<-8, —8≤ х <6, х≥6 (рисунок 2).

Решение этого уравнения рассматривается в каждом промежутке отдельно.

В промежутке х<-8 оба выражения, стоящие под знаком модуля, отрицательны. Поэтому в этом промежутке при записи уравнения без знаков модуля знаки этих выражений меняем на противоположные. Получим уравнение –(2х-12) –(6х+48)=160. откуда х=-24,5. Это значение принадлежит рассматриваемому промежутку. Значит, оно является решением данного уравнения.

Во втором промежутке —8≤х<6 первое выражение отрицательно, а второе положительно. Следовательно, в этом промежутке уравнение запишется так:

-(2х-12)-(6х+48)=160. Откуда х=25 не принадлежит к промежутку.

В третьем промежутке х≥6 оба выражения положительны. Следовательно, в этом промежутке уравнение запишется так:

(2х-12)+(6х+48)=160. Откуда х=15.8. Значит, решением данного уравнения будут значения х =-24,5 и х=15,8

Для построения графиков функций, содержащих выражения под знаком модуля, как и при решении уравнений, сначала находят корни выражений, стоящих под знаком модуля. Эти корни разбивают числовую прямую на промежутки. График строят в каждом промежутке отдельно.

В простейшем случае, когда только одно выражение стоит под знаком модуля и нет слагаемых без знака модуля, можно построить график функции, опустив знак модуля, и затем часть графика, расположенную в области отрицательных значений

у, отобразить симметрично относительно оси Ох. Это вытекает из определения модуля числа.

Функция у= |х|.

Рассмотрим график функции у=|х|, где |х| означает абсолютную величину, или модуль, числа х.

Построим её график, пользуясь определением абсолютной величины. При положительных х имеем |х|=х, т. Е. этот график совпадает с графиком у=х и является лучом, проходящим через начало координат под углом 45° к оси абсцисс. При х<0 имеем |х|=-х, значит, для отрицательных х график у=|х| совпадает с биссектрисой второго координатного угла.

Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных значений х) легко получить из первой, если заметить, что функция у=|х| четная, так как

|-a|=|a|. Значит, график этой функции симметричен относительно оси Оу, и вторую половину графика можно получит, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных значений (рисунок 3).

Рассмотрим функция у=-|х|.

График функции у=-|х| получается симметричным отображением графика

у= |х| относительно оси х (рисунок 4).

Функции у=|х|+2, у=|х|-2

Этот график легко построить непосредственно. Однако мы его получим из графика у=|х|. Составим таблицу значений функций у=|х|+2 и сравним её с такой же таблицей, составленной для у=|х|, выписав эти таблицы рядом. Ясно, что из каждой точки первого графика у=|х| можно получить точку второго графика у=|х|+2, увеличив |х| на единицу.

Значит, чтобы получить точки второго графика, надо каждую точку первого сдвинуть на 2 вверх, т.е. второй график получается из первого сдвигом вверх на 2.

Сравним этот график с графиком у=|х|. Если х=а, у=|а| — точка первого графика, то точка х=а, у=|а|-1 будет лежать на втором графике. Поэтому каждая точка (|а|, |а|-1) второго графика может быть получена точки (а, |а|) первого графика сдвигом вниз на 2 единицы, и весь график получается, если у=|х| сдвинуть вниз на 2 единицы (рисунок 5).

Функции у=|х+2|, у=|х+2|

График этой функции мы тоже можем получить из графика у=|х|. Напишем опять рядом две таблицы: для у=|х| и для у=|х+2|. Если сравнивать значения этих функций при одинаковых х, то окажется, что для некоторых х ордината первого графика больше, чем для второго, а для некоторых наоборот.

Однако, если внимательно посмотреть на правые столбцы этих двух таблиц, связь между таблицами можно установить. Именно вторая функция принимает те же самые значения, что и первая, только принимает их на две единицы раньше, при меньших значениях. Значит, из каждой точки первого графика у=|х| получается точка второго графика у=|х|+2, сдвинутая на 2 влево; например из точки (-2, 2) получается точка с координатами (-3, 2). Поэтому и весь график у=|х|+2, получится, если сдвинуть график у=|х| на 2 влево вдоль оси абсцисс (рисунок 6).

Функция у=а|х|

График функции у=а|х| получается растяжением графика у=|х| вдоль оси у в а раз при а>1 и сжатием вдоль этой оси в 1/а раз при 0<а<1 (рисунок 7).

Функция у=||х-2|-3|

1. Строим график функции у=|х|.
2. Строим график функции у=|х-2|.
3. Строим график функции у=|х-2|-3.
4. Применяем к графику у=|х-2|-3 операцию «модуль» (рисунок 8).

Функции у=|2х-4|+|6+3х|. Находим корни каждого выражения, стоявшего под знаком модуля: 2х – 4 = 0; 6 + 3х = 0, х = -2. В результате ось Ох разбиваем на три промежутка. В каждом промежутке выражение, стоящее перед знаком модуля, имеет определенный знак. Опускаем знаки модуля, берём выражение в каждом промежутке с соответствующим знаком:

1. х<-2, у = -(2х-4)-(6+3х)=-5х-2;
2. –2≤ х < 2, у= —( 2х-4)+(6+3х)=х+10;
3. х≥ 2, у = 2х-4+6+3х = 5х+2

Получим в каждом промежутке выражение функции без знака модуля. Строим график функции в промежутке. При правильном построении в области определения график должен представлять непрерывную линию (рисунок 9).

5. Итог урока.

Использую копировальную бумагу по вариантам построить график функции: у=|х-4|+2 (у=|х+4|-2).

6. Домашнее задание.

В творческой тетради составить функции, содержащие знак модуля, и построить их графики.

Литература.

1. Детская энциклопедия. М., «Педагогика», 1990.
2. Глейзер Г. И. История математики в школе. М. «Просвещение», 1982.
3. Дынкин Е.Б., Молчанова С.А. Математические задачи. М., «Наука», 1993.
4. Петраков И.С. Математические кружки в 8-10 классах. М., «Просвещение», 1987.
5. Талочкин П.Б. Неравенства и уравнения. М., «Просвещение», 1989.
6. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. Издательство Московского университета, 1974.

Приложение

График функции с модулем и дробью

График функции с модулем и дробью — ещё одна группа заданий номера 23 ОГЭ по математике.

Подобно функциям с переменной в знаменателе, графики таких функций могут содержать выколотую точку. Как и при построении графиков функций с модулем, рассматриваем два варианта раскрытия модуля.

1) Построить график функции

   

и определите, при каких значениях k прямая y=kx не имеет с графиком общих точек.
Решение:

Так как x²=|х|², формулу, задающую функцию, перепишем в виде

   

В знаменателе общий множитель |х| вынесем за скобки

   

Найдём область определения функции.

|х|(|х|-1)≠0

|х|≠0; |х|-1≠0

x≠0; |х|≠1

x≠0, x≠±1.

D(y):x∈(-∞;-1)∪(-1;0)∪(0;1)∪(1;∞).

Сократив дробь на (|х|-1), получаем

   

При x>0 |х|=x,

   

— функция обратной пропорциональности. График — гипербола. Для построения гиперболы возьмём несколько точек (включая выколотую x=1):

   

При x<0 |х|=-x,

   

— функция обратной пропорциональности.

   

Прямая y=kx не имеет с графиком общих точек, если она проходит через выколотые точки либо совпадает с осью Ox, то есть при k=±1 и k=0:

Ответ: -1; 0; 1.

2)Постройте график функции

   

и определите, при каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Решение:

В числителе вынесем за скобки общий множитель 0,25x:

   

Ищем область определения функции.

x+2≠0

x≠-2.

D(y):x∈(-∞;-2)∪(-2;∞).

Сокращаем дробь на (x+2):

   

Получили функцию, содержащую переменную под знаком модуля (при условии x≠-2).
При x=0, y=0,25·0·|0|=0.

При x>0 |х|=x, y=0,25·x·|x|= y=0,25·x·x=0,25x².

y=0,25x² или

   

— квадратичная функция. График — парабола, полученная из параболы y=x² сжатием к оси Ox в 4 раза.

При x<0 |х|=-x, y=0,25·x·|x|= y=0,25·x·(-x)=-0,25x².

   

— квадратичная функция. График — парабола, полученная из параболы y=-x² сжатием к оси абсцисс в 4 раза.

Прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки, если она проходит через выколотую точку, то есть при m=-1:

Ответ: -1.

3) Построить график функции

   

и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Найдём область определения функции: x≠0.

D(y):x∈(-∞;0)∪(0;∞).

Если

   

   

   

то есть при x∈[-4;0)∪[4;∞), то

   

   

   

y=x/4 -функция прямой пропорциональности. График — прямая, проходящая через начало координат.

Для построения прямой достаточно взять одну точку, например, при x=4 y=4/4=1. Вторая точка — точка O — на графике выколотая, так как x≠0. Для более точного построения прямой лучше взять ещё одну точку: при x=-4 y=-4/4=-1.

Если

   

то есть при x∈(-∞;-4)∪(0;4), то

   

   

   

y=4/x — функция обратной пропорциональности. График — гипербола.

Для построения гиперболы возьмём несколько точек из промежутков (-∞;-4)∪(0;4) (-4 и 4 также лучше взять для уточнения построения графика).

Прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку при m=1 и m=-1:

Ответ: -1; 1.

Рубрика: ОГЭ задание 22 | Комментарии

р — Как генерировать несколько участков с помощью модулей?

Задавать вопрос

Спросил 1 год, 4 месяца назад

Изменено 1 год, 4 месяца назад

Просмотрено 34 раза

Новинка! Сохраняйте вопросы или ответы и организуйте свой любимый контент.
Узнать больше.

Я пытаюсь создать несколько графиков с помощью модулей, каждый график со своим входом. Но когда я пытался запустить приложение, каждый раз, когда я добавляю его с помощью insertUI, добавляются только входные данные, а вывод графика остается пустым.

Я пытался подключить пользовательский интерфейс и серверные модули с одним и тем же идентификатором («hist1»), но не получается подключить каждый отдельный модуль.

 гистограммаUI <- функция (идентификатор) {
  список тегов(
    selectInput(NS(id, "var"), "Переменная", варианты = имена(mtcars)),
    numericInput(NS(id, "bins"), "bins", значение = 10, мин = 1),
    plotOutput (NS (идентификатор, "хист"))
  )
}
гистограммаСервер <- функция (идентификатор) {
  moduleServer(id, function(input, output, session) {
    данные <- реактивный (mtcars [[input $ var]])
    output$hist <- renderPlot({
      hist(data(), breaks = input$bins, main = input$var)
    }, разрешение = 96)
  })
}
пользовательский интерфейс <- флюидная страница(
  actionButton("Добавить", "Добавить"),
  div (id = "добавить_здесь")
)
сервер <- функция (ввод, вывод, сеанс) {
  гистограммаСервер("hist1")
  
  
  наблюдатьEvent (ввод $ добавить, {
    insertUI(селектор = "#add_here", пользовательский интерфейс = histogramUI("hist1"))
  })
  
  
}
блестящее приложение (пользовательский интерфейс, сервер)
 

• r
• блестящий

2

Вот решение, в котором каждый раз, когда вы нажимаете , добавляете , вы создаете новую пару histogramServer / histogramUI , которые имеют тот же идентификатор (но другой, чем предыдущий, потому что добавляет , увеличивается):

 библиотека (блестящая)
гистограммаUI <- функция (идентификатор) {
  список тегов(
    selectInput(NS(id, "var"), "Переменная", варианты = имена(mtcars)),
    numericInput(NS(id, "bins"), "bins", значение = 10, мин = 1),
    plotOutput (NS (идентификатор, "хист"))
  )
}
гистограммаСервер <- функция (идентификатор) {
  moduleServer(id, function(input, output, session) {
    данные <- реактивный (mtcars [[input $ var]])
    output$hist <- renderPlot({
      hist(data(), breaks = input$bins, main = input$var)
    }, разрешение = 96)
  })
}
пользовательский интерфейс <- флюидная страница(
  actionButton("Добавить", "Добавить"),
  div (id = "добавить_здесь")
)
сервер <- функция (ввод, вывод, сеанс) {
  
  
  наблюдатьEvent (ввод $ добавить, {
    histogramServer(paste0("hist_", input$add))
    insertUI(selector = "#add_here", ui = histogramUI(paste0("hist_", input$add)))
  })
  
  
}
блестящее приложение (пользовательский интерфейс, сервер)
 

1

Зарегистрируйтесь или войдите

Зарегистрироваться через Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Обязательно, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

python — импортированный модуль pyplot и вызванный pyplot, plot(), но не сохраняющий возврат к какой-либо переменной.

Но вызов функции pyplot.show()?

Задавать вопрос

Спросил 3 года, 2 месяца назад

Изменено 3 года, 2 месяца назад

Просмотрено 231 раз

1

Новинка! Сохраняйте вопросы или ответы и организуйте свой любимый контент.
Узнать больше.

Из библиотеки matplotlib я импортировал модуль pyplot. В этом модуле есть функция plot(), которую я использовал. Теперь мой вопрос:

1. Почему функция plot() не находится ни в одном классе? И если это внутри любого класса, почему мы не создали какой-либо объект класса и не использовали функцию plot().

2. Из официальной документации я узнал, что plot() возвращает объект Line2D. Но результат plot() не сохраняется ни в одной переменной, хотя мы используем функцию show(). Как правило, это должно быть return_object.show(), но опять же модуль pyplot имеет функцию show(), которая вызывается без использования какого-либо объекта, как функция plot(). Мы используем только pyplot.show() для отображения графика. Как это возможно. Я имею в виду, что это имеет больше смысла либо в return_object.show(), либо в pyplot.show (возвращаемый объект из функции plot()). Как он показывает этот конкретный сюжет, а не другой случайный сюжет?

Я просмотрел код примера и успешно построил график. И чтобы развеять свои сомнения, я посетил официальный модуль matplotlib.

из matplotlib импортировать pyplot как plt
годы = [1950, 1960, 1970, 1980, 1990, 2000, 2010]
ВВП = [300,2, 543,3, 1075,9, 2862,5, 5979,6, 10289,7, 14958,3]
# создаем линейную диаграмму, годы по оси X, ВВП по оси Y
plt.plot(годы, ввп, цвет='зеленый', маркер='о', стиль линии='сплошной')
# добавить заголовок
plt.title («Номинальный ВВП»)
# добавить метку к оси Y
plt.ylabel("Миллиарды $")
plt.show()
 

• питон
• матплотлиб

1

В документах говорится, что pyplot — это интерфейс на основе состояния для matplotlib.