Как произведение возвести в квадрат: Ошибка 403 — доступ запрещён

УСТНЫЙ СЧЁТ:

Найдите удвоенное произведение выражений:

a и b, 0,5c и 6,

4x и 3x², 2b и -5k

Ответы:

2ab, 6c, 24x 3 , -20 bk

Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен?

Рассмотрим квадрат суммы двух чисел (a+b) 2 . Пользуясь правилом умножения многочлена на многочлен, получаем:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)= a 2 +ab+ab+b 2 = a 2 +2ab+b 2

Получаем

ФОРМУЛУ КВАДРАТА СУММЫ

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа.

Изобразить эту формулу геометрически можно так:

ФОРМУЛА КВАДРАТА РАЗНОСТИ

(a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа.

ВАЖНО!

а и b в формулах могут быть любыми числами или алгебраическими выражениями

ФОРМУЛЫ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ:

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

(a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2

Формулы сокращённого умножения применяются в некоторых случаях для упрощения вычислений.

Например:

99 2 = (100-1) 2 =10 2 -2*100*1+1 2 =

10 000-200+1=9801

( 6 0 +2 ) 2 =60 2 +2*60*2+2 2 =

=3600+240+4=3844

Преобразуем выражение в многочлен :

(4m+5k)² =

(4m) 2 +2 ● 4m●5k+(5k) 2 =16m 2 +40mk+25k 2

(3a 2 -7)² =

(3a) 2 — 2● 3a 2 ●7+7 2 =9a 4 — 42a 2 +49

«Вылечи» равенство:

(a-3b) 2 = a 2 — *ab+9b 2

(2a+0,5b)

25d 2 — 20dc+*c 2= (5d-2c) 2

(8k+4m) 2 = *k 2 +64km+16m 2

Представьте квадрат двучлена в виде многочлена:

1) (c+d)²

2) (x-y)²

3) (2+x)²

4) (x+1)²

ПРОВЕРЬ СЕБЯ:

1) (c+d)² = c 2 +2cd+d 2

2) (x-y)² = x 2 _ 2xy+y 2

3) (2+x)² = 4+4x+x 2

4) (x+1)² = x 2 +2x+1

ВЫЧИСЛИТЕ:

(90-1)² 72²

(40+1)² 57²

101² 997²

98² 1001²

ПРОВЕРЬ СЕБЯ:

7921 5184

1681 3249

10 201 994 009

9604 1 002 001

Молодцы!

Квадратный корень из произведения отрицательных чисел

Задавать вопрос

спросил 3 года 8 месяцев назад

Изменено 3 года, 8 месяцев назад

Просмотрено 1к раз

У меня следующий вопрос: есть ли более веская причина, делающая это невозможным? Я имею в виду, кроме того, что это приводит к противоречию с тем, что мы знаем из действительных и комплексных чисел. Существует ли обобщение определения корня, включающее в себя такого рода манипуляции? Я ищу более глубокое понимание, любое понимание приветствуется.

• комплексные числа
• действительные числа
• радикалы

Часто удобно писать $\sqrt{-r} = i\sqrt{r} $ для положительного действительного $r$, но это не формальное определение. Использование его в качестве одного приводит к противоречию в вопросе.

Операция квадратного корня более честно рассматривается как функция, которая имеет два возможных значения. Лучше всего это пояснить на примере: $$\begin{выровнено} \sqrt{0} &= \{0\} \\ \sqrt{1} &= \{1, -1\} \\ \sqrt{-4} &= \{2i, -2i\} \\ \sqrt{2i} &= \{1 + i, -1 -i \} \end{выровнено}$$ Если мы интерпретируем квадратный корень так, где «умножение множеств» означает взятие всех возможных произведений, тогда все проблемы исчезнут: $$ \sqrt{1} = \{1, -1\} = \{i, -i\} \cdot \{i, -i\} = \sqrt{-1} \sqrt{-1}$$ но, к сожалению, я не могу продолжать, говоря $\sqrt{-1} \sqrt{-1} = i \cdot i = -1$, так как $\sqrt{-1}$ не равно $i$, оно равно на множество $\{i, -i\}$. Если вы принудительно выберете одно значение из квадратного корня, это нарушит его алгебраические свойства.

Вы можете выбрать один и только один из этого списка:

1. Квадратный корень — это функция, результатом которой является одно значение. Необходимо соблюдать осторожность при выполнении алгебры под знаком радикала.
2. Квадратный корень — это функция, результатом которой может быть множество значений. Вы можете свободно заниматься алгеброй под знаком радикала. {a \operatorname{Журнал} z} $$ А поскольку $\operatorname{Log}(z)$ — многозначная функция, степенная функция тоже многозначна. Это объясняет, почему есть два ответа на ваш квадратный корень.

   См. эту страницу для дальнейшего изучения.

   $\endgroup$
   2

   алгебраическое предварительное исчисление. Если возведение числа в квадрат означает умножение этого числа на само себя, то не должно ли извлечение квадратного корня из числа означать деление числа само на себя?

   Задавать вопрос

   спросил 92=2 \cdot 2=4 $ .

   Но квадратный корень из $2$ не равен $\frac{2}{2}=1$ .

   • алгебра-предварительное исчисление
   $\endgroup$
   22
   $\begingroup$

   извлечение квадратного корня означает обращение эффекта возведения в квадрат . Деление числа само по себе этого не делает (а всегда возвращает 1, как вы заметили).

   Сравните свой вопрос со следующим: если удвоение числа означает прибавление его к самому себе, то не должно ли деление числа пополам означать его вычитание из самого себя? Ответ: очевидно нет.

   $\endgroup$
   6
   $\begingroup$

   Квадрат при объяснении на простом английском языке использует слово «себя». Вот попытка определить обратный процесс, нахождение квадратного корня, используя слово «себя»:

   Квадратный корень числа $N$ — это такое число $x$, что при делении $N$ на $x$ оно дает само себя (у меня плохая грамматика, подлежащее и дополнение в этом предложении. Но я надеюсь, вы уловили суть)

   Изменить: эта идея, переведенная в уравнение, даст следующее: если $N = 9$, то $x = 3$ и $N/x = 9$?? Я предполагаю, что сам в этом контексте относится к $x$, а не к $N$

   $\endgroup$
   4
   $\begingroup$

   Поскольку этот вопрос напрямую связан с некоторыми фундаментальными идеями математики, в этом ответе делается попытка разъяснить эти идеи таким же фундаментальным образом.

   Возведение числа в квадрат можно рассматривать как процедуру. Конкретная процедура возведения числа в квадрат может использовать шаблон, подобный следующему:

   $$ \Box \longrightarrow \Box\times\Box \longrightarrow \Box $$

   Мы помещаем «входное» значение, например, $2$, в крайнее левое поле, например:

   $$ 2 \longrightarrow \Box\times\Box \longrightarrow \Box $$

   Далее делаем копии самого левого блока и помещаем их в два коробки посередине:

   $$ 2 \longrightarrow 2 \times 2 \longrightarrow \Box $$

   Обратите внимание, что эти два поля должны содержать одинаковое число. Наконец, выполняем указанное умножение и записываем результат в последнем поле справа:

   $$ 2 \longrightarrow 2 \times 2 \longrightarrow 4 $$

   Чтобы извлечь квадратный корень, мы хотим обратить процедуру, то есть работайте в обратном направлении. Итак, берем «входное» число, например, $9$, и поместите его в поле справа:

   $$ \Box \longrightarrow \Box\times\Box \longrightarrow 9$$

   Теперь нам нужно решить, что положить в два ящика посередине. Мы знаем, что нам нужно, чтобы содержимое двух ящиков было одинаковым, и мы знаем, что что когда мы делаем умножение, результат должен быть $9$. Предположим, мы предположили, что число в каждой ячейке должно быть $3$. Тогда мы имеем:

   $$ \Box \longrightarrow 3\times3 \longrightarrow 9 $$

   Мы можем подтвердить, что $3\times3$ действительно дает результат $9$, так что все пока хорошо. Теперь нам просто нужно вывести, какое число было в крайний левый ящик. Мы знаем, что средние поля были заполнены копированием этого поля, поэтому он также должен был содержать $3$. Итак, у нас есть

   $$ 3 \longrightarrow 3\times3 \longrightarrow 9 $$

   Вот почему квадратный корень из $9$ равен $3$, а не $9/9$. (Ну, это и тот факт, что мы отказываемся класть $-3$ в два ящика в посередине, потому что жизнь становится лучше, когда мы последовательно следуем правилу где говорится, что «квадратный корень» никогда не должен быть отрицательным числом.)

   Позже мы можем научиться находить квадратные корни таким полагаться так много на удачную догадку. Но это вопрос алгоритм для 9{\ гидроразрыва {2} {2}} $.

   Даже если ваша задача безразмерна, считайте, что она имеет $d$-единиц» на измерение, умножьте и разделите степени.

   Другой вопрос: можно ли представить квадрат с отрицательными сторонами? Потому что его площадь такая же, как у с положительными сторонами. Из $9$ есть два квадратных корня: $-3$ и $3$.

   $\endgroup$
   4
   $\begingroup$

   Имя 92-А=0$ .

   В этой форме не имеет ничего общего с делением. На самом деле нам даже не нужно знать, что такое деление, чтобы его сформулировать.

   Дополнение: Итак, чтобы явно ответить на вопрос — нет, мы не должны иметь в виду делить число само по себе при извлечении квадратного корня, потому что оно не будет удовлетворять (решать) это уравнение. (за исключением A=1, если быть точным)

   $\endgroup$
   1
   $\begingroup$

   Это бесполезная функция, потому что она всегда равна 1 (кроме 0/0).
   Кроме того, $2\to4$ противоположно $4\to2$, где вы делите на число, с которого вы начали, а не на 4.

   $\endgroup$
   1
   $\begingroup$

   Рассмотрим следующий вопрос, который принадлежит только вам с заменой более простых операций. Тогда вы, надеюсь, поймете.

   Если удвоение числа означает прибавление этого числа к самому себе, то разве деление числа пополам не должно означать вычитание числа из самого себя?

   ---

   И если у вас есть это, вот еще кое-что для размышления. Предположим, ваш начальник предлагает поднять вам жалованье на любой процент, который вам нравится, с единственным условием, что в конце года оно будет снова понижено на тот же процент; какой процент вы бы выбрали? Выделенный вопрос относится к выбору «100%».

   $\endgroup$ 9n=a.$
   $\endgroup$
   $\begingroup$

   В вашем вопросе много аналогий:

   «Если прибавление числа к самому себе означает умножение его на 2, то почему вычитание числа из самого себя не означает деление его на 2?» и так далее

   Проблема, которую вы заметили, вовсе не редкость . 2$ 91$ или $\sqrt[1]{x}$ не являются действительными примерами степенной или корневой функции, поскольку они не содержат их характеристик в каком-либо конкретном смысле.

   $\endgroup$
   1
   $\begingroup$

   Вы должны различать обычный язык и технический язык. Для удобства обычный язык смешивается с техническим языком, но вы должны остерегаться того, чтобы обычный язык не вводил вас в заблуждение. В частности, термин «противоположный» в обыденном языке не имеет четкого определения. Например, является ли путешествие по суше противоположным путешествию по морю? или авиаперевозок? Так и в отношении вашего вопроса: деление — не единственная «противоположность» умножению. Рассмотрим распределительное свойство: а(б + с) = аб + ас. Распределительное свойство, применяемое слева направо, называется умножением, а применяемое справа налево — факторингом. Таким образом, разложение на множители также является «противоположным» умножению и, как оказалось, тем, что применимо в данном случае, то есть нахождение квадратного корня числа означает нахождение «двух равных множителей» для числа.

   Худший (или лучший) пример несоответствия между обычным языком и математическим языком касается делителей 0. Согласно определению делителя, 23 является делителем 0, как и 37. Следовательно, исходя из обычного языка, действительная система счисления имеет делители 0, но, согласно математическому языку, действительная система счисления НЕ имеет делителей 0.

   Еще один хороший (плохой) пример несоответствия между обычным языком и техническим языком — разница в значении между формулой для простых процентов и формула для сложных процентов: формула для простых процентов дает вам именно то, что она говорит, но формула для сложных процентов дает вам общую сумму роста (таким образом, чтобы получить сумму сложных процентов, вы должны вычесть главное из него). Преимущество этого примера разрыва между обычным языком и техническим языком состоит в том, что он не требует знакомства с соображениями теории колец.

   Еще одним хорошим (плохим) примером разрыва между обычным языком и техническим языком является тот факт, что наивная реакция на фразу «ошибка, связанная с использованием правила трапеций» такова: «Ну, если есть ошибка, связанная с используя правило трапеций, то совершенно очевидно, что мы не должны его использовать».

   Еще одним хорошим (плохим) примером разрыва между обычным языком и техническим языком является определение понятия «наибольшего» общего делителя, даже если не определено (или, по крайней мере, не обязательно какое-либо) отношение порядка ( т. е. для области целостности).

   $\endgroup$
   2
   $\begingroup$

   Другое объяснение, которого я не вижу в других ответах:

   Квадратный корень из числа $N$ ($\mathrm{4}$ в вашем примере) — это число, которое, если возвести в квадрат ($\mathrm{2}$) , получится $N$ ( $\mathrm{4}$) .

   Другой способ представления «обратной операции» (как уже отмечали другие) — это операция «что, если». Что касается квадратного корня в вашем примере, вы спрашиваете: «Что, если бы у меня было число, которое при возведении в квадрат равно $\mathrm{4}$? Какой у меня будет номер?» 92$ — это сама квадратная операция. Запросить квадратный корень — это вопрос «какой корень ($R$), если его возвести в квадрат, получится из нашего числа ($N$)?»

   $\endgroup$
   $\begingroup$

   Конкретизация при переводе с прозаических языков на математические помогает.

   Мне очень нравится этот вопрос, потому что для меня он суммирует общие проблемы преподавания математики.

   $\endgroup$
   $\begingroup$

   Когда вы «возводите в квадрат» число, вы умножаете число само на себя. Но когда вы извлекаете «квадратный корень» из числа, вы, по сути, находите число, которое при «возведении в квадрат» дает число, из которого мы извлекаем «квадратный корень».

   Я думаю, что геометрическая аналогия может помочь вам осмыслить. Думайте о «возведении в квадрат» как о нахождении площади квадрата с определенной длиной сторон, в то время как «извлечение квадратного корня» будет относиться к нахождению длины сторон квадрата с определенной площадью.

   $\endgroup$
   $\begingroup$

   Посмотрим, у нас есть:

   • квадрат ? хорошо, тогда умножить
   • квадратный корень ? ок тогда делим

   Пока все хорошо. Теперь кажется, что умножение происходит на само число. У нас есть:

   • квадрат ? хорошо, тогда используйте сам номер
     
   • квадратный корень ? хорошо, тогда используйте …?
     

   Кажется, что в целом операции (например, умножение) и обратные операции (например, деление) являются действительными инверсиями друг друга только при работе с данным повторяющимся значением. Одно и то же значение должно быть заданным операндом для обеих операций. Следовательно, в этом контексте, где нет такого повторяющегося операнда, обратная связь более недействительна.

   $\endgroup$
   $\begingroup$

   Здесь я использую немного другой подход и скажу просто потому что:

   Квадратные корни не так определялись.

   Математика полностью построена на определениях. Это не квадратный корень, потому что он по определению не является квадратным корнем.

   $\endgroup$
   1
   $\begingroup$

   TL:DR? «Корень» имеет особое значение в математике. Извлечение квадратного корня из числа означает получение «корня» уравнения, в котором число находится с одной стороны от знака «=», а операция возведения в квадрат — с другой.

   ---

   Во-первых, немного терминологии:

   • Проще говоря, математическое выражение представляет собой оператор, который может представлять одно число. например. (5+6)x2 или (3+n)/(4+n) (где n представляет другое число) и т. д.

   • В последнем примере выражение содержит переменную n. Мы говорим, что это выражение является « функцией от n», которую мы можем записать как f(n) (или g(n), или h(n), или myfunction(n) и т. д.). В этом примере мы можем написать: f(n) := (3+n)/(4+n) (Обратите внимание, что := означает «определяется как быть».)

   • Уравнение — это утверждение о равенстве между двумя разными математическими выражениями. например. (5+6)x2 = 22, или (3+n)/(4+n) = 100, или 15-8=n.

   Если уравнение содержит одно неизвестное, как в последних двух примерах выше, то должно быть одно или несколько значений, которые может принимать это неизвестное, чтобы уравнение удовлетворялось (т. 2. Если мы знаем ответ на это, например. 64, то мы можем написать уравнение: 92 = 64.

   «Корнями» этого уравнения являются подходящие значения n. В данном случае 8 и -8.

   Итак: КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ числа X является одним и единственным положительным КОРЕНЬ , n, уравнения, где X равен функции квадрата , примененной к n:

    квадрат(n) = X .
    

   (Мы берем положительный корень по соглашению.)

   $\endgroup$
   $\begingroup$

   Рассмотрим эти две функции: 9{-1}$ принимает в качестве входных данных продукты и забирает то, что лежит сверху.

Это очень похоже на инвертирование умножения ^† на постоянный множитель: вы внесли некоторые изменения и знаете, что результат имеет некоторую структуру (например, лимон, сидящий сверху), поэтому вы можете легко отменить умножение, а именно путем деления.

Во втором примере все иначе. Здесь лимонный сок уже смешался с напитком к тому времени, когда вы пытаетесь его отнять. Выбрасывать ложку с поверхности напитка явно нехорошо. С квадратным корнем у вас аналогичная проблема: умножая на себя переменное число, вы забываете информацию о том, где именно что-то было умножено. Вы не можете распознать заданную форму ломтика лимона, которую можно было бы снять/разделить.

---

^† _{Возможно, это больше похоже на сложение и вычитание, чем на умножение и деление. Но эти две пары ведут себя одинаково, несмотря на все, что имеет значение для этого вопроса (математически говоря: они обе образуют группы).}

$\endgroup$
2
$\begingroup$

Когда ты квадрат число это цветы …

Как вы знаете, когда вы возводите число в квадрат, оно становится действительно большим, а затем все больше и больше — вы можете думать об этом как о , разветвляющемся на .

И наоборот, когда вы идете «вниз» к корню числа, вы идете вниз «внутрь» его. Он становится все меньше и меньше.

Как вы знаете, умножение и деление на самом деле просто сложение и вычитание. Там нет этой разветвленной силы.

---

Отбросив мнемонику, кстати, фактический ответ прост:

вот и все.

В данном случае это «решение» «квадрата».

Итак, x ² = 9, каков «корень» или «решение» этого уравнения.

(Невероятно, что только один ответчик выше указал на это!)

$\endgroup$
2
$\begingroup$

Это то же самое, что сказать, что если умножение числа на 2 означает прибавление его к самому себе, то не должно ли деление числа на 2 означать его вычитание из самого себя? То же самое здесь. 92$, а не при $x = z$. $y = \sqrt{x}$ пересекается с $y = x \div \sqrt{z}$ в точке $x = z$.

Вопрос возникает из-за очень тонкой логической ошибки смешения функции $\lambda x \space \space x \cdot x$ с функцией $\lambda a \space \space a \cdot x$. Приведенный выше график обращает внимание на разницу между этими функциями.

Если бы возведение числа в квадрат означало умножение этого числа на $z$, а квадратный корень определялся как величина, обратная квадрату, тогда да, извлечение квадратного корня из числа означало бы деление его на $z$.

$\endgroup$
$\begingroup$

Если возведение числа в квадрат означает его умножение само на себя, то извлечение квадратного корня из числа означает деление числа на его квадратный корень.

Теперь, как определение, это немного циклично. Разведение этого круга в квадрате не может быть выражено с помощью основных арифметических операций.

$\endgroup$
2
$\begingroup$

Какая польза от термина для деления числа на себя? Результат всегда $1$.
Мы определяем квадратный корень как (положительное) число, которое при умножении само на себя дает желаемое число. Это очень полезное выражение.

$\endgroup$
2
$\begingroup$

Так как $\sqrt{n}\cdot\sqrt{n} = n$, то $\sqrt{n} = n\div\sqrt{n}$, а не $n\div n$ 92 — N = 0$.

No related posts.