Как проверить метод гаусса: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса — ПриМат

Определение. Метод Гаусса — метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он заключается в решении системы уравнений, приведением её к ступенчатому виду, путем исключения неизвестных. В отличии от метода Крамера и матричного метода, метод немецкого математика подходит для системы уравнений с бесконечным количеством решений.

Метод Гаусса построен на элементарных преобразованиях СЛАУ.

Определение. Элементарные преобразования системы линейных уравнений это операции, с помощью которых получаем линейно эквивалентную исходной систему уравнений. Такие как: умножение уравнений на отличное от нуля число, перестановку уравнений местами и прибавление к одному уравнению другое.

Определение. Две системы называются эквивалентными, если уравнения одной системы являются линейной комбинацией уравнений другой. Также они имеют одинаковые решения или обе решений не имеют.

Алгоритм решения методом Гаусса заключается в следующих действиях:

1. Прямой ход. Допустим, нам дана СЛАУ из $k$ уравнений с $n$ неизвестными $$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}
   a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\ldots+a_{1n}x_{n}=b_1,\\
   a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\ldots+a_{2n}x_{n}=b_2,\\
   a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+\ldots+a_{3n}x_{n}=b_3,\\
   \cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\\
   a_{k1}x_1+a_{k2}x_2+a_{k3}x_3+\ldots+a_{kn}x_n=b_k.\\
   \end{aligned}\right.
   \end{equation}$$ Сначала исключим неизвестное $x_1$ из уравнений ниже первого. Предположим $a_{11} \ne 0$ (в обратном случае — можно записать первым уравнение с коэффициентом при $x_1$, отличным от нуля). Теперь умножим обе части первого уравнения системы на $\frac{a_{21}}{a_{11}}$ и вычтем его из второго уравнения, затем обе части первого уравнения умножим на $\frac{a_{31}}{a_{11}}$ и вычтем из третьего и так пока не исключим во всех уравнениях ниже первого переменную $x_1$ (то есть пока коэффициенты при $x_1$ не будут равны нулю).
   Получаем эквивалентную системе (1) систему: $$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}
   a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\ldots+a_{1n}x_{n}=b_1,\\
   \bar a_{22}x_2+\bar a_{23}x_3+\ldots+\bar a_{2n}x_{n}=\bar b_2,\\
   \bar a_{32}x_2+\bar a_{33}x_3+\ldots+\bar a_{3n}x_{n}=\bar b_3,\\
   \cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\\
   \bar a_{k2}x_2+\bar a_{k3}x_3+\ldots+\bar a_{kn}x_n=\bar b_k.\\
   \end{aligned}\right.
   \end{equation}$$ Далее делаем аналогичные действия со СЛАУ (2) (исключаем неизвестное $x_2$), но с уравнениями ниже второго при $a_{22} \ne 0$. Получим следующую эквивалентную системе (2) (значит и системе (1)) систему: $$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}
   a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\ldots+a_{1n}x_{n}=b_1,\\
   \bar a_{22}x_2+\bar a_{23}x_3+\ldots+\bar a_{2n}x_{n}=\bar b_2,\\
   \tilde a_{33}x_3+\ldots+\tilde a_{3n}x_{n}=\tilde b_3,\\
   \cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\\
   \tilde a_{k3}x_3+\ldots+\tilde a_{kn}x_n=\tilde b_k.\\
   \end{aligned}\right.
   \end{equation}$$ Все эти действия нужно сделать, пока не получим систему ступенчатого вида.
2. Обратный ход. Второй этап решения системы уравнений заключается в решении полученной нами системы ступенчатого вида. Количество уравнений в преобразованной системе может быть меньше, чем в изначальной. Получаем систему с $t (t\leqslant k)$ уравнениями и $n$ переменными. Выражаем через последнее уравнение неизвестную переменную $x_t$. И через неё выражаем остальные переменные. Получим решение, которое содержит зависимые (слева) и свободные (справа) переменные: $$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}
   x_t=c_{tt+1}x_{t+1}+a_{tt+2}x_{t+2}+\ldots+c_{tn}x_{n,}\\
   
   \cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\\
   x_3=c_{3t+1}x_{t+1}+a_{3t+2}x_{t+2}+\ldots+c_{3n}x_{n},\\
   x_2=c_{2t+1}x_{t+1}+a_{2t+2}x_{t+2}+\ldots+c_{2n}x_{n},\\
   x_1=c_{1t+1}x_{t+1}+a_{1t+2}x_{t+2}+\ldots+c_{1n}x_{n}.\\
   \end{aligned}\right.
   \end{equation}$$ Для получения решения, в свободные переменные $x_{t+1} \ldots x_n$ мы подставляем произвольные значения в систему уравнений. Из чего находим зависимые переменные $x_1 \ldots x_t$.

Примеры решений

Пример 1. Решить систему уравнений методом Гаусса:$$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}
3x_1-2x_2-5x_3+x_4=3,\\
2x_1-3x_2+x_3+5x_4=-3,\\
x_1+2x_2-4x_4=-3,\\
x_1-x_2-4x_3+9x_4=22.\end{aligned}\right.
\end{equation}$$

Запишем матрицу из коэффициентов системы уравнений и преобразуем (если переменной нет в уравнении, то коэффициент равен нулю) $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}3 & -2 & -5 & 1 \\

2 & -3 & 1 & 5 \\
1 & 2 & 0 & -4 \\
1 & -1 & -4 & 9\end{array}\right|\begin{array}{r}3 \\ -3 \\ -3 \\ 22 \end{array}\right).$$ Поменяем местами первое уравнение с последним для удобства вычислений: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -1 & -4 & 9\\
2 & -3 & 1 & 5 \\
1 & 2 & 0 & -4\\
3 & -2 & -5 & 1 \end{array}\right|\begin{array}{r}22 \\ -3 \\ -3 \\ 3 \end{array}\right). $$ Умножим теперь первое уравнение на 2 и вычтем из второго уравнения. Затем, умножив на 1, вычтем из третьего. И умножив на 3, вычтем из четвертого. Получаем: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -1 & -4 & 9 \\
0 & -1 & 9 & -13 \\
0 & 3 & 4 & -13 \\
0 & 1 & 7 & -26\end{array}\right|\begin{array}{r}22 \\ -47 \\ -25 \\ -63 \end{array}\right).$$ Далее умножаем второе уравнение на -3, затем вычтем из третьего. Теперь второе уравнение умножаем на -1 из четвертого: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -1 & -4 & 9 \\
0 & -1 & 9 & -13 \\
0 & 0 & 31 & -52 \\
0 & 0 & 16 & -39\end{array}\right|\begin{array}{r}22 \\ -47 \\ -166 \\ -110 \end{array}\right).$$ Итак, последние действия прямого хода. Умножаем третье уравнение на $-\frac{16}{31}$ и вычитаем из четвертого. Получаем:$$\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -1 & -4 & 9 \\
0 & -1 & 9 & -13 \\
0 & 0 & 31 & -52 \\
0 & 0 & 0 & -\frac{377}{31}\end{array}\right|\begin{array}{r}22 \\ -47 \\ -166 \\ -\frac{754}{31} \end{array}\right). $$ Получаем систему уравнений с новыми коэффициентами, которую будем решать обратным ходом: $$\begin{equation}\left\{
\begin{aligned}
x_1-x_2-4x_3+9x_4=22,\\
-x_2+9x_3-13x_4=-47,\\
31x_3-52x_4=-166,\\
-\frac{377}{31}x_4=-\frac{754}{31}.
\end{aligned}\right.
\end{equation}$$ Решение получается одно. Находим его: $$x_4=2,\\
x_3=\frac{-166+104}{31}=-2,\\
x_2=-(-47+18+26)=3,\\
x_1=22+3-8-18=-1.$$

Пример 2. Решить систему уравнений методом Гаусса:$$\begin{equation}\left\{
\begin{aligned}
4x_1-3x_2+x_3+5x_4-7=0,\\
x_1-2x_2-2x_3-3x_4-3=0,\\
3x_1-x_2+2x_3+1=0,\\
2x_1+3x_2+2x_3-8x_4+7=0.
\end{aligned}\right.
\end{equation}$$

Решение

Сначала перенесем все свободные члены вправо и выпишем расширенную матрицу. Преобразуем её: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}4 & -3 & 1 & 5\\
1 & -2 &-2 & -3\\
3 & -1 & 2 & 0\\
2 & 3 & 2 & -8\end{array}\right|\begin{array}{r}7\\3\\-1\\-7\end{array}\right).

$$ Поменяем местами первую строку со второй: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -2 &-2 & -3\\
4 & -3 & 1 & 5\\
3 & -1 & 2 & 0\\
2 & 3 & 2 & -8\end{array}\right|\begin{array}{r}3\\7\\-1\\-7\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -2 &-2 & -3\\
0 & 5 & 9 & 17\\
0 & 5 & 8 & 9\\
0 & 7 & 6 & -2\end{array}\right|\begin{array}{r}3\\-5\\-10\\-13\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -2 &-2 & -3\\
0 & 5 & 9 & 17\\
0 & 0 & -1 & -8\\
0 & 0 & -\frac{33}{5} & -\frac{129}{5}\end{array}\right|\begin{array}{r}3\\-5\\-5\\20\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -2 &-2 & -3\\
0 & 5 & 9 & 17\\0
& 0 & -1 & -8\\
0 & 0 & 0 & 27\end{array}\right|\begin{array}{r}3\\-5\\-5\\27\end{array}\right). $$ Получаем ответ: $$x_4=1,$$ $$x_3=-3,$$ $$x_2=1,$$ $$x_1=2.$$

[свернуть]

Пример 3. Решить систему уравнений методом Гаусса: $$\begin{equation}\left\{
\begin{aligned}
3x_1-7x_2+4x_3+5x_4=-11,\\
2x_1+5x_2+x_3-2x_4=5,\\
x_1+2x_2-3x_3+4x_4=7,\\
7x_1+2x_2-x_3+11x_4=6.
\end{aligned}\right.
\end{equation}$$

Решение

Записываем матрицу системы и преобразуем её: $$\left(\left
.\begin{array}{rrrr}3 & -7 & 4 & 5\\
2 & 5 & 1 & -2\\
1 & 2 & -3 & 4\\
7 & 2 & -1 & 11\end{array}\right|\begin{array}{r}-11\\5\\7\\6\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 4\\

2 & 5 & 1 & -2\\
3 & -7 & 4 & 5\\
7 & 2 & -1 & 11\end{array}\right|\begin{array}{r}7\\5\\-11\\6\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 4\\
0 & 1 & 7 & -10\\
0 & -13 & 13 &-7\\
0 & -12 & 20 & -17\end{array}\right|\begin{array}{r}7\\-9\\-32\\-43\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left. \begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 4\\0 & 1 & 7 & -10\\
0 & 0 & 104 & -137\\
0 & 0 & 104 & -137\end{array}\right|\begin{array}{r}7\\-9\\-149\\-151\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 4\\
0 & 1 & 7 & -10\\
0 & 0 & 104 & -137\\
0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right|\begin{array}{r}7\\-9\\-149\\-2\end{array}\right).$$ Видим, что у нас получилось уравнение с нулевыми коэффициентами при ненулевом свободном члене, значит тут мы можем уже остановиться — система несовместна, то есть решений не имеет.

[свернуть]

Пример 4. Решите систему уравнений методом Гаусса: $$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}7x_1+3x_2-2x_3+4x_4=0,\\
-6x_1-x_2-x_3+x_4=1,\\
9x_1+7x_2-8x_3+14x_4=2,\\
x_1+2x_2-3x_3+5x_4=1.\end{aligned}\right.\end{equation}$$

Решение

Записываем матрицу системы уравнений и преобразуем: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}7 & 3 & -2 & 4\\
-6 & -1 & -1 &1 \\
9 & 7 & 8 & 14 \\
1 & 2 & -3 & 5\end{array}\right|\begin{array}{r}0\\1\\2\\1\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left. \begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 5\\
-6 & -1 & -1 &1 \\
9 & 7 & 8 & 14 \\
7 & 3 & -2 & 4\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\1\\2\\0\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 5\\
0 & 11 & -19 & 31\\
0 & -11 & 35 & -31\\
0 & -11 & 19 &-31\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\7\\-7\\-7\end{array}\right)\sim~$$$$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 5\\
0 & 11 & -19 & 31\\
0 & 0 & 16 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\7\\0\\0\end{array}\right)$$ Видим, что у нас появилась нулевая строка. Это значит, что это уравнение можно убрать. Так как мы получили систему, в которой количество уравнений меньше, чем количество переменных, значит система неопределённая, то есть имеет бесконечное множество решений. Количество зависимых переменных определяем по рангу матрицы. У нас получается 3 зависимых переменных. Возьмем $x_4$ за свободную переменную. Выражаем остальные 3 переменные через свободную и получаем общее решение: $$x_3=0$$ $$x_2=\frac{7-31x_4}{11}$$ $$x_1=1-2\times\frac{7-31x_4}{11}-5x_4.$$ Теперь можем подставить любое значение в переменную $x_4$ и получить один из бесконечного множества ответов, например: $$x_4=0,$$ $$x_3=0,$$ $$x_2=\frac{7}{11},$$ $$x_1=-\frac{3}{11}.$$

[свернуть]

Пример 5. Решить систему уравнений методом Гаусса: $$\begin{equation}\left\{
\begin{aligned}
2x_1-x_2+2x_4=0,\\
x_1+2x_2-x_3=0,\\
5x_1+x_2-x_3+2x_4=0,\\
x_1+x_2+x_3+x_4=1.
\end{aligned}\right.
\end{equation}$$

Решение

Запишем матрицу системы: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}2 & -1 &0 &2\\
1 & 2 &-1 & 0\\
5 & 1 &-1 & 2\\
1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right|\begin{array}{r}0\\0\\0\\1\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 2 & -1 & 0\\
5 & 1 & -1 & 2\\
2 & -1 & 0 & 2\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\0\\0\\0\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left. \begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 &1\\
0 & 1 & -2 & -1\\
0 & -4 & -6 & -3\\
0 & -3 & -2 & 0\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\-1\\-5\\-2\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\
0 & 1 & -2 & -1\\
0 & 0 & -14 & -7\\
0 & 0 & -8 & -3\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\-1\\-9\\-5\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\
0 & 1 & -2 & -1\\
0 & 0 & -14 & -7\\
0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\-1\\-9\\\frac{1}{7}\end{array}\right).$$ Получаем ответ: $$x_4=\frac{1}{7},$$ $$x_3=\frac{4}{7},$$ $$x_2=\frac{2}{7},$$ $$x_1=0.$$

[свернуть]

Смотрите также

• Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968 стр. 15-23
• Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984 примеры №567, 568
• Баландина Н. Н. Матричное вычисление: метод. указания для студ. первого курса направления подготовки “Психология” / Н. Н. Баландина, С. В. Федоровский. – Одесса: Одесский нац. ун-т, 2015. стр. 31-33
• Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984 стр. 119-121

Метод Гаусса

Пройдите тест, чтобы проверить насколько точно вы поняли материал.

Вычислительные методы для инженеров

Вычислительные методы для инженеров

Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. — М.: Высш. шк., 1994. — 544 с. В книге рассматриваются вычислительные методы, наиболее часто используемые в практике инженерных и научно-технических расчетов: методы решения задач линейной алгебры и нелинейных уравнений, проблема собственных значений, методы теории приближения функций, численное дифференцирование и интегрирование, поиск экстремумов функций, решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Значительное внимание уделяется особенностям реализации вычислительных алгоритмов на ЭВМ и оценке достоверности полученных результатов. Имеется большое количество примеров и геометрических иллюстраций. Для студентов и аспирантов технических вузов, а также для инженеров и научных работников, применяющих вычислительные методы. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И РЕШЕНИЕ ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧ С ПРИМЕНЕНИЕМ ЭВМ § 1.2. Основные этапы решения инженерной задачи с применением ЭВМ § 1.3. Вычислительный эксперимент § 1.4. Дополнительные замечания Глава 2. ВВЕДЕНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНУЮ ТЕОРИЮ ПОГРЕШНОСТЕЙ § 2.1. Источники и классификация погрешностей результата численного решения задачи § 2.2. Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешности 2. Правила записи приближенных чисел. 3. Округление. § 2.3. Погрешности арифметических операций над приближенными числами § 2. 4. Погрешность функции § 2.5. Особенности машинной арифметики 2. Представление целых чисел. 3. Представление вещественных чисел. 4. Арифметические операции над числами с плавающей точкой. 5. Удвоенная точность. 6. Вычисление машинного эпсилон. § 2.6. Дополнительные замечания Глава 3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ, МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ § 3.2. Обусловленность вычислительной задачи 2. Примеры плохо обусловленных задач. 3. Обусловленность задачи вычисления значения функции одной переменной. 4. Обусловленность задачи вычисления интеграла … 5. Обусловленность задачи вычисления суммы ряда. § 3.3. Вычислительные методы § 3.4. Корректность вычислительных алгоритмов § 3.5. Чувствительность вычислительных алгоритмов к ошибкам округления § 3.6. Различные подходы к анализу ошибок § 3.7. Требования, предъявляемые к вычислительным алгоритмам § 3.8. Дополнительные замечания Глава 4. МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ § 4. 2. Обусловленность задачи вычисления корня § 4.3. Метод бисекции § 4.4. Метод простой итерации § 4.5. Обусловленность метода простой итерации § 4.6. Метод Ньютона § 4.7. Модификации метода Ньютона § 4.8. Дополнительные замечания Глава 5. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ § 5.2. Нормы вектора и матрицы § 5.3. Типы используемых матриц § 5.4. Обусловленность задачи решения системы линейных алгебраических уравнений § 5.5 Метод Гаусса § 5.6. Метод Гаусса и решение систем уравнений с несколькими правыми частями, обращение матриц, вычисление определителей § 5.7. Метод Гаусса и разложение матрицы на множители. LU-разложение § 5.8. Метод Холецкого (метод квадратных корней) § 5.9. Метод прогонки § 5.10. QR-разложение матрицы. Методы вращений и отражений § 5.11. Итерационное уточнение § 5.12. Дополнительные замечания Глава 6. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ § 6. 1. Метод простой итерации § 6.2. Метод Зейделя § 6.3. Метод релаксации § 6.4. Дополнительные замечания Глава 7. МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ § 7.2. Метод простой итерации § 7.3. Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений 7.4. Модификации метода Ньютона § 7.5. О некоторых подходах к решению задач локализации и отыскания решений систем нелинейных уравнений § 7.6. Дополнительные замечания Глава 8. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ § 8.2. Степенной метод § 8.3. Метод обратных итераций § 8.4. QR-алгоритм § 8.5. Дополнительные замечания Глава 9. МЕТОДЫ ОДНОМЕРНОЙ МИНИМИЗАЦИИ § 9.2. Обусловленность задачи минимизации § 9.3. Методы прямого поиска. Оптимальный пассивный поиск. Метод деления отрезка пополам. Методы Фибоначчи и золотого сечения § 9.4. Метод Ньютона и другие методы минимизация гладких функций § 9.5. Дополнительные замечания Глава 10. МЕТОДЫ МНОГОМЕРНОЙ МИНИМИЗАЦИИ § 10. 1. Задача безусловной минимизации функции многих переменных § 10.2. Понятие о методах спуска. Покоординатный спуск § 10.3. Градиентный метод § 10.4. Метод Ньютона § 10.5. Метод сопряженных градиентов § 10.6. Метода минимизации без вычисления производных § 10.7. Дополнительные замечания Глава 11. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ § 11.2. Интерполяция обобщенными многочленами § 11.3. Полиномиальная интерполяция. Многочлен Лагранжа § 11.4. Погрешность интерполяции § 11.5. Интерполяция с кратными узлами § 11.6. Минимизация оценки погрешности интерполяции. Многочлены Чебышева § 11.7. Конечные разности § 11.8. Разделенные разности § 11.9. Интерполяционный многочлен Ньютона. Схема Эйткена § 11.10. Обсуждение глобальной полиномиальной интерполяции. Понятие о кусочно-полиномиальной интерполяции § 11.11. Интерполяция сплайнами § 11.12. Понятие о дискретном преобразовании Фурье и тригонометрической интерполяции § 11.13. Метод наименьших квадратов § 11.14. Равномерное приближение функций § 11.15. Дробно-рациональные аппроксимации и вычисление элементарных функций § 11.16. Дополнительные замечания Глава 12. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ § 12.1. Простейшие формулы численного дифференцирования § 12.2. О выводе формул численного дифференцирования § 12.3. Обусловленность формул численного дифференцирования § 12.4. Дополнительные замечания Глава 13. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 13.2. Квадратурные формулы интерполяционного типа § 13.3. Квадратурные формулы Гаусса § 13.4. Апостериорные оценки погрешности. Понятие об адаптивных процедурах численного интегрирования § 13.5. Вычисление интегралов в нерегулярных случаях § 13.6. Дополнительные замечания Глава 14. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 14.1. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка § 14.2. Численные методы решения задачи Коши. Основные понятия и определения § 14. 3. Использование формулы Тейлора § 14.4. Метод Эйлера § 14.5. Модификации метода Эйлера второго порядка точности § 14.6. Методы Рунге-Кутты § 14.7. Линейные многошаговые методы. Методы Адамса § 14.8. Устойчивость численных методов решения задачи Коши § 14.9. Неявный метод Эйлера § 14.10. Решение задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений m-го порядка § 14.11. Жесткие задачи § 14.12. Дополнительные замечания Глава 15. РЕШЕНИЕ ДВУХТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ § 15.1. Краевые задачи для одномерного стационарного уравнения теплопроводности § 15.2. Метод конечных разностей: основные понятия § 15.3. Метод конечных разностей: аппроксимации специального вида § 15.4. Понятие о проекционных и проекционно-разностных методах. Методы Ритца и Гадеркина. Метод конечных элементов § 15.5. Метод пристрелки § 15.6. Дополнительные замечания

Исключение Гаусса: одновременные линейные уравнения

ИСКЛЮЧЕНИЕ ГАУССА ГЛАВА 04. 06 Как Учащийся может использовать этот модуль
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ И ЗАДАЧИ
	Предпосылки для гауссова Исключение [PDF] [ДОК] Цели исключения Гаусса [PDF] [ДОК]
ГЛАВА УЧЕБНИКА
	Глава учебника по исключению Гаусса [PDF] [ДОК]
ЦИФРОВОЙ АУДИОВИЗУАЛЬНЫЙ ЛЕКЦИИ
	Наивное исключение Гаусса: Теория: Часть 1 из 2 [YOUTUBE 10:27] [СТЕНОК] Наивное исключение Гаусса: теория: часть 2 из 2 [YOUTUBE 2:22] [СТЕНОК] Наивный метод исключения Гаусса: Пример: Часть 1 из 2 (Выбывание вперед) [YOUTUBE 10:49] [СТЕНОК] Наивный метод исключения Гаусса: Пример: часть 2 из 2 (обратная замена) [YOUTUBE 6:40] [СТЕНОК] Подводные камни наивного исключения Гаусса Метод: [ЮТУБ 7:20] [СТЕНОК] Наивное исключение Гаусса: округление Проблемы с ошибками: Пример: часть 1 из 3 [YOUTUBE 7:20] [СТЕНОК] Наивное исключение Гаусса: округление Проблемы с ошибками: Пример: Часть 2 из 3 [YOUTUBE 7:40] [СТЕНОК] Наивное исключение Гаусса: округление Проблемы с ошибками: Пример: часть 3 из 3 [YOUTUBE 8:07] [СТЕНОК] Исключение по Гауссу с частичным Разворот: теория [YOUTUBE 10:39] [СТЕНОК] Исключение по Гауссу с частичным Поворот: Пример: часть 1 из 3 (выбывание вперед) [YOUTUBE 7:15] [СТЕНОК] Исключение по Гауссу с частичным Поворот: Пример: часть 2 из 3 (выбывание вперед) [YOUTUBE 10:08] [СТЕНОК] Исключение по Гауссу с частичным Поворот: Пример: часть 3 из 3 (обратная замена) [YOUTUBE 6:18] [СТЕНОК] Исключение по Гауссу с частичным Сводка: ошибки округления Проблемы: пример: часть 1 из 3 [YOUTUBE 8:58] [СТЕНОК] Исключение по Гауссу с частичным Сводка: Проблемы с округлением: Пример: Часть 2 из 3 [YOUTUBE 8:17] [СТЕНОК] Исключение по Гауссу с частичным Сводка: Проблемы с округлением: Пример: часть 3 из 3 [YOUTUBE 5:48] [СТЕНОК] Определитель матрицы с использованием форварда Метод исключения: Фон [YOUTUBE 5:17] [СТЕНОК] Определитель матрицы с использованием форварда Метод исключения: Пример [YOUTUBE 10:07] [СТЕНОК]
МНОЖЕСТВЕННЫЙ ТЕСТ
	Проверьте свои знания об исключении Гаусса [HTML] [FLASH] [PDF] [ДОК]
ПРЕЗЕНТАЦИИ
	Презентация PowerPoint об исключении Гаусса [PDF] [ППТ]
РАБОЧИЕ ЛИСТЫ
	Рабочие листы исключения Гаусса [MAPLE] [MATHCAD] [MATHEMATICA] [MATLAB]
jpg»> ПРИМЕРЫ ОТ ДРУГИХ ОСНОВНЫЕ
	Пример химической инженерии на Исключение Гаусса  [PDF] [ДОК] [ФИЗИЧЕСКИЙ]   Пример гражданского строительства с исключением Гаусса  [PDF]  [DOC] [PHY] Компьютер Инженерный пример на Исключение по Гауссу [PDF] [DOC] [PHY] Пример электротехники с исключением Гаусса  [PDF] [DOC] [PHY] Пример промышленной инженерии с исключением Гаусса  [PDF] [DOC] [PHY] Пример машиностроения с исключением Гаусса  [PDF] [DOC] [PHY]
СВЯЗАННЫЕ ТЕМЫ
	Введение в матричную алгебру Гаусс-Зайдель Мет ЛУ Разложение Холецкий и ЛПНП T Разложение
jpg»>	> Дом > Одновременные линейные уравнения

[Решено] Метод исключения Гаусса терпит неудачу, если

1. любая из опорных точек равна нулю или очень мала
2. любая из опорных точек не равна нулю или очень велика
3. любые две опорные точки равны нулю и одна опорная точка большая
4. любые три опорные точки не равны нулю, а остальные не равны нулю

Вариант 1: любая из опорных точек равна нулю или очень мала

Свободно

MPSC AE CE Mains 2019 Official (Документ 1)

3,1 тыс. пользователей

100 вопросов

200 марок

120 минут

Исключение Гаусса:

• Исключение Гаусса , также известное как сокращение строки , представляет собой алгоритм линейной алгебры для решения системы линейных уравнений.
• Обычно понимается как последовательность операций, выполняемых над соответствующей матрицей коэффициентов.
• Этот метод также можно использовать для нахождения ранга матрицы, для вычисления определителя матрицы и для вычисления обратной обратимой квадратной матрицы.

​ Опорный элемент:

• Для каждой строки матрицы, если она состоит не только из нулей, крайняя левая ненулевая запись называется ведущим коэффициентом или опорной точкой этой строки.
• В эшелонированной форме строки точки опоры любой ненулевой строки всегда находятся строго справа от старшего коэффициента строки над ней.
• Метод исключения Гаусса дает сбой, если какой-либо из опорных элементов становится равным нулю или становится очень маленьким. В такой ситуации мы переписываем уравнения в другом порядке, чтобы избежать нулевых разворотов.

Пример:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b&{c}\\ 0&0&{d}\\ 0&{e}&{f} \end {массив}\left| {\begin{массив}{*{20}{c}} { x}\\ { y}\\ z \end{массив}} \right. } \right]\)

В приведенной ниже системе требуется поменять местами строки 2 и 3 для выполнения исключения.

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b&{c}\\ 0&e&{f}\\ 0&{0}&{d} \end{массив}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { x}\\ { z}\\ y \end{array}} \right.} \right]\)

В методе исключения Гаусса , обычно желательно выбирать опорный элемент с большим абсолютным значением. Это улучшает числовую стабильность.

Скачать решение PDF

Поделиться в WhatsApp

Последние обновления MPSC AE

Последнее обновление: 6 февраля 2023 г.

Список квалифицированных кандидатов в области гражданского строительства MPSC AE опубликован 3 февраля 2023 г.! Список для электриков был объявлен 20 января 2023 года. Комиссия по государственной службе штата Махараштра (MPSC) выпустила новое уведомление для MPSC AE Recruitment. Всего была открыта 151 вакансия по гражданским, механическим и электрическим дисциплинам.