Как решать функции алгебра: § Линейная функция y = kx + b и её график

Урок алгебры «Функции. Графики функций». 10-й класс

Цели урока:	– восстановление в памяти понятие функции, свойства функции, виды функций, графики функций; – развитие навыков построения графиков функций, применяя преобразования графиков, и решения параметрического уравнения с помощью графиков функций; – развитие умений анализировать собственные потребности, выбора соответствующей позиции на  каждый этап урока с последующим анализом своей деятельности.
Название урока:	Моя позиция на уроке
Оборудование:	Презентация, папка с заданиями, карточки «Моя позиция на уроке»
Формы работы:	– групповая – индивидуальная – фронтальная  с использованием ИКТ
Развитие специальных умений:	– развитие навыков построения графиков; – развитие навыков преобразования графиков; – решение параметрических уравнений; – работа с модулями.
Развитие учебно-организационных умений:	– развитие умений анализировать собственные потребности; – выбор соответствующей позиции на  каждый этап урока; – развитие умений анализа своей деятельности.
Развитие учебно-интеллектуальных умений:	– умение использовать знания графиков основных функций для построения графиков более сложных функций; –  умения решать уравнения с помощью графиков.
Развитие учебно-информационных умений:	– умение выделять главные свойства основных функций при построении графиков более сложных функций; –  умение применять графики для решения уравнений.
Развитие учебно-коммуникативных умений:	– обсуждение задания и планирования  путей выполнения задания; – взаимопомощь при работе в группе; – выбор представителя результата работы группы.
Структура урока:	Организационный момент. Выбор «Моя позиция на уроке» 1 этап. Фронтальная работа (повторение). Самоанализ своей деятельности на 1 этапе урока. Задание для работы в группах. Выбор «Моя позиция на уроке» 2 этап. Практическая работа в группах. Самоанализ своей деятельности на 2 этапе урока. Образовательный итог урока. Домашнее задание.
Список литературы	1. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. М. :  Просвещение, 2010. 2. Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Дидактические материалы. М. :  Просвещение, 2010.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Учащиеся сидят группами. Сообщается тема урока и цели 1 и 2.

2. Выбор «Моя позиция на уроке» 1 этап (Презентация. Слайд 2)

Учитель.  Но, кроме чисто математических целей, предлагаю каждому из вас поставить перед собой личностную цель.
Психолог Антон Григорьевич Рубинштейн писал: «Личность – это человек со своей четко выработанной жизненной позицией…»
Вот я вам и предлагаю сегодня на уроке проконтролировать собственный выбор той или иной позиции на уроке.
Итак, название нашего урока «Моя позиция на уроке» (Презентация. Слайд 3)
Из папки достаньте карточки «Моя позиция на уроке», на которой указаны варианты возможных позиций: лидер, ведомый, слушатель, критик, помощник, творческая личность, исследователь, зритель… или можете предложить свой вариант.

Отметьте, пожалуйста, каким-либо значком выбранную позицию в I столбце. Отложите в сторону карточки, приступаем к  работе.

3. Фронтальная работа (повторение)

– Предлагаю вам ответить на вопросы:

1. Что называется функцией? (Презентация. Слайд 4)
2. Свойства функции: (используя презентацию) (Презентация. Слайд 5)

а) область определения; (Презентация. Слайд 6)
б) область значений функции; (Презентация. Слайд 7)
в) нули функции; (Презентация. Слайд 8)
г) характер монотонности; (

Презентация. Слайд 9)
д) график функции. (Презентация. Слайд 10)

– А теперь по графику функции попытаемся назвать функцию и вспомнить её свойства (используя презентацию) (Презентация. Слайды 11-20)

Ответы:  

1) Прямая пропорциональность y = kx ;

 2) Линейная функция y = ax + b;

 3) Квадратичная функция y = ax² + bx + c;

 4) Обратная пропорциональность ;

 5) Дробно-линейная функция  .

4. Самоанализ своей деятельности на 1 этапе урока.

– Предлагаю вернуться к карточкам  «Моя позиция на уроке». (Презентация. Слайд 21)

Придерживались ли вы ранее выбранной позиции? Если «да», то подтвердите это во II столбце. Если «нет», то укажите знаком во  II столбце, какой позиции вы придерживались.
Как вы считаете, готовы ли мы, используя ранее полученные знания, строить графики более сложных функций.

5. Задание для работы в группах. (Презентация. Слайд 22)

Переходим к следующему этапу урока: работа в группах.

Построить график функции: (Презентация. Слайд 23)

 

В каждой папке есть лист А 4 в клетку. Вы должны выбрать в группе человека, который будет строить график на этом листе, остальные – работают в тетради.

6. Выбор «Моя позиция на уроке» 2 этап (Презентация. Слайд 24)

– Задание знаете, оцените свои силы и настроение и выберите свою позицию на следующий этап урока и отметьте её знаком в III столбце карточки «Моя позиция на уроке».

7. Практическая работа в группах (Презентация. Слайд 25)

Ребята работают, помогая друг другу, при необходимости учитель может оказать помощь или посоветовать, на какие моменты при выполнении задания обратить внимание.

Графики построены. От каждой группы лист А 4  с графиком на доске (при помощи магнитов). Оценим творчество каждой группы и уровень выполнения задания.

Учитель: График любой функции можно построить в программе Excel. Показываю график, построенный в программе Excel. (Презентация. Слайд 26)

Второе задание. Используя построенный график, для каждого значения параметра m определить  количество  решений  уравнения: (Презентация. Слайд 27)

 

Каждая группа записывает ответ, затем проверяем: (Презентация. Слайд 28)

• если , то уравнение имеет одно решение;
• если , то уравнение имеет два решения;
• если , то уравнение имеет три решения;
• если m = 5, то уравнение не имеет решений;

8. Самоанализ своей деятельности на 2 этапе урока (Презентация. Слайд 29)

– Предлагаю вернуться к карточкам  «Моя позиция на уроке». Придерживались ли вы ранее выбранной позиции? Если «да», то подтвердите это в  IV столбце. Если «нет», то укажите знаком в IV столбце, какой позиции вы придерживались.

9. Образовательный итог урока (Презентация. Слайд 30)

– Какие проблемы возникли при построении графика функции?
– Какие вопросы требуют дополнительной отработки?   

Учитель дает словесную оценку работе групп, учеников.

– Каждый из вас сегодня попытался контролировать свою позицию на уроке. Если хотите, подпишите свою карточку «Моя позиция на уроке». Все карточки положите в папку, мне хотелось бы знать, какую позицию на каждом этапе урока вы выбирали, и что из этого получилось.

10. Домашнее задание. (Слайд 31)

1. Построить график функции:
2. Определить для каждого значения параметра m количество решений уравнения:

Дополнительное задание:  построить график в программе Excel.

Список литературы:

1. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. М. :  Просвещение, 2010.
2. Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Дидактические материалы. М. :  Просвещение, 2010.

КЛЮЧЕВЫЕ ЗАДАЧИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТЕМЫ «ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ» В УГЛУБЛЕННОМ КУРСЕ АЛГЕБРЫ 10 КЛАССА.(элективный курс) | Элективный курс по алгебре (10 класс):

Занятие 1

Область определения функции. Множество значений функции.

Понятие функции является одним из основных понятий математики вообще. Оно не возникло сразу в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а как и другие фундаментальные понятия прошло длинный путь диалектического и исторического развития. Идея функциональной зависимости восходит к древнегреческой математике.[4]

Впервые термин «функция» вводит в рассмотрение знаменитый немецкий математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин /определения он не дал вообще/ он употребляет в узком смысле, понимая под функцией изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким образом, понятие функции носит у него «геометрический налет».

Ученик Лейбница Иоганн Бернулли пошел дальше своего учителя. Он дает более общее определение функции, освобождая последнее от геометрических представлений и терминов: «функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой величины и постоянных».[5]

Принципиально важным вопросом при формировании понятия функции является вопрос об области определения функции и области значений функции. Из определения функции вытекает, что функция у = f(x) должна задаваться вместе с ее областью определения Х. При этом подчеркнем, что область определения функции может задаваться либо условиями решаемой задачи, либо физическим смыслом изучаемого явления, либо математическими соглашениями.

Определение 1. Пусть даны множества действительных чисел Х и Y. Функциональной зависимостью(функцией) называется закон, по которому каждому значению величины , называемой аргументом, ставится в соответствие некоторое(единственное) число y=f(x) из множества Y.

 Определение 2. Множество X называется областью определения функции ( обозначается

Определение 3. Множеством значений Е(f) числовой функции f называется множество всех , для которых существует хотя бы одно  такое, что f(x)=a. Можно сказать иначе:  состоит из тех значений а, при которых уравнение f(x)=a имеет хотя бы одно решение.

Задачи:

1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 12 см.  Выразите площадь треугольника как функцию длины высоты, проведенной к его основанию, и найдите область определения этой функции.

Ответ.  при .

2. Найдите по графику область определения и множество значений функции.

Ответ. а)

3. Выяснить, на каком множестве равны функции 

Решение: Так как

Следовательно,.

4. Найдите область определения функции[1]

.

Решение: Для функции

Функция  определена на множестве тех значений х, для которых  Следовательно,

Ответ.

Задания для самостоятельного решения

5.    Найти область определения функции:[2]

 1)   ;  2) ; 3) .

Ответ. 2)

6.  Найдите множество значений функции:[3]

а)

.

Ответы и указания: а) (0;; b) ; c);

d) Рассмотрим функцию

Значит, нам нужно найти множество значений функции  заданной на множестве .

Выясним, при каких значениях параметра а уравнение

 

Если это уравнение имеет два решения , то только одно из них может быть больше 2, так как по т. Виета  Если же — единственное решение, то

Т.о. уравнение (1) имеет решение, принадлежащее промежутку т.т.т., когда оно имеет ровно два решения, одно из которых принадлежит этому промежутку, а другое –нет. Для этого необходимо и достаточно, чтобы для квадратичной функции

 выполнялось условие

                                                                                                                                   

Получаем неравенство   Значит, .

Ответ. .

7.  Множество значений функции f-отрезок . Найдите все целочисленные значения функции

Ответ.

8.  Найдите все значения параметра a, при каждом из которых областью определения функции    будет:1) луч; 2) отрезок; 3) единственная точка; 4) пустое множество.

Ответ.

9. На рисунке представлен график функции, определенной на отрезке . S(x)-площадь «подграфика» на отрезке  Выразите величину S(х) через х и постройте график функции y=S(x). По этому графику найдите множество значений функции y=S(x).

Ответ. S(x)=

10. Найдите все значения функции y = 2x + |x2 – 4x + 3|, каждое из которых она принимает ровно один раз. Постройте график функции.

Ответ. 2

Задания для самостоятельной работы.[2]

1. Найдите область определения функций:

1.

2.

3. ;

4. .

2.  Найдите множество значений функции.

1.

2.

3.

4.

5.

 

Список литературы

 1.  Пратусевич М. 2 и ее график.»

Алгебра. 8 класс.

Урок № 1           § 11

Тема:  Функция и ее график.

Цель урока:

Образовательная:  рассмотреть функцию и ее свойства, уметь строить график функции, решать уравнения с использованием графика функции  .

 Развивающая:  развитие вычислительных и графических навыков.

Воспитательная: воспитание прилежности, аккуратности . 

Тип урока: урок усвоения новых знаний и умений

Оборудование: мел, доска, учебник, линейка.

 

Х о д   у р о к а

 

1. Организационный момент.

 

Добрый день! Добрый час!

Как я рада видеть вас.

Прозвенел уже звонок

Начинается урок.

Улыбнулись. Подровнялись.

Друг на друга поглядели

И тихонько дружно сели.

 

2. Мотивация урока.

 

Выдающийся французский философ, ученый Блез Паскаль утверждал: «Величие человека в его способности мыслить». Сегодня мы попытаемся почувствовать себя великими людьми, открывая знания для себя.

Анализ контрольной работы

 

3. Объяснение нового материала

 

 Рассмотрим функцию, заданную формулой у = х². Область её опреде­ления — множество всех чисел.

 Составим таблицу значений функции для некоторых зна­чений аргумента х:

 

 

х	-3	-2,5	-2	-1,5	-1	0	1	1,5	2	2,5	3
у	9	6,25	4	2,25	1	0	1	2,25	4	6,25	9

 

 Нанесём точки, координаты которых приведены в этой таблице.

 

 

            

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                -3 -2 -1  0   1  2       4                                        -3 -2 -1  0   1  2       4                                         

 

 

 

   Если на координатной плоскости нане­сти больше точек с координатами  х и у, удовлетворяющих формулу  у = х², то они разместились бы так, как показано на  втором рисунке. Если для каждого действительного значе­ния  х  по формуле     у = х² вычислить соответствующее значе­ние  у  и обозначить точки с такими координатами на коорди­натной плоскости, то получим непрерывную кривую линию, которую называют параболой. Парабола имеет две бесконечных ветви, плавно сходящиеся в одной точке — вершине параболы.

Для функции  у = х² вершиной параболы является точ­ка (0; 0). То есть график функции  у = х²  проходит через начало координат. Поскольку противоположным значениям ар­гумента соответствуют равные значения функции, то её гра­фик симметричен относительно оси у. Построенный график даёт возможность наглядно выра­зить свойства функции   у = х².

  Рассматривая график мы можем сказать, что функция у = х² обладает такими свойствами:

Область определения –               любое  число.

Область значения –                 все неотрицательные числа (у  ≥  0)

Промежутки убывания –           когда  х < 0

Промежутки возрастания –     когда  х > 0

Нули функции (значение аргумента, при котором значение функции равно 0)         –              х=0 

  Для чего надо знать, каков график функции? Подробнее об этом вы узнаете в старших классах. А сейчас обратите внимание на то, что с помощью графиков функций можно решать уравнения, которые иными способами решить слож­но либо невозможно.

  Сколько решений имеет уравнение х² = 9? Прямая (её урав­нение у = 9) пересекает график функции у = х² в двух точках (рис. 3).

 

 

 

 

 

 

           х² = 9 

         х  = 3  или  х  = — 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  Их абсциссы х = 3 и х = — 3 — решения уравнения.

  Так же можно решить более сложное уравнение  х² – 3х – 4 = 0.

  Сначала представим это уравнение в виде  х² =  3х + 4.

 

 

Графики функций

у = х²   и  у = 3х + 4.

пересекаются в точках с

абсциссами  х = -1 и х = 4,

которые в свою очередь являются

решениями  данного уравнения. 

 

 

 

 

 

 

4. Закрепление изученного материала.

    Опираясь на график функции у = х² , весь класс отвечает на вопросы задания № 350.

  Вопрос классу. Как можно определить проходит ли график функции через ту или иную точку?

  После выполнения задания  рассматриваем свойства функции у = — х²

5. Физкультурная пауза.
Почти 90% всей информации человек воспринимает глазами. Если устают глаза, снижается наше внимание и активность. Давайте перед следующей задачей дадим отдых глазам и себе.
1. Закройте глаза на несколько секунд, сильно напрягая глазные мышцы, затем раскройте их, расслабив мышцы. Повторите 3-4 раза.
2. Посмотрите на переносицу и задержите взор. Затем посмотрите вдаль. Повторите 3—4 раза.
3. Медленно наклоняйте голову: вперед—влево— вправо —  назад. Повторите 3-4 раза.
4. Поморгайте несколько раз глазами, не напрягая мышц. Сделайте глубокий вздох и медленный выдох.

 

6. Проблемная ситуация:

  Сколько решений имеет уравнение х² =5, и как их найти? Попробуем ответить на этот вопрос самостоятельно, учащиеся приходят к мысли, что корни они могут найти приближенно.

 

7. Итоги урока. Рефлексия.

  Что мы узнали нового?

 Как называется график функции у = х² ?

 Какими свойствами она обладает?

 

8.  Домашнее задание  § 11,  № 351, 352, на повторение №368

 

Алгебраические функции — ACT Math

Все математические ресурсы ACT

14 диагностических тестов 767 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 Следующая →

ACT Math Help » Алгебра » Алгебраические функции

Функция F определяется следующим образом:

для x ² > 1, F(x) = 4x ² + 2x – 2

для x ² < 1, F(x) = 4x ² – 2x + 2

Каково значение F(1/2)?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Для F(1/2) x ² = 1/4, что меньше 1, поэтому для решения используем нижнее уравнение. Это дает F(1/2)= 4(1/2) ²  – 2(1/2) + 2 = 1 – 1 + 2 = 2

Сообщить об ошибке

Какое из утверждений описывает набор решений на – 7(х + 3) = – 7х + 20 ?

Возможные ответы:

Все действительные числа являются решениями.

Решений нет.

х = – 1

х = 0

Правильный ответ:

Решений нет.

Объяснение:

Путем распределения мы получаем – 7x – 21 = – 7x + 20. Это уравнение никогда не может быть верным.

Сообщить об ошибке

Уилл только что присоединился к группе авторов стихов в городе, которая собирается раз в неделю. Количество стихов, написанных Уиллом после определенного количества встреч, может быть представлено функцией , где представляет количество встреч, которые Уилл посетил. Используя эту функцию, сколько стихов написал Уилл после 7 занятий?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Для этой функции просто подставьте 7 вместо  и решите:

Сообщить об ошибке

Если , то ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти когда , мы подставляем вместо  в .

Таким образом, .

Мы расширяем  до .

Мы можем комбинировать одинаковые термины, чтобы получить .

Добавим к этому результату 3, чтобы получить окончательный ответ.

Сообщить об ошибке

Каково значение функции f(x) = 6x ²  + 16x – 6, когда x = –3?

Возможные ответы:

–12

96

0

–108

Правильный ответ: 5

09004 Объяснение:

Есть два способа решить эту задачу. Первый способ просто включает в себя подстановку –3 вместо x и решение 6〖(–3)〗 ² + 16(–3) – 6, что равно 54 – 48 – 6 = 0. Второй способ включает разложение многочлена на множители (6x – 2)(x + 3), а затем подставьте –3 вместо x. Второй способ быстро показывает, что ответ равен 0 из-за умножения на (–3 + 3).

Отчет о ошибке

с учетом функций F ( x ) = 2 x + 4 и G ( x ) = 3 x — 6, что является F ( g) ( x )) когда x = 6?

Возможные ответы:

28

12

144

192

16

Правильный ответ:

28

Пояснение:

Нам нужно работать изнутри наружу, поэтому г (6) = 3(6) – 6 = 12.

Затем f ( г (6)) = 2(12) + 4 = 28.

Сообщить об ошибке

Функция f ( x ) = –1 для всех значений x . Другая функция g ( x ) = 3 x для всех значений x . Чему равно г ( f ( x )), если x = 4?

Возможные ответы:

3

12

–12

–3

–1

Правильный ответ:

–3

Объяснение:

Мы работаем изнутри наружу, поэтому начнем с функции f ( x ). f (4) = –1. Затем мы подставляем это значение в г ( x ), поэтому г ( f ( x )) = 3 * (–1) = –3.

Сообщить об ошибке

Что такое f (–3), если f ( x ) = х ² + 5?

Возможные ответы:

–14

15

4

14

–4

Правильный ответ:

14

Объяснение:

f (–3) = (–3) ² + 5 = 9 + 5 = 14

Сообщить об ошибке

Для всех значений x , x ( ) = 7 x ²  – 3, и для всех значений y , y ( y ) = 2 y + 9. Чему равно y ( f ( x ))?

Possible Answers:

2 x + 9

14 y ² + 3

14 x ²  – 3

7 y ²  – 3

14 х ² + 3

Правильный ответ:

14 х ² + 3

Объяснение:

Внутренняя функция f ( x ) подобна нашему значению y , которое мы подставляем в g ( y ).

G ( F ( x )) = 2 (7 x ² — 3) + 9 = 14 x ² — 6 + 9 = 14 x ² + 3.

Сообщить об ошибке

Найти

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Просто подставьте 6 в уравнение и не забудьте абсолютное значение в конце.

абсолютное значение = 67

Сообщить об ошибке

← Предыдущий 1 2 3 4 5 6 7 Следующий →

767 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции 92

Среди алгебраических концепций GMAT , проверенных на GMAT, — это алгебраические функции. Возможно, вы помните их из школьного урока математики как вопросы, начинающиеся примерно так: f(x) = …. или г(х) = …. Возможно, вы также помните, что вам приходилось отвечать на вопросы, связанные с графиками функций, подобные тому, который вы видите на рис. 1 (справа). Чаще всего тесты GMAT функционируют в виде определенных операций и вопросов (вы знаете, эти вопросы включают странные символы, не имеющие математического значения, например, ⊛ или и или ⨷ — подробнее см. в нашем уроке « Common GMAT Word Problems »). Но время от времени вы будете встречать прямолинейные функции GMAT, так что давайте убедимся, что вы знаете, как с ними обращаться.

Что такое функция?

Позвольте мне начать с переформулировки вопроса о том, что такое функция. Дело не столько в том, что функция есть , сколько в том, что функция делает . На самом деле, вот полезное определение функции:

Определение: Функция присваивает каждому номеру в своей области другой номер.

Выглядит довольно просто, не правда ли? Это. Давайте подробнее рассмотрим, что именно это означает. На самом деле это означает, что функция делает именно то, о чем говорит определение. Например, у меня может быть алгебраическая функция, которая берет число 2 (назовем его вход ) и присваивает ему число 4 (выход ). Буквально. После того, как функция воздействует на число 2, оно превращается в число 4. Довольно безумно, да? Точно так же та же алгебраическая функция может принимать входное число 3 и превращать его в выходное число 9. . И он может взять число 4 и превратить его в 16. И так далее.

В системе обозначений мы будем использовать букву f для представления функции, поэтому только что описанные присваивания можно записать следующим образом:

f(2) = 4
f (3) = 9
f(4) = 16

Теперь, что вы заметили в этих присвоениях? Узнаете закономерность? Безусловно. Проще говоря, функция принимает входные данные, возводит их в квадрат и производит выходные данные. Таким образом, вместо того, чтобы выписывать каждую возможную комбинацию входных и выходных данных для представления функции, мы можем просто написать общую функцию, которая описывает это правило:0005

f(x) = x²

Таким образом, мы можем взять любой вход, который мы хотим, представленный здесь переменной x, а затем сделать то, что функция говорит нам сделать с ним, а именно, возвести его в квадрат — чтобы получить соответствующий вывод. Между прочим, эти значения затем можно нанести на график, что на самом деле и видно на рис. 1. Каждый вход x имеет ровно один выход f(x). Это так просто.

Еще одно замечание об определении функции. Обратите внимание, что здесь говорится, что функция присваивает каждому числу в своем домене другой номер. Домен — это просто допустимые входные значения для конкретной функции. Например, рассмотрим эту функцию:

f(x) = (x+1) / x

Какова область определения этой функции? Ответ: Каждое действительное число , кроме 0 , потому что помните, что вы не можете делить на 0. Честно говоря, это нюанс определения, который вам действительно не нужно знать на GMAT, но я думал, что d, по крайней мере, упомяните об этом, поскольку вам может быть интересно узнать об этой части определения.

Понимание функций: полезная аналогия

Возможно, вам будет полезно представить функции в терминах сборочной линии на заводе. Есть какой-то вход (на рисунке ниже цифра 5), который движется по конвейерной ленте и входит в «функцию» следующим образом:

Функция будет иметь очень конкретное правило, которое сообщает нашей гипотетической «машине», что делать с вводом. В этом примере (ниже) функция говорит машине взять ввод (x), возвести его в квадрат, а затем добавить результат к исходному вводу x. Это правило функции объясняется простым английским языком, но на самом деле это все, с чего начинается функция.

Вы видите, что после того, как ввод (5 в нашем примере) «входит» в функцию, результирующий вывод равен 30.

Это потому, что 5² + 5 = 30 . Итак, если f(x) = x² + x, то f(5) = 30. Имеет ли смысл?

Комбинирование функций

Как только вы поймете, как решать базовые функции, как в приведенном выше примере, вы сможете решать более сложные вопросы «комбинированных функций». Просто подумайте об аналогии со сборочной линией, когда мы рассмотрим этот пример:

Если f(x) = √x и g(x) = √(x² + 7), то каково значение f(g(3))?

(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5

Это похоже не так ли? Другими словами, g(3) — это все входных данных функции f , верно? Возвращаясь к нашей аналогии с конвейером, это будет выглядеть так:

Итак, очевидно, мы не можем решить эту функцию, пока сначала не решим g(3). Как только мы это сделаем, у нас будет вход для подключения к функции ф . Итак, давайте сначала решим g(3). Правило для функции g состоит в том, что g(x) = √(x² + 7), поэтому оно будет выглядеть так:

Решить это довольно просто, верно? Вы просто подставляете 3 вместо x и получаете √(3² + 7) = √16 = 4. Вот чему равно g(3).

Четыре (4) становятся новыми входными данными для функции f :

. ) = √4 = 2, Правильный ответ: B . Хорошая работа, если вы получили это!

Функции на GMAT

Теперь, когда вы знакомы с основами алгебраических функций и видели несколько примеров решения задач GMAT в действии, попробуйте свои силы в этом более сложном вопросе по функциям GMAT, который соберет все это для вас:

Вопрос: Для какой из следующих функций f(a + b) = f(a) + f(b) для всех положительных чисел a и b?

(А) f(x) = x²
(В) f(x) = x + 1
(C) f(x) = √x
(D) f(x) = 2/x
(E) f(x ) = -3x

Подробное объяснение ответа смотрите в этом видео:

Используйте эти новообретенные знания по алгебре GMAT, чтобы доминировать над GMAT!

Обозначение функций – объяснение и примеры

Концепция функций была разработана в семнадцатом веке, когда Рене Декарт использовал эту идею для моделирования математических отношений в своей книге Геометрия . Термин «функция» был введен Готфридом Вильгельмом Лейбницем пятьдесят лет спустя после публикации «Геометрии ».

Позже Леонард Эйлер формализовал использование функций, когда ввел понятие обозначения функций; у = f (х). Так было до 1837 года, когда Петер Дирихле — немецкий математик — дал современное определение функции.

Что такое функция?

В математике функция представляет собой набор входных данных с одним выходным значением в каждом случае. У каждой функции есть домен и диапазон. Домен — это набор независимых значений переменной x для отношения или функции. Проще говоря, домен — это набор значений x, которые генерируют реальные значения y при подстановке в функцию.

С другой стороны, диапазон — это набор всех возможных значений, которые может выдать функция. Диапазон функции может быть выражен в виде интервалов или неравенств.

Что такое функциональная запись?

Обозначение можно определить как систему символов или знаков, которые обозначают такие элементы, как фразы, числа, слова и т. д.

Таким образом, обозначение функций — это способ представления функции с помощью символов и знаков. Обозначение функций — это более простой способ описания функции без длинных письменных объяснений.

Наиболее часто используемое обозначение функции — f(x), которое читается как «f» из «x». В этом случае буква x, помещенная в круглые скобки, и весь символ f(x) обозначают набор доменов и набор диапазонов соответственно.

Хотя f — самая популярная буква, используемая при записи функций, любая другая буква алфавита также может использоваться как в верхнем, так и в нижнем регистре.

Преимущества использования обозначения функций

• Поскольку большинство функций представлены различными переменными, такими как; a, f, g, h, k и т. д., мы используем f(x), чтобы избежать путаницы в отношении того, какая функция оценивается.
• Обозначение функций позволяет легко идентифицировать независимую переменную.
• Обозначение функций также помогает нам идентифицировать элемент функции, который необходимо исследовать.

Рассмотрим линейную функцию y = 3x + 7. Чтобы записать такую ​​функцию в функциональном обозначении, мы просто заменяем переменную y фразой f(x), чтобы получить;

f(x) = 3x + 7. Эта функция f(x) = 3x + 7 читается как значение f в x или как f для x.

Типы функций

В алгебре есть несколько типов функций.

К наиболее распространенным типам функций относятся:

• Линейная функция

Линейная функция – это многочлен первой степени. Линейная функция имеет общий вид f(x) = ax + b, где a и b — числовые значения, а a ≠ 0.

• Квадратичная функция

функция. Общая форма квадратичной функции такова: f(x) = ax ² + bx + c, где a, b и c — целые числа и a ≠ 0.

• Кубическая функция

) = ax ³ + bx ² + cx + d

Логарифмическая функция — это уравнение, в котором переменная выступает как аргумент логарифма. Общий вид функции таков: f(x)=log a (x), где a — основание, а x — аргумент

Показательная функция — это уравнение, в котором переменная выступает как показатель степени. Экспоненциальная функция представлена ​​как f(x) = a ^х .

f(x) = sin x, f(x) = cos x и т. д. являются примерами тригонометрических функций

1. Тождественная функция:

) = x, ∀ x ∈ A

1. Рациональная функция:

Функция называется рациональной, если R(x) = P(x)/Q(x), где Q(x) ≠ 0.

Как оценивать функции?

Оценка функции — это процесс определения выходных значений функции. Это делается путем замены входных значений в данной нотации функции.

Пример 1

Запись y = x ² + 4x+ 1 с использованием обозначения функции и оценить функцию при x = 3.

Решение

Дано, y = x ² + 4x 4x 4059 40004. + 1

Применяя обозначение функций, мы получаем

f(x) = x ² + 4x + 1

Вычисление:

Замените x на 3

f (3) = 3 ^{6 + 2 2 2 3 + 1 = 9 + 12 + 1 = 22}

Пример 2

Вычислите функцию f(x) = 3(2x+1), когда x = 4.

Решение

Подставьте x = 4 в функцию f(x).

f (4) = 3[2(4) + 1]

f (4) = 3[8 + 1]

f (4) = 3 x 9

f (4) = 27

Пример 3

Запишите функцию y = 2x ²  + 4x – 3 в функциональном обозначении и найдите f (2a + 3).

Решение

y = 2x ²  + 4x – 3 ⟹ f (x) = 2x ²  + 4x – 3

Замените x на (2a + 3).

f (2а + 3) = 2(2а + 3) ² + 4(2а + 3) – 3

= 2(4а ² + 12а + 9) + 8а + 12 – 3 8а
= ² + 24a+ 18+ 8a+ 12 — 3
= 8a ² + 32a+ 27

Пример 4

Представляют y = x ³ — 4x. x = 2.

Решение

Учитывая функцию y = x ³  – 4x, замените y на f(x), чтобы получить;

f(x) = x ³  – 4x

Теперь оцените f(x), когда x = 2

⟹ f (2) = 2 ³  – 4 × 2 = 8 -8 = 0

Следовательно , значение y при x=2 равно 0

Пример 5

Найдите f (k + 2), учитывая, что f(x) = x² + 3x + 5.

Решение

4 оцените f (k + 2), замените x на (k + 2) в функции.

⟹ f (к + 2) = (к + 2) ² + 3 (к + 2) + 5

⟹ K² + 2² + 2K (2) + 3K + 6 + 5

⟹ K² + 4 + 4K + 3K + 6 + 5

= K² + 7K + 15

Пример 6

Дано дано. обозначение функции f (x) = x ²  – x – 4. Найдите значение x, если f (x) = 8

. Решение

Замените f(x) на 8.

8 = x ²  – x – 4

x ²  – x – 12 = 0

Решите квадратное уравнение, разложив его на множители, чтобы получить;

⟹ (х – 4) (х + 3) = 0

⟹ х – 4 = 0; x + 3 = 0

Следовательно, значения x при f (x) = 8 равны;

х = 4; x = -3

Пример 7

Вычислите функцию g(x) = x ²  + 2 при x = −3

Решение с заменой -x

5.

g (−3) = (−3) ²  + 2 = 9 + 2 = 11

Реальные примеры обозначения функций

Обозначения функций могут применяться в реальной жизни для решения математических задач, как показано ниже примеры:

Пример 8

Чтобы произвести определенный продукт, компания тратит x долларов на сырье и y долларов на рабочую силу. Если себестоимость продукции описывается функцией f(x, y) = 36000 + 40x + 30y + xy/100. Рассчитайте себестоимость продукции, если фирма тратит 10 000 и 1000 долларов на сырье и рабочую силу соответственно.

Решение

При x = 10 000 долларов США и y = 1 000 долларов США

Подставьте значения x и y в функцию производственных затрат

⟹f (10000, 1000) = 36000 + 40(10000) + 30(1000) + (10000) (1000)/100.

⟹ f (10000, 1000) = 36000 + 4000000 + 30000 + 100000

⟹ 4136000 долларов.

Пример 9

Мэри откладывает 100 долларов в неделю на свой предстоящий день рождения. Если у нее уже есть 1000 долларов, сколько у нее будет через 22 недели?

Решение

Пусть x = количество недель, а f(x) = общая сумма. Мы можем записать эту проблему в функциональной нотации как;

f(x)=100x + 1000
Теперь оцените функцию, когда x =22
f (22) =100(22) +1000
f (22) =3200

Таким образом, общая сумма составляет 3200 долларов.

Пример 10

Стоимость разговора в двух мобильных сетях A и B составляет 34 доллара плюс 0,05 доллара в минуту и ​​40 долларов плюс 0,04 доллара в минуту соответственно.

1. Представьте эту задачу в функциональном обозначении.
2. Какая мобильная сеть является доступной, учитывая, что среднее количество минут, используемых каждый месяц, составляет 1160 минут.
3. Когда ежемесячный счет двух сетей будет одинаковым?

Решение

1. Пусть x будет количеством минут, использованных в каждой сети.

Следовательно, функция сети A равна f(x) = 0,05x + 34, а функция сети B равна f(x) = 0,04x+40 долларов.

1. Чтобы определить доступную сеть, подставьте x = 1160 в каждую функцию: = 0,04(1160) + 40

   = 46,4+40

   = 86,4 $

   Таким образом, сеть B является доступной, поскольку ее общая стоимость разговоров меньше, чем у A. 34 = 0,04x + 40

   ⟹ 0,01x = 6

   x = 600

   Ежемесячный счет A и B будет равен, если среднее количество минут равно 600.

   No related posts.