Сумма первых n чисел: Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Тема 11.

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Сегодня мы выведем 2 формулы для нахождения суммы первых n-членов арифметической прогрессии.

Давным-давно сказал один мудрец

Что прежде надо

Связать начало и конец

У численного ряда.

Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных чисел:

1+2+3+…+98+99+100.

Задача очень непроста:

Как сделать, чтобы быстро

От единицы и до ста

Сложить в уме все числа?

Пять первых связок изучи,

Найдёшь к решению ключи.

С этой задачей связана история, которую рассказывают об известном немецком математике Карле Гауссе.

Когда учитель предложил ученикам сложить натуральные числа от 1 до 100, то маленький Карл моментально пришел с ответом. Вероятно, он заметил, что сумма первого и последнего слагаемого равна 101, сумма второго и предпоследнего слагаемого, тоже 101 и ничего странного в этом нет. Второе слагаемое на единицу больше первого, а предпоследнее на единицу меньше последнего, так что сумма должна быть такой же. То же будет происходить и с каждой новой парой чисел. Таких сумм 50, так как всего чисел 100 и все они разделены на пары. Значит, вся сумма равна числу 101 умноженному на 50. И Гаусс подсчитал, что сумма равна 5050.

1+2+3+4+…..+97+98+99+100

1+100=101

2+99=101

3+98=101

1+2+3+4+…+97+98+99+100=101∙50=5050

С помощью аналогичных рассуждений можно найти сумму n-первых членов арифметической прогрессии:

Обозначим сумму первых n-членов арифметической прогрессии S_n и запишем эту сумму дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания, а во втором в порядке убывания:

Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an (1)

Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1 (2)

Сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом равна a₁ + a_n, число таких пар равно n, поэтому сложив почленно равенства (1) и (2), получим:

2Sn=a1+an∙n

Разделим обе части этого равенства на 2 и получим формулу суммы первых n-членов арифметической прогрессии:

Sn=(a1+an)2∙n

Этой формулой удобно пользоваться, когда известны первый и последний члены арифметической прогрессии. Но можно вывести еще одну формулу, для этого вместо

a_n подставим формулу n-го члена, которую мы узнали на прошлом занятии. Получим:

Sn=(a1+an)2∙n=a1+a1+dn-12∙n=2a1+dn-12∙n

Для нахождения суммы первых n-членов арифметической прогрессии, используя эту формулу, достаточно знать первый член и разность арифметической прогрессии.

Разберем несколько примеров:

Найдем сумму первых 10-ти членов арифметической прогрессии, первый член которой равен минус 23, а десятый член равен 4. Воспользуемся формулой:Sn=(a1+an)2∙n, получим

S10=(-23+4)2∙10=-192∙10=-19∙5=-95

Рассмотрим еще один пример:

Вычислим сумму первых двадцати двух членов арифметической прогрессии:

-15; -11; -7; -3; ….

Итак, a1=-15,d=4, значит, можно воспользоваться второй формулой: Sn=2a1+dn-12∙n, получим:

S22=2∙-15+4∙(22-1)2∙22=-30+842∙22=54∙11=594.

А теперь давай найдем сумму членов арифметической прогрессии с пятнадцатого по тридцатый включительно, если первый член равен 10 и разность равна 3.

Как найти сумму с 15-го по 30-й член включительно, давай подумаем: S30=a1+a2+…+a14+a15+…+a30, если мы найдем сумму тридцати членов и вычтем из нее сумму первых 14-ти членов, то мы получим необходимую сумму с 15-го по 30-й члены.

Итак, S30=2∙10+3∙292∙30=1072∙30=107∙15=1605

S14=2∙10+3∙132∙14=592∙14=59∙7=413

S15-30=S30-S14=1605-413=1192

Ответ: 1192.

Эту же сумму мы могли найти и другим, способом, если бы ввели новую арифметическую последовательность, первый член которой был бы равен пятнадцатому члену нашей прогрессии.

А теперь давай решим уравнение:

x+1+x+5+x+9+…+x+69=684

Можно, конечно, расписать все слагаемые, привести подобные и решить это линейное уравнение, но это займет очень много времени. А если внимательно посмотреть на это уравнение, то можно заметить, что каждое следующее слагаемое отличается от предыдущего на 4. То, есть последовательность:

x + 1; x + 5; x + 9; … ; x + 69 является арифметической, сумма членов которой равна 684.

Итак, имеем: a1=x+1,a2=x+5,an=x+69, Sn=684.

Найдем разность арифметической прогрессии:

d=a2-a1=x+5-x+1=4

Найдем номер последнего члена, для этого воспользуемся формулой n-го члена: a_n = a₁ + d(n — 1)

x + 69 = x + 1 + 4(n — 1)

x + 69 = x + 1 + 4

n — 4

4n = 72, n = 18

Подставим все данные в формулу суммы первых n-членов арифметической прогрессии, получим:

684=x+1+x+52∙18

684 = (2x + 70) ∙ 9, отсюда 2x + 70 = 76    2x=6,    x=3

Ответ:3

Алгебра Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии

Материалы к уроку

Конспект урока

 

Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных чисел. Покажем, как можно решить эту задачу, не выполняя непосредственного сложения чисел.

Обозначим искомую сумму через эс и запишем ее дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания, а во втором – в порядке убывания..

Каждая пара чисел, расположенных друг с другом, дает в сумме сто один. Всего таких пар сто. Поэтому, сложив равенства почленно, получим два эс равно сто один умноженное на сто. Тогда сумма будет равна пяти тысячам пятидесяти.

С рассмотренной задачей связана история, которую рассказывают об известном немецком математике Карле Гауссе. Когда учитель предложил ученикам третьего класса сложить все числа от единицы до ста включительно, рассчитывая при этом надолго занять их работой, маленький Карл моментально подошел с готовым ответом. Возможно, он заметил, что каждая из сумм: один плюс сто, два плюс девяносто девять и так далее, равна ста одному, а таких сумм пятьдесят.

С помощь рассуждений, аналогично тем, которые мы провели при вычислении суммы первых ста натуральных чисел, можно найти сумму первых эн членов любой арифметической прогрессии.

Обозначим сумму первых эн членов арифметической прогрессии а энное через эс энное и запишем эту сумму дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания их номеров, а во втором случае – в порядке убывания..

Сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом, равна а первое плюс а энное.….

Число таких пар равно эн. Поэтому, сложив почленно равенства, получим два эс энное равно произведению суммы первого и последнего членов на эн. Разделив обе части последнего равенства на два, получим формулу суммы первых эн членов арифметической прогрессии…

Заметим, что если заданы первый член и разность арифметической прогрессии, то удобно пользоваться формулой суммы, представленной в другом виде. Подставив в формулу суммы первых эн членов арифметической прогрессии вместо а энного выражение а первое плюс произведение дэ на разность эн и один, получим, что сумма первых эн членов арифметической прогрессии задается следующей формулой…

Приведем примеры на вычисление суммы членов арифметической прогрессии.

Пример первый. Найдем сумму первых сорока членов арифметической прогрессии шесть, шесть с половиной..

В данной арифметической прогрессии первый член равен шесть, разность равна пяти десятым. Сороковой член прогрессии найдем по формуле энного члена. Он будет равен двадцать пять с половиной.

Теперь вычислим сумму первых сорока членов, воспользовавшись первой формулой для нахождения суммы. Получим, что сумма сорока членов прогрессии равна шестистам тридцати.

Можно воспользоваться и второй формулой для нахождения суммы. Вычисления будут выглядеть так…

Второй пример. Найдем сумму первых тридцати членов последовательности а энное, заданной формулой а энное равно три эн минус два.

Последовательность а энное является арифметической прогрессией, так как она задана формулой вида а энное равно ка эн плюс бэ, где ка равно трем, бэ равно минус двум. Найдем первый и тридцатый члены этой арифметической прогрессии: первый член равен одному, тридцатый член равен восьмидесяти восьми. Теперь по первой формуле суммы вычислим сумму тридцати первых членов прогрессии….. Она будет равна одной тысячи тремстам тридцати пяти.

Третий пример. Найдем сумму всех натуральных чисел, кратных восьми и не превосходящих сто пятьдесят.

Натуральные числа, кратные восьми, образуют арифметическую прогрессию, которую можно задать формулой а энное равно восьми эн. Чтобы определить, сколько членов этой прогрессии не превосходят сто пятьдесят, решим неравенство восемь эн меньше либо равно ста пятидесяти. Получим, эн меньше либо равно восемнадцати целым трем четвертым.

Значит, число членов прогрессии, сумму которых надо найти, равно восемнадцати.

Имеем: а первое равно восьми, а восемнадцатое равно восьми умноженное на восемнадцать и равно ста сорока четырем.

Сумма восемнадцати членов арифметической прогрессии будет равна одной тысячи тремстам шестидесяти восьми.

Четвертый пример. Пифагор и его ученики рассматривали последовательности, связанные с геометрическими фигурами.

Подсчитывая число кружков в треугольниках, квадратах, пятиугольниках, они получали:

• Последовательность треугольных чисел: один, три, шесть, десять…
• Последовательность квадратных чисел: один, четыре, девять, шестнадцать…
• Последовательность пятиугольных чисел: один, пять, двенадцать, двадцать два….

Зададим каждую из этих последовательностей формулой энного члена.

Последовательность треугольных чисел получается из последовательности натуральных чисел один, два, три  и так далее, то есть из арифметической прогрессии, в которой первый член и разность равны единице, следующим образом:

А первое равно единице, а второе равно один плюс два, а третье равно один плюс два плюс три, а энное равно один плюс два плюс три и так далее плюс эн.

Значит, а энное равно полусумме единицы и эн, умноженной на эн.

Последовательность квадратных чисел аналогичным способом получается из последовательности нечетных чисел один, три, пять, и так далее, то есть из арифметической прогрессии, первый член которой равен единице и разность равна двум….

Следовательно, бэ энное равно полусумме единицы, два эн и минус один, умноженной на эн, бэ энное равно эн квадрат. Мы пришли к формуле, очевидной для последовательности квадратных чисел.

Последовательность пятиугольных чисел таким же способом можно получить из арифметической прогрессии один, четыре, семь и так далее, в которой первый член равен единице и разность равна трем…..

Значит, це энное задается произведением полусуммы трех эн и минус один на эн.

Остались вопросы по теме? Наши репетиторы готовы помочь!

• Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам

• Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки

• Повысим успеваемость по школьным предметам

• Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ

Выбрать репетитора

Python — сумма первых н натуральных чисел

Автор оригинала: Python Examples.

В этом руководстве мы найдем сумму первых N натуральных чисел. Мы объясним заявление о проблеме и исследовать разные способы решения этой проблемы.

Постановка задачи

Найти сумму первого n натуральных чисел.

1 + 2 + 3 + 4 . . + N

Пример: если сумма первых 6 натуральных чисел рассчитывается как ниже.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
= 21

Пользователь предоставит N через консоль. Итак, вы должны прочитать N от консоли. И вы должны распечатать сумму на консоль.

Решение 1.

1. Читать n от пользователя.
2. отвечать
3. Вы можете использовать цикл для итерации от 1 до N.
   1. В цикле для ответа добавьте номер, чтобы ответить.
4. После того, как вы выходите из цикла, у вас есть сумма первых N натуральных чисел в вашем ответе.

Python Program, используя для петли

import sys
N = int(input("Enter a natural number: "))
answer=0
for i in range(0,N+1):
	answer = answer + i;
print(answer)

Python Program, используя во время цикла

import sys
N = int(input("Enter a natural number: "))
answer=0
i=1
while i<=N:
	answer = answer + i
	i=i+1
print(answer)

Выход

Решение 2.

Формула, чтобы найти сумму первого n натуральных чисел приведена ниже:

Sum of first N natural numbers = (N*(N+1))/2

Мы будем использовать эту формулу и написать программу Python для вычисления ответа.

Python Program с использованием формулы

import sys
N = int(input("Enter a natural number: "))
answer = (N*(N+1))/2
#answer will be float because of divide opeartion
#cast to int
answer = int(answer)
print(answer)

Выход

Enter a natural number: 5
15

Проверка ввода от пользователя

Во всех вышеуказанных программах мы не рассматривали случай, когда пользователь может обеспечить неправильный ввод.

Давайте проверим вход, чтобы быть естественным числом. Для этого мы должны проверить, является ли данный ввод номер, а затем, если оно больше нуля.

Программа Python с проверкой ввода

import sys
#read the input
N = input("Enter a natural number: ")
#assume everything is fine
validation = True
#if N is not numeric, validation fails
if not(N.isnumeric()):
	validation = False
else:
	N=int(N)
	#if n is less than 1, it is not a natural number
	if (N<1):
		validation = False
if validation:
	answer = (N*(N+1))/2
	answer = int(answer)
	print(answer)
else:
	print('Input is not a natural number. Try again.')

Эти случаи проверки предназначены только для демонстрационной цели. Вы можете подумать о некоторых дополнительных валидах и включить в программу Python.

Резюме

В этом руководстве примеров Python мы изучали разные способы написания программы Python, чтобы найти сумму первого n натуральных чисел.

Определение, формула, примеры и многое другое

В зависимости от свойств и способа представления чисел в числовой строке они подразделяются на разные типы. Это натуральные числа, целые числа, целые числа, действительные числа, рациональные числа, иррациональные числа, комплексные числа, мнимые числа и так далее. Каждое деление чисел имеет свой набор свойств и способов использования.

В этой статье о сумме первых n натуральных чисел мы постараемся узнать о формуле с определением натуральных чисел. Натуральные числа обозначают часть системы счисления, которая охватывает все положительные целые числа от 1 до бесконечности, а также применяются для целей счета. Натуральные числа не включают ноль (0). Серия 1,2,3,4,5,6,7,8,9…., также называется счетными числами.

Также читайте о системе счисления .

Натуральные числа также являются частью действительных чисел, которые включают только положительные целые числа, т.е. 1, 2, 3, 4,5,6, ………. кроме нуля, дробей, десятичных и отрицательных чисел.

Сумма натуральных чисел

Сумма натуральных чисел или сумма n чисел получается путем применения формулы арифметической прогрессии, в которой общая разница между предыдущим и последующим числами равна единице. Давайте прочитаем о формулах суммы n натуральных чисел с выводом и несколько решенных примеров.

Формула суммы натуральных чисел

Формула суммы n натуральных чисел применяется для определения суммы 1 + 2 + 3 + 4 +….. до n членов. Эти числа расположены в арифметической последовательности. Поэтому мы используем формулу суммы n членов арифметической прогрессии для определения формулы суммы натуральных чисел.

Сумма первых n натуральных чисел определяется по формуле :

\(\sum_1^n=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right] \).

Где n — натуральное число.

Узнайте больше о режиме среднего медианы здесь.

Сумма первых n натуральных чисел, как указано выше, может быть определена с помощью арифметической прогрессии. Где сумма n терминов организована в последовательность с первой фазой, состоящей из 1, а n — количество терминов вместе с n-м термином.

Сумма формулы «n» чисел представлена ​​в виде: \(\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]\).

Натуральные числа включают в себя целые числа, кроме числа 0.

Вывод формулы суммы натуральных чисел

До сих пор мы читали об определении и формуле. Теперь давайте получим сумму натуральных чисел, применяя сумму n членов в AP. В арифметической прогрессии АР «а» обозначает первый член, «d» обозначает общую разность, «l» — последний член.

т. е. n-й член, \(l=a+\left(n-1\right)d\).

В арифметической последовательности натуральных чисел общая разница между числами равна единице (1). Сумма n членов арифметической прогрессии будет:

Сумма =

\(a+(a+d)+(a+2d)\dots\dots+(l-2d)+(l-d)+l\Стрелка вправо(1)\)

При обратном порядке сумма остается прежней, следовательно:

Сумма =

\(l+(l-d)+(l-2d). .\dots+(a+2d)+(a+d)+a\Rightarrow(2)\)

Складывая уравнения 1 и 2, получаем

\(2\times Sum=[(a+l)+[(a+d)+(l-d)]\dots\dots\dots+[(l-d)+(a +d)]+(l+a)]\)

\(2\times Sum=(a+l)+(a+l)\dots\dots\dots+(a+l)+(a+l) \)

\(2\times Сумма=n\times(a+l)\)

⇒

\(Sum=\frac{n(a+l)}{2}\)

Теперь вставьте значение l из предыдущего уравнения. Здесь мы получаем:

Сумма n членов арифметической прогрессии = \(\frac{n[2a+(n-1)d]}{2}\)

Для натуральных чисел a = 1 и d = 1, поэтому ,

\(S=\frac{n[2\times1+(n-1)1]}{2}\)

\(S=\frac{\left[n\left(n+1\right) \right]}{2}\)

Следовательно, формула суммы натуральных чисел = \(\frac{\left[n\left(n+1\right)\right]}{2}\)

Изучите концепции трехмерной геометрии здесь.

Другой метод:

Другой метод нахождения суммы первых n натуральных чисел выглядит следующим образом:

Натуральные числа, как мы читаем, начинаются с формы 1,2,3,4,… так что сумма первых n натуральных чисел числа как:

1 + 2 + 3 + 4 + … + n.

\(S_{n}\) = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n

Как мы знаем, что:

\(S_{n}=\frac{n}{2}\left[2a+ \left(n−1\right)d\right]\)

Согласно ‘n’ натуральных чисел первый член, т. е. «a» = 1, и общая разность, т. е. обозначена d = 1, 92\)

Также читайте о последовательностях и сериях.

Сумма n натуральных чисел: решенные вопросы

Зная определение и формулу суммы натуральных чисел, давайте попрактикуемся на некоторых примерах для лучшего понимания:

Вопрос 1: Найдите сумму первых 100 натуральных чисел ?

Решение: Мы можем использовать формулу арифметической прогрессии, чтобы получить сумму первых 100 натуральных чисел. Где a = 1, n = 100 и d = 1,

Сумма n членов арифметической прогрессии определяется по формуле = \(S_{n}=\frac{n}{2}\left[2a+\left(n−1\right)d\right]\)

\(S=\frac{100}{2}\left[2\times1+\left(100-1\right)1\right]\)

\(S=50\left[2+100-1 \right]\)

S = 5050

Следовательно, сумма первых 100 натуральных чисел равна 5050.

Вопрос 2: Определите сумму первых 50 натуральных чисел?

Решение:

Присвойте S искомую сумму.

Следовательно, S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ……………….. + 50

По формуле находим сумму первых n натуральных чисел:

\(\frac{\left [n\left(n+1\right)\right]}{2}\)

Здесь n=50.

Следовательно,

\(\frac{\left[n\left(n+1\right)\right]}{2}=\frac{\left[50\left(50+1\right)\right ]}{2}\)

\(\frac{\left[50\times51\right]}{2}=1275\)

Следовательно, сумма первых 50 натуральных чисел равна 1275.

Узнать больше Об арифметических прогрессиях.

Пример 3: Получить сумму первых 10 натуральных чисел.

Решение: Дано, n = 5

Применяя формулу суммы натуральных чисел, мы получаем,

Сумма n натуральных чисел = \(\frac{\left[n\left(n+1\right) )\right]}{2}\)

S = \(\frac{\left[10\left(10+1\right)\right]}{2}\)

S = 55

Соответственно, сумма первых 10 натуральных чисел равна 55.

Другие темы по математике смотрите здесь.

Ниже приведена сводка для всех формул суммы натуральных чисел:

Сумма n слагаемых в AP	\(S_{n}=\frac{n}{2}\left[2a+\left (n−1\right)d\right]\)
Сумма натуральных чисел	\(\frac{\left[n\left(n+1\right)\right]}{2}\)
Сумма квадратов n натуральных чисел	\(\frac{\left[n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\right]}{6}\ )
Сумма куба n натуральных чисел 92\)

Мы надеемся, что приведенная выше статья о сумме n натуральных чисел поможет вам понять и подготовиться к экзамену. Оставайтесь с нами в приложении Testbook, чтобы получать больше обновлений по связанным с математикой темам и другим подобным предметам. Кроме того, обратитесь к серии тестов, доступных для проверки ваших знаний по нескольким экзаменам.

Сумма n натуральных чисел Часто задаваемые вопросы

В. 1 Какова сумма первых n натуральных чисел?

Ответ 1 Сумма первых n натуральных чисел 1+ 2+ … + n определяется по формуле = \(\frac{\left[n\left(n+1\right)\right]} {2}\)

Q.2 Каковы примеры натуральных чисел?

Ответ 2 Примеры натуральных чисел: 4, 8, 22, 24, 98, 121 и т. д.

В.3 В чем разница между натуральными и целыми числами?

Ответ 3 Натуральные числа охватывают только положительные целые числа и начинаются с 1 до бесконечности. С другой стороны, целые числа представляют собой комбинацию нуля + натуральных чисел, поскольку они начинаются с 0 и заканчиваются бесконечным значением.

Q.4 Что такое математика?

Ответ 4 Совокупность двух или более цифр, мер, чисел или отдельных элементов, полученная в результате математического процесса сложения, называется суммой в математике: сумма 7 и 8 равна 15.

Q.5 Является ли «0» натуральным числом?

Ответ 5 Ответ на этот вопрос будет «Нет». Как мы уже знаем, натуральные числа начинаются с 1 до бесконечности и являются целыми положительными числами.

Скачать публикацию в формате PDF

Подробнее от Testbook.com

11313131313131313131021021021021010101010101010101010101010 гг. Определение, типы, формулы, свойства и правила

Заявления в математических рассуждениях: значение, рассуждения и типы утверждений с примерами
Соотношение эквивалентности: значение, условие, доказательство, важные пункты и более
Функция модуля – выучите определение, график, формулу, подробные свойства с примерами
Область определения функции: значение и вычисление с графиками и примерами

Формула суммы натуральных чисел последующие числа равны 1. Натуральные числа также называются числами, считая от числа 1 до бесконечности, например 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и т.

д. Давайте узнаем о сумме n натуральных чисел, о том, как выводится формула, и решим несколько примеров. 9{n}\) = [n(n+1)]/2, , где n — натуральное число.

Определение суммы n натуральных чисел

Сумма n натуральных чисел может быть определена как форма арифметической прогрессии, в которой сумма n членов расположена в последовательности, где первый член равен 1, n — количество членов вдоль с n ^th терм. Сумма n натуральных чисел представляется как [n(n+1)]/2. Натуральные числа — это числа, которые начинаются с 1 и заканчиваются бесконечностью. Натуральные числа включают в себя целые числа, кроме числа 0.

Вывод формулы суммы натуральных чисел

Выведем сумму натуральных чисел, используя сумму n членов в AP. В AP «a» — это первый член, «d» — общая разность, «l» — последний член, т.е. n ^th член, l = a+(n-1)d

натуральные числа, общая разность между числами равна 1.

Сумма n членов арифметической прогрессии будет:

Сумма = a + (a+d) + (a+2d) …… + (l-2d) + (л-г) + л——————— (1)

При обратном порядке сумма остается той же, следовательно,

Сумма = l+(l-d)+(l-2d). .…+(a+2d)+(a+d)+a——— ———- (2)

Складывая уравнения 1 и 2, получаем

2 × Сумма = (a+l)+[(a+d)+(l-d)]………+[(l-d)+( a+d)]+(l+a)]

2× Сумма = (a+l)+(a+l)………+(a+l)+(a+l)

2× Сумма = n×(a+l)

⇒ Сумма = n/2(a+l)

Подставляя значение l из предыдущего уравнения, получаем

Сумма n членов арифметической прогрессии = n/2[2a + (н – 1)д]

Для натуральных чисел a = 1 и d = 1, следовательно,

S = n/2[2×1+(n-1)1]

S = [n(n+1)]/2

Следовательно, формула суммы натуральных чисел = [n(n+1)]/2

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, что стоит за математикой, с нашими сертифицированными экспертами

Запишитесь на бесплатный пробный урок

Примеры формулы суммы натуральных чисел

Пример 1: Найдите сумму первых 35 натуральных чисел.

Решение: Дано, n = 35

Формула суммы натуральных чисел:

S = [n(n+1)]/2

S = [35(35+1)]/2

S = 630

Следовательно, сумма первых 35 натуральных чисел равна 630

Пример 2: Найдите сумму натуральных чисел от 1 до 100.

Решение: формула прогрессии для нахождения суммы натуральных чисел от 1 до 100. Где a = 1, n = 100 и d = 1

Сумма n членов арифметической прогрессии = n/2[2a + (n – 1)d]

S = 100/2[2×1 + (100 — 1)1]

S = 5050

Следовательно, сумма натуральных чисел от 1 до 100 равна 5050

Пример 3: Найдите сумму первых 5 натуральных чисел.

Решение: Дано, n = 5

Используя формулу суммы натуральных чисел, мы получаем,

Формула суммы натуральных чисел = [n(n+1)]/2

S = 5(5+1 )/2

S = 15

Следовательно, сумма первых 5 натуральных чисел равна 15

Часто задаваемые вопросы о формуле суммы натуральных чисел

Что означает формула суммы n натуральных чисел?

Формула суммы натуральных чисел используется для нахождения суммы натуральных чисел до n слагаемых. т. е. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …. до n членов. Для вывода формулы нам нужно использовать сумму формулы арифметической прогрессии, потому что натуральные числа расположены в арифметической последовательности. С 1 в качестве первого члена, 1 в качестве общей разности и до n членов мы используем сумму AP = n/2(2+(n-1)). Решив это, получим формулу суммы натуральных чисел = [n(n+1)]/2

Какова формула суммы n натуральных чисел?

Сумма натуральных чисел получается с помощью арифметической прогрессии. Следовательно, формула выглядит так:

Формула суммы натуральных чисел = [n(n+1)]/2

, где n — натуральное число.

Какова формула суммы первых n четных натуральных чисел?

Сумма первых n четных натуральных чисел равна n(n + 1). Вот как мы его получили:

n — это четные натуральные числа, равные 2,4,6,………., 2n, которые образуют арифметическую прогрессию. Здесь а = 2, d = 4 — 2 = 2

Используя формулу арифметической прогрессии, получаем Sn = n/2 [2a + (n – 1) d]

Sn = n/2 [2(2) + (n -1) 2]

Sn = n/2 [4 + 2n – 2]

Sn = n/2 × 2 [2 + n – 1]

Sn = n (n + 1)

Следовательно, сумма четных натуральных чисел равна n(n + 1)

Какова сумма первых 29 натуральных чисел по формуле?

Сумма формулы натуральных чисел = [n(n+1)]/2

S = 29(29+1)/2

S = 435

Следовательно, сумма первых 29натуральных чисел 435.