Элементарная математика с точки зрения высшей, Т.1. Арифметика. Алгебра. Анализ
Элементарная математика с точки зрения высшей, Т.1. Арифметика. Алгебра. Анализ
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРАВВЕДЕНИЕ АРИФМЕТИКА I. ДЕЙСТВИЯ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ 2. Основные законы арифметических действий 3. Логические основы теории целых чисел 4. Практика счета с целыми числами II. ПЕРВОЕ РАСШИРЕНИЕ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА 1. Отрицательные числа 2. Дроби 3. Иррациональные числа III. ОСОБЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ 1. Роль теории чисел в школьном и университетском преподавании 2. Простые числа и разложение на множители 3. Обращение простых дробей в десятичные 4.  Непрерывные дроби5. Пифагоровы числа. Великая теорема Ферма 6. Задача о делении окружности на равные части 7. Доказательство невозможности построения правильного семиугольника циркулем и линейкой IV. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 1. Обыкновенные комплексные числа 2. Высшие комплексные числа, в особенности кватернионы 3. Умножение кватернионов и преобразование поворотного растяжения в пространстве 4. Комплексные числа в преподавании V. СОВРЕМЕННОЕ РАЗВИТИЕ И СТРОЕНИЕ МАТЕМАТИКИ ВООБЩЕ 1. Два различных ряда эволюций, по которым параллельно развивался математический анализ 2. Краткий обзор истории математики АЛГЕБРА I. УРАВНЕНИЯ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ 2. Уравнения с двумя параметрами Классификация уравнений по числу действительных корней. 3. Уравнения с тремя параметрами Дискриминантная кривая приведенного уравнения четвертой степени. А. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ В. УРАВНЕНИЕ С ОДНИМ КОМПЛЕКСНЫМ ПАРАМЕТРОМ 1.  n = wНевозможность деления угла на три равные части. 2. Уравнение диэдра 3. Уравнения тетраэдра, октаэдра и икосаэдра 4. Продолжение; вывод уравнений 5. О решении нормальных уравнений 6. Униформизация нормальных уравнений посредством трансцендентных функций Тригонометрическое решение кубического уравнения. 7. Разрешимость в радикалах 8. Сведение общих уравнений к нормальным АНАЛИЗ 1. Систематика алгебраического анализа 2. Историческое развитие учения о логарифме Непер и Бюрги: уравнение в конечных разностях. XVII столетие: площадь гиперболы. Эйлер и Лагранж: алгебраический анализ. XIX столетие: функции комплексной переменной. 3. Некоторые замечания о школьном преподавании 4. Точка зрения современной теории функций II. О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ 1. Теория тригонометрических функций в связи с учением о логарифме 2. Тригонометрические таблицы В. Логарифмо-тригонометрические таблицы. 3. Применения тригонометрических функций В.  Учение о малых колебаниях, в частности, о колебаниях маятника.С. Изображение периодических функций посредством рядов из тригонометрических функций (тригонометрические ряды). D. Общее понятие функции. III. ИСЧИСЛЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ В СОБСТВЕННОМ СМЫСЛЕ СЛОВА 1. Общие замечания относительно исчисления бесконечно малых Введение дифференциала (Лейбниц и его последователи). Реакция против предельных переходов и бесконечно малых; исчисление производных Лагранжа. О преподавании исчисления бесконечно малых в школе. 2. Теорема Тейлора Оценка погрешности. 3. Замечания исторического и педагогического характера ПРИЛОЖЕНИЯ I. ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТЬ ЧИСЕЛ e И pi 2. Доказательство трансцендентности числа e 3. Доказательство трансцендентности числа pi 4. Трансцендентные и алгебраические числа II. УЧЕНИЕ О МНОЖЕСТВАХ 1. Мощность множества Счетность множества рациональных и алгебраических чисел.  Несчетность континуума. Мощность континуумов высших измерений. Множества более высоких мощностей. 2. Порядок элементов множества Инвариантность числа измерений при непрерывном отображении. 3. Заключительные замечания о значении учения о множествах и о преподавании в школе ПРИМЕЧАНИЯ АЛГЕБРА АНАЛИЗ |
Автор рассматривает понятие числа (целого, рационального, иррационального), особо останавливаясь на тех «мостиках», которыми можно соединить вузовское и школьное преподавание математики. Написанная в форме лекций для учителей, книга и за давностью лет не потеряла своей значимости,, свежести, привлекательности.
Видео-урок: Решение кубических уравнений: Извлечение кубических корней
Стенограмма видео
В этом видео мы научимся
решать кубические уравнения, используя свойство кубического корня. Начнем с того, что вспомним, что куб
Корень числа 𝑎, записанного, как показано, — это число, куб которого равен 𝑎. Другими словами, кубический корень из 𝑎
в кубе равно 𝑎. Мы можем использовать это, чтобы упростить или
оценивать выражения. Например, мы знаем, что два в кубе
равно восьми, а это значит, что кубический корень из восьми равен двум.
Это не единственное использование кубический корень, так как мы также можем использовать эту идею для решения уравнений. Например, представьте, что нам говорят что объем куба равен 64 сантиметрам в кубе. Тогда мы можем сказать, что куб имеет длины сторон 𝑥 сантиметров, что дает нам уравнение 𝑥 в кубе равно 64. Куб, укореняющий обе стороны этого уравнения, мы знаем, что кубический корень из 𝑥 в кубе равен 𝑥. А кубический корень из 64 равен четыре. Таким образом, мы можем сделать вывод, что куб имеет длину стороны четыре сантиметра.
На данном этапе стоит отметить
что уравнение 𝑥 в кубе равно 𝑎 будет иметь только одно решение для любого действительного значения
из 𝑎. Это потому, что кубирование положительного
число дает положительный ответ, а кубирование отрицательного числа дает отрицательный
отвечать. Это отличается от решения
уравнение 𝑥 в квадрате равно 𝑎, поскольку оно имеет два решения, когда 𝑎 является положительным действительным числом.
число. Например, когда 𝑥 в квадрате
равно девяти, мы знаем, что 𝑥 равно положительному или отрицательному трем, так как три
квадрат равен девяти, а минус три в квадрате равен девяти. Давайте теперь посмотрим на пример, где
нам нужно решить кубическое уравнение.
Решите кубическое уравнение 𝑥 в кубе равно восьми для всех рациональных чисел.
Напомним, что рациональное число число, которое может быть выражено как частное или дробь двух целых чисел. В этом вопросе нам нужно решить уравнение 𝑥 в кубе равно восьми, и мы сделаем это, сначала взяв кубический корень обеих сторон. Мы знаем, что кубический корень из 𝑥 куб просто равен 𝑥. А так как два в кубе равно восемь, кубический корень из восьми равен двум. Решение кубического уравнения 𝑥 в кубе равно восьми, следовательно, 𝑥 равно двум.
В нашем следующем примере мы увидим
как решить кубическое уравнение, где переменная в кубе является дробью.
Решите 𝑥 в кубе равно 27 больше восемь.
Чтобы решить это уравнение, мы начнем с извлечения кубического корня из обеих сторон. Напомним, что кубический корень из 𝑥 куб это 𝑥. Итак, 𝑥 равно кубическому корню из 27 больше восьми. Далее напомним, что кубический корень из 𝑎 над 𝑏, где 𝑏 не равно нулю, равен кубическому корню из 𝑎 над кубом корень 𝑏. Мы знаем, что поскольку два в кубе равно восьми, кубический корень из восьми равен двум. А так как три в кубе равно 27, то кубический корень из 27 равен трем. Поскольку наше уравнение упрощается до 𝑥 равно кубическому корню из 27 на кубический корень из восьми, то 𝑥 равно три над двумя или тремя половинами. Это единственное решение проблемы уравнение 𝑥 в кубе равно 27 на восемь.
В нашем следующем примере мы решим
кубическое уравнение первой перестановкой.
Учитывая, что 𝑥 существует в множестве действительные числа и отрицательные 𝑥 больше 10 равны 100 больше 𝑥 в квадрате, определите значение 𝑥.
Для решения данной
уравнение, мы начнем с перекрестного умножения. Это то же самое, что умножить
обе части уравнения на 10𝑥 в квадрате. С левой стороны имеем
отрицательное 𝑥, умноженное на 𝑥 в квадрате. А справа 100
умножается на 10. Это упрощается до отрицательного 𝑥
в кубе равно 1000. Умножение на минус единицу
так что наш 𝑥-член положителен, у нас 𝑥 в кубе равно отрицательному 1000. Затем мы можем взять кубический корень из
обе части этого уравнения. Кубический корень из 𝑥 в кубе равен
𝑥. И отметив, что минус 10 в кубе
равен минус 1000, то кубический корень из минус 1000 равен минус 10. Если минус 𝑥 больше 10 равен
100 больше 𝑥 в квадрате, то значение 𝑥 отрицательное 10.
Мы можем проверить этот ответ, подставив наше значение 𝑥 обратно в исходное уравнение.
Пока в этом видео у нас есть только сомнение с помощью простых уравнений с участием кубов. Однако можно для операции, происходящие внутри кубической операции. В общем случае мы можем решить уравнения вида 𝑎𝑥 плюс 𝑏 все в кубе плюс 𝑐 равно 𝑑 при условии, что 𝑎 не равно равен нулю, и мы можем найти кубический корень из 𝑑 минус 𝑐. Решаем уравнение такого типа используя следующие четыре шага.
Во-первых, мы вычитаем 𝑐 из обоих
стороны, что дает нам 𝑎𝑥 плюс 𝑏 все в кубе равно 𝑑 минус 𝑐. Во-вторых, извлекаем кубический корень из
обе части уравнения для получения 𝑎𝑥 плюс 𝑏 равны кубическому корню из 𝑑 минус
𝑐. Далее мы вычитаем 𝑏 из обоих
стороны такие, что 𝑎𝑥 равно кубическому корню из 𝑑 минус 𝑐 минус 𝑏. И, наконец, мы делим на
𝑎 так что 𝑥 равно кубическому корню из 𝑑 минус 𝑐 минус 𝑏, деленному на
𝑎.
Давайте теперь рассмотрим, как мы можем применить
это на практике.
Найдите значение 𝑦, если два 𝑦 минус 14 все в кубе минус 36 равно 28.
Уравнение в этом вопросе
записанное в виде 𝑎𝑥 плюс 𝑏 все в кубе плюс 𝑐 равно 𝑑. Мы знаем, что можем решать уравнения
этого типа путем перестановки, чтобы сделать 𝑥 предметом. В этом вопросе переменная
𝑦. Итак, мы будем следовать аналогичному методу
чтобы сделать 𝑦 предметом. Начнем с прибавления 36 к обеим сторонам.
нашего уравнения. Это дает нам два 𝑦 минус 14 всего
в кубе равно 28 плюс 36. Правая часть упрощается до
64, и теперь мы можем извлечь кубический корень из обеих частей этого уравнения. С левой стороны имеем два
𝑦 минус 14. А так как четыре в кубе равно
64, кубический корень из 64 равен четырем. Наше уравнение упрощается до двух 𝑦
минус 14 равно четырем.
Далее прибавляем 14 к обеим сторонам. Два 𝑦 равно четырем плюс 14, что равно 18. Наконец, мы можем разделить на два таких, что 𝑦 равно девяти. Если два 𝑦 минус 14 все в кубе минус 36 равно 28, тогда значение 𝑦 равно девяти. Мы можем проверить этот ответ, подстановка 𝑦 равна девяти обратно в наше исходное уравнение. Когда мы это делаем, у нас есть два умноженное на девять минус 14 в скобках. Это равно четырем, а четыре в кубе минус 36 действительно равно 28. Это подтверждает, что решение задачи уравнение 𝑦 равно девяти.
В нашем последнем примере мы решим аналогичная проблема. Однако на этот раз коэффициент переменной отрицательно.
Найдите значение 𝑥, учитывая, что 15 минус три 𝑥 все в кубе плюс два равно 29.
Чтобы ответить на этот вопрос,
мы сначала перестроим уравнение так, чтобы член в кубе был изолирован на
левая сторона.
Мы делаем это, вычитая два из
обе стороны, что дает нам 15 минус три 𝑥 все в кубе равно 29минус два. 29 минус два равно 27. Теперь мы можем извлечь кубический корень.
обеих частей уравнения. Кубический корень из 15 минус три 𝑥
все в кубе просто 15 минус три 𝑥. А так как три в кубе равно 27, то
кубический корень из 27 равен трем. Наше уравнение упрощается до 15 минус
три 𝑥 равно трем.
Чтобы найти 𝑥, мы можем теперь вычтите 15 с обеих сторон, чтобы отрицательные три 𝑥 были равны трем минус 15. Это, в свою очередь, упрощается до отрицательного три 𝑥 равно минус 12. И разделив на три, мы есть 𝑥 равно четырем. Значение 𝑥, которое удовлетворяет уравнение 15 минус три 𝑥 все в кубе плюс два равно 29четыре.
Сейчас мы закончим это видео,
повторение ключевых моментов. В этом видео мы увидели, что можем
решать уравнения, извлекая кубические корни из обеих частей уравнения.
В частности, если 𝑥 в кубе равно
на 𝑎, то 𝑥 равно кубическому корню из 𝑎. Мы также видели, что в отличие от квадрата
корень, взятие кубических корней из обеих частей уравнения дает единственное решение. Наконец, чтобы решить кубическое уравнение
вида 𝑎𝑥 плюс 𝑏 все в кубе плюс 𝑐 равно 𝑑, где 𝑎, 𝑏, 𝑐 и 𝑑
константы и 𝑎 не равно нулю, мы переформулируем уравнение, чтобы изолировать 𝑥. Это дает нам 𝑥 равно
кубический корень из 𝑑 минус 𝑐 минус 𝑏 все разделить на 𝑎.
Кубический корень | Решенные примеры на кубический корень
Прежде чем научиться находить кубический корень, давайте сначала узнаем значение куба. Процесс возведения числа в куб — это умножение числа в три раза. Показатель степени, используемый для кубов, равен 3, что также обозначается x 3 . Например: куб 4 будет рассчитан как 4 * 4 * 4 = 4³ = 64 или 8³ = 8 * 8 * 8 = 512. Годы опыта. Зарегистрируйтесь сейчас
Теперь, чтобы найти кубический корень числа, доступен только один метод — разложение на простые множители.
Применяемый подход заключается в том, что каждое число, представляющее собой идеальный куб, будет иметь каждый простой делитель, входящий в группу из 3. Это делается потому, что, в отличие от квадратного корня, не существует другого обычного метода нахождения кубического корня. После простой факторизации каждый из простых множителей выбирается один раз за каждые три раза, когда он встречается в числе. Вы лучше поймете эту концепцию с помощью следующих примеров.
Пример 1: Найдите кубический корень из 1728.
Sol : Сначала мы проведем разложение на простые множители.
Разложение числа 1728 на простые множители равно 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3
= (2 * 2 * 3) * (2 * 2 * 3) * (2 * 2 * 3).
= 12 * 12 * 12 кубический корень из 1728 равен 12.
Пример 2: Найдите кубический корень из 9261. 7*7.
= (7 * 3) * (7 * 3) * (7 × 3)
= 21 * 21 * 21 Þ кубический корень из 9261 равен 21.
Пример 3: 15625.
Sol : Коэффициенты 15625 равны = 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5.
= (5 * 5) * (5 * 5) * (5 * 5)
= 25 * 25 * 25 Þ кубический корень из 15625 равен 25.
Пример 4 : Найдите наименьшее число, на которое нужно умножить 43904, чтобы получился совершенный куб.
Sol: Разложение числа 43904 на простые множители равно 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 7 * 7 * 7. Как вы можете видеть, 2 встречается в этом 7 раз, поэтому группы из трех двоек могут быть сделано 2 раза, и все равно останется одна 2, а 7 появится только в группе из трех. Таким образом, группы можно составить как 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 7 * 7 * 7 и, как вы видите, одна двойка пропущена, и теперь нужно еще две двойки для сделать его идеальным кубом, т.е. его следует умножить на 4.
Пример 5: Найдите наименьшее число, на которое нужно разделить 73002, чтобы получить идеальный куб.