Как решать линейные уравнения 8 класс: Решение систем линейных уравнений — как решать СЛАУ методами Гаусса, Крамера, подстановки и почленного сложения

Содержание

Линейные уравнения: как решать?

Линейным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная переменная встречается исключительно в первой степени, в том числе после преобразований, и не находится в знаменателе. В общем виде такое уравнение выглядит так:

ax + b = 0.

Впервые мы сталкиваемся с линейными уравнениями в начальной школе.

Давайте на простейших примерах вспомним, как нас учили их решать, и как метод решения изменился при дальнейшем обучении.

Начальная школа	Средняя школа
Пример 1. Найдите корень уравнения х + 4 = 10.
х является неизвестным слагаемым, чтобы его найти надо из суммы вычесть известное слагаемое, т.е. х = 10 — 4, откуда х = 6.	Переносим известные в одну сторону, неизвестные в другую с противоположными знаками. Для нашего уравнения переносим только 4 со знаком «минус», т.е. получим х = 10 — 4 или х = -4 + 10. И так, и так х = 6.
Пример 2. Найдите корень уравнения х — 4 = 10.
х является неизвестным уменьшаемым, чтобы его найти надо к разности прибавить вычитаемое, т.е. х = 10 + 4, откуда х = 14.	Переносим известные в одну сторону, неизвестные в другую с противоположными знаками. Для нашего уравнения переносим только 4 со знаком «плюс», т.е. получим х = 10 + 4 или х = 4 + 10. И так, и так х = 14.
Пример 3. Найдите корень уравнения 10 — х = 4.
х является неизвестным вычитаемым, чтобы его найти надо из уменьшаемого вычесть разность, т.е. х = 10 — 4, откуда х = 6.	Переносим известные в одну сторону, неизвестные в другую с противоположными знаками. Для нашего уравнения подойдут 2 способа решения: 1) Переносим только 10. Тогда -х = 4 — 10; -х = -6: х = 6. 2) Переносим и х, и 4. Тогда 10 — 4 = х; х = 6.
Пример 4. Найдите корень уравнения 2х = 6.
х является неизвестным множителем, чтобы его найти надо произведение разделить на известный множитель, т.е. х = 6 : 2, откуда х = 3.	Нужно сделать так, чтобы коэффициент перед х равнялся 1, т.к. 1 · х = х. Сейчас коэффициент перед х равен 2. Чтобы двойку превратить в 1, надо 2 разделить на 2. Но только левую часть уравнения мы на 2 разделить не можем, поэтому делим еще и правую часть. Поэтому учителя обычно и говорят, что надо обе части уравнения разделить (в данном случае) на 2. Получаем х = 3.
Пример 5. Найдите корень уравнения х : 2 = 6.
х является неизвестным делимым, чтобы его найти надо делитель умножить на частное, т. е. х = 6 · 2, откуда х = 12.	В средней школе подобное уравнение редко встретишь в таком виде, т.к. обычно деление заменяют дробной чертой и уравнение принимает такой вид:. Почему оно линейное? Да потому, что деление на 2 можно заменить умножением на ½ и уравнение станет таким же, как в примере 4, только с другим числовым коэффициентом. В этом случае мы должны избавится от знаменателя, умножив дробь х/2 на 2 (в этом случае двойки сократятся и останется только х). И опять же домножаем на 2 не только левую часть, но и правую. По аналогии с предыдущим примером говорят, что мы умножаем на 2 обе части уравнения и получаем х = 12.

А вот уравнение 6 : х = 2 уже не будет линейным, т.к. заменив знак деления дробной чертой х окажется в знаменателе, а это говорит о том, что уравнение дробно-рациональное. Хотя в начальной школе мы их тоже решали: здесь х является неизвестным делителем, а чтобы его найти надо делимое разделить на частное. И, конечно, надо понимать, что на 0 делить нельзя (х ≠ 0).

Конечно, подобные уравнения, кроме как в началке, вам не встретятся. Поэтому я разберу еще парочку примеров.

Пример 6. Найдите корень уравнения 3(х — 4) — 7х = 8.

Такое уравнение требует от нас умения раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые.

Напомню, что при умножении числа на скобку это число умножается на всё, что в этих скобках находится. А то знаете, многие очень любят умножать число перед скобкой на что-то одно. Поэтому, в нашем случае, на 3 умножается и х, и -4. Получаем такое уравнение:

3х — 12 — 7х = 8.

Теперь хочется сразу перенести известные в одну сторону, а неизвестные — в другую и привести подобные слагаемые. Но я сделаю поэтапно. Сначала сделаем перенос:

3х — 7х = 8 + 12. Заметили, что знак у 12 поменялся? Так происходит потому, что мы к обеим частям уравнения прибавили 12 (да, так тоже можно делать). Только в левой части -12 испаряется (т.к. -12 + 12 = 0), а в правой появляется +12.

Приводим подобные:

-4х = 20. А здесь выбирайте любой способ решения: либо находите неизвестный множитель, либо обе части делите на -4. Я предпочитаю разделить, поэтому

х = -5.

Ответ: -5.

Пример 7. Найдите корень уравнения .

Уж очень сильно нам мешаются знаменатели! Избавимся от них, умножив обе части уравнения на общий знаменатель. Общим знаменателем будет число 15, т.к. 15 делится без остатка и на 3, и на 5, и на 15.

— такое преобразование уравнения обычно не пишут, а сразу сокращают 15 со знаменателями и получают следующее уравнение:

3х + х = -10.

Приводим подобные слагаемые:

4х = -10.

Обе части делим на 4:

х = -2,5.

Ответ: -2,5.

Успехов в учебе!

С уважением, Васильева Анна.

100 ballov.kz образовательный портал для подготовки к ЕНТ и КТА

Ходить даже по полу с подогревом в ванной комнате после принятия водных процедур босыми ногами крайне не рекомендуется. Это чревато не только простудными заболеваниями.

Зачем стелить коврик в ванную комнату?

Причин не оставлять полы в ванной без покрытия несколько:

В качестве напольного покрытия здесь используется чаще всего устойчивая к влаге и долговечная керамическая плитка, отличающаяся довольно холодной поверхностью. Если не планируется монтировать «теплый пол», ходить по ней весьма некомфортно.
В ванной практически всегда влажно, а вероятность попадания воды на пол максимальна. Это делает плитку очень скользкой, повышает шанс скольжения и получения травмы от падения.

В интерьере ванных комнат порой не хватает некоторого уюта. Небольшой мягкий коврик для ванной способен буквально преобразить обстановку. Интерьер становится более комфортным.

Коврик в ванной выполняет не только функциональную, но и декоративную роль. Он снижает травмоопасность керамической плитки, защищает от холода, идущего от пола.

Какой коврик купить в ванную комнату?

Расцветка, размеры и фактура выбираются с учетом интерьера и личного вкуса. Особое внимание необходимо уделять следующим параметрам:

Чтобы коврик не скользил по кафелю, выбирают изделие с прорезиненной подложкой либо силиконовыми присосками.
Из-за слишком высокой влажности, предпочтение отдается материалам, которые хорошо впитывают влагу, легко отстирываются и быстро сохнут.

Предпочтение следует отдавать короткому и среднему ворсу. За слишком длинным потребуется сложный уход.
Края должны быть хорошо отработаны. Это позволяет гарантировать сохранность формы изделия.

Еще одним важным требованием является гигиеничность. Коврик должен быть безопасным, то есть не содержать вредных веществ, а также не вызывать аллергию.

Какому материалу отдать предпочтение?

Особое значение при выборе коврика в ванную имеет состав изделия. Он, как говорилось выше, должен хорошо чувствовать себя в условиях повышенной влажности. Наибольшей популярностью пользуются:

ПВХ. Отличается доступной стоимостью. Отлично моется, не скользит. Выпускается в рулонах, поэтому может отрезаться любой длины.
Силикон. Гигиеничный и гипоаллергенный. Силиконовые коврики представлены многообразием форм и оттенков, снабжены присосками. Они быстро сохнут и не доставляют неудобств в уходе.

Микрофибра. Внешне напоминает натуральный материал. Устойчива к образованию грибка, плесени. Не только хорошо отстирывается, но и оставляет после себя невероятно приятные тактильные ощущения.
Акрил. Из него выпускаются самые красивые коврики для ванной комнаты. Материал устойчив к образованию грибка и плесени. Изделия из акрила имеют прорезиненную либо силиконовую основу.

Предпочтение отдается именно синтетическим материалам, поскольку натуральные ткани не способны перенести условия повышенной влажности. Все перечисленные варианты обладают высокой гигиеничностью и безопасны для человека.

Решение линейных уравнений с одной переменной

8 класс: Решение линейных уравнений с одной переменной

Рейтинг:

Общие базовые стандарты

Стандарты содержания

8. EE.7 Решение линейных уравнений с одной переменной.

8.EE.7a Приведите примеры линейных уравнений с одной переменной с одним решением, бесконечным числом решений или отсутствием решений. Покажите, какая из этих возможностей имеет место, последовательно преобразовывая данное уравнение в более простые формы, пока не получится эквивалентное уравнение вида x = a, a = a или a = b (где a и b — разные числа).

8.EE.7b Решите линейные уравнения с коэффициентами рациональных чисел, включая уравнения, решения которых требуют расширения выражений с использованием свойства дистрибутивности и сбора подобных членов.

Стандарты математической практики

MP.1 – Разбираться в проблемах и настойчиво решать их.

MP.3 – Придумывайте жизнеспособные аргументы и критикуйте рассуждения других

MP.7 – Ищите и используйте структуру

Описание урока

На этом уроке под названием «Решение линейных уравнений с одной переменной» с сайта map. mathshell.org учащиеся начинают с выполнения предварительного задания, во время которого учащиеся начинают изучать, что означает истинность уравнения. Учащихся просят критически оценить работу двух учащихся для этой оценки. Урок переходит к обсуждению того, как узнать, что уравнение истинно, и определению значений, чтобы сделать уравнение верным. Учащиеся сообща определяют, всегда ли, иногда или никогда не будет истинным уравнение, представляющее три возможных решения линейного уравнения (одно решение, отсутствие решения, бесконечное множество решений). Урок также включает в себя задание по сопоставлению карточек, где учащиеся сопоставляют разные уравнения с другими уравнениями с тем же решением. Уроки содержат огромное количество информации для наводящих вопросов, способствующих рассуждению и развитию концептуального понимания.

Предостережения

Некоторые из предостережений этого урока включают отсутствие поддержки для изучающих английский язык. Также отсутствует поддержка культурного разнообразия. Уроку не хватает дополнительной поддержки для учащихся, работающих как выше, так и ниже уровня класса. Есть образцы решений, но нет критерия для предоставления объективных оценок. Отсутствует применение к реальным сценариям и возможность продвигать передачу. Также должен быть добавлен какой-то способ настроить это для более мультикультурных студентов.

Обоснование выбора

Урок представляет собой насыщенный урок, в котором учащиеся работают на уровне строгости CCSS. Учащиеся активно участвуют в этой деятельности, используя практические манипуляции для сопоставления разных карточек и используя несколько представлений концепции. Существует взвешенный подход к работе с понятиями и процедурами. Студенты должны сообщать о своем понимании в нескольких форматах, обосновывать свои рассуждения и критиковать рассуждения других. Самый ценный ресурс урока — это вопросы, заданные учителям, которые способствуют рассуждению учащихся. Эти стратегии задавания вопросов, а также потенциальные области непонимания полезны для учителей, помогая им предвидеть и исправлять непонимание учащихся.

8 класс | Математика | Iowa Department of Education

В 8-м классе учебное время должно быть сосредоточено на трех важнейших областях: (1) формулировка и обоснование выражений и уравнений, включая моделирование связи двумерных данных с линейным уравнением и решение линейных уравнений и систем линейных уравнений. уравнения; (2) понимание концепции функции и использование функций для описания количественных отношений; (3) анализ двух- и трехмерного пространства и фигур с использованием расстояния, угла, подобия и конгруэнтности, а также понимание и применение теоремы Пифагора.

Учащиеся используют линейные уравнения и системы линейных уравнений для представления, анализа и решения различных задач. Учащиеся узнают уравнения для пропорций (y/x = m или y = mx) как специальные линейные уравнения (y = mx + b), понимая, что константа пропорциональности (m) — это наклон, а графики — это линии, проходящие через начало координат. Они понимают, что наклон (m) линии представляет собой постоянную скорость изменения, так что если входные данные или координата x изменяются на величину A, выходные данные или координата y изменяются на величину m·A. Учащиеся также используют линейное уравнение для описания связи между двумя величинами в двумерных данных (например, между размахом рук и ростом учащихся в классе). На этом уровне подгонка модели и оценка ее соответствия данным выполняются неформально. Интерпретация модели в контексте данных требует, чтобы учащиеся выражали взаимосвязь между двумя рассматриваемыми величинами и интерпретировали компоненты взаимосвязи (такие как наклон и пересечение оси Y) с точки зрения ситуации.
Учащиеся стратегически выбирают и эффективно реализуют процедуры для решения линейных уравнений с одной переменной, понимая, что при использовании свойств равенства и концепции логической эквивалентности они сохраняют решения исходного уравнения. Учащиеся решают системы двух линейных уравнений с двумя переменными и связывают системы с парами прямых на плоскости; они пересекаются, параллельны или являются одной и той же линией. Учащиеся используют линейные уравнения, системы линейных уравнений, линейные функции и свое понимание наклона линии для анализа ситуаций и решения проблем.
Учащиеся усваивают понятие функции как правила, которое назначает каждому входу ровно один выход. Они понимают, что функции описывают ситуации, когда одна величина определяет другую. Они могут переводиться между представлениями и частичными представлениями функций (отмечая, что табличные и графические представления могут быть частичными представлениями), и они описывают, как аспекты функции отражаются в различных представлениях.
Учащиеся используют идеи о расстоянии и углах, их поведении при перемещении, вращении, отражении и расширении, а также идеи о конгруэнтности и сходстве для описания и анализа двухмерных фигур и решения задач. Учащиеся показывают, что сумма углов в треугольнике есть угол, образованный прямой линией, и что различные конфигурации линий порождают подобные треугольники из-за углов, образующихся при пересечении параллельных прямых секущей. Учащиеся понимают формулировку теоремы Пифагора и ее обратной формы, а также могут объяснить, почему теорема Пифагора верна, например, путем разложения квадрата двумя разными способами. Они применяют теорему Пифагора для нахождения расстояний между точками на координатной плоскости, для нахождения длин и для анализа многоугольников. Учащиеся завершают свою работу над объемом, решая задачи, связанные с конусами, цилиндрами и сферами.
Система счисления (8.NS)
Знайте, что есть нерациональные числа, и аппроксимируйте их рациональными числами. (8.NS.A)
Знайте, что числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными. Неформально поймите, что каждое число имеет десятичное расширение; для рациональных чисел показать, что десятичное расширение в конечном итоге повторяется, и преобразовать десятичное расширение, которое в конечном итоге повторяется, в рациональное число. (8.NS.A.1) (ДОК 1)
Используйте рациональные приближения иррациональных чисел, чтобы сравнить размер иррациональных чисел, расположить их приблизительно на диаграмме числовых линий и оценить значение выражений (например, π2). Например, усекая десятичное разложение √2, покажите, что √2 находится между 1 и 2, а затем между 1,4 и 1,5, и объясните, как продолжить, чтобы получить более точные приближения. (8.НС.А.2) (ДОК 1,2)
Выражения и уравнения (8.EE)
Работа с радикалами и целыми показателями. (8.EE.A)
Знать и применять свойства целочисленных показателей степени для создания эквивалентных числовых выражений. Например, 32 × 3–5 = 3–3 = 1/33 = 1/27. (8.EE.A.1) (DOK 1)
Используйте символы квадратного корня и кубического корня для представления решений уравнений вида x2 = p и x3 = p, где p — положительное рациональное число. Вычислите квадратные корни из маленьких совершенных квадратов и кубические корни из маленьких совершенных кубов. Знайте, что √2 иррационально. (8.EE.A.2) (ДОК 1)
Используйте числа, выраженные в виде одной цифры, умноженной на целую степень числа 10, для оценки очень больших или очень малых величин и для выражения того, во сколько раз одно больше другого. Например, оцените население Соединенных Штатов как 3 × 108, а население мира как 7 × 109 и определите, что население мира более чем в 20 раз больше. (8. EE.A.3) (ДОК 1,2)
Выполнение операций с числами, выраженными в экспоненциальном представлении, включая задачи, в которых используется как десятичное, так и экспоненциальное представление. Используйте научные обозначения и выбирайте единицы соответствующего размера для измерения очень больших или очень малых величин (например, используйте миллиметры в год для распространения по морскому дну). Интерпретировать научную нотацию, созданную технологией. (8.EE.A.4) (ДОК 1,2)
Понимать связи между пропорциональными отношениями, линиями и линейными уравнениями. (8.EE.B)
График пропорциональных отношений, интерпретирующий удельную скорость как наклон графика. Сравните два разных пропорциональных отношения, представленных по-разному. Например, сравните график «расстояние-время» с уравнением «расстояние-время», чтобы определить, какой из двух движущихся объектов имеет большую скорость. (8.EE.B.5) (ДОК 1,2,3)
Используйте подобные треугольники, чтобы объяснить, почему наклон m одинаков между любыми двумя различными точками на невертикальной линии в координатной плоскости; выведите уравнение y = mx для прямой, проходящей через начало координат, и уравнение y = mx + b для прямой, пересекающей вертикальную ось в точке b. (8.EE.B.6) (ДОК 1,2,3)
Анализ и решение линейных уравнений и пар одновременных линейных уравнений. (8.EE.C)
Решение линейных уравнений с одной переменной.
Приведите примеры линейных уравнений с одной переменной с одним решением, бесконечным числом решений или без решений. Покажите, какая из этих возможностей имеет место, последовательно преобразовывая данное уравнение в более простые формы, пока не получится эквивалентное уравнение вида x = a, a = a или a = b (где a и b — разные числа).
Решите линейные уравнения с коэффициентами рациональных чисел, включая уравнения, решения которых требуют расширения выражений с использованием свойства дистрибутивности и сбора подобных членов. (8.EE.C.7) (DOK 1,2)
Анализ и решение пар одновременных линейных уравнений.
Поймите, что решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными соответствуют точкам пересечения их графиков, потому что точки пересечения удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.
Алгебраически решите системы двух линейных уравнений с двумя переменными и оцените решения, построив уравнения в виде графиков. Решите простые случаи путем проверки. Например, 3x + 2y = 5 и 3x + 2y = 6 не имеют решения, потому что 3x + 2y не может быть одновременно 5 и 6.
Решите реальные и математические задачи, ведущие к двум линейным уравнениям с двумя переменными. Например, зная координаты двух пар точек, определите, пересекает ли прямая, проходящая через первую пару точек, прямую, проходящую через вторую пару. (8.EE.C.8) (ДОК 1,2,3)
Функции (8.F)
Определение, оценка и сравнение функций. (8.F.A)
Поймите, что функция — это правило, которое назначает каждому входу ровно один выход. График функции представляет собой набор упорядоченных пар, состоящих из входа и соответствующего выхода. (8.Ф.А.1) (ДОК 1,2)
Сравните свойства двух функций, каждая из которых представлена по-разному (алгебраически, графически, численно в таблицах или словесными описаниями). Например, если дана линейная функция, представленная таблицей значений, и линейная функция, представленная алгебраическим выражением, определите, какая функция имеет большую скорость изменения. (8.Ф.А.2) (ДОК 1,2)
Интерпретируйте уравнение y = mx + b как определяющее линейную функцию, график которой представляет собой прямую линию; приведите примеры функций, которые не являются линейными. Например, функция A = s2, задающая площадь квадрата как функцию длины его стороны, не является линейной, поскольку ее график содержит точки (1,1), (2,4) и (3,9), которые равны не по прямой. (8.F.A.3) (ДОК 1,2)
Используйте функции для моделирования отношений между величинами. (8.F.B)
Построить функцию для моделирования линейной зависимости между двумя величинами. Определить скорость изменения и начальное значение функции по описанию зависимости или по двум значениям (x, y), в том числе прочитать их из таблицы или из графика. Интерпретируйте скорость изменения и начальное значение линейной функции с точки зрения ситуации, которую она моделирует, и с точки зрения ее графика или таблицы значений. (8.Ф.Б.4) (ДОК 1,2,3)
Качественно описать функциональную связь между двумя величинами, анализируя график (например, где функция возрастает или убывает, линейна или нелинейна). Нарисуйте график, демонстрирующий качественные характеристики функции, описанной словесно. (8.Ф.Б.5) (ДОК 1,2,3)
Геометрия (8.G)
Понимание конгруэнтности и подобия с помощью физических моделей, прозрачных пленок или программного обеспечения для геометрии. (8.G.A)
Проверить экспериментально свойства вращения, отражения и перемещения:
Линии преобразуются в линии, а сегменты линий в сегменты линий одинаковой длины.
Углы принимают за углы одной меры.
Параллельные линии превращаются в параллельные. (8.G.A.1) (ДОК 2)
Понять, что двумерная фигура конгруэнтна другой, если вторая может быть получена из первой последовательностью поворотов, отражений и перемещений; Даны две конгруэнтные фигуры, опишите последовательность, демонстрирующую их конгруэнтность. (8.Г.А.2) (ДОК 1,2)
Описать эффект расширения, перемещения, поворота и отражения двухмерных фигур с использованием координат. (8.Г.А.3) (ДОК 1,2)
Понять, что двумерная фигура подобна другой, если вторая может быть получена из первой последовательностью поворотов, отражений, перемещений и расширений; Имея две подобные двумерные фигуры, опишите последовательность, демонстрирующую сходство между ними. (8.Г.А.4) (ДОК 1,2)
Используйте неформальные аргументы, чтобы установить факты о сумме углов и внешнем угле треугольников, об углах, образующихся при пересечении параллельных прямых секущей, и критерий угла-угла для подобия треугольников. Например, расположите три копии одного и того же треугольника так, чтобы сумма трех углов представляла собой линию, и приведите аргумент в терминах секущей, почему это так. (8.Г.А.5) (ДОК 1,2,3)
Понять и применить теорему Пифагора. (8.G.B)
Объясните доказательство теоремы Пифагора и ее обращение. (8.G.B.6) (ДОК 2,3)
Примените теорему Пифагора для определения неизвестных длин сторон в прямоугольных треугольниках в реальных и математических задачах в двух и трех измерениях. (8.G.B.7) (ДОК 1,2)
Примените теорему Пифагора, чтобы найти расстояние между двумя точками в системе координат. (8.G.B.8) (ДОК 1,2)
Решайте реальные и математические задачи на объем цилиндров, конусов и сфер. (8.G.C)
Знать формулы объемов конусов, цилиндров и сфер и использовать их для решения реальных и математических задач. (8.G.C.9) (ДОК 1,2)
Статистика и вероятность (8.SP)
Исследование моделей связи в двумерных данных. (8.СП.А)
Построение и интерпретация диаграмм рассеяния для данных двумерных измерений для исследования закономерностей связи между двумя величинами. Опишите шаблоны, такие как кластеризация, выбросы, положительная или отрицательная связь, линейная связь и нелинейная связь. (8.СП.А.1) (ДОК 1,2,3)
Знайте, что прямые линии широко используются для моделирования отношений между двумя количественными переменными. Для точечных диаграмм, которые предполагают линейную связь, неформально аппроксимируют прямую линию и неформально оценивают соответствие модели, оценивая близость точек данных к линии. (8.СП.А.2) (ДОК 1,2)
Используйте уравнение линейной модели для решения задач в контексте данных двумерных измерений, интерпретации наклона и точки пересечения. Например, в линейной модели для биологического эксперимента интерпретируйте наклон 1,5 см/ч как означающий, что дополнительный час солнечного света каждый день связан с дополнительными 1,5 см высоты взрослого растения. (8.СП.А.3) (ДОК 1,2)
Поймите, что закономерности ассоциации также можно увидеть в двумерных категориальных данных, отображая частоты и относительные частоты в двусторонней таблице. Постройте и интерпретируйте двустороннюю таблицу, обобщающую данные по двум категориальным переменным, собранным у одних и тех же субъектов. Используйте относительные частоты, рассчитанные для строк или столбцов, чтобы описать возможную связь между двумя переменными.
No related posts.