Вся элементарная математика — Средняя математическая интернет-школа
Методы доказательства неравенств.
Решение неравенств. Равносильные неравенства.
Метод интервалов. Системы неравенств.
Доказательство неравенств. Существует несколько методов доказатель ства неравенств. Мы рассмотрим их на примере неравенства:
1). Использование известного или ранее доказанного неравенства.
Известно, что ( a – 1 ) ² 0 .
2). Оценка знака разности между частями неравенства .
Рассмотрим разность между левой и правой частью:
более того, равенство имеет место только при a = 1 .
3). Доказательство от противного.
Предположим противное:
Умножая обе части неравенства на a , получим: a 2 + 1 a , т. e .
a 2 + 1 – 2 a или ( a – 1 ) 2 что неверно.
(
Почему ? ) .
Полученное противоречие доказывает справедливость
рассматриваемого неравенства.
4). Метод неопределённого неравенства.
Неравенство называется неопределённым , если у него знак \/ или /\ ,
т.е. когда мы не знаем в какую сторону следует повернуть этот знак,
чтобы получить справедливое неравенство.
Здесь действуют те же правила, что и с обычными неравенствами.
Рассмотрим неопределённое неравенство:
Умножая обе части неравенства на a , получим: a 2 + 1 \/ 2 a , т.
e
.
а 2 + 1 – 2 a \/ 0 , или ( a – 1 ) 2 \/ 0 , но здесь мы уже знаем, как повернуть
знак \/ , чтобы получить верное неравенство ( Как? ). Поворачивая его
в нужном направлении по
всей цепочке неравенств снизу вверх, мы
получим требуемое неравенство.
Решение неравенств. Два неравенства, содержащие одни и
те же неизвестные, называются равносильными , если они
справедливы при одних и тех же значениях этих неизвестных .
Такое же
определение используется для равносильности двух систем неравенств. Решение
неравенств — это процесс перехода от одного неравенства к другому, равносильному
неравенству. Для этого используются
Метод интервалов.
Решить неравенство: ( x – 3 )( x – 5 ) x – 3 ).
Здесь нельзя делить обе части
неравенства на ( x – 3 ), так как мы не
знаем знака этого двучлена (
он содержит неизвестное x ). Поэтому мы перенесём
все члены неравенства в левую
часть:
( x – 3 )( x – 5 ) – 2( x – 3 )
разложим её на множители:
( x – 3 )(
и получим: ( x – 3 )( x – 7 )
x
= 3
и x = 7 — корни этого выражения.
Поэтому вся числовая ось разделится этими
корнями на следующие три интервала:
В интервале I ( x ) оба сомножителя отрицательны, следовательно , их произведение положительно ; в интервале II ( 3 x x – 3 ) положителен, а второй ( x – 7 ) отрицателен, поэтому их произведение отрицательно ; в интервале III (
Теперь остаётся выбрать интервал, в
котором наше произведение отрицательно . Это интервал II ,
следовательно, решение неравенства:
3
x
двойное
неравенство
.
Оно означает, что x должен
быть одновременно больше 3 и меньше 7.П р и м е р . Решить следующее неравенство методом интервалов:
( x – 1 )( x – 2 )( x – 3 ) … ( x –100 ) > 0 .
Р е ш е н и е . Корни левой части неравенства очевидны: 1, 2, 3, …, 100.
Они разбивают числовую ось на 101 интервал:
Так как количество скобок в левой части чётно (равно 100), то
при x
положительно.
При переходе через корень происходит смена
которого произведение положительно, будет ( 2, 3 ), затем ( 4, 5 ),
затем ( 6, 7 ), … , ( 98, 99 ) и наконец , x >100.
Таким образом, данное неравенство имеет решение:
x x x x >100.
Итак, чтобы решить алгебраическое
неравенство,
надо перенести все его
члены в левую (или
правую) часть и решить
соответствующее уравнение.
После
этого найденные корни нанести
на числовую ось; в результате она разбивается на некоторое число интервалов.
На
последнем этапе решения нужно определить, какой знак имеет многочлен внутри
каждого из этих интервалов, и выбрать нужные интервалы в соответствии со знаком
решаемого неравенства.
Заметим, что большинство трансцендентных неравенств заменой неизвестного приводятся к алгебраическому неравенству. Его надо решить относительно нового неизвестного, а затем путём обратной замены найти решение для исходного неравенства.
Системы неравенств. Чтобы решить систему неравенств, необходимо решить каждое из них, и совместить их решения. Это совмещение приводит к одному из двух возможных случаев: либо система имеет решение, либо нет.
П р и м е р 1. Решить систему неравенств:
Р е ш е н и е. Решение первого
неравенства: x x
> 6.
Таким образом, эта система неравенств не имеет решения.
( Почему ? )
П р и м е р 2. Решить систему неравенств:
Р е ш е н и е. Первое неравенство, как и прежде, даёт: x
второго неравенства в данном примере: x > 1.
Таким образом, решение системы неравенств: 1 x
Назад
Главная → Видеоуроки → Алгебра. 8 класс. Квадратные неравенства. Описание видеоурока: Видеоурок по решению неравенств методом интервалов. Решите неравенство (x+3)(x-2)>0 Валерий Волков 5 29.05.2017 Будем рады, если Вы поделитесь ссылкой на этот видеоурок с друзьями! Новости образования | ЕГЭ по математике Профильный уровень Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Задание 5 Задание 6 Задание 7 Задание 8 Задание 9 Задание 10 Задание 11 Задание 12 Задание 13 Задание 14 Задание 15 Задание 16 Задание 17 Задание 18 Задание 19 Задание 20 Задание 21 ГИА по математике Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Задача 5 Задача 6 Задача 7 Задача 8 Задача 9 Задача 10 Задача 11 Задача 12 Задача 13 Задача 14 Задача 15 Задача 16 Задача 17 Задача 18 Задача 19 Задача 20 Задача 21 Задача 22 Задача 23 Задача 24 Задача 25 Задача 26 Демонстрационные варианты ОГЭ по математике Математика. Натуральные числа Обыкновенные дроби Десятичные дроби Проценты Математика. 6 класс. Делимость чисел Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями Умножение и деление обыкновенных дробей Отношения и пропорции Положительные и отрицательные числа Измерение величин Математика. 7 класс. Преобразование выражений Многочлены Формулы сокращенного умножения Математика. 8 класс. Модуль числа. Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения Квадратные неравенства Уравнения с параметром Задачи с параметром Математика. 9 класс. Функции и их свойства Прогрессии Векторы Комбинаторика, статистика и теория вероятностей Математика. Числовые функции Тригонометрические функции Тригонометрические уравнения Преобразование тригонометрических выражений Производная Степенные функции Показательная функция Логарифмические функции Первообразная и интеграл Уравнения и неравенства Комбинаторика Создаёте видеоуроки? Если Вы создаёте авторские видеоуроки для школьников и учителей и готовы опубликовать их, то просим Вас связаться с администратором портала. Актуально Физкультминутки для школьников и дошкольников Подготовка к ЕГЭ Подготовка к ОГЭ |
5 класс.
10 — 11 класс.
Используйте те же процедуры, что и при решении уравнений, чтобы изолировать неизвестную переменную. Вы можете прибавить или вычесть одно и то же число с обеих сторон неравенства, как и в уравнении. В примере x + 2 < 4 вы можете вычесть два из левой и правой частей неравенства и получить x < 2.
Умножьте или разделите обе части на одно и то же положительное число, как в уравнении. Если 2x + 5 < 7, сначала нужно вычесть по пять с каждой стороны, чтобы получить 2x < 2. Затем разделить обе части на 2, чтобы получить x < 1.
Измените неравенство, если вы умножаете или делите на отрицательное число. Если вам дали 10 — 3x > -5, сначала вычтите по 10 с обеих сторон, чтобы получить -3x > -15. Затем разделите обе части на -3, оставив x в левой части неравенства, а 5 в правой. Но вам нужно изменить направление неравенства: x < 5 92 - x - 6 < 0. Теперь факторизуем левую часть: (x+2) (x-3) < 0. Это будет верным утверждением, когда либо (x+2), либо (x-3) отрицательно, но не оба, потому что произведение двух отрицательных чисел является положительным числом.
Это утверждение верно только тогда, когда x > -2, но < 3.
Используйте интервальную нотацию, чтобы выразить диапазон чисел, делая ваше неравенство верным утверждением. Набор решений, описывающий все числа от -2 до 3, выражается как: (-2,3). Для неравенства x + 2 < 4 набор решений включает все числа меньше 2. Таким образом, ваше решение находится в диапазоне от отрицательной бесконечности до (но не включая) 2 и будет записано как (-inf, 2).
Используйте квадратные скобки вместо скобок, чтобы указать, что одно или оба числа, служащие границами диапазона вашего набора решений, включены в набор решений. Таким образом, если x + 2 меньше или равно 4, 2 будет решением неравенства в дополнение ко всем числам, меньшим 2. Решение этого будет записано как: (-inf, 2]. Если набор решений состоял из всех чисел от -2 до 3, включая -2 и 3, набор решений будет записан как: [-2,3].
Похожие статьи
Ссылки
- Ilumina: решение неравенств
- Purple Math: решение линейных неравенств; Введение и форматирование; Элизабет Стапель
- SOS Математика: Неравенства; Основные правила
Об авторе
Эндрю Бреслин профессионально пишет с 1994 года.
«Шарлотта Обсервер», «Хорошее лекарство» и другие. Он изучал молекулярную биологию в Вестчестерском университете и часто пишет о естественных науках и математике.
Авторы фотографий
Thomas Northcut/Photodisc/Getty Images
Как выразить решения для неравенств с помощью интервальной записи
Вы можете использовать интервальную запись, чтобы выразить, где набор решений начинается и где он заканчивается. Интервальное обозначение — это распространенный способ выражения набора решений неравенства, и он важен, потому что именно так вы выражаете наборы решений в исчислении. Большинство книг по предварительному исчислению и некоторые учителя по предварительному исчислению теперь требуют, чтобы все множества были записаны в интервальной записи.
Самый простой способ найти обозначение интервала — сначала нарисовать график на числовой прямой как визуальное представление того, что происходит в интервале.
Если конечная точка интервала не включена в решение (для < или >), интервал называется открытым интервалом .
Вы показываете это на графике с незакрашенным кружком в точке и используя круглые скобки в обозначениях. Если конечная точка включена в решение
интервал называется закрытым интервалом , , который вы показываете на графике с закрашенным кружком в точке и с использованием квадратных скобок в обозначениях.
Например, набор решений
показано здесь.
Примечание: Вы можете переписать этот набор решений как оператор и :
В интервальных обозначениях вы записываете это решение как (–2, 3].
Вывод: Оба этих неравенства означают, что одновременно верно.
Вы также можете графически 9Операторы 0047 или (также известные как непересекающихся множеств , поскольку решения не перекрываются). Утверждения или — это два разных неравенства, где верно одно или другое. Например, на следующем рисунке показан график x < –4 ИЛИ x > –2.
Запись множества для этой фигуры в интервальной нотации может привести к путанице.
x могут принадлежать двум разным интервалам, но так как интервалы не перекрываются, их нужно записывать отдельно:
Первый интервал x < –4. Этот интервал включает в себя все числа между отрицательной бесконечностью и –4. Поскольку отрицательная бесконечность не является действительным числом, для ее представления используется открытый интервал. Таким образом, в записи интервала вы записываете эту часть набора как
.Второй интервал x > –2. Этот набор состоит из всех чисел от –2 до положительной бесконечности, поэтому вы записываете его как
.Вы описываете весь набор как
Символ между двумя наборами — это символ объединения , означающий, что решение может принадлежать любому интервалу.
Когда вы решаете абсолютное неравенство, которое больше числа, вы записываете свои решения в виде утверждений или . Взгляните на следующий пример: |3 x – 2| > 7. Вы можете переписать это неравенство как 3 x – 2 > 7 ИЛИ 3 x – 2 < –7.